Hàm đa trị dành cho cao hoc năm 2

Biên soạn: Dương Duốc Duy
Chương 1: Hàm Đa Trị
I. Kiến thức cũ:
♦ Họ các tập con của tập X ≠ ∅ được kí hiệu là (X) hoặc 2
X
.
♦ Cho không gian mêtric X, tập khác rỗng A ⊂ X, x
o
∈ X và số thực r > 0.
• Hình cầu mở tâm x
o
∈ X, bán kính r > 0 là tập hợp:
B(x
o
, r) = { x ∈ X : d(x, x
o
) < r }
• Hình cầu đóng tâm x
o
∈ X, bán kính r > 0 là tập hợp:
B’(x
o
, r) = { x ∈ X : d(x, x
o
) ≤ r }
• Mặt cầu tâm x
o
∈ X, bán kính r > 0 là tập hợp:
S(x
o
, r) = { x ∈ X : d(x, x

o
) = r }
• Khoảng cách từ điểm x ∈ X đến tập A là:





inf
a A
d x, A =

d x, a


• Hình cầu mở tâm A, bán kính r > 0 là tập hợp:
B(A, r) = { x ∈ X : d(x, A) < r }
• Hình cầu đóng tâm A, bán kính r > 0 là tập hợp:
B’(x
o
, r) = { x ∈ X : d(x, A) ≤ r }
• Tập U ⊂ X được gọi là lân cận của tập A nếu ∃r > 0 sao cho B(A, r) ⊂ U.
♦ Khoảng cách Hausdorff của hai tập khác rỗng A, B ⊂ X là:
d
H
(A, B) = max{
sup
x A y B
d(x, B), sup d(y, A)
 

}
♦ Cho X là không gian định chuẩn và tập A, B ⊂ X
• Tập A được gọi là tập lồi nếu ∀x; y ∈ A, ∀α ∈ [0; 1]: αx + (1 - α)y ∈ A
• Bao lồi của tập A là:
conv A =
S loài
A S
S


=
 
1 1
0 1
n
x x A, 1,n vaø
n
i i i i i
i i
i
  
 
 
 
    
 
 
 
 

• B là tập mở ⇒ a + B là tập mở ⇒ A + B là tập mở
• A, B là các tập lồi thì A + B cũng là tập lồi.
• B(x
o
, r) = x
o
+ r.B(0, 1) , ∀x
o
∈ X và ∀r > 0
• ∀ε > 0 : d
H
(A, B) < ε ⇔
)
A B + B(0,


và
)
B A + B(0,





Biên soạn: Dương Duốc Duy
II. Hàm đa trị:
1.Định nghĩa:
Ánh xạ đa trị từ tập X đến tập Y là ánh xạ F: X → (Y)
x ↦ F(x) ⊂ Y
• Kí hiệu F: X ⇉ Y

• Dom F = {x ∈ X : F(x) ≠ ∅}
• F được gọi là ánh xạ đa trị chặt nếu DomF = X
• ImF =
x X
F(x)


=
x DomF
F(x)



• Với A ⊂ X, F(A) =
x A
F(x)



• Đồ thị của F là GrapF = GrF = { (x, y) ∈ X×Y : y ∈ F(X) }
2. Ánh xạ ngược, ánh xạ thu hẹp:
• Ánh xạ ngược của ánh xạ đa trị F: X  Y là ánh xạ đa trị
F
-1
: Y  X
y ↦ F
-1
(y) = { x ∈ X : y ∈ F(x) }
• Ánh xạ đa trị thu hẹp của ánh xạ đa trị F lên tập K ⊂ X là ánh xạ đa trị F
K

(x): X  Y cho bởi
F
K
(x) =
F(x) neáu x
neáu x K
K






, ∀x ∈ X
3. Tính bị chặn, giá trị đóng (compact, lồi):
• F bị chặn ⇔ ∀x ∈ X : F(x) bị chặn.
• F là ánh xạ đa trị có giá trị đóng (compact, lồi)
⇔ ∀x ∈ X : F(x) là tập đóng (compact, lồi)
• F là ánh xạ đa trị đóng (compact, lồi)
⇔ GrF là tập đóng (compact, lồi) trong X×Y
Bài tập 1:
Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, F: X  Y. Chứng minh:
a) F đóng ⇒ F có giá trị đóng.
b) F compact ⇒ F có giá trị compact.
c) F lồi ⇒ F có giá trị lồi.
Giải:
a) ∀x ∈ X, xét dãy (y
n
)
n

⊂ F(x) sao cho lim y
n
= y , ta có:
Biên soạn: Dương Duốc Duy
• ((x, y
n
))
n

⊂
GrF , lim(x, y
n
) = (x, y)
• F đóng ⇒ GrF là tập đóng
Nên (x, y) ∈ GrF ⇒ y ∈ F(x)
Do đó, F(x) là tập đóng ∀x ∈ X
Vậy, F có giá trị đóng.
b) ∀x ∈ X, xét dãy (y
n
)
n
⊂ F(x), Ta có
• ((x, y
n
))
n
⊂ GraphF = {(x’, y) : y ∈ F(x’)}
• F compact ⇔ GraphF là tập compact trong X×Y
Nên, ∃



)
k
n
k
(x, y ⊂ ((x, y
n
))
n
sao cho
)
k
n
(x, y
→ (x, y) ∈ GraphF khi k → ∞
⇒
 
 
lim
k
k
n
k
n n
n
k
y =y F(x)
y y
 









Do đó, F(x) là tập compact trong Y
Vậy, F có giá trị compact
c) ∀x ∈ X, ∀y; z ∈ F(x), ∀α ∈ [0; 1]:
• (x, y), (x, z) ∈ GraphF
• F lồi ⇔ GraphF là tập lồi trong X×Y
Nên, α(x, y) + (1 - α)(x, z) = (αx + (1- α)x, αy + (1- α)z) = (x, αy + (1- α)z) ∈ GraphF
⇒ αy + (1- α)z ∈ F(x)
Do đó, F(x) là tập lồi trong Y , ∀x ∈ X
⇒ F có giá trị lồi
III. Hàm đa trị nữa liên tục trên và nữa liên tục dưới:
1. Định nghĩa:
Cho X, Y là hai không gian mêtric, F: X  Y là ánh xạ đa trị, x
o
∈ domF.
♦ F được gọi là nữa liên tục trên tại x
o
nếu với mọi lân cận V = V
F(xo)
của F(x
o
), tồn tại lân cận
U = U
xo

của x
o
sao cho F(U) ⊂ V.
• Kí hiệu: F là usc tại x
o

♦ F được gọi là nữa liên tục dưới tại x
o
nếu ∀y
o
∈ F(x
o
), với mọi lân cận V của y
o
, tồn tại lân
cận U của x
o
sao cho F(x)∩V ≠ ∅ , ∀x ∈ U.
• Kí hiệu: F là lsc tại x
o


Biên soạn: Dương Duốc Duy
U(1): lân cận của 1
V( F(1) )
lân cận
của F(1)
f

(x)

y
x
e
2
e
1
0
VD:
F(x) =
x
2
e neáu x < 1
e; e neáu x = 1
e neáu x > 1
{ }
[ ]








F(x) là hàm usc tại 1

2. Tính chất:
♦ Mệnh đề 1:
Cho X, Y, Z là các không gian mêtric, F: X  Y và G: Y  Z là các ánh xạ đa trị usc trên
X. Khi đó, G

o
F: X  Z là ánh xạ đa trị usc .
Chứng minh:
∀x
o
∈ X, Xét lân cận V =
o
G(F(x ))
V
của G(F(x
o
)), ta có:
• G là usc tại F(x
o
) ⇒ tồn tại lân cận U =
o
F(x )
U
của F(x
o
) sao cho G(U) ⊂ V
• F là usc tại x
o
⇒ tồn tại lân cận W =
o
x
W
của x
o
sao cho F(W) ⊂ U

