SKKN_Sắp xếp thứ tự các biến trong giải một số dạng bài tập đại số.

Kinh nghiệm:
giải một số dạng bài tập đại số
Bằng cách sắp xếp thứ tự các biến
A) Đặt vấn đề
Đối với học sinh, giải đợc một bài toán là góp phần tăng sự tự tin trong
học toán. Trên thực tế đại đa số học sinh đều có trạng thái tâm lí nh vậy vì kiến
thức môn toán mà các em đợc học tập là những kiến thức hết sức cơ bản. Nhng
nếu tất cả kiến thức toán học mà học sinh đợc trang bị chỉ có vậy thì chúng ta
đã tạo ra sự nhàm chán ở một bộ phận học sinh. Với những học sinh khá, giỏi
sự say mê môn toán đạt tỉ lệ rất cao, nhất là khi chúng ta phát huy đợc sự tìm
tòi, óc sáng tạo và sự linh hoạt trong t duy của các em. Do đó trong quá trình
dạy học nói chung và trong dạy toán nói riêng, theo tôi nghĩ việc tạo ra trạng
thái tâm lí tự tin cho học sinh có lực học yếu, trung bình là rất quan trọng nhng
đó cha phải là đã đủ mà ta nên đáp ứng nhu cầu học tập của mọi đối tợng học
sinh trong lớp trong đó có học sinh khá, giỏi.
Khi bồi dỡng học sinh giỏi môn toán, nhiều thầy cô thờng dạy theo các
chuyên đề với những nội dung kiến thức khác nhau. Mỗi chuyên đề thờng đợc
chia thành nhiều dạng toán, mỗi dạng toán có phơng pháp toán học đặc trng.
Tuy nhiên trên thực tế ta thấy có những phơng pháp toán học giải đợc nhiều
dạng toán khác nhau ví dụ nh phơng pháp quy nạp, phơng pháp sắp xếp thứ tự
các biến, . Với phơng pháp sắp xếp thứ tự các biến, nếu học sinh vận dụng tốt
có thể giải đợc những bài toán tơng đối phức tạp mà các phơng pháp thông th-
ờng khó mà làm đợc.
B) Giải quyết vấn đề
I . Điều tra thực trạng tr ớc khi nghiên cứu vấn đề.
+ Từ những năm học 2004 2005 trở về trớc, khi các em học sinh cha đợc
tiếp cận phơng pháp sắp xếp thứ tự các biến một cách đầy đủ thì việc giải toán
gặp khó khăn, đặc biệt những bài tập khó.
+ Năm học 2005 2006 và kì I năm học này khi bồi dỡng học sinh giỏi,

tôi giúp các em học sinh nắm bắt tơng đối đầy đủ về phơng pháp sắp xếp thứ tự
các biến, nên hiệu quả giải toán của các em nâng lên một cách rõ rệt.
+ Điều tra trớc khi sử dụng phơng pháp sắp xếp thứ tự các biến:
- Kiểm tra 25 học sinh khá, giỏi theo đề bài sau:
4
Đề bài (thời gian làm bài 90 ) :
Câu1 (4 điểm). Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng:
x + y + z = xyz
Câu2 (3 điểm). Giải hệ phơng trình:
3 2
3 2
3 2
x 9y 27y 27 0
y 9z 27z 27 0
z 9x 27x 27 0

+ =

+ =


+ =

Câu3 (3 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 3 3
x y z
A
xyz
+ +

=
với 1

x, y, z

2.
- Kết quả bài kiểm tra trên nh sau:
Câu Số học sinh làm đợc (tổng số 25 hs đợc kiểm tra)
1 7
2 5
3 1
II. Các ph ơng pháp nghiên cứu:
+ Phơng pháp điều tra.
+ Phơng pháp thống kê.
+ Phơng pháp so sánh đối chứng.
+ Phơng pháp phân tích, tổng hợp.
...
III. Nội dung của kinh nghiệm
III.1) PH ơNG PHáP sắp xếp thứ tự các biến:
1) Cơ sở lí thuyết của ph ơng pháp:
5
- Đối với các bài toán nhiều biến, vai trò các biến nh nhau tùy yêu cầu của
đề bài mà ta có phơng án cụ thể, phù hợp. Một trong các phơng án là ta có thể
phân lớp tập xác định của các biến, mục đích tạo ra các lớp tập xác định mới
mà các tập này thờng hẹp hơn tập xác định của đề bài. Cách này đã thiết lập
mối quan hệ các biến và nh vậy việc liên kết điều đã cho với điều cần chứng
minh, cái phải tìm là thuận lợi hơn.
- Các bớc cơ bản khi sử dụng phơng pháp này:
+ Bớc1: Giả sử để tách tập xác định của biến ra thành từng lớp.
+ Bớc2: Xét bài toán với tập xác định bị bó hẹp.

