Toán tử nửa xác định dương trên không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2






NGUYỄN ĐÌNH THẾ






TOÁN TỬ NỬA XÁC ĐỊNH DƯƠNG
TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội, 2014

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình
để tôi hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các Thầy cô của trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa
qua.
Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ,
động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Nguyễn Đình Thế
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2.
Trong khi thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khao học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Nguyễn Đình Thế
CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG

R đường thẳng thực
∅ tập hợp rỗng
|x| giá trị tuyệt đối của x
H Không gian Hilbert
R
n
không gian Hilbert n-chiều
. chuẩn trong không gian Hilbert
., . tích vô hướng
int C phần trong của C
C bao đóng của C
∂C biên của C
SpanC không gian con sinh bởi C
x⊥y x trực giao với y
S
⊥
phần bù trực giao của S
H
∗
không gian liên hợp của H
R(T ), RanA ảnh của toán tử T
N(T ), KerT hạt nhân của toán tử T
A
∗
toán tử liên hợp của toán tử A
K
∗
nón đối ngẫu của nón K
R
m

+
nón orthan không âm trong R
m
GLCP(T, K, q) bài toán bù tuyến tính suy rộng
Inf f cận dưới đúng của ánh xạ f
Sup f cận trên đúng của ánh xạ f
Mục lục
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Toán tử liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4. Toán tử đồng dương cộng, toán tử đơn điệu . . . 12
1.3. Không gian đối ngẫu, tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1. Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. Tôpô yếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . 16
2 Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert và
ứng dụng 19
2.1. Toán tử nửa xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . 19
iv
v
2.1.2. Đặc trưng của toán tử nửa xác định dương trên
không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Bài toán bù tuyến tính suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1. Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2. Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 56
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert, tính nửa xác định
dương là một khái niệm quan trọng. Nó có vai trò lớn trong nghiên cứu
của nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình đạo hàm riêng, bất
đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, v.v Khái niệm này đã có nhiều
tác giả quan tâm nghiên cứu và sử dụng; xem [5], [6] và các tài liệu dẫn
trong đó.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan
hệ và những ứng dụng của toán giải tích, đặc biệt là Lý thuyết toán tử và
ứng dụng, được sự động viên của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, tôi chọn
đề tài "Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert"
để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Để đạt được một sự hiểu biết tốt về Toán tử nửa xác định dương trên
không gian Hilbert và ứng dụng những tính chất của chúng vào Bài toán
bù tuyến tính.
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu khái niệm và những tính chất của Toán tử nửa xác định
dương trên không gian Hilbert. Khảo sát ứng dụng của Toán tử nửa xác
định dương vào Bài toán bù tuyến tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi nghiên cứu: Toán tử trong không gian Hilbert.
- Đối tượng nghiên cứu: Toán tử nửa xác định dương và ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quan
mật thiết đến toán tử nửa xác định dương và ứng dụng.
- Sử dụng các phương pháp của Toán giải tích.

6. Giả thiết khoa học (Dự kiến đóng góp mới)
- Một tổng quan về toán tử nửa xác định dương và một số ứng dụng.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Nội dung chính của chương bao gồm một số kiến thức cơ sở về không
gian Hilbert thực và toán tử đơn tuyến tính trên không gian Hilbert.
Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [1] và [6].
1.1. Không gian Hilbert
Cho H là không gian véc tơ trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi mỗi ánh xạ
., . : H × H → R
(x, y) → x, y
là một tích vô hướng trên H nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn: Với
mọi x, y, z ∈ H và α ∈ R
i) x, y = y, x,
ii) αx, y = α x, y,
iii) x, y + z = x, y + x, z,
iv) x, x ≥ 0, x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
3
4
Số x, y được gọi là tích vô hướng của x và y. Không gian véc tơ H
cùng với một tích vô hướng xác định được gọi là không gian có tích vô
hướng hoặc không gian tiền Hilbert, và thường được viết là (H, ., .).
Mệnh đề 1.1.1. Cho không gian véc tơ H cùng với một tích vô hướng
., . xác định. Khi đó công thức
x =

x, x
xác định một chuẩn trên H.
Định nghĩa 1.1.2. Nếu không gian có tích vô hướng (H, ., .) với chuẩn

