Lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ NGA

LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Văn Hùng

Hà Nội, 2014


Lời cảm ơn
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hùng, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tơi có thể hồn thành
luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cơ giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập.
Nhân dịp này tơi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã ln động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong
q trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả

Bùi Thị Nga


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng, luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài “Lí thuyết ổn định của
hệ phương trình sai phân” được hồn thành bởi nhận thức của bản
thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả

Bùi Thị Nga


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Phương trình và hệ phương trình sai phân . . . . .

3

1.1. Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3. Đa thức giai thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng .

9

1.4. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng. .
11
1.5. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số phụ

thuộc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6. Hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần nhất với hệ số
phụ thuộc n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 2. Lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân

21

2.1. Khái niệm sự ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2. Sự ổn định của hệ tuyến tính với hệ số phụ thuộc n. . . . . . . . .

27

2.3. Sự ổn định của hệ tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4. Phép phân tích khơng gian pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.5. Phương pháp Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.6. Phương pháp thứ 2 của Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.7. Ổn định bởi xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Chương 3. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.1. Một loài với hai lớp tuổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.2. Mơ hình chu kì kinh doanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

1


3.3. Nghiên cứu trường hợp loài bọ bột cánh cứng . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.4. Mơ hình của Nicholson–Bailey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hệ phương trình sai phân được ứng dụng nhiều trong các lĩnh
vực khác nhau của tốn học, chẳng hạn như giải tích số, lý thuyết điều
khiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp,
khoa học máy tính, lý thuyết mạch, di truyền học, kinh tế học, tâm lý học
và xã hội học, ... . Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân là một
vấn đề thời sự của toán học được nhiều nhà toán học quan tâm.
Bên cạnh đó, lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết
định tính phương trình sai phân. Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở các
lĩnh vực khác nhau, nhất là trong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinh
thái và môi trường. Vì thế nó đang được phát triển mạnh mẽ theo cả lý
thuyết và ứng dụng.
Với những lý do đó, tơi chọn đề tài "Lý thuyết ổn định của hệ
phương trình sai phân" để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình
đào tạo thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
- Luận văn nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, phương pháp giải
một số hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một.
- Luận văn nghiên cứu lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và
một số ứng dụng của nó.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu, những nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn
là:
- Nghiên cứu các tài liệu khoa học về phương trình và hệ phương trình sai
1


2

phân;
- Trình bày lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và một số ứng
dụng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hệ phương trình sai phân, lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân
và ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của phương trình, hệ phương trình vi phân,
phương trình sai phân, sự ổn định của hệ phương trình vi phân.

6. Đóng góp mới của luận văn
Trình bày sự ổn định của hệ phương trình sai phân và các ứng dụng.

Chương 1
Phương trình và hệ phương trình sai
phân
Trong chương này chúng tơi trình bày các kiến thức cơ bản về phương
trình và hệ phương trình sai phân. Các kiến thức này chủ yếu dựa vào [4]
từ trang 57 đến trang 153.

1.1. Sai phân
1.1.1. Định nghĩa
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu hai tốn tử cần thiết cho phương trình sai
phân, đó là:
Tốn tử sai phân
∆x(n) = x(n + 1) − x(n).
Toán tử dịch chuyển
Ex(n) = x(n + 1) → E 2 x(n) = E(Ex(n))
= Ex(n + 1) = x(n + 2) → E k x(n) = x(n + k).
1.1.2. Tính chất
1. Cho I là toán tử đồng nhất Ix = x. Ta có,
∆ = E − I → E = ∆ + I.
Do đó,
k
k

k

i
(−1)i Ck E k−i x(n)

∆ x(n) = (E − I) x(n) =

(1.1.1)

i=0
k
k

k

i
Ck ∆k−i x(n)

E x(n) = (∆ + I) x(n) =
i=0

3

(1.1.2)


4

2. ∆ và E là các tốn tử tuyến tính
∆[ax(n) + by(n)] = a∆x(n) + b∆y(n)
E[ax(n) + by(n)] = aEx(n) + bEy(n)
3.

n−1

∆x(k) = x(n) − x(n0 ),

k=n0
n−1

∆(

x(k)) = x(n).

k=n0

4. Cho P (n) là một đa thức bậc k, khi đó
∆k P (n) = a0 k!

(1.1.3)

∆k+i P (n) = 0, ∀i ≥ 1.

