Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Huyện

ĐỀ 30
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1. ( 2 điểm)
Cho hàm số f(x) =

Chứng minh rằng
xdxx sin1
4
4
2





= f’(0).
Bài 2. ( 2 điểm)
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền

khi quay quanh trục oy.
Bài 3. ( 2 điểm)
Tìm m để bất phương trình: mx
2
+ mx + m -2  0 có nghiệm x(1;2).
Bài 4. ( 2 điểm)

Giải và biện luận phương trình: 4x+1+2(m-1)x-1=(m+1)
134
2
 xx

theo tham số m.
Bài 5. ( 2 điểm)
Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = -
2
1

Bài 6. ( 2 điểm)
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có:

32
2
3
sin
1
sin
1
sin
1
coscoscos 
C
B
A
CBA
thì đều.
Bài 7. ( 2 điểm)

Tìm giới hạn:
x
x
x
2
sin
13
lim
2
0
2



Bài 8. ( 2 điểm)
Giải và biện luận theo m bất phương trình:
x
2
sin
2
1
x
khi x0
0 khi x=0


y=x
2
-6x+5
y=0

)3(log)()1(
3
1
2
 xmxmxmx

Bài 9. ( 2 điểm)
Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H):
1
9
2
2
 y
x
và đường tròn (C): x
2
+y
2
=9.
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) kẻ qua điểm M(3;1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (H) và (C).
Bài 10. ( 2 điểm)
Cho elip (E):
1
4

2
2
 y
x
và hai đường thẳng (d
1
): x-ky=0, (d
2
): kx+y=0. (d
1
) cắt
elip (E) tại A và C, (d
2
) cắt elip (E) tại B và D.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.




ĐỀ 29
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
3
+ 3x
2
= m
3
+ 3m
2
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5).
d) Trên đường thẳng y = 9x – 4, tìm những điểm có thể kẻ đến (C) 3 tiếp tuyến.
Câu 2: (3 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
3
cos x cos x
(7 5 2) (17 12 2) cos3x
   
.
b)
2 4 2
3
x 3x 1 x x 1
3
     
.
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2 2
m 1 m
7

log 11 log ( x mx 10 4)log (x mx 12) 0
      
.
b) Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x.
1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1.
Câu 4: (2,5 điểm)
a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 0:
3 3
1 ax cos x víi x 0
f(x)
ln(1 2x) b 1 víix 0

  



   


.
b) Tính tích phân:
1 5
2
2
4 2 x
1 5
2
x 1
I dx
(x x 1)(1 2006 )






  

.
Câu 5: (2,5 điểm)
Cho 2 elíp (E
1
):
2 2
x y
1
15 6
 
, (E
2
):
2 2
x y
1
6 15
 
và parabol (P): y
2
= 12x.
a) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên.
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (E

1
) và (P).



Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a (a> 0).
Cạnh SA vuông góc với đáy và SA =
a 3
. M là một điểm khác B trên SB sao cho AM 
MD. Tính tỉ số
SM
SB
.




1
ĐỀ 26
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1: (4 điểm)
1) (Đề 48 I
2
trong 150 đề tuyển sinh Đại học)
Tìm trên đồ thị hàm số y =
1
2


x
x
hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y =
x -1
2) (Tự sáng tác)
Cho a, b, c  R với a  0 và m N
*
thoả mãn:
0
2
4




m
c
m
b
m
a
.
Chứng minh rằng:
Đồ thị hàm số: y = ax
4
+ bx
2
+ c luôn cắt trục ox tại ít nhất một điểm thuộc khoảng
(0;1).