Do đó G(F(W)) ⊂ G(U) ⊂ V
Nên G
o
F là usc tại x
o
, ∀x
o
∈ X
Vậy G
o
F là usc trên X
♦ Mệnh đề 2:
Cho X, Y là hai không gian mêtric, F: X  Y là ánh xạ đa trị. Nếu F có giá trị đóng và usc
trên X thì F đóng.
♦Định lý 1:
Cho X, Y là hai không gian mêtric. F, G: X  Y là các ánh xạ đa trị thỏa mãn
F(x)∩G(x) ≠ ∅ , ∀x ∈ X và
i) F usc tại x
o
∈ X
ii) F(x
o
) là tập compact
iii) G là ánh xạ đa trị đóng.
Khi đó, F∩G là usc tại x
o
( F∩G là ánh xạ đa trị cho bởi công thức F∩G(x) = F(x)∩G(x) )
Chứng minh:
Xét tập mở V chứa F∩G(x
o

) = F(x
o
)∩G(x
o
) ≠ ∅
• TH
1
: F(x
o
) ⊂ V
F usc tại x
o
⇒ tồn tại lân cận U của x
o
sao cho F(U) ⊂ V
Biên soạn: Dương Duốc Duy
⇒

∀
x
∈
U : F∩G(x) = F(x)∩G(x)
⊂
F(U)∩G(U)
⊂
F(U)
⊂
V
⇒ F∩G(U) ⊂ V
• TH

2
: F(x
o
)

V
Đặt K = F(x
o
)∩(X∖U), ∀y ∈ K : y ∈ F(x
o
) và y ∈ X∖V
⇒ y ∈ F(x
o
) và y ∉ F(x
o
)∩G(x
o
) ⇒ y ∉ G(x
o
) ⇒ (x
o
, y) ∉ GraphG
⇒ (x
o
, y) ∈ X×Y∖GraphG
Mà GraphG là tập đóng ⇒ X×Y∖GraphG là tập mở
Nên tồn tại một lân cận N(x
o
) ⊂ X của x
o

, tồn tại một lân cận N(y) ⊂ Y của y
Sao cho N(x
o
)×N(y) ⊂ X×Y∖GraphG
⇒ N(x
o
)×N(y) ∩ GraphG = ∅
Khi đó, ∀x ∈ N(x
o
):
• Nếu ∃z ∈ G(x)∩N(y) thì (x, z) ∈ GraphG và (x, z) ∈ N(x
o
)×N(y)
⇒ (x, z) ∈ N(x
o
)×N(y) ∩ GraphG ≠ ∅ (mâu thuẫn)
Nên G(x)∩N(y) = ∅
…
♦ Hệ quả 1:
Cho X, Y là hai không gian mêtric, G: X  Y là ánh xạ đa trị đóng. Nếu Y là không gian
compact thì G là usc
Chứng minh:
Xét ánh xạ đa trị F: X  Y
x ↦ F(x) = Y
∀x
o
∈ X:
• F(x
o
) = Y là tập compact

• Với mọi lân cận V của F(x
o
) = Y, chọn một lân cận U bất kì của x
o
: Y = F(x
o
)

⊂ V ⊂ Y
⇒ F(U) = Y = V

⇒ F usc tại x
o

• G là ánh xạ đa trị đóng
Nên theo định lý 1: F∩G(x) = F(x)∩G(x) = Y∩G(x) = G(x) là usc tại x
o

Vậy, G là usc trên x



Biên soạn: Dương Duốc Duy
y
=
ax
F(0)
y
= 0
1

-1
y
x
0
♦ Hệ quả 2:
Cho X, Y là hai không gian mêtric, F: X  Y là ánh xạ đa trị đóng, r: X → ℝ
+
là hàm đơn trị
nửa liên tục trên. Nếu Y là không gian hữu hạn chiều thì ánh xạ đa trị Fr: X → Y xác định bởi
Fr(x) = F(x)∩(r(x).B) , ∀x ∈ X ( với B = B(0,1) ⊂ Y ) là usc.
♦ Mệnh đề 3:
Cho X, Y là hai không gian mêtric, F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị. Nếu F là đa trị chặt, usc, có
giá trị compact và X compact thì F(x) compact
Bài tập 2:
Cho ánh xạ đa trị F:

→
2

cho bởi F(a) = { (x, y) ∈
2

| y = ax}
Chứng minh F có đồ thị đóng nhưng không usc tại a = 0
Giải:
♦ GraphF = {(a, z)| z = (x, y) ∈ F(a)}
Xét dãy ((a
n
, z
n

))
n
⊂ GraphF với z
n
= (x
n
, y
n
) ∈ F(a
n
) ,∀n ∈ ℕ
sao cho lim(a
n
, z
n
) = (a, z) ∈
2

 
và z = (x, y) ∈
2


⇒
n
n
n
*
n n
lim a = a

lim z = z
y = a x , n




 


⇒
n
n
*
n
n
n n
lim a = a
lim x = x
lim y =
a x , n
y
y =






 




⇒ y = limy
n
= lim( a
n
x
n
) = ax ⇒ z = (x, y) ∈ F(a)
⇒ (a, z) ∈ GraphF
Do đó GraphF là tập đóng (Hay F có đồ thị đóng)
♦ F(0) = {(x, y) ∈
2

| y = 0 }
Đặt V = {(x, y) ∈
2

| -1 < y < 1} ⇒ V là tập mở và F(0) ⊂ V nên V là lân cận của F(0)
Với mọi lân cận U của 0, ∃b ∈ U: b ≠ 0
Ta có,
2
; 2
b
 
 
 
∈ F(b) = { (x, y) ∈
2


| y = bx} và
2
; 2
b
 
 
 
∉ V
⇒ F(U) ⊄ V
Do đó, F không usc tại a = 0
♦ Mệnh đề 4:
Cho X, Y là hai không gian mêtric, F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị chặt. Khi đó:
F usc ⇔ Ảnh ngược của mổi tập đóng trong Y là tập đóng trong X

Biên soạn: Dương Duốc Duy

Chú ý:
• F
-1
(y) = { x ∈ X | y ∈ F(x)} , ∀y ∈ Y
• F
-1
(K) =
-1
y K
F (y)

 , ∀ K ⊂ Y
• x ∉ F
-1

(K) ⇔ ∀y ∈ K : x ∉ F
-1
(y) ⇔ ∀y ∈ F(x): y ∉ K ⇔ ∀y ∈ K : y ∉ F(x)
Chứng minh:
(⇒) F usc
• Với mọi tập đóng K ⊂ Y, xét tập X\F
-1
(K).
∀x
o
∈ X\F
-1
(K): x
o
∉ F
-1
(K)
⇒ y ∉ F(x
o
) , ∀y ∈ K ⇒ K ∩ F(x
o
) = ∅ ⇒ F(x
o
) ⊂ Y\K
Mà, Y\K là tập mở và F usc
Nên, tồn tại một lân cận mở U của x
o
sao cho F(U) ⊂ Y\K
• Ta cần chứng minh U ⊂ X\F
-1

