Luận văn dao động tử có thống kê vô hạn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ
NỘI 2
NGUYỄN ĐẠI NGHĨA
DAO ĐÔNG TỬ CÓ THỐNG KÊ VÔ HAN
• •
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
• • • •
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LƯU THỊ KIM THANH
HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Sau
Đại học, Khoa Vật lý Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi để em hoàn thành khóa học của mình. Qua đây em xin bày tỏ lòng
biết ơn tới toàn thể các thấy cô giáo trong nhà trường đã giảng dạy, hướng dẫn
tận tình cho em trong quá trình học tập tại trường.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, PGS. TS. Lưu
Thị Kim Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn tận tình, động viên em ừong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu để luận văn được hoàn thành.
Hà Nội, ngày 10 tháng 6 năm 2014 Học viên
Nguyễn Đại Nghĩa
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực. Các kết quả không trùng với
các kết quả đã công bố.
Hoc viên
Nguyễn Đại Nghĩa
3
MUC LUC
•

•
• MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
• Các hạt cơ bản được phân loại theo nhiều tiêu chí. Nếu xét trên vai
trò cấu thành và liên kết của thế giới vật chất, thì chúng gồm hai loại: loại cấu
thành nên thế giới vật chất và loại truyền tương tác liên kết giữa các hệ vật
•
, ,
1 chât. Các hạt câu thành vật chât
đêu có spin S =

— , tức là các fermion.
• Cho đến nay có thể cho rằng, giữa thế giới của các hạt vật chất có
bốn loại tương tác cơ bản: Tương tác hấp dẫn liên kết tất cả các hạt có khối lượng
trong vũ trụ. Tương tác điện từ, xẩy ra giữa các hạt mang điện tích, nhờ nó có cấu
tạo nguyên tử và phân tử. Tương tác mạnh, liên kết các quark để tạo thành các
hadrron, trong đó có proton, neutron là các hạt tạo nên hạt nhân nguyên tử.
Tương tác yếu, gây nên đa số các hiện tượng phóng xạ, trong đó có phóng xạ
Ị3

.Trừ tương tác hấp dẫn, tất cả các tương tác khác đều được truyền bằng các hạt
boson, có spin 5=1. Pho ton Ỵ

truyền tương tác điện từ, 8 hạt gluon G

A

truyền
tương tác mạnh, 3 hạt w
+

, W' và z truyền tương tác yếu.
• Do ba tương tác mạnh, yếu, điện từ đều được truyền bằng các hạt
boson, nên đã có nhiều thử nghiệm xây dựng lý thuyết hấp dẫn tương tự như ba
loại kia. Khi đó boson truyền tương tác hấp dẫn sẽ được gọi là graviton. Tuy
nhiên, nếu tồn tại graviton phải có spin 5=2 [1].
• Một điểm khác biệt của các hạt vi mô là trong một hệ nhiều hạt
đồng nhất ta không thể phân biệt được giữa hạt này với hạt khác. Đó là một hiện
thực khách quan của thế giới vi mô và được lí thuyết hóa dưới dạng một nguyên
lý gọi là nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất.
4
• Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất như sau: Các ừạng thái vật
lý của hệ nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đối với bất kỳ phép
hoán vị nào giữa các hạt.
• Từ nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất ta đã biết rằng
hàm sóng diễn tả hệ các hạt đồng nhất chỉ có thể thuộc một trong hai loại sau:
- Là hàm đối xứng với phép hoán vị bất kỳ hai hạt nào cho hệ các boson
đồng nhất, là các hạt có spin nguyên (như photon,;r-meson, K —

MESON, ;
- Là hàm phản đối xứng với phép hoán vị bất kỳ hai hạt nào cho hệ các
fermion đồng nhất, là các hạt có spin bán nguyên (như elecừon, proton,
neutron, neutrino, ).
• Từ đó suy ra nguyên lý loại trừ Pauli: TRONG HỆ NHIỀU

FERMION
ĐỒNG NHẤT KHÔNG THỂ CÓ HƠN MỘT HẠT CÙNG Ở MỘT TRẠNG THÁI

hay, nói cách
khác, MỖI TRẠNG THÁI CỦA HỆ CHỈ CÓ THỂ HOẶC BỊ BỎ TRỔNG HOẶC BỊ CHIẾM
BỞI MỘT

FERMION

MÀ THÔI.