xác định như trên là một không gian đủ, thì ta gọi (H, ., .) là một không
gian Hilbert và kí hiệu đơn giản là H.
Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert (H, ., .),
kí hiệu bởi dimH. Nếu dimH < ∞ thì ta nói H là hữu hạn chiều, trái
lại ta nói H là vô hạn chiều.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian H.
Ví dụ 1.1.1. Lấy H = R
n
. Với x = (x
1
, . . . , x
n
), y = (y
1
, . . . , y
n
) ∈ H
biểu thức
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
xác định một tích vô hướng trên không gian R
n
và với chuẩn

x =

x, x
R
n
trở thành một không gian Hilbert hữu hạn chiều.
5
Ví dụ 1.1.2. Ký hiệu l
2
là không gian véc tơ các dãy số x = (x
n
) sao cho
chuỗi số
∞

n=1
|x
n
|
2
hội tụ. ∀x = (x
n
) ∈ l
2
, ∀y = (y
n
) ∈ l
2
ta đặt
x, y =

∞

n=1
x
n
y
n
(1.1)
Dễ dàng thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn các điều tích vô hướng. Không
gian l
2
với chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.1)
x =




∞

n=1
|x
n
|
2
, x = (x
n
) ∈ l
2
là một không gian đủ và không gian véc tơ l
2

cùng với tích vô hướng
(1.1) là một không gian Hilbert.
Định lý 1.1.1. (Bất đẳng thức Cauchuy - Schawartz) Cho H là không
gian tiền Hilbert. Ta luôn có bất đẳng thức sau:
|x, y|
2
≤ x, xy, y (∀x, y ∈ H).
Định lý 1.1.2. Cho H là không gian Hilbert. Khi đó, ., . : H ×H → R
là một hàm liên tục.
Định nghĩa 1.1.3. Tập M ⊂ H được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ M,
đoạn thẳng nối x, y đều nằm trong M. Nói cách khác, M ⊂ H là tập lồi
khi và chỉ khi:
∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ) y ∈ M.
Định nghĩa 1.1.4. Một tập hợp M trong H là khả li nếu M bao hàm
một tập hợp con đếm được trù mật trong M.
6
Định nghĩa 1.1.5. Cho K ⊂ H là một tập hợp khác rỗng. K được gọi
là nón nếu ∀λ > 0 và x ∈ K ta luôn có λx ∈ K.
Nón K được gọi là nón lồi nếu K là tập lồi.
Nón K được gọi là nón lồi đóng nếu K vừa là nón lồi vừa là tập đóng.
Định nghĩa 1.1.6. Nón K trong không gian H được gọi là mỏng nếu
K khả ly và véc tơ 0 không thuộc vào bao đóng yếu của tập {k ∈ K :
k = 1}.
Lưu ý rằng, mọi nón trong không gian hữu hạn chiều của H đều mỏng
(xem [6]).
Với α > 0 và phần tử e = 0 cố định trong không gian Hilbert khả ly
H ta có nón {x ∈ H : x, e  α xe}) là mỏng (xem [6]).
Định nghĩa 1.1.7. Nón K trong H được gọi là một đa diện nếu tồn tại
một tập hợp hữu hạn {a
1

; a
2
; a
n
} ⊂ K sao cho
K =

x ∈ H | x =
n

m=1
λ
m
a
m
, λ
m
 0

.
Chúng ta lưu ý rằng nón đa diện luôn mỏng.
Định nghĩa 1.1.8. Cho không gian Hilbert H, x, y ∈ H và tập con
M ⊂ H, M = ∅.
Phần tử x gọi là trực giao với phần tử y và viết là x ⊥ y nếu x, y = 0.
Do y, x = x, y nên nếu x ⊥ y thì y ⊥ x.
Phần tử x ∈ H gọi là trực giao với tập M, nếu x⊥y (∀y ∈ M) và kí
hiệu x⊥M.
Từ định nghĩa ta có thể suy ra tính chất đơn giản sau :
7
1. 0⊥x ∀x ∈ X;

2. x⊥y ⇒ y⊥x;
3. x⊥{y
1
, y
2
, . . . , y
n
} ⇒ x⊥(α
1
y
1
+ α
2
y
2
+ α
n
y
n
), n ∈ N
∗
,
α
i
∈ R, i = 1, 2, 3, , n;
4. x⊥y
n
, y
n
→ y khi n → ∞ thì x⊥y.

