giải bất phương trình bằng đồ thị hàm số

185
VAÁN ÑEÀ 7






GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
BAÈNG ÑOÀ THÒ



186
Vấn đề 7
Giải Bất PhươngTrình Bằng Đồ Thò
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Đường cong của một hàm số
Cho f là một hàm số được xác đònh trên D. Ta gọi đường cong của
hàm số f trong hệ trục tọa độ (O,
,)ij
G
G
của mặt phẳng là tập hợp tất cả
các điểm M có tọa độ (x ; f(x)), x ∈ D.
Ghi chú :
Cho M (x, y). Đẳng thức y = f(x) với x ∈ D cho ta đặc điểm tập hợp
các điểm M nằm trên đường cong (C) của hàm số f.
Đẳng thức này còn được gọi là phương trình của đường cong (C).

2. Minh họa đồ thò của một phương trình và một bất phương
trình
Cho (C) và (C’) là những đường cong theo thứ tự của hai hàm số f & g.
• Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là những hoành độ của những
giao điểm giữa hai đường cong (C) và (C’).
• Nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là hoành độ những điểm
của đường cong (C) nằm hoàn toàn phía trên so với đường cong
(C’) .
3. Phương pháp giải bất phương trình bằng đồ thò

Ta có thể tiến hành các bước sau :
• Xác đònh tập xác đònh D của bất phương trình f(x) > g(x)
• Vẽ hai đồ thò (C) của hàm y = f(x) và đồ thò (C’) của hàm số y =
g(x) trên cùng tập D
• Nghiệm của bất phương trình là hoành độ tất cả các điểm của
đường cong Cf nằm phía trên đồ thò (C’) của y = g(x).
4.


187
4. Giải và biện luận bất phương trình bằng phương pháp đồ thò

4.1) Giải và biện luận bất phương trình :
f(x) m(*)
<

Gọi (C) là đồ thò của hàm số
yf(x)
=

Nghiệm của bất phương trình (*) là tập hợp các giá trò của x ứng với
phần của (C) nằm phía dưới đường thẳng (d): y = m.
.Tìm giao điểm của (d) và (C) sẽ suy ra tập nghiệm của (*)
4.2) Điều kiện để bất phương trình f(x) < m (f(x) > m) có
nghiệm
a) Giả sử hàm số f(x) đạt giá trò nhỏ nhất trên D.
f(x) < m có nghiệm
⇔ : có 1 phần của đồ thò (C) : y = f(x) nằm phía dưới đường thẳng (d):
y = m
⇔ Minf < m
• f(x)
≤
m có nghiệm Minf m
⇔
≤
b) Giả sử hàm số f(x)đạt giá trò lớn nhất.
• f(x) > m có nghiệm
⇔ có 1 phần của (C) nằm phía trên (d)
⇔
Maxf > m
• f(x)
≥ m có nghiệm
⇔
Maxf ≥ m
4.3) Điều kiện để bất phương trình f(x) < m (f(x) > m) thỏa
xD∀∈
a)
• f(x) < m thỏa
xD∀∈
⇔ Toàn bộ đồ thò (C) nằm dưới (d)

⇔
Maxf < m (giả sử f đạt GTLN)
• f(x)
≤ m thỏa xD∀∈
⇔
Maxf m
≤

b)
• f(x) > m thỏa
xD∀∈
⇔ Toàn bộ đồ thò (C) nằm phía trên (d)
⇔ Minf > m (giả sử f đạt GTNN)
• f(x)
m≥ thỏa xD∀∈
Minf m
⇔
≥



188
B. CÁC BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1
Giải bất phương trình
x
1
3x 1 0
2
⎛⎞

+
+>
⎜⎟
⎝⎠

Giải
Nhận xét :

Do vế trái của bất phương trình chứa
hai hàm số có tính chất hoàn toàn
khác nhau, vì thế không thể dùng
các phép biến đổi đại số để giải nó.
Từ đó ta chọn cách giải bất phương
trình bằng đồ thò.
Viết bất phương trình trên dưới
dạng :
x
1
3x 1
2
⎛⎞
>− −
⎜⎟
⎝⎠

Gọi f (x) =
x
1
2
⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠
, g (x) = -3x – 1
Vẽ đồ thò hai hàm số f và g trên
cùng một hệ trục tọa độ. Do f > g nên nghiệm của bất phương trình
là mọi x mà :
Đồ thò hàm số f nằm trên đồ thò hàm số g .
Dựa vào đồ thò ta được kết quả :
Nghiệm của bất phương trình : x < - 3 hay x > -1
Bài 2
Giải bất phương trình sau 5x – 7 < 3x + 1với x∈ [0 ; 5] .
Sau đó kiểm tra bằng đồ thò tập nghiệm của bất phương trình trên .
Giải
5x – 7 < 3x +1 ⇔ 2x < 8 .
Trên đoạn [0;5] bất phương trình trên có tập nghiệm là x < 4 .
Vậy f(x) < g(x) với mọi x ∈ [0;4]