(K).
∀x ∈ U: F(x) ⊂ Y\K ⇒ F(x)∩K = ∅ ⇒ ∀y ∈ K : y ∉ F(x) ⇒ x ∉ F
-1
(K)
⇒ x ∈ X\F
-1
(K) ⇒ U ⊂ X\F
-1
(K)
Do đó, X\F
-1
(K) là tập mở
⇒ F
-1
(K) là tập đóng.
(⇐) Ảnh ngược của mổi tập đóng trong Y là tập đóng trong X
• ∀x ∈ X, với mọi lân cận mở V của F(x): Y\V là tập đóng
⇒ F
-1
(Y\V) là tập đóng ⇒ X\F
-1
(Y\V) là tập mở
• Ta cần chứng minh x ∈ X\F
-1
(Y\V)
Ta có: F(x) ⊂ V ⇒ F(x)∩( Y\V) = ∅ ⇒ ∀y ∈ Y\V: y ∉ F(x)
⇒ x ∉ F
-1
(Y\V) ⇒ x ∈ X\F
-1

(Y\V)
• Ta cần chứng minh F( X\F
-1
(Y\V) ) ⊂ V
∀x’ ∈ X\F
-1
(Y\V), ∀y ∈ F(x’): x’ ∉ F
-1
(Y\V) ⇒ y ∉ Y\V ⇒ y ∈ V
Do đó, ∀x’ ∈ X\F
-1
(Y\V): F(x’) ⊂ V ⇒ F( X\F
-1
(Y\V) ) ⊂ V
• Vậy, F là usc
♦ Mệnh đề 5:
Cho F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị và x
o
∈ domF. Lúc đó: F lsc tại x
o
nếu ∀(x
n
) ⊂ X, lim x
n
= x
o

và ∀y
o
∈ F(x

o
) thì ∃y
n
∈ F(x
n
) sao cho lim y
n
= y
o
.
Chứng minh:
Biên soạn: Dương Duốc Duy
(
⇒
) F lsc tại x
o

∀(x
n
) ⊂ X, lim x
n
= x
o
và ∀y
o
∈ F(x
o
):
• ∀ε > 0: B(y
o

, ε) là lân cận mở của y
o
và F lsc tại x
o

⇒ ∃n
1
∈ ℕ : F(x)∩B(y
o
, ε) ≠ ∅ ,∀x ∈ B(x
o
, 1/n
1
)
Mà, lim x
n
= x
o
nên ∃n
2
∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ mà n ≥ n
2
thì x
n
∈ B(x
o
, 1/n
1
)
⇒F(x

n
)∩B(y
o
, ε) ≠ ∅ , ∀n ∈ ℕ mà n ≥ n
2

• ∀n ≥ n
2,
chọn y
n
∈ F(x
n
)∩B(y
o
, ε)
⇒ y
n
∈ F(x
n
) và y
n
∈ B(y
o
, ε) , ∀n ∈ ℕ mà n ≥ n
2

⇒ lim y
n
= y
o

và y
n
∈ F(x
n
) , ∀n ∈ ℕ mà n ≥ n
2

(⇐) ∀(x
n
) ⊂ X, lim x
n
= x
o
và ∀y
o
∈ F(x
o
) thì ∃y
n
∈ F(x
n
) sao cho lim y
n
= y
o
.
Giả sử F không lsc tại x
o

⇒ ∃y

o
∈ F(x
o
), tồn tại một lân cận mở U của y
o
sao cho với mọi lân cận V của x
o
:
F(x) ∩ U = ∅, ∀x ∈ V
⇒ ∀n ∈ ℕ* : B(x
o
, 1/n) là lân cận mở của x
o
nên F(x
n
) ∩ U = ∅ , với x
n
∈ B(x
o
, 1/n) (*)
Do x
n
∈ B(x
o
, 1/n), ∀n ∈ ℕ* nên limx
n
= x
o

Mặt khác y

o
∈ F(x
o
)
Nên ∃y
n
∈ F(x
n
) sao cho lim y
n
= y
o

⇒ với n đủ lớn: y
n
∈ U (do U là lân cận của y
o
)
⇒ y
n
∈ F(x
n
) ∩ U ( mâu thuẫn với (*) )
Vậy, F lsc tại x
o

Bài tập 3:
a) Cho ánh xạ đa trị F: ℝ → ℝ
x ↦ F(x) =
[-1;1] neáu x = 0

{0} neáu x 0





Chứng minh F usc nhưng không lsc tại x
o
= 0
b) Cho ánh xạ đa trị G: ℝ → ℝ
x ↦ G(x) =
[-1;1] neáu x 0
{0} neáu x = 0





Chứng minh F lsc nhưng không usc tại x
o
= 0
Giải:


Biên soạn: Dương Duốc Duy
U
V
F (x)
y
x

-1
1
0
a) F:
ℝ
→
ℝ

x ↦ F(x) =
{ }
[-1;1] neáu x = 0
0 neáu x 0





• Với mọi lân cận V của F(0): F(0) = [-1; 1] ⊂ V
Xét lân cận U = (-1; 1) của x
o
= 0:
∀x ∈ U: F(x) ∈ [-1; 1] ⊂ V ⇒ F(U) =
x U
F(x)


⊂ V
Do đó, F usc tại x
o
= 0

• Với y
o
= 1/2 ∈ F(0), V = (0; 1) là lân cận của y
o
, với mọi lân cận U của 0, ∃x ∈ U\{0} sao
cho F(x)={0} ⇒ F(x)∩V = ∅
Do đó, F không lsc tại 0
b) G: ℝ → ℝ
x ↦ G(x) =
{ }
[-1;1] neáu x 0
0 neáu x = 0





• Xét lân cận V = (-
1
2
;
1
2
) của G(0) = {0}, với mọi lân cận U của x
o
= 0, ∃x ∈ U\{0} sao cho
G(x) = [-1; 1] ⊄ V
Do đó, G không usc tại 0
• ∀y
o

∈ G(0) = {0}, với mọi lân cận V của y
o
: y
o
= 0
Chọn U = (-1; 1) là lân cận của x
o
= 0
⇒ ∀x ∈ U: 0 ∈ G(x) và 0 ∈ V ⇒ G(x)∩V ≠ ∅ , ∀x ∈ U
Do đó, G lsc tại x
o
= 0
♦ Mệnh đề 6:
Cho X; Y là hai không gian mêtric, F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị lsc ( DomF = X ) và f : X → Y
là ánh xạ đơn trị liên tục. ε: X → ℝ
+
là hàm nữa liên tục dưới.
Khi đó: Φ: X ⇉ Y
x ↦ B( f (x), ε(x))∩F(x)
Là lsc tại mọi x ∈ Dom Φ
(Trong đó, B( f (x), ε(x)) = { y ∈ Y: d(y, f (x)) < ε(x)}
3.Ánh xạ đa trị Lipschitz: (không thi)
♦ Định nghĩa:
Cho X, Y là hai không gian mêtric và F: X ⇉ Y.
• F được gọi là đa trị Lipschitz địa phương
Biên soạn: Dương Duốc Duy
⇔

∀
x

o

∈
X,
∃
V(x
o
),
∃
L > 0,
∀
x ; x’
∈
V(x
o
): F(x)
⊂
B’( F(x’), L.d(x, x’) )
• F được gọi là đa trị Lipschitz
⇔ ∃L > 0, ∀x ; x’ ∈ X: F(x) ⊂ B’( F(x’), L.d(x, x’) )
♦ Mệnh đề 7:
Cho X ; Y là hai khôn gian định chuẩn, F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị chặt, Lipschitz với hằng số
Lipschit là L > 0.
Khi đó:
coF
: X ⇉ Y
X ↦
coF(x)