(1.1.4)

Thật vậy, với P (n) = a0 nk + a1 nk−1 + · · · + ak , ta có
∆P (n) = [a0 (n + 1)k + a1 (n + 1)k−1 + · · · + ak ]
− [a0 nk + a1 nk−1 + · · · + ak ]
= a0 knk−1 + Q1 (n), Q1 (n) là đa thức có bậc nhỏ hơn k − 1.
Tương tự,
∆2 P (n) = a0 k(k − 1)nk−2 + Q2 (n)
Q2 (n) là đa thức có bậc nhỏ hơn k − 2.
Tiếp tục quá trình k lần ta thu được
∆k P (n) = a0 k!.
Do đó, ∆k+i P (n) = 0,

∀i ≥ 1.

1.1.3. Đa thức giai thừa
Một trong những hàm thú vị nhất của tính tốn sai phân đó là đa thức
giai thừa x(k) . Với x ∈ R
x(k) = x(x − 1) . . . (x − k + 1),

k ∈ Z+ .


5

Nếu x = n ∈ Z+ và n ≥ k thì
n(k) =

n!
và n(n) = n!.
(n − k)!

Bây giờ ta xác định ∆ và E trên những hàm liên tục
∆f (t) = f (t + 1) − f (t) và Ef (t) = f (t + 1).
Với f (x) = x(k) ta có
∆x(k) = (x + 1)(k) − x(k) và Ex(k) = (x + 1)k .
Tính chất: cố định k ∈ Z+ và x ∈ R ta có
(i) ∆x(k) = kx(k−1) ;
(ii) ∆n x(k) = k(k − 1) . . . (k − n + 1)x(k−n) ;
(iii) ∆k x(k) = k!.

1.2. Phương trình sai phân tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1. Phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần nhất

cấp k có dạng
y(n + k) + p1 (n)y(n + k − 1) + · · · + pk (n)y(n) = g(n)

(1.2.1)

với pi (n), g(n) là những hàm thực xác định với ∀n ≥ n0 , pk (n) = 0.
Nếu g(n) ≡ 0 thì phương trình (1.2.1) gọi là phương trình thuần nhất.
Từ (1.2.1) ta có
y(n + k) = −p1 (n)y(n + k − 1) − · · · − pk (n)y(n) + g(n).

(1.2.2)

Cho n = 0 ta có y(k) = −p1 (0)y(k−1)−p2 (0)y(k−2)−· · ·−pk (0)y(0)+g(0).
Cho n = 1 ta có y(k+1) = −p1 (1)y(k)−p2 (1)y(k−1)−· · ·−pk (1)y(1)+g(1).
Bằng cách lặp lại q trình trên, ta có thể tính được giá trị của tất cả các
y(n) với n ≥ k.


6

1.2.2. Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính
Phương trình sai phân tuyến tính với điều kiện ban đầu
y(n + k) + p1 (n)y(n + k − 1) + · · · + pk (n)y(n) = g(n),

(1.2.3)

y(n0 ) = a0 , y(n0 + 1) = a1 , . . . , y(n0 + k − 1) = ak−1 ,
với ai ∈ R có nghiệm duy nhất y(n). Trong phần này ta sẽ nghiên cứu
phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k có dạng
x(n + k) + p1 (n)x(n + k − 1) + · · · + pk (n)x(n) = 0.

(1.2.4)

Định nghĩa 1.2.2. Một hệ gồm k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2.4)
được gọi là hệ nghiệm cơ bản các nghiệm.
Định nghĩa 1.2.3. Định thức Wronski của hệ nghiệm x1 (n), x2 (n), . . . , xr (n)
là


x1 (n)

x2 (n)

···

xr (n)





 x1 (n + 1)
x2 (n + 1)
···
xr (n + 1) 
.
W (n) = det 
.
.
.



.
.
.
.
.
···
.


x1 (n + r − 1) x2 (n + r − 1) · · · xr (n + r − 1)
(1.2.5)
Ví dụ 1.2.1. Cho phương trình
x(n + 3) − 7x(n + 1) + 6x(n) = 0.
Định thức Wronski của các nghiệm 1, (−3)n , 2n của phương trình trên là


n
n
1 (−3)
2


W (n) = det 1 (−3)n+1 2n+1  = −20.2n (−3)n .