Nguyên lý này cho phép giải thích được sự phân bố
các điện tử theo các trạng thái ừong nguyên tử và thiết lập cơ sở lý thuyết của sự
sắp xếp các nguyên tố trong bảng phân hạng tuần hoàn Mendeleev, cần lưu ý
rằng trên thực tế, dựa trên các số liệu thực nghiệm về phổ của các nguyên tử,
Pauli đã phát hiện ra nguyên lý này năm 1925, tức là trước cả khi Cơ học lượng
tử ra đời, và Năm 1945 Wolfgang Pauli đã nhận giải Nobel Vật lí về nguyên lý
của mình. Điều tuyệt vời là nguyên lý loại trừ Pauli lại phù hợp hoàn toàn với Cơ
học lượng tử như ta đã thấy ở trên, nó là hệ quả của nguyên lý bất khả phân biệt
các hạt đồng nhất. Trong lý thuyết lượng tử về vật rắn, nguyên lý loại trừ Pauli
cũng đóng một vai trò quan trọng trong sự phân loại chất rắn thành các chất bán
dẫn, kim loại và điện môi [2].
• Trong biểu diễn số hạt, các dao động tử Boson được đặc trưng bởi
các
5
• toán tử sinh, hủy hạt Boson : tuân theo
các hệ thức giao hoán,
• [â,â
+
] = ââ
+
-â
+
â = 1
• Đối với hệ các hạt fermion đồng nhất có spin bán nguyên, tuân theo
nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng nhất không thể có hơn một

hạt cùng ở một ừạng thái lượng tử (n=0,l). Trạng thái của hệ được mô tả bởi hàm
sóng phản đối xứng.
• Vậy, trong biểu diễn số hạt, các dao động tử fermion được đặc trưng
• bởi các toán tử sinh, hủy hạt fermion tuân theo các hệ thức phản giao hoán,
• â , â j = ââ + â â = l
• Dao động tử có thống kê vô hạn được o. w. Greenberg [8] đưa vào lý
thuyết như sau: Từ các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy boson và
fermion, đã dẫn đến ý tưởng tìm một hệ thức toán tử mới có đặc tính trung gian
của thống kê Bose và thống kê Fermi, bằng cách lấy trung bình của hai hệ thức
• [â,â*] = l;{M*} = l.
• Và thu được hệ thức toán tử cho dao động tử có thống kê vô hạn là
• A + A -Ị
• â â = l.
• Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số
lượng tử được kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân
theo các thống kê khác với thống kê Bose-Einstein và thống kê Fermi- Dừac như
thống kê para Bose, para Fermi, thống kê vô hạn và các thống kê biến dạng . với
tư cách là những thống kê mở rộng. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất
là trong khuôn khổ của đại số lượng tử [3,4,5,6,7,9,10,11].
6
• Với mong muốn có thể tiếp cận với vật lí học hiện đại, em đã chọn
đề tài “Dao động tử có thống kê vô hạn” để làm luận văn thạc sĩ dưới sự hướng
dẫn khoa học của cô giáo, PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh.
2. Mục đích nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu thống kê vô hạn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-Nghiên cứu dao động tử boson, thống kê Boson- Einstein
-Nghiên cứu dao động tử fermion, thống kê Fermi-Dirac
-Nghiên cứu dao động tử có thống kê vô hạn, thống kê vô hạn
4. Đối tượng nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ các dao động tử có thống kê
vô
• hạn.
5. Những đóng góp mới của đề tài
- Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học ừong
nhà trường sư phạm, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học của học viên
cao học.
-Nghiên cứu được vấn đề mới theo hướng thống kê lượng tử.
6. Phương pháp nghiên cứu
• Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lí thuyết: Phương pháp vật lí
thống kê, phương pháp lí thuyết trường lượng tử, và các phương pháp giải tích
khác.
7
• NỘI
DUNG ■
• CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIÈU HÒA
• 1.1 Biểu diễn sổ hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính
• Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo một đường
thẳng nào đó.
• Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của toán tử điều
hòa một chiều [1],
•
• T
A
T p
x
2 mũ}