189
(f(x) = 5x – 7 và g(x) = 3x +1) bạn có thể kiểm tra bằng đồ thò qua
việc vẽ hai đồ thò trên là hai phần đường thẳng mà trong đó đồ thò của
f(x) luôn luôn nằm phiá dưới đồ thò của g(x) , giao điểm của hai đồ thò
có tọa độ là (4 ; 13) .
Bài 3
Dùng đồ thò, giải các bất phương trình
a)
2
2x 10
x6x5
x2

(1)
−
≥−+
−

b)
2
x
x5x42
2
(2)+−+≥
Giải
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ 2 đồ thò :
2
2x 10
(C):y ,(P):y x 6x 5
x2
−
=
=−+
−

Phương trình hoành độ giao
điểm của (C) và (P) :
2
2x 10
x6x5
x2
−
=

−+
−

2
x2
x(x 8x 15) 0
≠
⎧
⎪
⇔
⎨
−
+=
⎪
⎩
x0x5x3
⇔
=∨=∨=
Dựa vào đồ thò, nghiệm của
bất phương trình (1) là tập họp
các giá trò cuả x thoả đồ thò
của (C)nằm phía trên đồ thò của (P).
Vậy: nghiệm của bất phương trình là :
2
0x2 3x5
≤
<∨≤≤


190

b) (2)
2
x
x5x42
2
⇔−+≥−

(C) :
2
22
y0
yx5x4
yx5x4
≥
⎧
⎪
=−+⇔
⎨
=
−+
⎪
⎩

2
2
5
(x )
y
2
1y0

99
44
−
⇔
−=∨≥
()
C⇔ là 2 nửa nhánh hypebol
vuông góc nằm phía trên trục x'x, có
tâm I
5
,0
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
, 2 đỉnh A
1
(1, 0), A
2
(4, 0)
(D) :
x
y2
2
=−
là đường thẳng đi
qua 2 điểm B(0, 2), A
2
(4, 0)
Dựa vào đồ thò , nghiệm của bất phương trình là :

x0x4
≤
∨≥
Bài 4
Đònh m để bất phương trình có nghiệm :
2xmx3x
2
>+−− (1)
Giải
(1)
⇔ 3 mx − < x
2
+ x – 2 ⇔
2x4xm32x2x
22
−+<<++−

Đặt y = f(x) =
2x2x
2
+
+
−
( P
1
)
* (P
1
) có đỉnh
⎩

⎨
⎧
=
=
3y
1x
0
0
bề lõm
quay xuống
* Đặt (P
2
) y = g(x) = x
2
+ 4x + 2
(P
2
) có đỉnh
⎩
⎨
⎧
−=
−=
6y
2x
0
0
bề lõm
quay lên .
* Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trò x ứng với

phần của đường thẳng (d) : y = 3m nằm dười (P
2
) và nằm trên (P
1
).
* Theo đồ thò bất phương trình có nghiệm
R
m
∈
∀
.


191
Bài 5
Đònh m để bất phương trình có nghiệm :
22
xxmxx −<+− (1)
Giải
(1)
⇔ x
2
– x < x
2

– x + m < x – x
2
⇔
⎩
⎨

⎧
>+−
>
mx2x
0m
2

Gọi ( C ) là đồ thò của (P) : y =
x2x
2
+
−

(P) có toạ dộ đỉnh
⎩
⎨
⎧
=
=
1y
1x
0
0
bề lõm
quay xuống .
Tập nghiệm của bất phương trình là tập
hợp các giá trò x ứng với phần của
đương thẳng(d) :y = m nằm dưới (P) và
nằm trên trục Ox .
Kết luận: 0 < m < 1

Bài 6
Đònh m để bất phương trình có nghiệm :
x3mx3x
2
−<+− (1)
Giải
(1)
⇔ x – 3 < x
2
– 3x + m < 3 – x
⇔
2
2
430
230
xxm
xxm
⎧
−
++>
⎪
⎨
−
+−<
⎪
⎩

⇔
2

2
43
23
x
xm
x
xm
⎧
−
+−<
⎪
⎨
−
++>
⎪
⎩

Đặt (P
1
) : y = 3x4x
2
−+− và
(P
2
) y = 3x2x
2
++−
(P
1
) có đỉnh

⎩
⎨
⎧
=
=
1y
2x
0
0
bề lõm
quay xuống.