Bài 2: (5 điểm)
1) (Tự sáng tác)
Tìm tổng tất cả các nghiệm x  [1;100] của phương trình:
Sin
4
x + Sin
4
( x +
4

) + Sin
4
(x +
xSinx 4
2
3
)
4
3
(sin)
2
44




2) ( Toán học tuổi trẻ năm 2003)
Cho tam giác ABC không có góc tù thoả mãn hệ thức:
6
5

coscos)2cos2(cos
2
1
)3cos3(cos
3
1
 BABABA

Hãy tính các góc của tam giác đó.
Bài 3: (4 điểm)
1) (Toán Bồi dưỡng giải tích tổ hợp của Hàn Liên Hải - Phan Huy Khải)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
23
24
5
 xx
x

2) (Tự sáng tác)



2
Giải phương trình: 3x
2
+ 1 + log
2006

6
26

2
1
24
x
xx
x




Bài 4: (4 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
1) ( Đề thi tuyển sinh vào ĐHXD - Hà Nội năm học 2000-2001)
Cho điểm A(4;0) và đường thẳng : 4x - 9 = 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M
có tỷ số khoảng cách từ đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng  bằng
3
4
là một
Hypebol. Hãy viết phương trình của Hypebol đó.



2) ( Chuyên đề về hình học giải tích của Cam Duy Lễ - Trần Khắc Bảo)
Cho Parabol y
2
= 2px (p > 0) và đường thẳng d di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm F
của Parabol. Gọi M, N là các giao điểm của parabol với đường thẳng d. Chứng minh rằng
đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 5: (3 điểm) (500 Bài toán về bất đẳng thứccủa Phan Huy Khải -Tập II)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC.

Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V
1
, V thứ tự là thể tích
của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
tỷ số
V
V
1
.





ĐỀ 27
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Câu I. (5 điểm). Cho hàm số
1
22
2



x
xx
y

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2, Chứng minh đường thẳng (d):
1
1
2



yx
có đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ đến
(C) hai tiếp tuyến vuông góc. Xác định toạ độ hai điểm đó.
Câu II. (4 điểm).
1, Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình





xyx
mmyx
22

Khi hệ có hai nghiệm (x
1
;y
1
), (x
2
;y
2

) tìm m để
2
12
2
12
)()( yyxxP 
lớn nhất.
2, Giải phương trình:
x
x
x
x
x
1
2
1
22
22
2
211



Câu III. (5 điểm)
1, Đường thẳng (d) cắt Parabol (P):
32
2
 xxy
tại hai điểm phân biệt A, B lần lượt
có hoành độ x

1
; x
2
giả sử x
1
<x
2
và AB=2. Tìm x
1
; x
2
để hình phẳng giới hạn bởi đường
thẳng (d) và Parabol có diện tích lớn nhất.
2, Tam giác ABC không có góc tù và
CBA sinsinsin
22

. Chứng minh tam giác ABC
là tam giác vuông.
Câu IV. (4 điểm)
1, Tính đạo hàm của hàm số:











0 0
0
1
3coscos
xneu
xneu
x
e
y
xx
tại x=0
2, Hình chóp đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên hợp với đáy góc α,

 900

. Chứng minh
3
1

R
r
( với r, R lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp
hình chóp).
Câu V. (2 điểm). Qua đường cao hình tứ diện đều dựng một mặt phẳng cắt ba mặt bên tứ
diện theo ba đường thẳng tạo với đáy tứ diện lần lượt góc α, β, γ.
Chứng minh:
2
222



tgtgtg
.



ĐỀ 25
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1: ( 4 điểm )
Cho hàm số :
1
1
1


x
xy
( C )
1/ Khảo sát hàm số .
2/ Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại
diểm
đó tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất .
Bài 2: (2 điểm )
Biện luận theo m số nghiệm dương của phương trình :










x
mdt
t
t
1
2
11

Bài 3: (2 điểm )
Giải phương trình :
xxxxxxx  3.55.44.3

Bài 4: (2 điểm )
Tìm các giá trị thực của m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm







4
;0


x
:









0342212364
23
 CosxmxCosxSinmSinxmxSinm

Bài 5: (2 điểm )
Tìm tam giác ABC có B = 2A và ba cạnh có số đo là ba số nguyên liên tiếp .
Bài 6: (2 điểm )
Tìm đa thức


xP
có bậc lớn hơn 1 thoả mãn hệ điều kiện sau :














 
Rx
P
xPxPxxxPxx






;
271
012'22''42
2

Bài 7: (2 điểm )
Giải hệ sau :