Là ánh xạ đa trị Lipschitz với hằng số K

( trong đó: coF(x) = convectF(x) =
G
F(x) G
G

loài


)
Chứng minh:
∀x; x’, ∀y ∈
coF(x)
, ∀ε > 0, ∃y’ =
…
♦ ε -δ usc:
Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị chặt. F được gọi là ε – δ
usc tại x
o
nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho F( x
o
+ δ.B(0, 1) ) ⊂ F(x
o
) + ε.B(0, 1)
{ ở đây x
o
+ δ.B(0, 1) = B(x
o
, δ) và F(x
o
) + ε.B(0, 1) = B( F(x

o
), ε) }
♦ Nhận xét:
Nếu F usc thì F ε – δ usc
Bài tập 4:
Cho F: ℝ ⇉
2


a ↦ F(a) = {(a, y) ∈
2

}
♦ ε -δ lsc:
Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị chặt. F được gọi là ε – δ
lsc tại x
o
nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ B(x
o
, δ): F(x) ⊂ F(x
o
) + ε.B(0, 1)
♦ Nhận xét:
Nếu F lsc thì F ε – δ lsc
IV.Tính chất liên tục của ánh xạ Marginal: (không thi)
1. Hàm Marginal - ánh xạ Marginal:
Cho X, Y là hai tập hợp, W: X×Y → ℝ là hàm đơn trị
Biên soạn: Dương Duốc Duy
G: Y
⇉

X là ánh xạ đa trị
Lúc đó:
♦ Hàm Marginal chính là hàm số cho bởi công thức:
V: Y → ℝ
y ↦ V(y) =
x
sup
G(y)
W(x, y)


♦ Ánh xạ Marginal chính là ánh xạ đa trị cho bởi công thức:
M: Y → X
Y ↦ M(y) = {x ∈ X: W(x,y) = V(y)}
2.Định lý 2:
Cho X, Y là hai không gian mêtric, W: X×Y → ℝ là hàm đơn trị và G: Y ⇉ X là ánh xạ đa
trị. Nếu
i) W nữa liên tục dưới trên X×Y (nghĩa là
( )
liminf W(x, y)
o o
o o
(x,y) x ,y
W(x ,y )


)
ii) G lsc tại y
o
∈ Y

Thì V lsc tại y
o

3.Hệ quả 3:
Cho X, Y là hai không gian mêtric, G: Y ⇉ X là ánh xạ đa trị chặt, lsc. Lúc đó, hàm số:
H: X×Y → ℝ
(x, y) ↦ H(x,y) = d(G(x), y)
Là usc
4.Định lý 3:
Cho X, Y là hai không gian mêtric, W: X×Y → ℝ là hàm đơn trị và G: Y ⇉ X là ánh xạ đa
trị chặt. Nếu
i) W nữa liên tục trên trên X×Y (nghĩa là
( )
limsup W(x,y)
o o
o o
(x,y) x ,y
W(x ,y )


)
ii) G usc tại y
o
∈ Y và G(y
o
) là tập compact
Thì V usc tại y
o

5.Hệ quả 3:

Cho X là không gin compact, Y là không gian mêtric, W: X×Y → ℝ là hàm đơn trị usc và
G: Y ⇉ X là ánh xạ đa trị. Lúc đó, hàm marginal V là hàm usc.
6.Định lý 4:
Cho X, Y là hai không gian mêtric. Nếu
i) W: X×Y → ℝ liên tục trên X×Y
Biên soạn: Dương Duốc Duy
ii) G: Y
⇉
X là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị compact.
Khi đó, V là hàm liên tục trên Y và M là usc trên Y
7.Định lý 4:
Cho X, Y là hai không gian mêtric. Nếu
i) W: X×Y → ℝ Lipschitz với hằng số L
( nghĩa là | W(x, y) - W(x’, y’) | ≤ L. [ d(x,x’) + d(y, y’) ] ,∀(x,y) ; (x’,y’) ∈ X×Y )
ii) G: Y ⇉ X là ánh xạ đa trị Lipschitz với hằng số c
( nghĩa là G(y) ⊂ B’(G(y’), c.d(y,y’)) , ∀y; y’ ∈ Y )
Thì V là hàm số lipschitz với hằng số k = L(c + 1)
( nghĩa là | V(y) - V(y’) | ≤ k. d(y, y’) , ∀y ; y’ ∈ Y )

Biên soạn: Dương Duốc Duy
Chương 2: Quá Trình Lồi Đóng
Ở chương này ta tìm hiểu với X, Y là hai không gian định chuẩn.
F:X ⇉ Y là một ánh xạ đa trị.
I. Kiến thức cũ:
• F là đa trị chân chính (hay không suy biến hay không tầm thường)
⇔ DomF = {x ∈ X | F(x) ≠ ∅} ≠ ∅
• F là đa trị chặt (hay thật sự) ⇔ DomF = X
• Đồ thị của F là GrapF = GrF = { (x, y) ∈ X×Y : y ∈ F(x) }
• F lồi ⇔ GraphF lồi
⇔ ∀(x

1
, y
1
),( x
2
, y
2
) ∈ GraphF, ∀α ∈ [0, 1]: α(x
1
, y
1
) + (1 – α)( x
2
, y
2
) ∈ GraphF
• F đóng ⇔ GraphF đóng
⇔ ∀(x
n
, y
n
) ∈ GraphF, ∀(x
n
, y
n
) → (x, y) thì (x, y) ∈ GraphF
• C ⊂ X là một nón ⇔
0 C
x C, 0: .x C



  


 
λ λ

• F
-1
: Y ⇉ X
y ↦ F
-1
(y) = { x ∈ X | y ∈ F(x) }
II.Quá trình:
1.Định nghĩa:
♦ F là một quá trình ⇔ GraphF là một nón trong X×Y
♦ F là một quá trình lồi ⇔ GraphF là một nón lồi trong X×Y
♦ F là một quá trình lồi đóng ⇔ GraphF là một nón lồi, đóng trong X×Y
2.Mệnh đề:
X, Y là hai không gian định chuẩn, F:X ⇉ Y là một ánh xạ đa trị.
i) F lồi ⇔ ∀x
1
; x
2
∈ DomF, ∀α ∈ [0, 1]: α.F(x
1
) + (1 - α).F(x
2
) ⊂ F(α.x
1

+ (1 - α).x
2
)
ii) F là quá trình ⇔ ∀x ∈ X, ∀α > 0: α.F(x) = F(α.x) và 0 ∈ F(0)
iii) F là quá trình lồi ⇔
1 2 1 2 1 2
F laø quaù trinh
x ,x X: F(x ) + F(x ) F(x + x )




 

iv) F là quá trình lồi ⇒ DomF, ImF là các nón lồi.
v) F là quá trình lồi, đóng ⇒ F
-1
là quá trình lồi, đóng.
Chứng minh:
i)
Biên soạn: Dương Duốc Duy
(
⇒
) F lồi
⇒ GraphF là tập lồi trong X×Y
Nên
∀x
1
; x
2

∈ DomF, ∀α ∈ [0, 1], ∀y
1
∈ F(x
1
) và ∀y
2
∈ F(x
2
): (x
1
, y
1
), ( x
2
, y
2
) ∈ GraphF
⇒ (αx
1
+ (1 – αx
2
); αy
1
+ (1 – αy
2
)) = α(x
1
, y
1
) + (1 – α)( x