Định nghĩa 1.1.9. Cho H là không gian Hilbert, tập M ⊂ H. Phần bù
trực giao của M, kí hiệu
M
⊥
= {x ∈ H : x ⊥ y, ∀y ∈ M}.
1.2. Toán tử trong không gian Hilbert
1.2.1. Toán tử liên tục
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử H và H

là hai không gian Hilbert. Ánh xạ
A : H → H

được gọi là một ánh xạ tuyến tính, hoặc toán tử tuyến tính,
hay gọi tắt là toán tử nếu:
1, (∀x, y ∈ H) : A(x + y) = Ax + Ay
2, (∀x ∈ H)(∀α ∈ R) : A(αx) = αAx.
Cho một toán tử A. Tập {Ax | x ∈ H} gọi là ảnh của A; kí hiệu là
R(A) hoặc RanA, tập {x ∈ H | Ax = 0} gọi là hạt nhân của A và kí
hiệu là N(A) hoặc KerA.
Định nghĩa 1.2.2. Cho H và H

là hai không gian Hilbert. Toán tử
tuyến tính A : H → H

gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số α ≥ 0 sao
8
cho:
Ax ≤ α x, ∀x ∈ X. (1.2)
Định nghĩa 1.2.3. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian
Hilbert H vào không gian Hilbert H


. Hằng số α ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn
hệ thức (1.2) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A.
Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:
1, (∀x ∈ H) Ax ≤ Ax;
2, (∀ε > 0)(∃x
ε
∈ H) sao cho (A −ε) x
ε
 < Ax
ε
.
Định lý 1.2.1. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert H
vào không gian Hilbert H

. Các mệnh đề sau tương đương:
1, A liên tục;
2, A liên tục tại mọi điểm x
0
∈ H;
3, A liên tục tại 0;
4, A bị chặn.
Nhờ định lý (1.2.1) ta suy ra A là toán tử bị chặn thì A là toán tử
liên tục. Hay đối với các toán tử tuyến tính các khái niệm liên tục và bị
chặn là tương đương.
Định lý 1.2.2. Cho toán tử tuyến tính A từ không gian Hilbert H vào
không gian Hilbert H. Nếu toán tử A liên tục thì
A = sup
x≤1
Ax

hay
A = sup
x=1
Ax.
9
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử H là không gian Hilbert và A : H → H là
toán tử tuyến tính (bị chặn hoăc không bị chặn). Véc tơ x = 0 được gọi
là véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ, nếu
Ax = λx,
hay là
(A − λI)x = 0.
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong
không gian Hilbert H. Số λ được gọi là thuộc phổ của A, hay một giá trị
phổ của A, nếu không tồn tại toán tử ngược bị chặn (A −λI)
−1
.
Tập tất cả các giá trị phổ của A được gọi là phổ của A; ký hiệu: σ(A).
1.2.2. Toán tử liên hợp
Định nghĩa 1.2.6. Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian
Hilbert H vào không gian Hilbert H

. Toán tử B từ không gian H

vào
không gian H gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu
Ax, y = x, By, ∀x ∈ H, ∀y ∈ H

.
Toán tử liên hợp B thường ký hiệu là A
∗

.
Định lý 1.2.3. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert
H vào không gian Hilbert H

. Khi đó tồn tại toán tử A
∗
liên hợp với toán
tử A từ không gian H

vào không gian H.
Định lý 1.2.4. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert
H vào không gian Hilbert H

. Khi đó toán tử liên hợp A
∗
với toán tử A
cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và A
∗
 = A.
10
Định lý 1.2.5. Giả sử H, H

là các không gian Hilbert, A : H → H

là
toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó,
H = N(A) ⊕ R(A
∗
), H


= N(A
∗
) ⊕ R(A).
Định nghĩa 1.2.7. Toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert
H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu
Ax, y = x, Ay, ∀x, y ∈ H.
Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.
Định lý 1.2.6. Giả sử A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian
Hilbert phức H. Khi đó, A tự liên hợp khi và chỉ khi (∀x ∈ H) Ax, x
là số thực.
Hệ quả 1.1. Giả sử A là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert
H. Khi đó, mọi giá trị riêng λ của A là số thực.
1.2.3. Toán tử chiếu
Định lý 1.2.7. Cho M là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert H. Khi đó, với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ M sao cho
x − y = inf{x − z | z ∈ M}.
Ta kí hiệu d(x, M) = inf{x −z | z ∈ M}.
Định lý 1.2.8. Giả sử M là một không gian con đóng của không gian
Hilbert H. Khi đó mỗi phần tử x ∈ H được biểu diễn một cách duy nhất
dưới dạng x = y + z, trong đó y ∈ M và z ∈ M
⊥
được gọi là hình chiếu
trực giao của x lên M.
11
Chứng minh. Nếu x ∈ M thì đặt y = x, z = 0 và ta có khẳng định
đúng. Xét trường hợp x /∈ M. Vì M đóng nên tồn tại duy nhất y ∈ M
sao cho x − y = d(x, M).
Đặt z = x −y, ta có x = y + z, ta phải chứng minh z ∈ M
⊥
. Thật vậy,