 









8312
32
2
43log23
2
yyy
yxCos

Bài 8: (2 điểm )
Hai hình chóp tam giác đều có chung chiều cao , đỉnh của hình chóp này trùng
với tâm của đáy hình chóp kia. Mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một
cạnh



bên của hình chóp kia. Cạnh bên
l
của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao
một
góc

.Cạnh bên của hình chóp thứ 2 tạo với đường cao một góc

.
Tìm thể tích phần chung của hai hình chóp .
Bài 9: (2điểm )

Cho các số thực
2,,

cba
chứng minh bất đẳng thức sau :
3
222


cLogbLogaLog
baaccb






ĐỀ 28
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài1: ( 4 điểm)
Cho hàm số
222
2
 xxmxy

1. Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi m = 3
2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại một điểm x

o
<-2
Bài 2: ( 4điểm)
1. Tìm m để nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn


2;1


0
13
2
13
2
2



xx
xxm

2. Giải bất phương trình:

64264264
222
)1()1()2(


xxxxxx
mmm

Với 0 < m < 1
Bài 3: ( 4điểm)
1. Giải phương trình:

x
x
ãgonx
x
xx
coslog
sinlog
)sin1()cos1(
cos


2. Cho ABC. Tìm giá trị lớn nhất của sinC biết:
sin
2
A + sin
2
B = k sin
2
C Với k >
2
1

Bài 4: ( 2 điểm)
Tìm các đa thức f(x) thoả mãn:
x.f(x-1) = (x-3) f(x)

Bài 5: ( 6 điểm)
1. Lập phương trình của Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) và đỉnh S(2;1).
2. Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vuông. Gọi H là hình chiếu của O lên đáy
ABC. Chứng minh rằng:

a)
2222
1111
OC
OB
OA
OH



b)
OABOACOBCABC
SSSS


2222




ĐỀ 24
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Câu 1: Chứng minh rằng hàm số y = x
4
- 6x
2
+ 4x + 6 luôn luôn có 3 cực trị
đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của các tam giác tạo bởi 3 đỉnh và 3 điểm cực trị
của đồ thị hàm số.
Câu 2: Giải hệ phương trình.
x+y =
14 z

y + z =
14 x

z + x =
14 y

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc oxy cho parabôn (P):
y
2
= 4x. M là một điểm di động trên (P). M  0, T là một điểm trên (P) sao cho T  0,
OT vuông góc với OM.
a. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đường thẳng MT luôn đi qua một
điểm cố định.
b. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì thì trung điểm I của MT chạy trên
1 pa ra bol cố định .
Câu 4: Giải phương trình sau:
sinx + siny + sin (x+y) =
2
33

Câu 5: Cho dãy số I
n
=



n
n
dx
x
x
4
2
cos
, nN*




Tính
n
lim
I
n

Câu 6: Cho 1  a > 0, chứng minh rằng.
1
ln


a
a
<
3
3
1
aa
a








ĐỀ 23
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Câu I. (5 điểm). Cho hàm số
1
22
2



x
xx

y

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2, Chứng minh đường thẳng (d):
1
1
2



yx
có đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ đến
(C) hai tiếp tuyến vuông góc. Xác định toạ độ hai điểm đó.
Câu II. (4 điểm).
1, Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình





xyx
mmyx
22

Khi hệ có hai nghiệm (x
1
;y
1
), (x
2

;y
2
) tìm m để
2
12
2
12
)()( yyxxP 
lớn nhất.
2, Giải phương trình:
x
x
x
x
x
1
2
1
22
22
2
211



Câu III. (5 điểm)
1, Đường thẳng (d) cắt Parabol (P):
32
2
 xxy

tại hai điểm phân biệt A, B lần lượt
có hoành độ x
1
; x
2
giả sử x
1
<x
2
và AB=2. Tìm x
1
; x
2
để hình phẳng giới hạn bởi đường
thẳng (d) và Parabol có diện tích lớn nhất.
2, Tam giác ABC không có góc tù và
CBA sinsinsin
22