1 (−3)n+2 2n+2

Bổ đề 1.2.1. (Bổ đề Abel)

Cho x1 (n), x2 (n), . . . , xk (n) là các nghiệm của (1.2.4) và W (n) là định thức
Wronski. Khi đó với n ≥ n0 ta có
n−1
k(n−n0 )

W (n) = (−1)

pk (i) W (n0 ).
i=n0

(1.2.6)


7

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bổ đề cho k = 3. Trường hợp tổng quát
chứng minh tương tự. Gọi x1 (n), x2 (n), x3 (n) là 3 nghiệm độc lập tuyến
tính của (1.2.4). Ta có




x (n + 1) x2 (n + 1) x3 (n + 1)
 1

W (n + 1) = det x1 (n + 2) x2 (n + 2) x3 (n + 2) .


x1 (n + 3) x2 (n + 3) x3 (n + 3)

(1.2.7)

Mặt khác, từ (1.2.4) ta có
xi (n + 3) = −p3 (n)xi (n) − [p1 (n)xi (n + 2) + p2 (n)xi (n + 1)].

(1.2.8)

Do đó




x1 (n + 1)
x2 (n + 1)
x3 (n + 1)


 x1 (n + 2)
x2 (n + 2)
x3 (n + 2) 




W (n + 1) = det  −p1 x1 (n)
−p3 x2 (n)
−p3 x3 (n) 


−p x (n + 2) −p x (n + 2) −p x (n + 2)

1 2
1 3
 1 1

−p2 x1 (n + 1) −p2 x2 (n + 1) −p2 x3 (n + 1)


x (n + 1) x2 (n + 1) x3 (n + 1)
 1

= det x1 (n + 2) x2 (n + 2) x3 (n + 2)


−p3 x1 (n) −p3 x2 (n) −p3 x3 (n)


x (n + 1) x2 (n + 1) x3 (n + 1)
 1

= −p3 (n)det x1 (n + 2) x2 (n + 2) x3 (n + 2)


x1 (n)
x2 (n)
x3 (n)


x (n)
x2 (n)
x3 (n)

 1

= −p3 (n)(−1)2 det x1 (n + 2) x2 (n + 2) x3 (n + 2)


x1 (n + 1) x2 (n + 1) x3 (n + 1)
= (−1)3 p3 (n)W (n).
Vậy
n−1

W (n) = [
i=n0

n−1
3

3(n−n0 )

(−1) p3 (i)]W (n0 ) = (−1)

p3 (i)W (n0 ).
i=n0


8

Hệ quả 1.2.1. Giả sử pk (n) = 0, ∀n ≥ n0 thì W (n) = 0, ∀n ≥ n0 khi và
chỉ khi W (n0 ) = 0.
Định lý 1.2.1. Hệ nghiệm của (1.2.4) x1 (n), x2 (n), . . . , xk (n) là một hệ
cơ bản nếu và chỉ nếu tồn tại n0 ∈ Z+ sao cho W (n0 ) = 0.

Ví dụ 1.2.2. Hệ {n, 2n } là hệ nghiệm cơ bản của phương trình
x(n + 2) −

2n
3n − 2
x(n + 1) +
x(n) = 0.
n−1
n−1

Định lý 1.2.2. Nếu pk (n) = 0, ∀n ≥ n0 thì (1.2.4) có một hệ nghiệm cơ
bản với mọi n ≥ n0 .
Chứng minh. Giả sử (1.2.4) có các nghiệm x1 (n), x2 (n), . . . , xk (n) sao cho
xi (n0 + i − 1) = 1, xi (n0 ) = xi (n0 + 1) = · · · = xi (n0 + i − 2)
= xi (n0 + i) = · · · = xi (n0 + k − 1) = 0∀1 ≤ i ≤ k.
Do đó,
x1 (n0 ) = 1, x2 (n0 + 1) = 1, x3 (n0 + 2) = 1, · · · , xk (n0 + k − 1) = 1.
Từ đó,
W (n0 ) = detI = 1.
Vậy hệ {x1 (n), x2 (n), · · · , xk (n)} là hệ nghiệm cơ bản của (1.2.4).
Bổ đề 1.2.2. Cho x1 (n), x2 (n) là hai nghiệm của (1.2.4). Khi đó:
(i) x(n) = x1 (n) + x2 (n) cũng là nghiệm của (1.2.4);
(ii) x(n) = ax1 (n) với a là hằng số bất kì cũng là nghiệm của (1.2.4).
˜
Định nghĩa 1.2.4. Cho {x1 (n), x2 (n), · · · , xk (n)} là hệ nghiệm cơ bản của
(1.2.4). Khi đó nghiệm tổng quát của (1.2.4) là:
k

xn =

ai xi (n) với ai là hằng số.
i=1


9

1.3. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với
hệ số hằng
Định nghĩa 1.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ
số hằng là phương trình có dạng
x(n + k) + p1 x(n + k − 1) + p2 x(n + k − 2) + · · · + pk x(n) = 0