192
(P
2
) có đỉnh
⎩
⎨
⎧
=
=
4y
1x
0
0
bề lõm quay xuống.
Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trò x ứng với phần
của đường thẳng(d) y = m nằm dưới (P
2

) và nằm trên (P
1
).
* Kết luận : m < 4
Bài 7
Đònh m để bất phương trình có nghiệm :
02mx2mx2x
2
>+−+− (1)
Giải
Đặt t =
mx − ( t ≥ 0)
(1)
⇔ 02t2mt
22
>++− ⇔ t
2
+ 2t + 2 – m
2
> 0 (2)
Đặt f(t) = VT , (1) có nghiệm x
⇔ (2) có nghiệm t ≥ 0 (
α
)
1
m
'
2
−=∆
•

⎩
⎨
⎧
>=
<∆
⇒<<−
01a
0'
1m1
⇒ f(t) > 0 Rt
∈
∀
(thoả(
α
) )
• m 1±= , f(t) = t
2
+ 2t + 1 > 0 ⇔ t ≠ 1 (thoả(
α
) )
• m < 1− 1
m
>∨⇒ 0'>
∆
⇒ f(t) có 2 nghiệm phân biệt t
1
, t
2

t

∞
−
t
1
t
2
+
∞

f(t) + 0 _ 0 +

(
α ) ⇔ 0 ≤ t
1
< t
2 ∨
t
1
< 0 < t
2

∨
t
1
< t
2
≤ 0 .
⇔
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<−=
≥−=
>∨−<
<−=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−=
≥−=
>∨−<
)d(02S
0m2)0(af

1m1m
0m2)0(af
)s(02S
0m2)0(af
1m1m
2
2
2
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤−
>∨−<
>∨−<
2m2
1m1m
2m2m
⇔ m < 1
m
1 >∨
−

.


193
Bài 8
Giải và biện luận bất phương trình theo m :
m3x2x
2
<−−
Giải
m3x2x
2
<−−
⇔
⎩
⎨
⎧
<++−
β<<−
∨
⎩
⎨
⎧
<−−
α≥∨−≤
m3x2x
)(3x1
m3x2x
)(3x1x
22

• Gọi ( C ) là đồ thò của 2 parapol (P
1
) y = x
2
– 2x – 3 thoả (
α
) và
(P
2
) y = 3x2x
2
++− thoả (
β
).
• (P
1
) có đỉnh
⎩
⎨
⎧
−=
=
4y
1x
0
0
bề lõm quay lên .
• (P
2

) có đỉnh
⎩
⎨
⎧
=
=
4y
1x
0
0
bề lõm quay xuống.
• Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trò x ứng với
phần của đường thẳng(d) y = m nằm trên (P
1
) v (P
2
).
• Khi (d) cắt (P
1
) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương
trình:
x
2
– 2x – 3 = m ⇔ x
2
– 2x – 3 – m = 0
0',4m3m1' ≥
∆
+
=

+
+
=
∆
⇔ m ≥ 4−
x
1
= 1 4m +− v x
4
= 1 + 4m +

• Khi (d) cắt (P
2
) tại điểm có hòanh
độ của phương trình:
m3x2x
2
=++− ⇔ x
2
– 2x + m – 3=0
0',m43m1' ≥
∆
−
=
+
−
=
∆
⇔ m ≤ 4
x

2
= 1
m4 −−
v x
3
= 1+
m4 −

* m
≤ 0 : VN
* 0 < m < 4 : x
1
< x < x
2
v x
3
< x < x
4
.
* m
≥ 4 : x
1
< x < x
4
.


194
Bài 9
Giải và biện luận bất phương trình theo m :

mxxx
2
≤+−
Giải
mxxx
2
≤+− ⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
≤
γ≥
⎩
⎨
⎧
≤−
β<<
⎩
⎨

⎧
≤−
α≤
mx
)(1x
mxx2
)(1x0
mx2x
)(0x
2
2
2

Đặt (P
1
) y = x
2
– 2x ;
(P
2
) y =
2
x− + 2x ; (P
3
) y = x
2

• ( C ) là đồ thò của (P
1
) thoả ( )

α
, (P
2
) thoả (
β
) , (P
3
) thoả ( γ ) .
• (P
1
) có đỉnh
⎩
⎨
⎧
−=
=
1y
1x
0
0
bề lõm quay lên.
• (P
2
) có đỉnh
⎩
⎨
⎧
=
=
1y