2

• H = ^ +
• 2 m 2
• Trong đó: X - q - X là toán tử tọa độ,
• A A ■ *
•


P

X

-P-

-IH

là toán tử xung lượng. Hệ thức giao hoán giữa P


và Q :
•
•
•
•
•
• A A
• Do đó ta có thể biểu diễn Hamiltonian theo P

và theo Q

như sau:

•
•
A
”
2
MCỞ

2

a2
• <1
8
(1.1)
[ 2] :
A A A A
y/ = -ih
= -ih.
h n
p>q
(1.2)
PA
■■ -ifl fl h Ề
H = ^- +
2M
(1.3)
• Ta
đặt:
•
•
•

•
A
• Kh
i đó ta
biêu diên
toán tử H
theo â và
â như
sau:
•
т
л
т
P

2

ТА
>

2
л2
1
.2

MH
•

H

=

—
+

—
—
4

=
—
i
2
'
—

2
m
^
r
>
m
^
ịmtì
h
);
л
я =
Р = Ч -
2

V-
J
ĩ?
V 2meo
v
'
• 2
m
•
1*
|r
.
.r)
2
-(â-
r)
2
l
•
2 2 L
v
'
v 7
.
•
•
•
•
•
•

,
А
A
• Ta
biểu diễn
các toán
tử â và â
+

và ngược
lại qua P


và Q

:
•
•
• л
л
+ ,
л
_ q
_
л
/2raứ>
i
V
ii
iii

iv
v
vi
vii
viii
ix
■)(â + â
+
)-(â-â
+
)(â-â
+
)]
)■
л +Л
. â â (1.4)
-I
й
_
2‘ 2 LV”
=
Й
_______ f 2â
+
â)
о о V /
2 2
h 2
v
'

=>ẫ -ầ = -
p = '
. ịrrih
12
. ịirìh Л
V 2
v
~ '
f -
Từ đó ta thu đươc: Ầ = J—


~Q I —

V 2i0Ä ra
m \
л
. p â
=J— "Ợ ỉ — V m
(1.5)
(1.6)
(1.7)
L:. ./>1 I M Í„
A A
'q' i 2
Cữh
m
Ta đi chứng minh hệ thức giao hoán [â,â
+
] = 1 Thật

vậy:
[â,â*]=
aa -a a =
x
xi
xii
xiiif *
p
i I
m
í
* ,
-pÌ
xiv q I
xv m
xvi1
A A
A A
( a
A A
xvii
xviii
xix
xx
xxi
xxii
xxiii
xxiv / \
xxv
Ì 7 A w

■» T
A + A A
ẠẠ + Ạ / A
+A Ạ Ạ + 1
Ạ 1
Ạ A
xxvi =
NẤ-ẤN =
Ấ

aa-aa a
= la a-aa
la = -l.a =
-a
xxvii
xxviii
xxix Ha
y Nẫ = ẫ
xxx
Í ra
Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng:
Ta đưa vào toán tử mới: N = â
+
â
Hệ thức giao hoán giữa toán tử N với các toán tử â và â
+
là:
+<Ck
ââ
+

l
h .H =
(1.8)
(1.9)
N,ầ
Í A \
iV-l
V /
(l.lO)
xxxi
xxxii
17
Ạ
+
1T
Ạ
+
Ạ
+
»7
^
^
^
^
+
1
^
^
^
+

1
xxxiii
N
,Ẳ
=
N
Ẳ


-â
iv
=
â
â
â
-â
â
â
=
â
íâ
â
-â
âl
=
â
.1
xxxiv
í
A

^
xxxv Ha
y Nâ
+
=â
+
7V+1 .
(1.11)
xxxvi
V J
xxxvii Ta
kí hiệu |n)
là véc tơ
riêng của
toán tử N
ứng với
trị riêng
n.
xxxviii
Khi đó ta
có
phương
trình hàm
riêng, trị
riêng của
toán tử N
như sau:
xxxix A
xl N| n) = nịn)
xli >(n|N|w) = (n|w|n)

