Bài tập đại số lie 2

1
BÀI TẬP ĐẠI SỐ LIE
Bài toán 1.
1) Cho g là một đại số kết hợp trên một trường K. Chứng minh g là
một đại số Lie với tích Lie được xác định như sau:
[X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ g.
2) Xét g = End(V ) là đại số Lie kết hợp gồm tất cả các tự đồng cấu
tuyến tính của không gian vector V trên trường K và định nghĩa tích Lie
như sau:
[f, g] = f ◦ g − g ◦ f, ∀f, g ∈ g.
Chứng minh g là một đại số Lie, kí hiệu là gl(V ).
3) Xét g = gl(n, K) là đại số kết hợp của tất cả các ma trận vuông cấp
n trên trường K với tích Lie được định nghĩa như sau:
[X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ g.
Chứng minh g là một đại số Lie.
4) Chứng minh sl(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | T r(X) = 0} là một đại số
Lie với tích Lie:
[X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ g.
5) Ký hiệu J ∈ gl(n, 2R) là ma trận

0 I
−I 0

, trong đó I là khối ma
trận đơn vị thực cấp n. Chứng minh
sp(n, R) = {X ∈ gl(n, 2R) | X
t
J + JX = 0}
là một đại số Lie với tích Lie
[X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ g.
2

Bài toán 2.
1) Chứng minh các đại số Lie sau:
a) h = sl(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | T r(X) = 0}
b) k = so(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | X + X
t
= 0}
c) t = b(n, K) = {X ∈ gl(n, K) |X là ma trận tam giác trên}
là các đại số Lie con của đại số Lie g = gl(n, K).
2) Xét đại số Lie g = gl(3, K). Chứng minh rằng
h =

0 a b
0 0 c
0 0 0

| a, b, c ∈ K

là một đại số Lie con 3-chiều của g và
được gọi là đại số Lie Heisenberg 3-chiều.
Bài toán 3.
Chứng minh rằng sl(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | T r(X) = 0} là một Ideal
của gl
n
(K).
Bài toán 4.
1) Chứng ninh ánh xạ đồng nhất id
g
của đại số Lie g là một đẳng cấu
đại số Lie.
2) Cho g là một đại số Lie và h là một Ideal của đại số Lie g. Chứng

minh rằng
p : g −→ g/h
X −→ X + h
là một toàn cấu của đại số Lie, gọi là toàn cấu chính tắc. Suy ra mỗi Ideal
là nhân của một toàn cấu chính tắc.
Bài toán 5. Cho g là đại số Lie trên trường k. Chứng minh rằng
ad : g −→ gl(g)
X −→ adX : g −→ g
Y −→ adX(Y ) = [X, Y ].
là đồng cấu đại số Lie.
3
Bài toán 6. Chứng minh các đại số Lie sau là giải được:
1) Đại số Lie g = b(n, K) = { A ∈ gl(n, K) | A là ma trận tam giác trên }.
2) Đại số Lie g =

a 0 b
0 a c
0 0 0

| a, b, c ∈ R

.
3) Đại số Lie g =

0 a b
−a 0 c
0 0 0

| a, b, c ∈ R


.
Bài toán 7. Chứng minh rằng
1) Mọi đại số Lie g giao hoán đều lũy linh.
2) Đại số Lie Heisenberg (3-chiều) g =

0 a b
0 0 c
0 0 0

| a, b, c ∈ R

là
lũy linh.
Tổng quát, đại số Lie Heisenberg 2n + 1-chiều
g =














0 a

1
a
2
· · · a
n
c
0 0 0 · · · 0 b
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · 0 b
n
0 0 0 · · · 0 0





| a
i
, b
i
, c ∈ R i = 1, n










cũng là đại số Lie lũy linh.
3) Đại số Lie con n(k, K) của gl(k, K) bao gồm các ma trận tam giác
trên ngặt là đại số Lie lũy linh.
Bài toán 8.
a) Xét đại số Lie g = sl(n, F) = {
X ∈ gl
n
(K) | T r(X) = 0
}.
Chứng minh g = sl(n, F) không phải là đại số Lie lũy linh.
b) Xét đại số Lie lũy linh Heisenberg (2n + 1)-chiều
g =















0 a
1
a
2
· · · a
n
c
0 0 0 · · · 0 b
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · 0 b
n
0 0 0 · · · 0 0






| a
i
, b
i
, c ∈ R i =
1, n









.
Hãy tìm tâm của g.
4
Bài toán 9. Tìm dạng Killing của đại số Lie sau:
1)
g =

t 0 x
0 t y
0 0 0







t, x, y ∈ R

.
2)
g =

0 t x
−t 0 y
0 0 0






t, x, y ∈ R

.
Bài toán 10. Sử dụng tiêu chuẩn Cartan kiểm tra tính giải được của các
đại số Lie sau:
1)
g =

t 0 x
0 t y
0 0 0







t, x, y ∈ R

.
2)
g =

0 t x
−t 0 y
0 0 0






t, x, y ∈ R

.
3)
g =

a 0 c
0 b d
0 0 0







a, b, c, d ∈ R

.
Bài toán 11. Sử dụng tiêu chuẩn Cartan kiểm tra tính nửa đơn của các
đại số Lie sau:
1)
g = sl
3
(R) =

a b c
d −a + e f
g h −e






a, b, c, d, e, f, g, h ∈ R

.
2)
g = sp
2
(R) =



a b
c −a






a, b, c ∈ R

.
3) g = so
4
(R) =








0 a b c
−a 0 d e
−b −d 0 f
−c −e −f 0




∈ Mat
4
(R)





.
5
Bài toán 12. Chứng minh các đại số Lie sau là đơn:
1) Đại số Lie g = R
3
với tích Lie là tích vector có một cơ sở là i, j, k
thỏa mãn:
[i, j] = k, [j, k] = i, [k, i] = j .
2) Đại số Lie g = so(3, R) =

0 a b
−a 0 c
−b −c 0

| a, b, c ∈ R

có cơ sở là
E
1
=


0 0 0
0 0 1
0 −1 0

E
2
=

0 0 1
0 0 0
−1 0 0

E
3
=

0 1 0
−1 0 0
0 0 0

.
Tổng quát,
so(2n+1, R) =















0 a
12
a
13
· · · a
1,2n+1
−a
12
0 a
23
· · · a
2,2n+1
−a
13
−a
23
0 · · · a
3,2n+1
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
· · ·
−a
1,2n+1
−a
2,2n+1
−a
3,2n+1
· · · 0





| a
ij
∈ C










cũng là đại số Lie đơn với n ≥ 1.
3) Đại số Lie g = sl(2, R) =

a b
c −a

| a, b ∈ R

có cơ sở là
E
1
=

0 1
0 0

E
2
=

0 0
1 0

E
3
=

1 0

0 −1

.
Tổng quát, g = sl(n, R) là đại số Lie đơn với n ≥ 2.