1x
0
0
bề lõm quay xuống
• (P
3
) có đỉnh (0;0) bề lõm quay lên
• Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trò x ứng với
phần của đường thẳng(d) y = m nằm trên (P
1
) v (P
2
) v (P
3
)
• (d) cắt (P
1
) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình :
x
2
– 2x = m ⇔ x
2
– 2x – m = 0
0',m1' ≥∆−=∆ ⇔ m ≥ 1
−

x
1
=1 – 1m + ( vì điều kiện (
α

))
• (d) cắt (P
2
) tại điểm có hoành độ là nghiệm của pt

2
x− + 2x = m ⇔ x
2
– 2x +m = 0

0',m1' ≥∆−=∆ ⇔ m ≤ 1
x
2
= 1 – m1− ( vì đk (
β
))
• Cắt (P
3
) tại điểm có hoành độ là nghiệm của pt


195
x
2
= m ⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

=
≥
mx
0m
3
( vì đk ( γ ) .
• m < 0 VN m = 0 x = 0
0 < m < 1 x
1
< x < x
2

m
≥ 1 x
1
< x < x
3


Bài 10
Giải và biện luận bất phương trình theo m :
xmxx
2
>+−

Giải
xmxx
2
>+− ⇔
⎢

⎢
⎣
⎡
>+−
−<+−
xmxx
xmxx
2
2
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
<+−
>−
mx2x
mx
2
2

Đặt (P
1
) y =
2
x− v (P
2
) y = x2x
2
+

−

(P
1
) có đỉnh x
0
= 0 , y
0
= 0 , bề
lõm quay xuống
(P
2
) có đỉnh x
0
= 1 , y
0
= 1 , bề
lõm quay xuống
Tập nghiệm của BPT là tập hợp
các giá trò x ứng với phần của đt
(d) y = m nằm dưới (P
1
) v nằm
trên (P
2
)
(d) cắt (P
1
) tại điểm có hoành
độ là nghiệm của pt :

2
x
−
= m ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
±=
≤
mx
0m
2,1

(d) cắt (P
2
) tại điểm có hoành độ là nghiệm của pt :
m
x2x
2
=+− ⇔ x
2
– 2x + m = 0
0',m1' ≥∆−=∆ ⇔ m ≤ 1
x
3
= 1 – m1− v x
4
= 1 + m1−

196
* m > 0 x < x
2
v x > x
4

* 0
≤ m < 1 x < x
3
v x > x
4
* m = 1 x ≠ 1
* m > 1 x
∈ R

Bài 11
Giải và biện luận bất phương trình theo m :
mx3xmxx
22
−−≤+−

Giải
mx3xmxx
22
−−≤+−
⇔ (x
2
– x + m + x

2
– 3x – m )( x
2
– x + m – x
2
+ 3x + m ) ≤ 0
⇔ (2x
2

x4− )(2x + 2m ) ≤ 0
⇔ (x
2
–2x)(x + m) ≤ 0
⇔
⎩
⎨
⎧
−≥
≤≤
mx
2x0
(I) v
⎩
⎨
⎧
−<
><
mx
2vx0x
(II)

* Xét (I)

(I) có nghiệm
⇔
m
− ≤ 2 ⇔ m ≥ 2
−

Nghiệm của (I) là 0
≤ x ≤
m
−

m <
2− (I) VN
* Xét (II)
m−
≤ 0 ⇔ m ≥ 0 x <
m
−

0 <
m
− ≤ 2 ⇔ 2− ≤ m < 0 x < 0
m
− > 2 ⇔ m < 2− x < 0 v 2 < x <
m
−

* Kết luận :

⎢
⎣
⎡
−<<
<
mx2
0x

⎢
⎣
⎡
−≤≤
<
mx0
0x
⇔ x <
m
−




197
Bài 12
Đònh m để bất phương trình thỏa x thuộc R.
1mx2x3x
2
>++− (1)
Giải

(1)
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
−>+−
+−<+−
mx12x3x
mx12x3x
2
2
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
>+−+
<++−
01x)3m(x
03x)3m(x
2
2

)3(
)2(

(1) thoả
Rx∈∀ ⇔ (2) v (3) thoả Rx
∈

∀

(2) thoả
Rx∈∀ ⇔
⎩
⎨
⎧
<=
φ∈⇔<−+=∆
)s(01a
m03m6m
2

(3) thoả
Rx∈∀ ⇔
⎩
⎨
⎧
>=
<<⇔<+−=∆
)d(01a
5m105m6m
2

Kết luận : 1 < m < 5

Bài 13
Đònh m để bất phương trình thỏa x thuộc R.
x
2

+ 2x + mx − ≥ m (1)
Giải
(1)
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
−−≥−
−+≤−
x2xmmx
mx2xmx
2
2
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
≥−+
≥+
0m2x3x
0xx
2
2