+ Bớc3: Kết luận (từ kết quả của bớc 2 suy ra kết quả của cả bài).
- Ví dụ ta xét bài toán có ba biến x, y, z mà vai trò các biến nh nhau. Ta có
thể giả sử
x y z
và nh vậy bài toán xuất hiện các lớp tập xác định:

Ta xét một lớp tập xác định chẳng hạn
x y z
, từ đó ta có thể khẳng định
kết quả cho các lớp còn lại mà lời giải vẫn đảm bảo tính chặt chẽ.
2) Một số chú ý khi sử dụng ph ơng pháp:
- Khai thác triệt để điều kiện vừa giả sử.
- Sử dụng thành thạo các phép biến đổi đại số, đặc biệt các phép biến đổi bất
đẳng thức.
III.2) Các dạng toán cụ thể:

1) Ph ơng trình nghiệm nguyên.
- Khi giải phơng trình nghiệm nguyên ta thờng sử dụng các phơng pháp:
a) Phơng trình tích: Thông thờng một vế là một tích các đa thức chứa ẩn
có các hệ số nguyên, vế kia là một số nguyên, chẳng hạn nh phơng trình (x
2)(x + y) = 5.
b) Phơng pháp bất đẳng thức.
6
Bài toán:
Vai trò các biến x, y, z như nhau
Trường
hợp 1:
Trường
hợp 2:
Trường

hợp 3:
Trường
hợp 4:
Trường
hợp 5:
Trường
hợp 6:
c) Phơng pháp kẹp.
d) Phơng pháp sử dụng các tính chất của chia hết, đồng d.

- Tuy nhiên một số phơng trình nghiệm nguyên có vai trò các ẩn nh nhau,
nếu dùng các phơng pháp trên khi giải thì gặp nhiều khó khăn, lời giải dài
dòng thậm chí không giải đợc. Trong trờng hợp đó nếu ta sử dụng phơng pháp
sắp xếp thứ tự các biến thì bài toán trở lên đơn giản và lời giải gọn gàng.
Ví dụ1: Tìm các số nguyên dơng x, y, z sao cho:

1 1 1
1
x y z
+ + =
(1)
Lời giải:
* Vai trò x, y, z nh nhau, không làm mất tính tổng quát ta giả sử:
1 x y z
. Ta xét các trờng hợp sau:
+Trờng hợp 1: Với x = 1

1 1
0
y z

+ =
vô nghiệm.
+Trờng hợp 2: Với x = 2

1 1 1
y z 2
yz 2y 2z 0
y(z 2) 2(z 2) 4
(y 2)(z 2) 4
+ =
=
=
=
Vì
0 y 2 z 2
và ớc dơng của 4 là 1; 2; 4 nên:

y 2 1 y 3
z 2 4 z 6
= =



= =

hoặc
y 2 2 y 4
z 2 2 z 4
= =

= =

ta suy ra nghiệm trong trờng hợp này:
(x; y; z) là (2; 3; 6) và (2; 4; 4).
+Trờng hợp 3: Với x = 3

1 1 2
y z 3
+ =
(2)
. Nếu y = 3 (vì ta giả sử
x y
và đang xét x = 3) thì z = 3.
. Nếu y

4 với giả sử
z y
thì z
4


1 1 1 1
;
y 4 z 4


1 1 1 1
y z 4 4

+ +

7

1 1 1
y z 2
+

1 1 2
y z 3
+ <


phơng trình (2) vô nghiệm.
+Trờng hợp 4: Với x

4 thì y

4, z

4
1 1 1 1 1 1
; ;
z 4 y 4 z 4




1 1 1 1 1 1
x y z 4 4 4

+ + + +



1 1 1 3
1
x y z 4
+ + <


phơng trình (1) vô nghiệm.
* Vậy ta đợc các nghiệm (x; y; z) là (2; 3; 6); (2; 6; 3); (2; 4; 4);
(4; 4; 2); (4; 2; 4); (3; 3; 3);
(3; 2; 6); (3; 6; 2); (6; 2; 3); (6; 3; 2).
Ví dụ2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x
2
+ y
2
+ z
2
+ xyz = 20.
Lời giải:
* Vai trò bình đẳng của x, y, z nh nhau, không làm mất tính tổng quát ta giả
sử:
1 x y z
. Từ đó: y
2

x

2
;

z
2


x
2
; xyz

x
2


x
2
+ y
2
+ z
2
+ xyz

x
2
+ x
2
+ x
2
+ x

2


20

4x
2


x
2

5


x

5
. Xét các trờng hợp:
+ Trờng hợp1: x = 1 thì y
2
+ z
2
+ yz = 19.
Ta có: y
2
+ z
2
+ yz

y
2
+ y
2
+ y
2



y
2
+ y
2
+ y
2


19


y
2



19
3


y

19
3
Nếu y = 1 thì z
2
+ z = 18

z(z + 1) = 18 vô nghiệm
Nếu y = 2 thì z
2
+ 2z 15 = 0.
Phơng trình này có nghiệm nguyên dơng là z =3 nên có nghiệm
(x; y; z) là (1; 2; 3).
+ Trờng hợp2: x = 2 thì y
2
+ z
2
+ 2yz = 16


y
2
+ y
2
+ 2y
2


16

y
2


4


y

2

y = 2
Với y = 2 thì z
2
+ 4z 12 = 0 có nghiệm nguyên dơng là z = 2, có
nghiệm (x; y; z) là (2; 2; 2).
* Tráo đổi vai trò của (x; y; z) nh nhau nên ta có các nghiệm (x; y; z) là:
(1; 2; 3); (1; 3; 2); (2; 1; 3); (2; 3; 1); (3; 1; 2); (3; 2; 1); (2; 2; 2).
8