với mọi α ∈ R, u ∈ M ta có
z = x −y ≤ x −(y + αu)
= z − αu.
Từ đó suy ra
z
2
≤ z − αu, z − αu
= z
2
− αu, z −αz, u + α
2
u
2
.
Chọn α = z, u và u = 1, ta suy ra 0 ≤ −|z, u|
2
. Do đó, z, u = 0
với mọi u ∈ M và u = 1. Như vậy ta đã chỉ ra z ∈ M
⊥
.
Tiếp theo ta chứng minh sự biểu diễn là duy nhất, giả sử x = y
1
+ z
1
với y
1
∈ M, z
1
∈ M
⊥

. Khi đó, y − y
1
= z
1
− z, ta có y − y
1
∈ M và
y −y
1
∈ M
⊥
. Từ đó suy ra y −y
1
, y −y
1
 = 0. Do vậy y = y
1
và do đó
z = z
1
. Vậy định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.2.8. Theo định lý trên, mọi x ∈ H đều biểu diễn được
duy nhất dạng x = y + z với y ∈ M, z ∈ M
⊥
. Như vậy, H = M ⊕ M
⊥
.
Ánh xạ P : H → M, xác định P (x) = y với x = y + z ∈ M ⊕M
⊥
, được

gọi là phép chiếu trực giao từ H lên M
Định lý 1.2.9. Phép chiếu trực giao P từ không gian Hilbert H lên
không gian con đóng M = {0} là một toán tử tuyến tính liên tục.
12
Chứng minh. Với x
1
, x
2
∈ H, α ∈ R, theo định lý 1.2.8 ta có
x
1
= P x
1
+ z
1
; x
2
= P x
2
+ z
2
,
trong đó z
1
, z
2
∈ M
⊥
.Vì vậy
x

1
+ x
2
= P x
1
+ P x
2
+ z
1
+ z
2
,
trong đó P x
1
+ P x
2
∈ M, z
1
+ z
2
∈ M
⊥
. Từ tính duy nhất của sự biểu
diễn trong định lý trên ta suy ra
P (x
1
+ x
2
) = P x
1

+ P x
2
.
Tương tự P (αx
1
) = αP (x
1
). Vậy P tuyến tính.
Mặt khác, với x ∈ H ta có
x
2
= P x
2
+ z
2
≥ P x
2
.
Từ đó suy ra P bị chặn. Vậy P liên tục. Định lý được chứng minh.
1.2.4. Toán tử đồng dương cộng, toán tử đơn điệu
Định nghĩa 1.2.9. Cho H là một không gian Hilbert, T là một toán tử
tuyến tính bị chặn trên H, K là nón lồi đóng trong H. Ta nói T là đồng
dương cộng trên K nếu:
i) k ∈ K suy ra T k, k  0;
ii) k ∈ K và T k, k = 0 suy ra (T + T
∗
)k = 0.
Định nghĩa 1.2.10. Cho H là không gian Hilbert. Toán tử T : H → H
được gọi là đơn điệu nếu:
T x −Ty, x −y  0 ∀x, y ∈ H.

13
Toán tử T : H → H được gọi là đơn điệu chặt nếu:
T x −Ty, x −y > 0 ∀x, y ∈ H, x = y.
Toán tử T : H → H được gọi là đơn điệu mạnh nếu có hằng số
α ∈ R, α > 0 sao cho ∀x, y ∈ H, ta có:
x − y, T x −T y ≥ α x −y
2
.
Mệnh đề 1.2.2. Cho H là không gian Hilbert. Toán tử tuyến tính T :
H → H là đơn điệu khi và chỉ khi
T x, x ≥ 0 ∀x ∈ H.
1.3. Không gian đối ngẫu, tôpô yếu
1.3.1. Không gian đối ngẫu
Định nghĩa 1.3.1. (Phiếm hàm tuyến tính) Cho H là một không gian
Hilbert. Toán tử tuyến tính f : H → R được gọi là phiếm hàm tuyến tính
xác định trên H.
Định nghĩa 1.3.2. (Không gian đối ngẫu) Cho H là không gian Hilbert.
Không gian véc tơ L(H, R) tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục f
xác định trên H (với phép cộng và nhân ánh xạ với số thông thường) với
chuẩn
f = sup
x=1
f(x)
được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu của H; ký hiệu
là H
∗
14
Định lý 1.3.1. (Định lý F.Riesz) Với mỗi véc tơ a cố định thuộc không
gian Hilbert H , hệ thức :
f(x) = a, x (1.3)

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian H, với
f = a. (1.4)
Ngược lại bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục nào trên không gian
Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (1.3), trong đó
a là một véc tơ của H thỏa mãn (1.4).
Chứng minh. Phần thứ nhất của định lí ta dễ dàng chứng minh được vì
f(x) = a, x rõ ràng là một phiếm hàm tuyến tính do
f(x) = |a, x|  ax (1.5)
f(a) = |a, a| = aa (1.6)
nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.3).
Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên
tục f(x) trên không gian Hilbert H . Tập hợp
M = {x ∈ H : f(x) = 0}
rõ ràng là một không gian con đóng của H. Nếu M
⊥
= {0} thì dựa vào
cách phân tích x = y + z với y ∈ M, z ∈ M
⊥
, ta thấy rằng z = 0 nên
f(x) = f(y) = 0 với ∀x ∈ H do đó f(x) = 0, x nghĩa là ta có thể
biểu diễn (1.3) với a = 0 . Vậy ta chỉ xét trường hợp M
⊥
= {0}. Ta có
f(x
0
) = 0, nên véc tơ
15
a =
f(x
0

)
x
0
, x
0

x
0
= 0.
Với mọi x ∈ H
y = x −
f(x)
f(x
0
)
x
0
∈ M
vì
f(y) = f(x) −
f(x)
f(x
0
)
f(x
0
) = 0.
Mà
x
0

∈ M
⊥
,
vậy y, x
0
 = 0 tức là

x −
f(x)
f(x
0
)
x
0
, x
0

= x, x
0
 −
f(x)
f(x
0
)
x
0
, x
0
 = 0
hay :

f(x) =

x −
f(x)
f(x
0
)
x
0
, x

= a, x
Như vậy f(x) có dạng (1.4). Cách biểu diễn đó là duy nhất vì nếu
f(x) = a

, x thì a − a

, x = 0, nghĩa là a - a’ = 0. Cuối cùng do (1.5)
và (1.6) nên phải có (1.4) như trên. Định lí được chứng minh.
Định lý vừa chứng minh cho phép ta thiết lập một tương ứng một-
một giữa hàm tuyến tính liên tục f trên H và véc tơ a ∈ H. Tương ứng
đó là một phép đẳng cự tuyến tính, do vậy nếu ta đồng nhất phiếm hàm
f với các véc tơ a sinh ra nó thì ta có H
∗
= H, nghĩa là: Không gian
Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó.
16
1.3.2. Tôpô yếu trong không gian Hilbert
Cho không gian Hilbert H, H
∗

là không gian liên hợp của không gian
H. Với mỗi x ∈ H ta xét họ ν
x
tất cả các tập con của không gian H có
dạng:
V
x
= V (x; f
1
, f
2
, , f
n
; ε) = {y ∈ H : |f
j
(y) −f
j
(x)| < ε, j = 1, 2, , n}
trong đó n là số nguyên dương tùy ý; f
1
, f
2
, , f
n
là n phần tử tùy ý của
không gian H
∗
, ε là số dương tùy ý.
Họ ν
x

thỏa mãn các tính chất:
1) (∀x ∈ X)ν
x
= φ, ∀V
x
∈ ν
x
⇒ x ∈ V
x
;
2) V
1
∈ ν
x
, V
2
⊃ V
1
⇒ V
2
∈ ν
x
;
3) ∀V
1
∈ ν
x
, ∀V
2
∈ ν

x
⇒ V
1
∩ V
2
∈ ν
x
;
4) ∀V
x
∈ ν
x
⇒ ∃W
x
∈ ν
x
sao cho (∀y ∈ W
x
)V
x
∈ ν
y
.
Định nghĩa 1.3.3. Tôpô duy nhất trên không gian Hilbert H sao cho
tại mỗi điểm x ∈ H họ ν
x
là một cơ sở lân cận của điểm x được gọi là
tôpô yếu trên không gian H, ký hiệu tôpô đó là σ(H, H
∗
).