⇔
⎢
⎣
⎡

≥−+
≥−≤
)2(0m2x3x
0vx1x
2

Đặt f(x) = x
2
+ 3x – 2m
(1) thoả
Rx∈∀ ⇔
⎢
⎣
⎡
β−∈∀≥
α∈∀≥
))(0;1(x0)x(f
)(Rx0)x(f

* (
α ) ⇔
⎩
⎨
⎧
>=
≤+=∆
)d(01a
0m89
⇔ m ≤
8

9
−

*
0≤∆D (
8
9
m) −≤⇔β


0>∆D , f(x) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
( x
1
< x
2
)
x -
∞ x
1
x
2
+∞


198
f(x) + 0 - 0 +

⎢
⎣
⎡
−<<
<≤
⇔β
1xx
xx0
)(
21
21
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⎨
⎧
−<−=
≥−−=−
−>
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>−=
≥−=
−>
)d(1
2
3
2
S
0m22)1(af
8
9
m
)s(0
2
3
2

S
0m2)0(af
8
9
m
)VN(
⇔
1m
8
9
−≤<−
KL: m
≤ 1−

Bài 14
Đònh m để bất phương trình thỏa x thuộc R.
x
2
+ 2mx – 2 mx + + 2 > 0 (1)
Giải
Đặt t =
mx + (t ≥ 0)
(1)
⇔ t
2
– m
2
– 2t +2 > 0 ⇔ t
2
– 2t +2 – m

2
>
0 (2)
(1) thoả Rx
∈
∀
⇔ (2) thoả
t
∀
≥ 0 ( α )
Đặt (P) y = t
2
–2t + 2
Tập nghiệm S của (2) là tập hợp các giá trò t
ứng với phần của đường thẳng (d) y = m
2

nằm dưới (P) (
α
) ⇔
[
)
+
∞;0

(
α
) ⇔ m
2

< 1 ⇔ 1
−
< m < 1



199
Bài 15
Cho bất phương trình
3mxx
2
<−+
(1) đònh m để
a) Bất phương trình (1) có nghiệm
b) Bất phương trình (1) có nghiệm âm
c) Bất phương trình thỏa ∀x ∈ (-1 ; 0)
Giải
3mxx
2
<−+ (1)
⇔
2
x3mx −<−
⇔ x
2
– 3 < x – m < 3 – x
2

⇔ x
2

– 3 < x− + m < 3 – x
2
⇔ x
2
+ x – 3 < m <
2
x
−
+x + 3
Gọi (P
1
) y =
2
x− +x + 3
(P
2
) y = x
2
+ x – 3
a) (1) có nghiệm
⇔ (d) nằm giữa 2 Parabol ⇔
4
13
−
< m <
4
13

b) (1) có nghiệm x < 0
⇔

4
13
−
< m < 3
c) (P
1
) : x = 1− ⇒ y = 1 (1) thoả
(
)
0,1x
−
∈
∀

(P
2
) : x = 1− ⇒ y = 3
−
⇔ 3
−
< m < 1

Bài 16


200
Giải và biện luận bất phương trình :
3x2x
2
−− < m (1)

Giải
(1)
⇔
⎢
⎣
⎡
>+−−
<−−−
0m3x2x
0m3x2x
2
2

• Gọi ( C) là đồ thò hàm số y = 3x2x
2
−−
• Tập nghiệm của (1) là các giá trò x ứng với phần của ( C ) nằm
dưới đường thẳng (d) y = m
• y = 3x2x
2
−− =
⎢
⎣
⎡
++−
−−
3x2x
3x2x
2
2

)3x1(
1x(
<<−
−
≤
v

3x ≥
)

* (P
1
) y = x
2
– 2x – 3 có x
0
= 1 , y
0
= 4
* (P
2
) y =
2
x− + 2x + 3 có toạ độ đỉnh
x
0
= 1 , y
0
= 4
Biện luận :

m≤ 0 (1) VN
0 < m < 4 S = (x
1
,x
2
) U (x
4
,x
2
)
m
≥ 4 S = (x
1
,x
2
)

Chú ý :
* Khi (d) cắt (P
1
) , hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :
x
2
– 2x – 3 = m ⇔ x
2
– 2x – 3 – m = 0
'∆ = 1+3+m = m+4 , '
∆
≥ 0 ⇔ m ≥ 4
−

x
1,2
= 4m1 +±
* Khi (d) cắt (P
2
) , hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :

2
x− +2x+3 – m = 0 ⇔ x
2
– 2x – 3 +m = 0
'∆ = 1 –m +3 = 4 – m ; '
∆
≥ 0 ⇔ m ≤ 4
−

x
3,,4
= 1 m4 −± . (2x
2

x4
−
)(2x + 2m ) ≤ 0



201
Bài 17

Cho hệ phương trình :
2
2
x2xa0
x4x6a0
⎧
+
+≤
⎪
⎨
−
−≤
⎪
⎩

Đònh a để hệ :
a) có nghiệm b) có nghiệm duy nhất
Giải
Hệ bất phương trình trên tương đương với :
2
2
ax2x
x4x
a
6
⎧
≤− −
⎪
⎨
−

⎪
≥
⎩


Nghiệm của hệ là tập họp các giá trò của x sao cho đường thẳng (D) :
y = a nằm phía dưới parabol (P
1
) :
2
yx2x
=
−−và nằm phía trên
Parabol (P
2
):
2
x4x
y.
6
−
=

Đó là miền gạch chéo, trong hình với A(-1, 1)
Từ đó suy ra :
a) Hệ có nghiệm khi
0a1
≤
≤
b) Hệ có nghiệm duy nhất khi (D) cắt miền gạch chéo tại một điểm

duy nhất, tức là a = 0 hay a = 1
Bài 18
Giải và biện luận bất phương trình :
22
x3xmxx2(*)++> ++
Giải
22
22
x3xmxx2
(*)
x3xmxx2
⎧
++<−−−
⎪
⇔
⎨
++>++
⎪
⎩

2
m2x4x2
m2x2
(1)
(2)
⎧
⎪
<− − −
⇔
⎨

>− +
⎪
⎩

Giải (1)


202
Đặt
2
y2x4x2,=− − − đồ thò là Parabol (P). (P) có đỉnh
oo
(x 1;y 0),=− = bề lõm quay xuống.
Nghiệm của (1) là tập hợp
1
S các giá trò x ứng với phần của đường
thẳng (d) y = m nằm dưới (P)
Hoành độ giao điểm của (d) và (P)khi cắt nhau là nghiệm của phương
trình
2
m2x4x2=− − −
12
22m 22m
xx
22
−− − −+ −
⇔= ∨=

Theo đồ thò, khi m < 0 thì S
1

= (x
1
, x
2
)
Giải (2) :
Tập nghiệm S
2
của (2) là tập hợp các giá trò x ứng với phần của đường
thẳng (d) : y = m nằm phía trên đường thẳng (D) :
y = - 2x + 2
Hoành độ giao điểm của (d) và (D) là nghiệm của phương trình
3
2m
m2x2x
2
−
=− + ⇔ = và
23
S(x;)
=
+∞
Tập nghiệm của bất phương trình (*) là
12
SS S
=
∪
Theo đồ thò ta có :
•
12 3

m0:S(x,x)(x, )<= ∨+∞
•
3
m0:S(x, )≥=+∞
Bài 19
Dùng đồ thò, giải bất phương trình :
()
(
)
x11x6 3x10 (1)−+ + >− +

Giải
Ta có :
• Hàm số
()
(
)
1
yx11x6=−+ +
(
)
()()
xx 6 1
2xx6
khi x
khi x <1
+≥⎧
⎪
=
⎨

−+
⎪
⎩

đồ thò y
1
gồm 2 cung parabol
1
(P )đỉnh
1
S( 3, 9)(x 1);
2
(P )
−
−≥ đỉnh
2
S (2,16)(x 1)< như hình ve dưới đây
• Hàm số :
2
y3x10=− + là đường thẳng (D) đi qua 2 điểm (1,7);
(-2,16)
Nghiệm số của (1) là tập họp các giá trò của x sao cho đồ thò hàm số
1
y ở phía trên đồ thò hàm số
2
y .


203
Vậy tập nghiệm của bpt là :

2x1x1
−
<<∨>


Bài 20
Cho hệ :
22
42
x(2a1)xaa20
x5x40
⎧
++++−=
⎪
⎨
−+<
⎪
⎩

a) Tìm a để hệ có nghiệm b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
Giải
Hệ đã cho có thểviết dưới dạng :
(
)
(
)
xa1xa2 0
1x2
(1)
(2)

⎧+− ++ =
⎪
⎨
<<
⎪
⎩

Các điểm
M(x,a )thỏa mãn phương trình (1) nằm trên 2 đường thẳng
1
(D ):x a 1 0
2
;(D ) : x + a + 2 = 0.+−=