= n ( n \ f l )
xlii (wlNln) (n|â
+
â|w)
xliii >и =
A
y
J
—\ \
xliv {n\nj
{n\nj
xlv
xlvi
(
n
\
n
)
=
Ị
<
P
(1.12)
(1.13)
„
(
r
j

(

N

I

â
+
â

I

N
J

=

J
|
â
ợ
?
„

j
|

DR
'VJ
.
xlvii Kết luận 1:
xlviii

л
xlix Các tn riêng của
toán tử N là các sô không âm.
l Xét véc tơ trạng
thái thu được â|n) bằng cách
tác dụng toán tử â lên
li véc tơ ừạng thái \ n).
Tác dụng lên véc tơ trạng thái
này toán tử N và sử dụng công
thức (1.10) ta có:
lii Nâ|
«) = â^N-l
|n) = âN|
n)-â|«)
liii
=
Ẫ(N
—
l)|
w)
=
{N
—
l)â|
w)
(1-
14)
liv Hệ ứiức trên có nghĩa
là:
lv Véc tơ trạng thái

â| N)

cũng là véc tơ trạng thái
riêng của toán tử N ứng với trị
riêng (n - 1).
lvi Tương tự như vậy
Â

2

\N);Â

3

\N)

cũng là véc tơ
trạng thái của toán tử
lvii N ứng với trị riêng (n -
2), (n - 3)
lviii Ta tiếp tục xét
véc tơ trạng thái â| n ) ,

tác dụng
lên véc tơ trạng thái này
lix toán tử N, sử dụng công
thức (1.11) ta có:
lx VÎ:
lxi Hệ thức này có nghĩa là:
lxii Véc tơ trạng thái

â
+
cũng là véc tơ trạng thái
riêng của toán tử N ứng với tri
riêng (n + 1).
lxiii Tương tự như
vậy â
+2
|n);â
+3
1n) cũng là véc
tơ trạng thái của toán tử
lxiv N ứng với trị riêng (n +
2) , (n + 3)
lxv Kết luận 2:
lxvi
' I \
A
I \
lxvii Nêu I N)

là một
véc tơ riêng của toán tử N ứng
với trị riêng n thì â
p
I N)

cũng
là một véc tơ riêng của toán tử
N ứng với tri riêng n - p (p =

1,2,3 )
lxviii Từ hai kết luận
trên ta thấy n là một trị riêng
của toán tử N thì chuỗi
lxix
л
lxx các sô không âm n - 1, n
- 2, n - 3 cũng là tri riêng
của toán tử N.
lxxi Vì chuỗi này giảm dần
nên phải tồn tại một số không
âm nhỏ thì:
lxxii
«k)=
0 (1.16) Vì nếu â|n
min
)^0 thì
đó là véc tơ trạng thái ứng với
tri riêng
N
MIN
-
L(
N
MIN I TRÁI VỚI GIẢ THIẾT
ПЩШ LÀ TRỊ RIÊNG NHỎ NHẤT.
lxxiii Từ
(1.16) ta cỏ:
â
t

â|n
1Â
) = N|n
mb
) = 0
(1.17)
lxxiv Mặt khác theo định
nghĩa N|n
lrnn
) = íi
mII
rt
lrnn
)
(1.18)
lxxv So sánh (1.17) và (1.18)
ta đi đến kết luận như sau:
lxxvi Kết luân 3:
lxxvii Tn riêng nhỏ nhất
của toán tử N là Пдщ có giá tri
bằng 0. Véc tơ trạng
lxxviii
\
lxxix thái ứng với trị riêng
nhỏ nhât của N được kí hiệu là
0). Véc tơ ừạng thái này thỏa
mãn điều kiện â I o).