(1.3.1)

với pi là các hằng số và pk = 0.
Xét phương trình đặc trưng
λk + p1 λk−1 + · · · + pk = 0.
Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1. Giả sử λ1 , λ2 , · · · , λk đôi một khác nhau. Ta sẽ chỉ ra
{λn , λn , · · · , λn } là một hệ nghiệm cơ bản của (1.3.1). Thật vậy, ta sẽ chỉ
1
2
k
ra W (0) = 0, trong đó W (n) là định thức Wronski,


1
1
1 ···
1



 λ1
λ2
λ3 · · · λk 


 2
2 .
2
2
W (0) = det  λ1
λ3 · · · λk 
λ2
 .
.
.
. 
 .
.
.
. 
.
.
. 
 .
k−1
λ1
λk−1 λk−1 · · · λk−1
2

3
k
Đây là định thức Vandermonde, nên
(λj − λi ).

W (0) =
1≤i
Rõ ràng W (0) = 0 do λj = λi với i = j. Như vậy {λn , λn , · · · , λn } là một
1
2
k
hệ nghiệm cơ bản của (1.3.1). Do đó, nghiệm tổng qt của phương trình
là

k

ai λn ,
i

x(n) =

ai ∈ C.

i=1

Trường hợp 2. Giả sử λ1 , λ2 , · · · , λr là nghiệm bội tương ứng m1 , m2 , . . . , mr
r

mi = k. Khi đó (1.3.1) có thể viết như sau:

với
i=1

(E − λ1 )m1 (E − λ2 )m2 · · · (E − λr )mr x(n) = 0.

(1.3.2)


10

Ta chú ý rằng nếu ψ1 (n), ψ2 (n), . . . , ψmi (n) là nghiệm của
(E − λi )mi x(n) = 0

(1.3.3)

thì cũng là nghiệm của (1.3.2). Thật vậy, giả sử ϕs (n) là nghiệm của (1.3.3)
thì (E − λi )mi ϕs (n) = 0. Giả sử ta có thể tìm được một hệ nghiệm cơ bản
của (1.3.3) với mỗi i, 1 ≤ i ≤ r, khi đó hợp của r hệ nghiệm cơ bản đó là
hệ nghiệm cơ bản của (1.3.2). Thật vậy, xét bổ đề sau
1
2
m
Bổ đề 1.3.1. Tập Gi = {λn , Cn λn−1 , Cn λn−2 , . . . , Cn i −1 λn−mi +1 } là một hệ
i
i
i
i

nghiệm cơ bản của (1.3.3).

r
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra rằng Cn λn−r là nghiệm của (1.3.3). Thật
i

vậy,
r n−r
r
(E − λi )mi Cn λi = λn−r (λi E − λi )mi Cn
i
r
r
= λn+mi −r (E − I)mi Cn = λn+mi −r ∆mi Cn = 0, theo (1.1.3).
i
i

Xét W (0) :
1

···

0

λi
W (0) =

0
1

···

0

λ2
i
.
.
.
λmi −1
i

1
2λi
···
0
= 0.
=
.
.
2!3! . . . (mi − 2)!
.
.
.
.
(mi − 1) mi −2 .
1
.
λi
.
1!
2!3! . . . (mi − 2)!

Định lý 1.3.1. G =

r
i=1 Gi

là một hệ nghiệm cơ bản của (1.3.2).

Chứng minh. Theo bổ đề trên, ta có các hàm của G là nghiệm của (1.3.2)


1
0
···
1
0


 λ1

1
· · · λr
1




2
W (0) = det  λ1
,

2λ1
· · · λr
2λr
 .

.
.
.
 .

.
.
.
.
.
.
.


k−1
k−2
k−1
k−2
λ1
(k − 1)λ1
· · · λr
(k − 1)λr


11

hay
(λj − λi )mj mi .

W (0) =
1≤i
Vì λi = λj với i = j nên W (0) = 0, từ đó W (n) = 0, ∀n ≥ 0. Vậy G là hệ
nghiệm cơ bản của (1.3.2).
Hệ quả 1.3.1. Nghiệm tổng quát của (1.3.2) là
n

λn (ai0 + ai1 n + ai2 n2 + · · · + ami −1 nmi −1 ).
i

x(n) =
i=1

Ví dụ 1.3.1. Cho phương trình
x(n + 3) − 7x(n + 2) + 16x(n + 1) − 12x(n) = 0
x(0) = 0,

x(1) = 1,

x(2) = 1.

Dễ thấy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
x(n) = 3.2n + 2n.2n − 3n+1 .