204

Các điểm M(x,a) thỏa bpt (2) nằm trong 2 dải song song
2x 1−< <−hay 1 < x < 2 (miền gạch chéo trong hình)
Do đó các điểm M(x,a) thỏa hệ (1) và (2) gồm 4 đoạn thẳng AB, CD,
EF, GH với A(- 2, 3), B(- 1, 2)
C(1, 0), D(2, -1), E(- 2, 0), F(-1, -1), G(1, -3), H(2, -4).
Suy ra :
a) Hệ có nghiệm khi
2a3,-1< a < 0, -4 < a < -3
<
<
b) Hệ có nghiệm duy nhất khi 2 < a < 3 hay - 4 < a < -3
Bài 21
Giải và biện luận theo a hệ bất phương trình :

(
)
()
()()
2
2
x1x20
x3a1xa2a1
(1)
(2)
⎧
−−≥
⎪
⎨
⎪
−++ +
⎩

Giải
Hệ trên được viết một cách khác là :
(
)
(
)
(
)
()( )
x1x1x2 0(1)
xax2a1 0 (2)

+−−≥⎧
⎪
⎨
−−−≤
⎪
⎩

Dùng miền xác đònh bởi đường thẳng ta có :
Dấu của VT (1') là +, Dấu của VT (2') là +, -


205

Do đó các điểm M(x,a)thỏa hệ (1) và (2) thuộc miền chừa trắng trong
hình vẽ (gồm tam giác ABC và tứ giác mở tDEt').
Vậy :
*
a1<− vô nghiệm
*
1a0: ax2a + 1−≤ < ≤ ≤
*
1
0a :
2
ax1≤< ≤≤

*
1
a1:

2
ax1≤< ≤≤
hay 2x2a1
≤
≤+
*
1a2: 2x2a + 1≤< ≤≤
*
a2 : a x 2a + 1≥≤≤
Bài 22
Đònh m để bất phương trình
2
x2xxmm(*) ++−≥ Thỏa xR
∀
∈
Giải
2
(*) x 2x m x-m⇔≥−−+
2
2
xmx 2xm
xmx 2xm
⎡
−≤ + −
⎢
⇔
⎢
−≥ − +
⎣

2
2
xx0
13
mx x
22
(1)
(2)
⎡
+≥
⎢
⇔
⎢
≤+
⎢
⎣

Tập nghiệm của (1) là
(
]
[
)
1
S,10,
=
−∞ − ∪ +∞
Gọi
2
S là tập nghiệm của (2)
Bất phương trình (*) thỏa

xR
∀
∈
(
)
12 2
SS R 1;0S⇔∪=⇔− ⊂
⇔ bất phương trình (2) thỏa
(
)
x1;0∀∈−


206
2
13
mx x
22
⇔≤ +
thỏa
(
)
x1;0∀∈−

⇔ đường thẳng (d): y = m nằm phía dưới cung Parabol
2
13
(P): y x x
22
=+

(với 1x0)
−
<< m1
⇔
≤−
Bài 23
Vẽ đồ thò hàm số
2
yx xx=−−.
Áp dụng để giải bất phương trình :
2
1
tgx 1 1 tgx
cos x
(1)+−≤+
Giải
*
2
2
2
x
yx xx
x2x
khi x < 0
khi x 0
⎧
⎪
=−−=
⎨
−

≥
⎪
⎩

Dựa vào đồ thò
2
(1) 1 tg x tgx 1 1 tgx⇔+ + −≤+
2
(1 tgx) (1 tgx) 1 tgx⇔+ −+ ≤+
Đặt
X1tgx,=+ ta được :
2
XXX0(2) −− ≤

Nghiệm của bất phương trình (2) là tập họp các giá trò của X mà
trong đó đồ thò hàm số
2
YX XX=−−ở phía dưới trục hoành.
Dựa vào đồ thò trên ta được :
0X2 01tgx2 1tgx1≤≤⇔≤+ ≤⇔−≤ ≤ ⇔
rr
kr x kr
44
+
≤≤+ ∈ (k Z)
Vậy nghiệm của (1) là :
rr
kr x kr
44
(k Z)−+ ≤≤+ ∈

207
Bài 24
Tìm m để hệ sau đây có nghiệm duy nhất :
22
22
xy4y4m0
xy4x4m0
⎧
+
++−≤
⎪
⎨
+
++−≤
⎪
⎩

Giải
Hệ
22
22
x(y2)m
(x 2) y m
(1)
(2)
⎧
++ ≤

⎪
⇔
⎨
++≤
⎪
⎩

Dễ thấy nếu m < 0 thì hệ vô nghiệm.
Nên ta chỉ xét với
m0.≥
Tập hợp các điểm (x, y) thỏa bpt (1) là
hình tròn (C
1
) tâm I
1
(0, -2), bán kính
1
Rm.=

Tập hợp các điểm (x, y) thỏa bpt (2) là
hình tròn (C
2
) tâm I
1
(-2, 0), bán kính
2
Rm=