lxxx Ta có:
lxxxi + â

+
10) tỉ lệ với
véc tơ riêng |l) của N ứng với
trị riêng n =1.
lxxxii Thật
vậy ta có: N|
l)=l|l) (*)
lxxxiii Mà â
+
10) là một véc tơ
riêng của toán tử N ứng với ừị
riêng 0+1 = 1, tức là
lxxxiv
Nâ
+
|
0) =
lâ
+
|
0).
(**)
lxxxv Từ (*) và (**) ta thấy:
lxxxvi |l) là véc tơ riêng
của toán tử N ứng với trị riêng
là 1.
lxxxviiâ
+
10) là véc tơ
riêng của toán tử N ứng với trị

riêng là 1.
lxxxviii Vì vậy
â
+
10) phải tỉ lệ với véc tơ riêng
|l) của toán tử N ứng với trị
riêng n = 1.
lxxxix + Tương tự
â
+2
10) tỉ lệ với véc tơ riêng \2)


của toán tử N ứng với tri
xc riêng n = 2,
â
+
"|0) tỉ lệ với
véc tơ riêng IN)

của toán tử N
ứng với tn
xci riêng n.
xcii
xciii
xciv
1
Từ biểu thức : H =
л +Л
â â

+ —
• н|
о)=й
I '
h h h у V
h
Vì N|o)=o|o)=0
/

\
xcv h
xcvi N|0> = "
2
£„|0)
xcvii A
1
xcviii Nên : |0) là véc tơ riêng của H ứng với trị
riêng E

Ữ

=—TI

; |l) là véc tơ riêng của H ứng với trị
riêng E

Ì
xcix
c
ci

cii A
I N)

là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng E

N

-
ciii
civ Vậy các trạng thái dừng của
dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các
giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai ừạng thái
kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng ĨÌ
cv
cvi 2 + -
cvii
cviii =>AE

Ì2

=E

2

-E

Ỉ

=H

Trạng thái Ịo) có
năng lượng thấp nhất là Eo, ừạng thái tiếp theo |l) với mức năng
lượng E

0

+H

có thể được xem như là kết quả việc thêm một
lượng tử năng lượng H

vào trạng thái |0). Trạng thái tiếp theo |2)
ứng với năng lượng EỊ+H E H

có thể được xem như là kết quả
của việc thêm một lượng tử năng lượng ĨĨ

vào trạng thái |l),
cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng FI

vào trạng thái
|0). Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là Eo, thì có thể coi trạng
2
2)
h
h
n
+ _
V 2
y

h
E
2
=
/
h h
Ei =
1+ỉ
2
thái |0) là trạng thái không chứa lượng tử nào. Vì vậy |0) được
gọi là trạng thái chân không, |l) là trạng thái chứa một lượng tử, |
2) là trạng thái chứa hai lượng tử |n) là trạng thái chứa n
lượng tử.
cix A
cx Toán tử N có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được
đoán nhận là toán tử số năng lượng. Toán tử â khi tác dụng lên I N)

cho một
ừạng thái tỉ lệ với I N -

1) do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng
lượng. Toán tử â
+
khi tác dụng lên IN)

cho một trạng thái tỉ lệ với \N

+ l) do đó
được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tượng rằng
cxi

л
cxii lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử N sẽ là toán tử sô hạt, â sẽ là
toán tử hủy hạt, â
+
sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái |n) với năng lượng
E

N

=H

sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều
hòa.
cxiii Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều
hòa có thể coi là tập họp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng TI .
cxiv Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử â tác dụng lên I N)

cho một
trạng
cxv thái tỉ lệ với \N

-l) và toán tử â
+
khi tác dụng lên \N)

cho một trạng thái tỉ
lệ
cxvi với In +1). Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ a
n
,ß

n
,y
n
trong các
hệ thức:
cxvii ẫ\n) = a
n
\n - ì) ;
cxviii â
+
|n)=yỡ
n
|n + l);
n)=ĩn
ấ+
|°>-
khi
9 7
Đê cho các véc tơ là trực giao và chuân hóa thì :
m =
n
Л Л
Chúng ta
có:
+ Tìm a
n
: