Điểm bất động chung của các cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (373.45 KB, 55 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG VĂN LONG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CẶP ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH
TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới T.S Hà Đức Vượng,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người
thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Phùng Văn Long
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng, luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất động chung của
cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón” do tôi tự làm. Các
kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Phùng Văn Long
Mục lục
Bảng kí hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Không gian metric. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Định lý điểm bất động trong không gian metric . . . . . . . 16
Chương 2. Không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Sự hội tụ trong không gian metric nón . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Điểm bất động trong không gian metric nón . . . . . . 31
Chương 3. Điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích
trong không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Định lý điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích trong
không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1
Bảng kí hiệu
N Tập số tự nhiên

R Tập số thực
C Tập số phức
∅ Tập rỗng
R
n
Không gian Euclide n chiều
(X, d) Không gian metric
x Chuẩn của x
K Hằng số chuẩn tắc
k Hệ số co
E Không gian Banach
int(P ) Phần trong của P
d(x, y) Khoảng cách giữa hai phần tử x và y
C
[a,b]
Tập các hàm số liên tục trên đoạn [a, b]

p
Quan hệ thứ tự theo nón P
T : X → X Ánh xạ T từ không gian X vào không gian X
 Kết thúc chứng minh
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Một tập hợp X tùy ý khác rỗng và ánh xạ T : X → X. Nếu tồn tại
x
0
∈ X mà Tx
0
= x

0
thì x
0
được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên
tập hợp X. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên Lý
thuyết điểm bất động ( fixed point theory).
Lý thuyết điểm bất động có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực
của khoa học kỹ thuật nói chung và toán học nói riêng. Các kết quả về
điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể
đến định lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach
(1922).
Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu,
lý thuyết trò chơi và trong nhiều lĩnh vực của Vật lí. Chẳng hạn, trong
phương trình vi phân thì nó đã được ứng dụng để chứng minh sự tồn tại
và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân với điều kiện ban đầu, . . .
Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian đã giới thiệu khái niệm
metric nón bằng cách thay tập số thực R trong định nghĩa metric bởi một
nón định hướng trong không gian Banach thực. Không gian metric nón
(cone metric space) được giới thiệu cùng với các kết quả về điểm bất động
trên lớp không gian này.
Gần đây, M. Abbas, G. Jungck và một tác nhiều giả khác đã công bố
các kết quả về điểm bất động cho lớp ánh xạ co trên không gian metric
nón.
Năm 2011, các tác giả José R. Morales, Edison M. Rojas đã công bố
2
kết quả về điểm bất động của cặp ánh xạ tương thích trong không gian
metric nón qua bài báo “ Common fixed points a pair of commuting
mappings in complete cone metric spaces”, trên tạp chí An. St. Univ.
Ovidius Constanta.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động và điểm bất động

chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón, được sự
hướng dẫn nhiệt tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu:
"Điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích trong không
gian metric nón".
2. Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp các kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung của
cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm bất động và điểm bất động chung của cặp ánh xạ
tương thích trong không gian metric nón.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric
nón, điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gian
metric nón dựa trên hai bài báo:
1. "Common fixed points a pair of commuting mappings in complete cone
metric spaces" của José R. Morales và Edison M. Rojas.
2. "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive map-
pings" của L. G. Huang và X. Zhang.
3
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu.
- Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu.
6. Đóng góp của đề tài
Luận văn là bài tổng quan về điểm bất động chung của cặp ánh xạ
tương thích trong không gian metric nón. Luận văn trình bày về không
gian metric nón, điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric
nón và điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gian
metric nón.
Luận văn được trình bày gồm ba chương nội dung và một danh mục tài
liệu tham khảo.

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric, không
gian Banach, Nguyên lý ánh xạ co Banach.
Chương 2 trình bày khái niệm về nón, metric nón, không gian metric
nón, sự hội tụ trong không gian metric nón, điểm bất động trong không
gian metric nón.
Chương 3 trình bày khái niệm về cặp ánh xạ tương thích và các kết quả
về điểm bất chung chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gian
metric nón.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không
gian metric, không gian Banach cùng với các ví dụ và phản ví dụ. Cuối
cùng chúng tôi trình bày về nguyên lý ánh xạ co Banach.
1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. [1].
Cho X là một tập hợp và X = ∅. Ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn
các điều kiện sau:
1. d(x, y)  0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất);
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, (tiên đề đối xứng );
3. d(x, y)  d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (tiên đề tam giác).
Khi đó d được gọi là metric trên X. Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa
hai phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm.
Định nghĩa 1.1.2. [1].
Một tập X khác rỗng cùng với một metric d xác định trên X gọi là
không gian metric và được kí hiệu là (X, d).
5
Ví dụ 1.1.1.
Cho M
[a,b]

[a,b]
, d)
là một không gian metric.

Định nghĩa 1.1.3. [1].
Cho (X, d) là một không gian metric, dãy điểm {x
n
} ⊂ X và điểm
x
0
∈ X. Dãy điểm {x
n
} được gọi là hội tụ đến điểm x
0
trong không gian
(X, d) khi n → ∞, nếu với ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, sao cho ∀n  n
0
thì
d(x
n
, x
0
) < ε hay lim
n→∞
d(x
n

, x
0
) = 0.
Ký hiệu lim
n→∞
x
n
= x
0
hay x → x
0
, (n → ∞).
Điểm x
0
được gọi là giới hạn của dãy {x
n
} trong không gian (X, d).
Định nghĩa 1.1.4. [1].
7
Cho không gian metric (X, d). Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy
(dãy cơ bản), nếu với ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n, m  n
0
thì
d(x

n
, x
m
) < ε
hay
lim
n,m→∞
d(x
n
, x
m
) = 0.
Ví dụ 1.1.2.
Cho không gian metric (C
[0,1]
, d) với metric d được định nghĩa như sau:
d(x, y) =

1
0
|x(t) − y(t)|dt.
Xét dãy {x
n
} ⊂ C
[0,1]
như sau:
x
n
(t) =












1 khi 0  t <
1
2
n + 1 − 2nt khi
1
2
 t 
1
2
+
1
2n
0 khi
1
2
+
1
2n
< t  1.
Khi đó {x

n
} là dãy Cauchy trong không gian (C
[0,1]
, d).
Thật vậy:
Với mọi m > n ta có:
d(x
n
, x
m
) =

1
0
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt
=

1
2
0
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt +


1
2
+
1
2n
1
2
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt
+

1
1
2
+
1
2n
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt
=

1
2
0

|1 − 1|dt +

1
2
+
1
2n
1
2
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt
+

1
1
2
+
1
2n
|0 − 0|dt
8
=

1
2
+
1


1
2
+
1
2n
1
2
1dt =
1
2n
.
Suy ra
0  d(x
n
, x
m
) 
1
2n
.
Cho n → ∞ ta được d(x
n
, x
m
) = 0.
Vậy {x
n
} là một dãy Cauchy trong (C
[0,1]

, d).
Định nghĩa 1.1.5. [1].
Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ nếu
mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểm thuộc X.
Ví dụ 1.1.3.
Xét không gian C
[a,b]
các hàm số liên tục trên [a, b] với metric:
d(x, y) = max
atb
|x(t) − y(t)|.
Khi đó C
[a,b]
với metric đã xác định như trên là không gian metric đầy đủ.
Chứng minh.
Giả sử {x
n
(t)} là dãy Cauchy tùy ý trong không gian C
[a,b]
. Theo định
nghĩa dãy Cauchy ta có: ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n, m  n
0
:
max
atb
|x

n
(t) − x
m
(t)| < ε, ∀t ∈ [a, b].
Với mỗi t cố định thuộc đoạn [a, b] thì dãy {x
n
(t)} là dãy Cauchy trong
R, nên phải tồn tại giới hạn x(t), tức là:
lim
n→∞
x
n
(t) = x(t), t ∈ [a, b].
9
Mặt khác, với ε > 0 cho trước, tồn tại N
ε
sao cho ∀n, m  N
ε
, ∀t ∈ [a, b]
ta có
|x
n
(t) − x
m
(t)| < ε.
Cho m → ∞ ta được với ∀n  N
ε
, ∀t ∈ [a, b] :
|x
n

(t) − x(t)| < ε.
Tức là dãy {x
n
(t)} hội tụ đều tới x(t), ∀t ∈ [a, b].
Vậy x(t) là liên tục nên x(t) ∈ C
[a,b]
, đồng thời {x
n
(t)} hội tụ tới
x(t) ∈ C
[
a, b].
Do vậy C
[a,b]
là không gian metric đầy đủ.

Ví dụ 1.1.4.
Cho không gian metric (C
[0,1]
, d) với metric d được định nghĩa như sau:
d(x, y) =

1
0
|x(t) − y(t)|dt.
Khi đó (C
[0,1]
, d) là một không gian metric không đầy đủ.
Thật vậy:
Xét dãy {x

n
} ⊂ C
[0,1]
như sau:
x
n
(t) =











1 khi 0  t <
1
2
n + 1 − 2nt khi
1
2
 t 
1
2
+
1
2n

0 khi
1
2
+
1
2n
< t  1.
Theo ví dụ 1.1.2 ta có {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian (C
[0,1]
, d).
Bây giờ ta chứng minh (C
[0,1]
, d) là không gian metric không đầy đủ bằng
phản chứng.
Giả sử ngược lại (C
[0,1]
, d) là không gian metric đầy đủ. Khi đó do {x
n
} là
10
dãy Cauchy nên {x
n
} hội tụ tới x(t) nào đó trong C
[0,1]
, tức là

1
0

n
(t) − x(t)|dt → 0;

1
1
2
|x
n
(t) − x(t)|dt → 0.
Mặt khác ta có:

1
2
0
|x
n
(t) − 1|dt → 0;

1
1
2
|x
n
(t) − 0|dt → 0.
Do vậy x(t) và 1 cùng là giới hạn của dãy {x
n
(t)} trong C
[0,
1
2

]
; x(t) và 0
cùng là giới hạn của dãy {x
n
(t)} trong C
[
1
2
,1]
. Do tính duy nhất của giới
hạn nên ta phải có:
x(t) = 1 với 0  t 
1
2
x(t) = 0 với
1
2
 t  1
Nhưng như thế thì x(t) không liên tục, do đó không thuộc C
[0,1]
. Vì vậy
{x
n
(t)} không có giới hạn trong C
[0,1]
nên (C
[0,1]
, d) không phải là không
gian metric đầy đủ.
1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1. [1].
11
Cho X là không gian tuyến tính trên trường K (thực hoặc phức). Một
ánh xạ  ·  : X → R được gọi là một chuẩn nếu
1. x  0, ∀x ∈ X. x = 0 ⇔ x = θ.
2. λx = |λ| · x, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K.
3. x + y  x + y, ∀x, y ∈ X.
Số x được gọi là chuẩn của vectơ x. Không gian X cùng với chuẩn  · 
xác định trên X được gọi là không gian định chuẩn.
Kí hiệu: (X,  · ).
Ví dụ 1.2.1.
Cho không gian C
[a,b]
là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn
[a, b] cùng với ánh xạ
 ·  : C
[a,b]
→ R,
xác định bởi: x = max
atb
|x(t)| là không gian định chuẩn.
Chứng minh.
Ta kiểm tra các điều kiện của định nghĩa 1.2.1:
1. Hiển nhiên ∀x = x(t) ∈ C
[a,b]
, ∀t ∈ [a, b] ta có |x(t)| > 0.
Suy ra max
atb
|x(t)|  0. Vậy x  0.
Ta lại có x = 0, hay max

atb
|x(t)| = 0.
Suy ra
|x(t)| = 0, ∀t ∈ [a, b].
Vậy x = 0.
2. Với mọi x = x(t) ∈ C
[a,b]
, ∀λ ∈ K, ta có
λx = max
atb
|λx(t)|
12
= |λ| max
atb
|x(t)||
= |λ|x.
3. ∀x = x(t) ∈ C
[a,b]
, ∀y = y(t) ∈ C
[a,b]
, ta có
x + y = max
atb
|x(t) + y(t)|
 max
atb
|x(t)| + max
atb
|y(t)|
= x + y.

Vậy x + y  x + y, ∀x, y ∈ C
[a,b]
.
Do đó C
[a,b]
là không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.2.2. [1].
Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm {x
n
} ⊂ X. Dãy {x
n
} gọi là
hội tụ tới x nếu
lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Kí hiệu lim
n→∞
x
n
= x, hay x
n
→ x, n → ∞.
Định nghĩa 1.2.3. [1].
Cho không gian định chuẩn X, dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy

nếu
lim
n,m→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Hay với ∀ε > 0, ∃ n
0
∈ N
∗
sao cho ∀n  n
0
, ∀m  n
0
, ta có
x
n
− x
m
 < ε.
Định nghĩa 1.2.4. [1].
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy
Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểm thuộc X. (Không gian Banach
là không gian định chuẩn đầy đủ).
13
Ví dụ 1.2.2.
Cho không gian C
[a,b]

là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn
[a, b] cùng với ánh xạ
 ·  : C
[a,b]
→ R,
xác định bởi: x = max
atb
|x(t)| là không gian Banach.
Chứng minh.
Theo ví dụ 1.2.1 ta đã chứng minh được C
[a,b]
là không gian định chuẩn.
Ta cần chứng minh mọi dãy Cauchy trong C
[a,b]
đều hội tụ tới một phần
tử thuộc C
[a,b]
.
Thật vậy:
Giả sử {x
n
(t)} là dãy Cauchy tùy ý trong C
[a,b]
, tức là với mọi ε > 0,
∃ n
0
∈ N
∗
, ∀n, m  n
0

:
x
m
− x
n
 = max
atb
|x
m
(t) − x
n
(t)| < ε.
Suy ra
|x
m
(t) − x
n
(t)| < ε, ∀t ∈ [a, b]. (1.1)
Bất đẳng thức (1.1) chứng tỏ với mỗi t cố định thuộc đoạn [a, b], dãy
{x
n
(t)} là dãy số Cauchy nên phải tồn tại giới hạn, ta có
lim
n→∞
x
n
(t) = x(t), ∀t ∈ [a, b].
Cho m → ∞ từ (1.1) ta có:
|x
n

(t) − x(t)| < ε, n  n
0
, ∀t ∈ [a, b]. (1.2)
Bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ dãy số {x
n
(t)} hội tụ đều tới x(t) trên C
[a,b]
nên x(t) ∈ C
[a,b]
. Vậy C
[a,b]
là không gian đầy đủ.
Do đó C
[a,b]
là không gian Banach.

14
Ví dụ 1.2.3.
Không gian C
L
[0,1]
các hàm số liên tục trên đoạn [0, 1], với chuẩn trên
C
L
[0,1]
được định nghĩa x =
1

0
|x (t)| dt không là không gian Banach.

Thật vậy:
Ta xét dãy:
x
n
(t) =





0 khi 0  t <
1
2
nt −
n
2
khi
1
2
 t 
1
2
+
1
n
1 khi
1
2
+
1

n
< t  1.
Ta có với mọi m > n
x
n
− x
m
 =
1

0
|x
n
(t) − x
m
(t)| dt
=
1
2

0
|x
n
(t) − x
m
(t)| dt +
1
2
+
1

n

1
2
|x
n
(t) − x
m
(t)| dt
+
1

1
2
+
1
n
|x
n
(t) − x
m
(t)| dt
=
1
2
+
1
n

1

2
|x
n
(t) − x
m
(t)| dt.
Vì
|x
n
(t) − x
m
(t)| ≤ 1,
nên
x
n
− x
m
 
1
n
→ 0 khi n → ∞,
do đó {x
n
(t)} là một dãy Cauchy. Dễ dàng thấy rằng dãy Cauchy này
không hội tụ tới một điểm thuộc C
L
[0,1]
.
15
Thật vậy, giả sử dãy {x

n
(t)} hội tụ tới một x(t) nào đó trong C
L
[0,1]
, tức
là:
lim
n→∞
1

0
|x
n
(t) − x (t)| dt = 0.
Ta có:
1

0
|x
n
(t) − x (t)| dt =
1
2

0
|x
n
(t) − x (t)| dt +
1


0
|x
n
(t) − 0| dt = 0,
lim
n→∞
1

1
2
|x
n
(t) − 1| dt = 0.
Vậy hai hàm x(t) và 0 cùng là giới hạn của {x
n
(t)} trong C
L
[
0,
1
2
]
.
Ta cũng có x(t) và 1 cùng là giới hạn của {x
n
(t)} trong C
L
[
1
2

,1
]
.
Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra:
x(t) =





0 nếu 0  t 
1
2
1 nếu
1
2
< t  1.
Vậy x(t) không liên tục tại t =
1
2
nên x(t) /∈ C
L
[0,1]
.
Do đó, dãy {x
n
(t)} không có giới hạn nào trong không gian C
L
[0,1]
, hay dãy

{x
n
(t)} không hội tụ tới một x(t) trong C
L
[0,1]
.
16
Vậy C
L
[0,1]
không là không gian Banach.
1.3 Định lý điểm bất động trong không gian metric
Định nghĩa 1.3.1. [1].
Cho không gian metric (X, d). Ánh xạ T : X → X được gọi là ánh xạ
co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho
d(T x, T y)  kd(x, y), ∀x, y ∈ X.
Định lý 1.3.1. [1]. Nguyên lý ánh xạ co Banach
Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có
điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử T : X → X là ánh xạ co, ta lấy điểm x
0
bất kỳ, x
0
∈ X và lập
dãy lặp:
x
1
= T x
0

;
x
2
= T x
1
;
. . .
x
n
= T x
n−1
;
. . .
Vì T là ánh xạ co nên tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) thỏa mãn:
d(T x
1
, T x
0
)  kd(x
1
, x
0
).
d(x
2
, x
1
) = d(T x
1
, T x

0
)  kd(x
1
, x
0
) = kd(T x
0
, x
0
).
d(x
3
, x
2
) = d(T x
2
, T x
1
)  kd(x
2
, x
1
)  k
2
d(T x
0
, x
0
).
. . . . . .

d(x
n+1
, x
n
) = d(T x
n
, T x
n−1
)  kd(x
n
, x
n−1
)
17
= kd(T x
n−1
, T x
n−2
)  k
2
d(x
n−1
, x
n−2
)
= k
2
d(T x
n−2
, T x

n−3
)  k
3
d(x
n−2
, x
n−3
)
. . . . . . . . .
= k
n−1
d(T x
1
, T x
0
)  k
n
d(x
1
, x
0
) = k
n
d(T x
0
, x
0
),
∀n = 1, 2, . . . .
Từ đó suy ra với ∀m, n ∈ N

∗
ta có
d(x
n+m
, x
n
) 
m

k=1
d(x
n+k
, x
n+k−1
)
 d(T x
0
, x
0
)
m

k=1
k
n+k−1
=
k
n
− k
n+m

1 − k
d(T x
0
, x
0
)

k
n
1 − k
d(T x
0
, x
0
).
Vì k ∈ [0, 1) nên lim
n→∞
k
n
= 0, do đó
lim
n→∞
d(x
n+m
, x
n
) = 0, ∀m ∈ N
∗
nghĩa là dãy {x
n

} là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ (X, d).
Do đó {x
n
} hội tụ tới x
∗
∈ X.
Ta chứng minh x
∗
là điểm bất động của ánh xạ T trong X.
Ta có:
d(T x
∗
, x
∗
)  d(T x
∗
, x
n
) + d(x
n
, x
∗
)
= d(T x
∗
, T x
n−1
) + d(x
n
, x

∗
)
 kd(x
∗
, x
n−1
) + d(x
n
, x
∗
), ∀n = 1, 2, . . .
Do
lim
n→∞
d(x
n
, x
∗
) = lim
n→∞
d(x
n−1
, x
∗
) = 0,
nên ta suy ra
d(T x
∗
, x
∗

) = 0 hay Tx
∗
= x
∗
,
nghĩa là x
∗
là điểm bất động của ánh xạ T .
18
Bây giờ ta chứng minh x
∗
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T trên
X.
Giả sử tồn tại điểm y
∗
∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ T. Thế thì
d(x
∗
, y
∗
) = d(T x
∗
, T y
∗
)  kd(x
∗
, y
∗
).
Suy ra

d(x
∗
, y
∗
) − kd(x
∗
, y
∗
)  0.
Hay
(1 − k)d(x
∗
, y
∗
)  0.
Do k < 1 nên ta có
d(x
∗
, y
∗
) = 0.
Suy ra x
∗
= y
∗
.
Vì vậy x
∗
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T. Định lý được chứng
minh.


Ví dụ 1.3.1.
Chứng minh phương trình x + a sin x − π = 0 (a là tham số, a ∈ [0, 1))
có nghiệm duy nhất.
Chứng minh.
Trước hết ta có nhận xét: Với mọi t > 0 thì ta có sin t < t.
Thật vậy:
Xét hàm số
f(t) = sin t − t, ∀t ∈ R.
Ta có
f

(t) = cos t − 1  0, ∀t ∈ R.
Do đó hàm số f(t) là hàm nghịch biến với mọi t ∈ R.
Suy ra
f(t) < f(0), ∀t > 0.
19
Hay
sin t − t < 0, ∀t > 0.
Vậy
sin t < t, ∀t > 0.
Trở lại bài toán trên, ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng
x = π − a sin x.
Đặt T x = π − a sin x, ta nhận được ánh xạ T từ không gian đầy đủ R vào
chính nó.
Giả sử x > x

, khi đó ta có
|T x − T x


| = |a sin x − a

sin x

|
= 2|a|| cos
x + x

2
| · | sin
x − x

2
|
 2a|
x − x

2
|
= a|x − x

|.
Vì a ∈ [0, 1), suy ra T là ánh xạ co. Hơn nữa R là không gian metric đầy
đủ nên theo Nguyên lý ánh xạ co Banach thì ánh xạ T có điểm bất động
duy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

20
Chương 2
Không gian metric nón
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn

tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gian Banach
thực. Sau đó chúng tôi trình bày về khái niệm metric nón, không gian
metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón cùng với các ví dụ
minh họa. Cuối cùng chúng tôi trình bày một số kết quả về điểm bất động
trong không gian metric nón.
2.1 Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 2.1.1. [11].
Cho E là không gian Banach thực, tập con P của E được gọi là nón
khi và chỉ khi
1. P không rỗng, P đóng và P = {0};
2. a, b ∈ R, a, b  0 và x, y ∈ P thì ax + by ∈ P ;
3. x ∈ P và −x ∈ P ⇒ x = 0 có nghĩa là P ∩ (−P ) = {0}.
Định nghĩa 2.1.2. [11].
Cho E là một không gian Banach thực, P là một nón trong E. Trên E

Điểm bất động chung của các cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về