. Chứng minh tam giác ABC
là tam giác vuông.
Câu IV. (4 điểm)
1, Tính đạo hàm của hàm số:











0 0
0
1
3coscos
xneu
xneu
x
e
y
xx
tại x=0
2, Hình chóp đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên hợp với đáy góc α,

 900

. Chứng minh
3
1

R
r
( với r, R lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp
hình chóp).
Câu V. (2 điểm). Qua đường cao hình tứ diện đều dựng một mặt phẳng cắt ba mặt bên tứ
diện theo ba đường thẳng tạo với đáy tứ diện lần lượt góc α, β, γ.
Chứng minh:
2

222


tgtgtg
.



ĐỀ 20
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút


Câu 1 (2.0đ) Tính tổng sau S
n
=
nn
x
tg
x
tg
x
tg
2
2
1

2
2

1
2
2
1
22


Câu 2 (2.0 đ) Tính tích phân sau



2
0
2222
sincos
sin

dx
xbxa
xcox
(Với a
)0;0


b

Câu 3 (2.0 đ) Cho hệ phương trình






xyx
mmyx
22

1/ Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo m
2/ Khi hệ có hai nghiệm (x
1
;y
1
);(x
2
;y
2
) tìm m để S = (x
2
-x
1
)
2
+(y
2
-y
1
)
2
đạt giá trị lớn
nhất
Câu 4 (2.0 đ) Giải phương trình

12831()112(3
22
 xxxx


Câu 5 (2.0đ ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau đây có
nghiệm

xxx
m
222
sincossin
332 

Câu 6 (2.0 đ ) Tìm giới hạn sau
3
2
)sin1)(sin1)(sin1(
sin1
xxx
x
LimL
pnm
pnm
x








(với m ,n ,p là ba số nguyên dương cho trước )

Câu7 (2.0đ) Giải và biện luận theo tham số m hệ bất phương trình sau












m
x
x
x
2sin
sin1
2
2
3cos51
log
4
4
cos



Câu 8 ( 2.0 đ ) Cho tứ diện OABC có OA ,OB ,OC đôi một vuông góc với nhau. Vẽ
đường cao OH của tứ diện .
Đặt




COHBOHAOH
BCACABCBCABA








;;
;;

Chứng minh rằng
C
B
A
2
sin
sin
2

sin
sin
2
sin
sin
222



Câu 9 (4.0đ ) Cho hình chóp tam giác SABC .Biết rằng tồn tại hình cầu tâm O, bán
kính R ( O nằm trên đường cao hình chóp) tiếp xúc với cả 6 cạnh hình chóp.
1/ Chứng minh rằng SABC là hình chóp đều.
2/ Cho SC =R
3
. Tính chiều cao hình chóp.





ĐỀ 22
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1: (4 điểm)
Tìm trên đồ thị hàm số y =
1
2


x
x
hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y =
x -1
Cho a, b, c  R với a  0 và m N
*
thoả mãn:
0
2
4




m
c
m
b
m
a
.
Chứng minh rằng:
Đồ thị hàm số: y = ax
4
+ bx
2
+ c luôn cắt trục ox tại ít nhất một điểm thuộc khoảng
(0;1).
Bài 2: (5 điểm)
1)

Tìm tổng tất cả các nghiệm x  [1;100] của phương trình:
Sin
4
x + Sin
4
( x +
4

) + Sin
4
(x +
xSinx 4
2
3
)
4
3
(sin)
2
44




2)
Cho tam giác ABC không có góc tù thoả mãn hệ thức:
6
5
coscos)2cos2(cos
2

1
)3cos3(cos
3
1
 BABABA

Hãy tính các góc của tam giác đó.
Bài 3: (4 điểm)

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
23
24
5
 xx
x

Giải phương trình: 3x
2
+ 1 + log
2006

6
26
2
1
24
x
xx
x





Bài 4: (4 điểm)



Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
Cho điểm A(4;0) và đường thẳng : 4x - 9 = 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M
có tỷ số khoảng cách từ đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng  bằng
3
4
là một
Hypebol. Hãy viết phương trình của Hypebol đó.

Cho Parabol y
2
= 2px (p > 0) và đường thẳng d di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm F
của Parabol. Gọi M, N là các giao điểm của parabol với đường thẳng d. Chứng minh rằng
đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 5: (3 điểm) (500 Bài toán về bất đẳng thứccủa Phan Huy Khải -Tập II)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC.
Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V
1
, V thứ tự là thể tích
của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
tỷ số
V
V
1

.

















ĐỀ 21
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Câu 1: (2đ)
Không dùng bảng số hoặc mấy tính cá nhân chứng minh:
tg 55
0
> 1,4.
Câu 2: (2 đ )
Chứng minh






2
0
2
0

xSinxCos
dxxSin
xSinxCos
dxCos
nn
n
nn
n


Và suy ra giá trị của chúng .
Câu 3 ( 2 đ )
Biện luận theo m số nghiệm ccủa phương trình

644
4 44
 mxxmxx

Câu 4: ( 2 đ )
Tìm m để phương trình: x

4
– (2m + 3 ) x
2
+ m + 5 = 0
Có các nghiệm thoả mẫn: - 2 < x
1
< -1 < x
2
< 0 < x
3
< 1 < x
4
< 2.
Câu 5: (2đ)
Tìm nghiệm trên khoảng ( 0 :

) của phương trình

)
4
3
(2123
2
sin4
22

 xCosxCos
x

Câu 6 (2đ) Trong tam giấc ABC có các góc và các cạnh thoả mãn:

22
4
21
ca
ca
SinB
CosB




(1)
Chứng minh tam giác là tam giác cân
Câu 7: ( 2 đ )
Tìm giới hạn E =
)
1
1
(
1
nm
x
x
n
x
m
Lim




(m,n


Z
)
Câu 8: (2đ)
Giải hệ phương trình :








)2(0)2ln(14
)1(21541
23
12212
xyxy
yxyxyx

Câu 9 (2đ)



Cho 2 đường tròn
(C
1

) : x
2
+ y
2
– x – 6y + 8 = 0
(C
2
): x
2
+ y
2
– 2mx – 1 = 0
Tìm m để (C
1
) và ( C
2
) tiếp xúc với nhau Nói rõ loại tiếp xúc.
Câu 10 (2đ)
Chứng minh rằng nếu n là số nguyên, n

1 thì

1
1
1
1










n
n
>
n
n







1
1

ĐỀ 19
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1 : (4điểm )
Cho đường cong ( C
m
) :
m
x
2
1mx
y
x
2



( m là tham số và |m | 2)
Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đường cong (C
m

) mà
chúng vuông góc vơí nhau.
(Giải tích - Toán nâng cao 12 Tác giả Phan Huy Khải )
b) Cho I
n
=
dx
1
1
0
x
nx
e
e




với n là số tự nhiên
Tìm
I
lim
n
n 

( Toán nâng cao lớp 12 Phan Huy Khải )
Bài 2: (4 Điểm )
a) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a
1
x


-
xa 
=1
( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )
b) Giải bất phương trình
4
x
2

- 2
x
2


16
8x12
x9
2



( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )

Bài 3 ( 4điểm )
a)Giải Phương trình :2sin(3x+
4

) =
x2x2sin81

cos
2


b) Tam giác ABC có các góc thõa mãn : 2sinA+ 3sinB+4sinC = 5cos
2
A
+3cos
2
B
+cos
2
C

Chứng minh rằng : tam giác ABC là tam giác đều .
( Báo Toán học tuổi trẻ 5/2004)
Bài 4(4điểm) :



a)Cho n là số nguyên dương , hãy tìm giới hạn A =
)1x(
1nnx
x
lim
2
n
1x





( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )

b) Giải hệ phương trình









loglog
loglog
)x3(
2
3y
2
)y3(
2
3x
2

(Đại số sơ cấp tác giả Trần Phương)
Bài 5 ( 4điểm) :
a) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang có cạnh AD =2 BC. Gọi M,N là hai
trung điểm của SA , SB tương ứng .Mặt phẳng (DMN ) cắt SC tại P. Tính tỉ số điểm P
chia đoạn thẳng CS .

( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )

b) Cho a,b,c là các số thực lớn hơn 2
Chứng minh rằng :
log
a
2
cb
+
log
b
2
ca 
+
log
c
2
ba
3
( Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,tác giả Trần Phương)
Hết

ĐỀ 16
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1: Cho y = (-m + 1) x
3
+ 3( m + 1) x
2
- 4 mx - m .
a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .
b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng .
Bài 2: Tìm các giá trị của tham số a để bất phương trình :
1
3
4
1
2



a
x
ax
x

Được nghiệm đúng với mọi x .

Bài 3: Giải phương trình

2
)1(
22
3



xx
xx

Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thoả mãn
y
6
+ y
3
+ 2 x
2
=
22
yxxy

Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD ; M là 1 điểm nằm bên trong tứ diện;AM, BM ,
CM, DM. Lần lượt cắt các mặt BCD; ACD; ABD; và ABC tại A
1
, B
1
, C
1

, D
1
.
a) Chứng minh rằng :
1
1
1
1
1
1
1
1
DD
MD
CC
MC
BB
MB
AA
MA

Không đổi .
b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức
1111
MD
DM
MC
CM
MB
BM

MA
AM
P 

Đạt giá trị nhỏ nhất .



Bài 6: Chứng minh với mỗi số nguyên dương n thì phương trình x
2n+ 1
= x + 1 . chỉ
có 1 nghiệm số thực x
n
. Khi đó tìm lim x
n
n






ĐỀ 17
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1( 4,0 điểm)
Cho hàm số : y =
)(

1
8
2
m
C
x
mmxx



1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C
m
) khi m = 1
2) Tìm m để cực đại , cực tiểu của (C
m
) nằm về hai phía của đường thẳng 9x –7y
– 1 = 0
Bài 2( 4,0 điểm)
1)Tìm p và q để giá trị lớn nhất của hàm số y =
qpxx 
2
trên


1;1
là bé nhất
3) Gọi ( x ; y ) là nghiệm của bất phương trình
1)2(log
22
2



yx
yx
. Tìm ( x; y) sao cho
2x + y lớn nhất
Bài 3 ( 4,0 điểm)
Cho cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 (1)
1) Giải phương trình (1) khi m = 3
2) Tìm m để phương trình (1) có số nghiệm nhiều nhất trên









2;
2

Bài 4(4,0 điểm)
1) Tính




0
cos1

sin
dx
x
xx
I

2) Cho x
2
+y
2
=1 . Chứng minh :
2)(5)(20)(16
3355
 yxyxyx

Bài 5( 4,0 điểm)
1) Cho tứ diện ABCD . Các mặt của tứ diện có diện tích bằng nhau . Chứng minh
rằng tâm mặt cầu nội , ngoại tiếp tứ diện trùng nhau.
2) Cho tứ diện ABCD và một mặt phẳng (P) . Tìm trên mf (P) điểm M sao cho
MDMCMBMA 
nhỏ nhất




ĐỀ 18
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1: (4 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
x
1
4x4x
y
2



.
2. Tính tích phân:






0
2
xcos1
xdxsinx
I
.
Bài 2: (4 điểm)
Cho phương trình:
2x1xa
23


1. Giải phương trình khi a = 4.
2. Tìm a để phương trình có nghiệm.
Bài 3: (4 điểm)
1. Giải phương trình: tgx – 3cotg3x = 2tg2x.
2. Chứng minh rằng
ABC

đều nếu thoả mãn:
tgA + tgB + tgC =
2
C
gcot
2
B
gcot
2
A
gcot 
.
Bài 4: (2 điểm)
Tìm giới hạn:
1x3
x
)
2
x
3x
(lim





.
Bài 5: (2 điểm)
Giải bất phương trình:
2
2
2
)1x(
1x2
log2x6x2



.
Bài 5: (4 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy.
Cho elip (E) có phương trình: 1
9
y
16
x
22
 ; điểm I(-1;-2) và đường thẳng (d): x + y –
6 = 0.