2
, y
2
) ∈ GraphF
⇒ αy
1
+ (1 – αy
2
) ∈ F(αx
1
+ (1 – αx
2
))
⇒ α.F(x
1
) + (1 - α).F(x
2
) ⊂ F(α.x
1
+ (1 - α).x
2
)
(⇐) ∀x
1
; x
2
∈ DomF, ∀α ∈ [0, 1]: α.F(x
1
) + (1 - α).F(x
2

) ⊂ F(α.x
1
+ (1 - α).x
2
)
∀(x
1
, y
1
), ( x
2
, y
2
) ∈ GraphF, ∀α ∈ [0, 1] : x
1
, x
2
∈ DomF, y
1
∈ F(x
1
) và y
2
∈ F(x
2
)
⇒ α.F(x
1
) + (1 - α).F(x
2

) ⊂ F(α.x
1
+ (1 - α).x
2
)
⇒ α.y
1
+ (1 - α).y
2
∈ F(α.x
1
+ (1 - α).x
2
)
⇒ α(x
1
, y
1
) + (1 – α)( x
2
, y
2
) = (αx
1
+ (1 – αx
2
); αy
1
+ (1 – αy
2

)) ∈ GraphF
⇒ GraphF là tập lồi trong X×Y
⇒ F lồi
ii)
(⇒) F là một quá trình
⇒ GraphF là một nón trong X×Y ⇔
(0,0)
, 0: .
GraphF
(x,y) GraphF (x,y) GraphF
 



    


∀x ∈ X, ∀α > 0:
♦ Chứng minh α.F(x)
⊂
F(α.x)
• Nếu F(x) = ∅ thì α.F(x) ⊂ F(α.x)
• Nếu F(x) ≠ ∅ thì ∀y ∈ F(x): (x, y) ∈ GraphF
⇒ (αx, αy) = α(x, y) ∈ GraphF ⇒ αy ∈ F(αx)
⇒ α.F(x) ⊂ F(α.x)
♦ Chứng minh F(α.x)
⊂
α.F(x)
• Nếu F(α.x) = ∅ thì F(α.x) ⊂ α.F(x)
• Nếu F(α.x) ≠ ∅ thì ∀y ∈ F(α.x): (αx, y) ∈ GraphF

⇒
1

(αx, y) = (x,
1

y) ∈ GraphF ⇒
1

y ∈ F(x) ⇒ y ∈ α.F(x)
⇒ F(α.x) ⊂ α.F(x)
♦ Vậy, F(α.x) = α.F(x)
♦ (0, 0) ∈ GraphF ⇒ 0 ∈ F(0)
Biên soạn: Dương Duốc Duy
(
⇐
)
∀
x
∈
X,
∀
α > 0: α.F(x) = F(α.x) và 0
∈
F(0)
♦ 0 ∈ F(0) ⇒ (0, 0) ∈ GraphF
♦ ∀(x, y) ∈ GraphF, ∀α > 0: y ∈ F(x)
⇒ αy ∈ α.F(x) = F(α.x)
⇒ α(x, y) = (αx, αy) ∈ GraphF
Do đó, GraphF là một nón trong X×Y

⇒ F là một quá trình
iii)
(⇒) F là một quá trình lồi
⇒ F là một quá trình và GraphF là một tập lồi
∀x
1
; x
2
∈ X, ∀y
1
∈ F(x
1
), ∀y
2
∈ F(x
2
): (x
1
, y
1
) , (x
2
, y
2
) ∈ GraphF
⇒
1
2
(x
1

, y
1
) +
1
2
(x
2
, y
2
) = (
1
2
x
1
+
1
2
x
2
,
1
2
y
1
+
1
2
y
2
) ∈ GraphF

⇒
1
2
y
1
+
1
2
y
2
=
1
2
(y
1
+ y
2
) ∈ F(
1
2
x
1
+
1
2
x
2
) =
1
2

. F(x
1
+ x
2
) (theo ii)
⇒ y
1
+ y
2
∈ F(x
1
+ x
2
)
⇒ F(x
1
) + F(x
2
) ⊂ F(x
1
+ x
2
)
(⇐) F là một quá trình và ∀x
1
; x
2
∈ X : F(x
1
) + F(x

2
) ⊂ F(x
1
+ x
2
)
• F là một quá trình ⇒ GraphF là một nón
• ∀(x
1
; y
1
) , (x
2
; y
2
) ∈ GraphF, ∀α ∈ [0, 1]: y
1
∈ F(x
1
) và y
2
∈ F(x
2
)
⇒ αy
1
∈ F(αx
1
) và (1 – α)y
2

∈ F((1 – α)x
2
)
⇒ α.y
1
+ (1 – α).y
2
∈ F(α.x
1
+ (1 – α)x
2
)
⇒ (α.x
1
+ (1 – α)x
2
, α.y
1
+ (1 – α).y
2
) ∈ GraphF
⇒ α.(x
1
; y
1
) + (1 – α).(x
2
; y
2
) ∈ GraphF

⇒ GraphF là một tập lồi
Vậy, F là một quá trình lồi
iv)
♦ DomF = {x ∈ X | F(x) ≠ ∅}
• F là một quá trình ⇒ 0 ∈ F(0) ≠ ∅ ⇒ 0 ∈ DomF
• ∀x ∈ DomF, ∀α > 0, ∃y ∈ Y: y ∈ F(x)
⇒ α.y ∈ α.F(x) = F(α.x) (theo ii)
⇒ F(α.x) ≠ ∅ ⇒ α.x ∈ DomF
Biên soạn: Dương Duốc Duy
Do đó, DomF là một nón
• ∀x
1
, x
2
∈ DomF, ∀α ∈ [0, 1], ∃y
1
∈ F(x
1
), ∃y
2
∈ F(x
2
):
α.y
1
+ (1 – α).y
2
∈ F(α.x
1
+ (1 – α).x

2
) (theo i)
⇒ F(α.x
1
+ (1 – α).x
2
) ≠ ∅
⇒ α.x
1
+ (1 – α).x
2
∈ DomF
⇒ DomF là tập lồi
Do đó, DomF là một nón lồi
♦ ImF =
x X
F(x)



•
+ F là một quá trình ⇒ 0 ∈ F(0) ⇒ 0 ∈ ImF
+ ∀y ∈ ImF, ∀α > 0, ∃x ∈ X: y ∈ F(x)
⇒ α.y ∈ F(α.x) ⊂ ImF
Do đó, ImF là một nón
• ∀y
1
; y
2
∈ ImF, ∀α ∈ [0, 1], ∃x

1
; x
2
∈ X: y
1
∈ F(x
1
) và y
2
∈ F(x
2
)
⇒ α.y
1
+ (1 – α).y
2
∈ α.F(x
1
) + (1 – α).F(x
2
) ⊂ F(α.x
1
+ (1 – α).x
2
)
⇒ α.y
1
+ (1 – α).y
2
∈ ImF

Do đó, ImF là một tập lồi
v) F
-1
(y) = {x ∈ X | y ∈ F(x)}
F là một quá trình lồi, đóng
♦ F là một quá trình
• 0 ∈ F(0) ⇒ 0 ∈ F
-1
(0) ⇒ (0, 0) ∈ GraphF
-1

• ∀(y, x) ∈ GraphF
-1
, ∀α > 0: x ∈ F
-1
(y) ⇒ y ∈ F(x)
⇒ (x, y) ∈ GraphF ⇒ α(x, y) = (αx, αy) ∈ GraphF ⇒ αy ∈ F(αx)
⇒ αx ∈ F
-1
(αy) ⇒ α(y, x) = (αy, αx) ∈ GraphF
-1

Do đó, F
-1
là một nón
⇒ F
-1
là một quá trình
♦ F lồi, GraphF
-1

= { (y, x) ∈ X×Y : x ∈ F
-1
(y) } = { (y, x) ∈ X×Y : y ∈ F(x) }
∀(y
1
, x
1
), (y
2
, x
2
) ∈ GraphF
-1
, ∀α ∈ [0, 1]: y
1
∈ F(x
1
) và y
2
∈ F(x
2
)
⇒ (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2

) ∈ GraphF
⇒ α.(x
1
; y
1
) + (1 – α).(x
2
; y
2
) ∈ GraphF
⇒ (α.x
1
+ (1 – α)x
2
, α.y
1
+ (1 – α).y
2
) ∈ GraphF
⇒ α.y
1
+ (1 – α).y
2
∈ F(α.x
1
+ (1 – α)x
2
)
Biên soạn: Dương Duốc Duy
⇒

α.x
1
+ (1 – α)x
2

∈
F
-1
(α.y
1
+ (1 – α)y
2
)
⇒ (α.y
1
+ (1 – α)y
2,
α.x
1
+ (1 – α)x
2
) ∈ GraphF
-1

⇒ α.(y
1
; x
1
) + (1 – α).(y
2

; x
2
) ∈ GraphF
-1
Do đó, GraphF
-1
là tập lồi nên F
-1
lồi
♦ Xét ((y
n
, x
n
))
n
⊂ GraphF
-1
sao cho lim(y
n
, x
n
) = (y, x) ∈ Y×X
⇒ lim(x
n
, y
n
) = (x, y) ∈ X×Y
∀n ∈ ℕ : y
n
∈ F(x

n
) ⇒ (x
n
, y
n
) ∈ GraphF
Mà, GraphF là tập đóng
Nên, lim(x
n
, y
n
) = (x, y) ∈ GraphF
⇒ y ∈ F(x) ⇒ (y, x) ∈ GraphF
-1

Do đó, F
-1
là tập đóng.
Bài tập 4:
Cho F:ℝ → ℝ
x ↦ F(x) = { y ∈ ℝ : y ≥ x
2
}
Chứng minh F lồi, đóng nhưng không quá trình
Giải:
♦ ∀(x
1
, y
1
) ; (x

2
, y
2
) ∈ GraphF, ∀α ∈ [0, 1]:
2 2
1 1 2 2
x y , x y
 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski:
(α.x
1
+ (1 – α)x
2
)
2
= (
.
 
x
1
+
.
1 – 1 –
 
x
2
)
2

≤ ( α + 1 - α).( α.
2
1
x
+ (1 – α)
2
2
x
)
≤ α.y
1
+ (1 – α).y
2

⇒ α.y
1
+ (1 – α).y
2

∈ F(α.x
1
+ (1 – α)x
2
)
⇒ (α.x
1
+ (1 – α)x
2
, α.y
1

+ (1 – α).y
2
) ∈ GraphF
⇒ α.(x
1
; y
1
) + (1 – α).(x
2
; y
2
) ∈ GraphF
⇒ GraphF là tập lồi
⇒ F lồi
♦ Xét ((x
n
, y
n
))
n
⊂ GraphF

sao cho lim(x
n
, y
n
) = (x, y) ∈ Y×X
⇒ limx
n
= x và limy

n
= y
Mà, ∀n ∈ ℕ:
2
n n
x y

⇒
lim
2
n n
limx y

Nên, x
2
≤ y ⇒ y ∈ F(x) ⇒ (x, y) GraphF
Do đó, GraphF là tập đóng nên F đóng
Biên soạn: Dương Duốc Duy
♦ Chọn (1, 1)
∈
GraphF và α = 2 > 0: α.(1, 1) = (2, 2)
∉
GraphF
⇒ GraphF không phải là một nón trong ℝ×ℝ
⇒ F không quá trình.
III. Tính chất liên tục và định lý ánh xạ mở của đa trị:
1.Định lý: (Robinson-Usescu)
Cho X, Y là hai không gian Banach, F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị lồi, đóng, chân chính
(domF ≠ ∅) sao cho int(ImF) ≠ ∅. Khi đó, ∀y
o

∈ int(ImF) và ∀x
o
∈ F
-1
(y
o
) thì ∃γ > 0 sao cho
∀x ∈ DomF, ∀y ∈ B(y
o
, γ) ta được d(x, F
-1
(y)) ≤
1

d( y, F(x) ).( 1 +
o
x - x
)
♦ Đặc biệt:
F
-1
: Y ⇉ X lsc trên int(ImF). Lấy x = x
o
thì ∀y ∈ B(y
o
, γ): d(x
o
, F
-1
(y)) ≤

1

d(y, F(x
o
))
♦ Nhận xét:
Nếu y
o
∈ int(ImF) và x
o
∈ F
-1
(y
o
) thì y
o
∈ F(x
o
) và ∀y ∈ B(y
o
, γ): d(x
o
, F
-1
(y)) ≤
1

d(y, F(x
o
))

⇒ ∃x ∈ F
-1
(y): ||x - x
o
|| ≤
1

d(y, F(x
o
)) ≤
1

||y - y
o
||
♦ Hệ quả 1:
X ; Y là hai không gian Banach, F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị lồi ; đóng, int(ImF) ≠ ∅. Lúc đó:
∀y
o
∈ int(ImF), ∀x
o
∈ F
-1
(y
o
), ∃β > 0, ∀y ∈ B(x
o
,
1


), ∃x ∈ F
-1
(y): ||x - x
o
|| ≤ β.||y - y
o
||
♦ Hệ quả 2:
X ; Y là hai không gian Banach, A ∈ ℒ(X, Y), L ⊂ X, M ⊂ Y là các tập con lồi, đóng, khác ∅.
Đặt F
-1
(y) = {x ∈ L : Ax ∈ M + y} ,∀y ∈ Y
Giả sử int(A(L) – M) ≠ ∅.
Khi đó ∀y
o
∈ int(A(L) – M), ∀x
o
∈ F
-1
(y
o
), ∃γ > 0, ∀x ∈ L,∀y ∈ B(y
o
, γ)
ta có d(x, F
-1
(y)) ≤
1

d(Ax – y, M).(1 + ||x - x

o
|| )
♦ Hệ quả 3:
X ; Y là hai không gian Banach. P, Q là các nón lồi, đóng, khác ∅ sao cho P ⊂ X, Q ⊂ Y và
A ∈ ℒ(X, Y). Giả sử Y = A(P) – Q, ∀y ∈ Y đặt F
-1
(y) = {x ∈ P : Ax ∈ Q + y}
Khi đó, F
-1
là ánh xạ Lipschit
Biên soạn: Dương Duốc Duy
( Tức là ∃γ > 0, ∀y
1
; y
2
∈ Y: F
-1
(y
1
) ⊂ B(F
-1
(y
2
),
1

.||y
1
– y
2

|| ) )
♦ Hệ qủa 4: ( định lý ánh xạ mở trong đơn trị )
Cho X, Y là hai không gian Banach, A là toán tử tuyến tính, liên tục, toàn ánh. Khi đó, ánh
xạ đa trị A
-1
: Y ⇉ X là ánh xạ Lipschitz và A là ánh xạ mở.
2. Định lý ánh xạ mở trong đa trị:
Cho X, Y là hai không gian Banach, F: X ⇉ Y là quá trình lồi, đóng, ImF = Y. Khi đó, F
-1
là
ánh xạ đa trị Lipschitz.
( Tức là ∃L > 0, ∀y
1
; y
2
∈ Y: F
-1
(y
2
) ⊂ B(F
-1
(y
1
), L .||y
1
– y
2
||) = F
-1
(y

1
) + L.||y
1
– y
2
||.B
X
(0, 1) )
Chứng minh:
+
• X, Y là hai không gian Banach
• F là quá trình lồi, đóng ⇒ 0 ∈ F(0) ⇒ 0 ∈ DomF
• ImF = Y ⇒ int(ImF) ≠ ∅ và F chân chính ( DomF ≠ ∅ )
• Chọn y
o
= 0 ∈ int(ImF) và x
o
= 0 ∈ F
-1
(y
o
)
Áp dụng định lý Robinson_Uescu: ∃γ > 0,∀y ∈ B
Y
(0, γ): d(0, F
-1
(y)) ≤
1

d(y, F(0))

⇒ ∃x ∈ F
-1
(y): ||x|| ≤
1

d(y, F(0)) ≤
1

||y||
⇒ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ F
-1
(y): ||x|| ≤ ≤
1

||y|| (*)
+ ∀y
1
; y
2
∈ Y, ∀x
2
∈ F
-1
(y
2
): y
2
∈ F(x
2
)

Đặt u = y
1
– y
2
và áp dụng (*),∃e ∈ F
-1
(u): ||e|| ≤
1

||u|| ⇒ e ∈ B
Y
(0,
1

||u||)
⇒ x
1
= x
2
+ e ∈ F
-1
(y
2
) + F
-1
(y
1
– y
2
) ⊂ F

-1
(y
1
)
⇒ x
2
= x
1
- e ∈ F
-1
(y
1
) – e ⊂ F
-1
(y
1
) + B
Y
(0,
1

||u||)
⇒ x
2
∈ F
-1
(y
1
) +
1


.|| y
1
– y
2
||. B
Y
(0, 1)
⇒ F
-1
(y
2
) ⊂ B(F
-1
(y
1
),
1

.||y
1
– y
2
||)
Vậy, F
-1
là ánh xạ đa trị Lipschitz.
Biên soạn: Dương Duốc Duy
Bài tập 5:
Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, F: X ⇉ Y là quá trình lồi, đóng, chân chính và

int(ImF) ≠ ∅
Chứng minh: ∃γ > 0, ∀y ∈ ImF, ∃x ∈ F
-1
(y): ||x|| ≤
1

||y||
Bài làm:

∀y ∈ ImF:
• Nếu y = 0, chọn x = 0 ∈ F
-1
(y)
⇒ ||x|| = 0 ≤
1

||y|| = 0
• Nếu y ≠ 0: Đặt z =
.y
y
γ
∈ B
Y
(0, γ)
⇒ d(0, F
-1
(z)) ≤
1

d(z, F(0))

⇒ ∃x
o
∈ F
-1
(z) = F
-1
(
.y
y
γ
) =
y
γ
. F
-1
(y): ||x
o
|| ≤
1

d(z, F(0)) ≤
1

||z||
( do F là một quá trình nên F
-1
(
.y
y
γ

) =
y
γ
. F
-1
(y) )
⇒ x =
o
y
.x
γ
∈ F
-1
(y) và ||x|| =
o
y
.x
γ
=
o
y
. x
γ
≤
y
γ
.
1

.y

y
γ
=
1

||y||
Vậy, ∀y ∈ ImF, ∃x ∈ F
-1
(y): ||x|| ≤
1

||y||
IV.Định lý đồ thị đóng:
1.Vấn đề trong đơn trị:
♦ Định lý:
Nếu A ∈ ℒ(X, Y) thì GraphA là không gian con đóng của X×Y
♦ Định lý đồ thị đóng trong đơn trị:
Cho X, Y la hai không gian Banach. Nếu A ∈ L(X, Y) và GraphA đóng thì A liên tục.
2. Định lý đồ thị đóng: ( trong đa trị )
Cho X, Y là hai không gian Banach, F: X ⇉ Y là quá trình lồi, đóng và ImF = Y. Khi đó, F
là ánh xạ Lipschitz.
Biên soạn: Dương Duốc Duy
Chứng minh:
Xét F
-1
: Y ⇉ X
Y ↦ F
-1
(y) = {x ∈ X : y ∈ F(x)}
Ta có:

• F
-1
là một quá trình lồi , đóng
• ImF
-1
=
-1
y Y
F (y)


=


y Y
x X: y F(x)
 


= DomF
Mà ImF = Y nên DomF = X = ImF
-1

⇒ ∀x ∈ X: (F
-1
)
-1
(x) = F(x)
Áp dụng định lý ánh xạ mở trong đa trị cho F
-1

: F = (F
-1
)
-1
là một ánh xạ đa trị Lipschitz.
♦ Hệ quả 1:
Cho X, Y là hai không gian Banach, F: X ⇉ Y là quá trình lồi, đóng. Nếu DomF = X và F
nhận giá trị compact thì F liên tục ( F vừa usc vừa lsc)
♦ Hệ quả 1: ( Định lý đồ thị đóng trong đơn trị)
Cho X, Y là hai không gian Banach, A ∈ L(X, Y) và GraphA đóng trong X×Y. Lúc đó, A
liên tục.
Chứng minh:
Xét ánh xạ đa trị F: X ⇉ Y
x ↦ F(x) = {Ax}
Ta có:
F là một quá trình lồi đóng và DomF = X
⇒ theo định lý ánh xạ mở: F Lipsxhitz
⇒ ∃L > 0, ∀x
1
; x
2
∈ X: F(x
2
) ⊂ F(x
1
) + L.||x
1
– x
2
||.B

Y
(0, 1)
⇒ Ax
2
∈ Ax
1
+ L.||x
1
– x
2
||.B
Y
(0, 1)
⇒ ||Ax
2
– Ax
1
|| ≤ L.||x
1
– x
2
||
Do đó, liên tục

Biên soạn: Dương Duốc Duy
x
y
0
A
(

x
,
y
)
Chương 3: Đạo Hàm Của Ánh Xạ Đa Trị
Trong phần này ta xác định X là không gian định chuẩn, M là tập con rỗng của X và x
o
∈
M

♦ d(x, M) = inf { ||x - y||: y ∈ M }
♦ conM là nón bé nhất chứa M:
conM = { αx : x ∈ M và α > 0} ∪{0}
♦ Chú ý:
Trong
2

, conM được xác định bằng cách vẽ các tiếp tuyến ngoài rìa của M xuất phát từ 0
sao cho các tiếp tuyến đó bọc hết M

I. Các loại nón tiếp xúc:
1.Nón tiếp tuyến Bouligand:
Nón tiếp xúc Bouligand của tập M tại x
o
là
T
M
(x
o
) = { v ∈ X :

o
+
t 0
d( x + tv, M )
lim inf = 0
t

}
♦ Chú ý:
Trong
2

, nón tiếp xúc Bouligand của một đường M tại điểm (x
o
, y
o
) là tập hợp những điểm
(x, y) sao cho đường thẳng đi qua hai điểm đó là tiếp tuyên của đường M.
VD
1
: M = {(x
1
, x
2
) ∈
2