Định lý 1.3.2. Tôpô yếu trên không gian Hilbert H là tôpô nghèo nhất
trên H để các ánh xạ f ∈ H
∗
vẫn còn liên tục.
Các khái niệm: Tập mở yếu, bao đóng yếu, hội tụ yếu trong H luôn
được hiểu, một cách tương ứng, là tập mở, bao đóng, hội tụ của M
trong tôpô yếu của H.
Mệnh đề 1.3.3. Dãy {x
k
} ⊂ H hội tụ yếu đến
x nếu và chỉ nếu f(x
k
) →
f(x) với mọi f ∈ H
∗
.
17
Chứng minh. Giả sử {x
k
} hội tụ yếu đến x và f ∈ H. Với mọi ε > 0
tồn tại k
0
∈ V (f, x, ε) với mọi k ≥ k
0
. Nhưng điều đó có nghĩa là
|f(x
k
) − f(x)| < ε với mọi k ≥ k
0
. Vậy f(x

k
) → f(x).
Bây giờ giả sử f(x
k
) → f(x) với mọi f ∈ H
∗
. Lấy lân cận tùy ý có
dạng V (f
1
, f
2
, . . . , f
p
, x, ε) của x. Vì f
i
(x
k
) → f
i
(x) với i = 1, . . . , p nên
tồn tại k
0
để |f
i
(x
k
) − f
i
(x)| < ε với mọi k ≥ k
0

, i = 1, 2, . . . , p. Điều
này có nghĩa là x
k
∈ V (f
1
, f
2
, . . . , f
p
, x, ε) với mọi k ≥ k
0
, tức là x
k
hội
tụ yếu đến x.
Nhận xét 1.1. Vì H = H
∗
nên mệnh đề trên tương đương với: Dãy
(x
k
) ⊂ H gọi là hội tụ yếu tới điểm x ∈ H, ký hiệu : x
k
 x, (n → ∞)
nếu với mọi điểm y ∈ H
lim
k→∞
x
k
, y = x, y
Định lý 1.3.3. Cho không gian Hilbert H, nếu dãy điểm (x

n
) ⊂ H hội
tụ yếu tới điểm x ∈ H và lim
n→∞
x
n
 = x thì lim
n→∞
x
n
− x = 0
Định lý 1.3.4. Cho không gian Hilbert H. Nếu dãy điểm (x
k
) ⊂ H hội
tụ yếu thì dãy đó bị chặn.
Mệnh đề 1.3.4. Cho không gian Hilbert H. Tập K ⊂ X gọi là tập
compact yếu trong không gian H, nếu mọi dãy vô hạn (x
k
) ⊂ K đều
chứa một dãy con hội tụ yếu trong không gian H.
Định lý 1.3.5. Nếu tập K bị chặn trong không gian Hilbert H, thì K
là tập compact yếu trong không gian H.
Mệnh đề 1.3.5. Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert H là
compact yếu.
18
Kết luận chương
Chương này đã trình bày một số kiến thức cơ bản về định nghĩa
và tính chất của không gian Hilbert, toán tử trong không gian Hilbert,
không gian đối ngẫu, tôpô yếu. Đây là những kiến thức nhằm hỗ trợ cho
các kết quả sẽ được trình bày trong chương sau.

Chương 2
Toán tử nửa xác định dương trên
không gian Hilbert và ứng dụng
Trong chương này, tác giả trình bày các khái niệm và các tính chất
liên quan đến toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert. Đồng
thời nghiên cứu các ứng dụng của toán tử nửa xác định dương trên không
gian Hilbert vào việc giải bài toán bù tuyến tính. Các kiến thức trong
chương này chủ yếu lấy từ các tài liệu [1], [4], [5] và [6].
2.1. Toán tử nửa xác định dương
2.1.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 2.1.1. ([1], tr. 253) (Toán tử nửa xác định dương) Toán
tử tuyến tính liên tục T trên không gian Hilbert H được gọi là nửa xác
định dương, ký hiệu T ≥ 0, nếu
T x, x ≥ 0 (∀x ∈ H).
Nhận xét. Từ định lý (1.2.6) ta suy ra mọi toán tử nửa xác định dương
19