Nên nghiệm của hệ là phần chung của (C
1

) và (C
2
).
Do đó điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc
ngoài nhau.
12 1 2
II R R 22 2m m 2⇔=+⇔ = ⇔=
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi m = 2
Bài 25
Giải và biện luận bất phương trình :
axaxx (1)++−≤
Giải
Dễ thấy a < 0 thì ax− không có nghóa.
Nên ta chỉ xét khi
a0≥
Đặt
uax0,vax0=+ ≥ =− ≥thì (1) tương đương với hệ :
22
uv
(I) u v 2a
u,v
2 (2)
(3)
0 (4)
+≤
⎧

⎪
+=
⎨
⎪
≥
⎩

Các điểm M(u, v) thỏa (2), (4) nằm trong tam giác vuông cân OCC'
với OC = OC' = 2 (kể cả các cạnh của tam giác đó).


208
Các điểm M(u, v) thỏa (3) nằm
trên đường tròn (C) tâm O, bán
kính
R2a=
Do đó nghiệm của hệ (2), (3),
(4) là tọa độ các điểm M(u, v)
trên phần đường tròn (C) ở
trong
OCC'.∆
Vậy :
1) a < 0 hay
2a 2( a 2) :>⇔> Hệ (1) vô
nghiệm
2)
2a 2 0 a 1≤⇔≤≤ : Hệ
(1) có nghiệm là :
2
0u 2a 0a x2a 0xa≤≤ ⇔≤+ ≤ ⇔≤≤

Nghiệm của (1) là
2
0xa
≤
≤
3)
22a21a2:CC'<≤⇔<≤ cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ là
nghiệm của phương trình :
22
u(2u)2a 2u2a0+− = ⇔ − +−=
2
u
12
u 1 a1 u 1 a1
⇔
=− −< =+ −

Hệ (I) có nghiệm là :
1
0uu
≤
≤ hay
2
uu2a≤≤
Nghiệm của (1) cho bởi :
0 a x 1 a1 a x a2a1
a2a1a x2a
1a1 ax 2a
⎡

⎡
≤+ ≤−− + ≤− −
⎢
⇔
⎢
⎢
+
−≤+ ≤
⎢
+−≤+ ≤
⎣
⎣

x2a1:VN
2a1 x a
⎡
≤− −
⇔
⎢
−≤ ≤
⎢
⎣

2
4(a 1) x a
⇔
−≤≤
Kết luận :
a < 0 hay a > 2 : (1) vô nghiệm
0a1

2
: (1) có n
g
hiệm 0 x a≤≤ ≤≤
1a2
2
: (1) có n
g
hiệm 4(a-1) x a<≤ ≤≤


209
Bài 26
Tìm a để hệ sau có nghiệm :
22
2
x(y3)4
yax
(1)
(2)
⎧
+− ≤
⎪
⎨
=
⎪
⎩

Giải
(1) là phương trình của hình tròn (C) tâm I(0, 3), bán kính R = 2, nằm

phía trên x'x.
(2) là phương trình parabol (P) đỉnh O.
Điều kiện để hệ (1), (2) có nghiệm là (P) và (C) có điểm chung.
Gọi a
0
là giá trò của a khi (P) và (C) tiếp xúc nhau, thì điều kiện để hệ
trên có nghiệm là
0
aa≥
Ta tìm a
0
: Gọi M
0
(x
0
, y
0
) là tiếp điểm của (P) và đường tròn (C), thì :
Phương trình tiếp chuyển (D
1
) của (P) tại M
0
:
000
1
(y y) a x x
2
+=

100 0

11
(D ):a x x y y 0
22
⇔−−=

Phương trình tiếp tuyến (D
2
) của (C) tại M
0
:
00 200 0
x x (y 3)(y 3) 4 0 (D ):x x (y 3)y 5 3y 0+− −−=⇔ +−+− =
Vì (P) và (C) tiếp xúc nhau tại M
0
, nên có chung 1 tiếp tuyến tại M
0
,
tức là (D
1
)
2
(D )≡
0
00
00 0
11
y
ax
22
xy353y

−−
⇔= =
−−

0
0
000
1
a(3)
2(3 y )
53y y(y 3)(4)


⎧
=
⎪
−
⇔
⎨
⎪
−= −
⎩
với
0
0
x0
5
y,3
3
≠

⎧
⎪
⎨
≠
⎪
⎩

(4)
2
00
y5y 5⇔=⇒=(vì tiếp
điểm M
0
ở phía trên x'x nên
0
y0> )
Thay vào (3) :
0
135
a
8
2(3 5
+
==
−

Vậy hệ trên có nghiệm khi
35
a
8

+
≥