: x
2
= |x

1
| } và x
o
= (0, 0)
T
M
(x
o
) = { v ∈ X :
+
t 0
d(t.v, M )
lim inf = 0
t

}
= M
( Chú ý rằng vì một điểm A(x, y) nằm ngoài M thì
đường thẳng OA không phải tiếp tuyến của đồ thị M
nên (x, y) không thuộc T
M
(x
o
) )
+
M
x
y
0
Biên soạn: Dương Duốc Duy

x
y
0
A
(
x
,
y
)
• (0, 0)
∈
M
• ∀α > 0, ∀(x
1
, x
2
) ∈ M: x
2
= |x
1
| ⇒ α.x
2
= |α.x
1
| ⇒ αx ∈ M
Do đó, M là một nón nên con(M – x
o
) = conM = M
Mặt khác, M đóng
Nên



o
con M – x
= M = T
M
(x
o
)
VD
2
: M = {(x
1
, x
2
) ∈
2

: x
2
=
2
1
x
} và x
o
= (0, 0)
( Chú ý rằng vì một điểm A(x, y) có tung độ khác 0
thì đường thẳng OA cắt parabol nên không phải
tiếp tuyến của đồ thị M do đó (x, y) không thuộc T

M
(x
o
) )
T
M
(x
o
) = { (x
1
, x
2
) ∈
2

: x
2
= 0 }


o
con M – x
= { (v
1
; v
2
) ∈
2

: v

2
≥ 0}
♦ Mệnh đề 1:
i) T
M
(x
o
) = { v ∈ X : ∃(t
k
) ⊂ (0, +∞), ∃(v
k
) ⊂ X sao cho limt
k
= 0, limv
k
= v và x
o
+ t.v
k
∈ M,
∀k ∈ ℕ }
ii) T
M
(x
o
) là nón đóng
iii) T
M
(x
o

) ⊂


o
con M – x

♦ Mệnh đề 2: ( công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand )
Giả sử g
i
: X → ℝ (i = 1, 2, …, m ) liên tục trên X.
Đặt M = { x ∈ X: g
i
≤ 0, i =
1, m
}
I(x
o
) = { i ∈ {1, 2, … , m}: g
i
(x
o
) = 0}
Khi đó
i) Nếu I(x
o
) = ∅ thì T
M
(x
o
) = X

ii) Nếu I(x
o
) ≠ ∅ và g
i
khả vi (Frechet) tại x
o
, i =
1, m
thì
T
M
(x
o
) ⊂ { v ∈ X: g
i
’(x
o
)(v) ≤ 0, ∀I ∈ I(x
o
)}
iii) Nếu ba điều kiện sau thỏa mãn
• I(x
o
) ≠ ∅
• g
i
khả vi (Frechet) tại x
o
, i =
1, m

• ∃v
o
∈ X, ∀I ∈ I(x
o
): g
i
’(x
o
)(v
o
) < 0 ( điều kiện chính quy )
thì T
M
(x
o
) = { v ∈ X: g
i
’(x
o
)(v) ≤ 0, ∀i ∈ I(x
o
) }
Biên soạn: Dương Duốc Duy
2.Nón tiếp xúc kề và nón tiếp xúc Clarke:
♦ Nón tiếp xúc kề của M tại x
o
là:

b

M o
T (x )
= { v ∈ X :
o
t 0
d(x + t.v, M )
lim = 0
t


}
♦ Nón tiếp xúc Clarke của M tại x
o
là:
C
M
(x
o
) = { v ∈ X :
o
t 0
x x
d(x + t.v, M )
lim = 0
t



}
♦ Mệnh đề 3:

i) C
M
(x
o
) ⊂
b
M o
T (x )
⊂ T
M
(x
o
)
ii)
b
M o
T (x )
là nón đóng.
iii) C
M
(x
o
) là nón lồi đóng.
iv) C
M
(x
o
) +
b
M o

T (x )
⊂
b
M o
T (x )
và C
M
(x
o
) + T
M
(x
o
) ⊂ T
M
(x
o
)
♦ Mệnh đề 4:
Nếu M là tập lồi trong không gian định chuẩn X thì ∀x ∈
M
:
C
M
(x
o
) =
b
M o
T (x )

= T
M
(x
o
)
II.Đạo hàm của hàm đa trị:
Cho X, Y là 2 không gian định chuẩn, F: X ⇉ Y
GraphF = GrF = { (x, y) ∈ X×Y : y ∈ F(x) }
1.Đạo hàm Contigent: (đạo hàm Bouligand)
Đạo hàm Contigent của F: X ⇉ Y tại (x, y) ∈ GraphF là ánh xạ đa trị
DF
(x, y)
: X ⇉ Y
u ↦ DF
(x, y)
(u) = { v ∈ Y: (u, v) ∈
Gr F
T (x, y)
}
2.Đạo hàm kề:
Đạo hàm kề của F: X ⇉ Y tại (x, y) ∈ GraphF là ánh xạ đa trị
D
b
F
(x, y)
: X ⇉ Y
u ↦ D
b
F
(x, y)

(u) = { v ∈ Y: (u, v) ∈
b
Gr F
T (x, y)
}
3.Đạo hàm Clarke:
Đạo hàm Clarke của F: X ⇉ Y tại (x, y) ∈ GraphF là ánh xạ đa trị
CF
(x, y)
: X ⇉ Y
u ↦ CF
(x, y)
(u) = { v ∈ Y: (u, v) ∈
Gr F
C (x, y)
}
Biên soạn: Dương Duốc Duy
-1
1
y
-1
0
1
x
4.Nhận xét:
i) CF
(x, y)
⊂ D
b
F

(x, y)
⊂ DF
(x, y)
ii) Nếu F là đơn trị f : X → Y khả vi Frechet tại x thì D
b
f
( x, f (x))
= Df
( x, f (x))
= { f ’(x
o
)(u)}
iii) Nếu F là đơn trị f : X → Y khả vi liên tục tại x thì Cf
( x, f (x))
= Cf
x
(u) = { f ’(x
o
)(u)}
♦ Chú ý:
Các nón T
M
(x
o
) ,
b
M o
T (x )
và C
M

(x
o
) là trùng nhau nếu một trong hai điều sau thỏa mãn:
• M là tập lồi.
• M là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức ( đẳng thức ) co bởi các hàm trơn thỏa mãn một
điều kiện chính quy nào đó ( thường là điều kiện chính quy iii của mệnh đề 2)
Bài tập 6:
Xét F (x) = { y ∈ ℝ : x
2
+ y
2
≤ 2 và y = x
3
} , x ∈ ℝ
Hãy xác định CF
z
,D
b
F
z
và DF
z
với z = (1 ; 1)
Bài làm:
Bước 1: Xác định GrF và xác định xem z có thuộc GrF
Ta có
GrF = {(x, y)| x
2
+ y
2

≤ 2 và y = x
3
}
= {(x, y)| x
2
+ y
2
– 2 ≤ 0 và y - x
3
= 0

}
z = (1, 1) ∈ M = GrF
Bước 2: Tính T
M
(z) ( Để thực hiện bước 2 này, ta xử dụng mệnh đề 2 )
• Đặt
g
1
(x, y) = x
2
+ y
2
– 2 và g
2
(x, y) = y - x
3
là các hàm trơn, liên tục trên
2


I(z) = { i ∈ {1, 2}: g
i
(x
o
) = 0}
Do
g
1
(z) = 0 và g
2
(z) = 0
Nên
I(z) = {1; 2} ≠ ∅ ( thỏa điều kiện của ii hoặc iii trong mệnh đề 2)
( tiếp theo xét xem bài toán thỏa mãn điều kiện nào trong hai điều kiện ii và iii : thường là
điều kiện iii để tìm T
M
(z) )
• ∀v = (v
1
, v
2
) ∈
2

:

1
g
(x, y) = 2x

x


,
1
g
(x, y) = 2y
y


,
2
2
g
(x, y) = -3x
x


và
2
g
(x, y) = 1
y