1.4. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

với hệ số hằng
Là hệ phương trình có dạng

 x1 (n + 1) = a11 x1 (n) + a12 x2 (n) + · · · + a1k xk (n)





 x2 (n + 1) = a21 x1 (n) + a22 x2 (n) + · · · + a2k xk (n)
 ···





 x (n + 1) = a x (n) + a x (n) + · · · + a x (n)
k
k1 1
k2 2
kk k
trong đó aij , 1 ≤ i, j ≤ k là các hằng số.
Đặt


a11 a12 · · · a1k






a21 a22 · · · a2k 

A= .
.
. .
 .
.
. 
.
.
 .
ak1 ak2 · · · akk


12

Hệ phương trình sai phân đã cho có thể viết dưới dạng ma trận như sau
x(n + 1) = Ax(n).

(1.4.1)

Nếu từ một giá trị n0 > 0 mà x(n0 ) = x0 cho trước thì hệ (1.4.1) được gọi
là bài tốn có giá trị ban đầu.
Bằng quy nạp, ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của hệ phương trình (1.4.1)
được cho bởi
x(n, n0 , x0 ) = An−n0 x0 ,

(1.4.2)

với A0 = I là ma trận đơn vị và x(n0 , n0 , x0 ) = x0 .
Nếu n0 = 0 thì nghiệm trong cơng thức (1.4.2) có thể viết là x(n, n0 )
hoặc đơn giản là x(n). Không làm mất tính tổng qt chúng ta có thể giả
sử n0 = 0.
Đặt y(n − n0 ) = x(n), khi đó hệ (1.4.1) trở thành:

 y(n + 1) = Ay(n);

(1.4.3)

 y = x(n ) và y(n) = An y .
0
0
0
Như vậy bài tốn giải giải hệ phương trình sai phân (1.4.3) được đưa về
bài tốn tính ma trận An . Xét phương trình đặc trưng của hệ (1.4.3)
det(A − λI) = 0 ⇔ λk + a1 λk−1 + · · · + ak−1 λ + ak = 0.

(1.4.4)

Giả sử phương trình (1.4.4) có các nghiệm là λ1 , . . . , λk . Đặt
k

(λ − λj ).

P (λ) =

(1.4.5)

j=1

Định lý 1.4.1. (Định lí Cayley-Hamilton)
Mọi ma trận đều thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó, tức là
k

(A − Aj ) = 0.

P (A) =

(1.4.6)

j=1

Hay
Ak + a1 Ak−1 + · · · + ak I = 0.

(1.4.7)


13

Thuật tốn Putzer tìm ma trận An .
Định lý 1.4.2. Cho A là một ma trận thực cấp k, có các giá trị riêng
λ1 , λ2 , . . . , λk . Khi đó
s
n

uj (n)M (j − 1).

A =

(1.4.8)

j=1

Trong đó
M (j) = (A − λj I)M (j − 1), M (0) = I

(1.4.9)

Bằng quy nạp ta có thể chỉ ra rằng
n

(A − λj I)

M (n) =

(1.4.10)

j=1

Ta thấy rằng, từ định lí Cayley-Hamilton ta có
n

(A − λj I) = 0.

M (k) =
j=1

Ngoài ra M (n) = 0,

∀n ≥ k. Nếu cho n = 0 thì từ cơng thức (1.4.8) ta

có
A0 = I = u1 (0)I + u2 (0)M (1) + u3 (0)M (2) + · · · + uk (0)M (k − 1). (1.4.11)
Do đó, u1 (0) = 1 và u2 (0) = u3 (0) = · · · = uk (0) = 0.
Mặt khác, từ (1.4.8) cũng có
k

A

n+1

uj (n + 1)M (j − 1)

=

(1.4.12)

j=1

và
k
n+1

A

n

k

uj (n)M (j − 1) =

= A.A = A
j=1

uj (n)AM (j − 1). (1.4.13)
j=1

Từ (1.4.12) và (1.4.13) ta có
k

k

uj (n + 1)M (j − 1) =
j=1

uj (n)AM (j − 1),
j=1

(1.4.14)


14

từ (1.4.9) ta có
AM (j − 1) = M (j) + λIM (j − 1)

(1.4.15)

Bây giờ ta sẽ xây dựng công thức xác định hàm u(n). Từ (1.4.15) và từ
(1.4.14) ta có:
k

k

uj (n + 1)M (j − 1) =
j=1

uj (n)[M (j) + λj M (j − 1)].

(1.4.16)

j=1

So sánh các hệ số của M (j), 1 ≤ j ≤ k trong cơng thức (1.4.16) ta có

u1 (n + 1) = λ1 u1 (n)
u1 (0) = 0





u2 (n + 1) = λ2 u2 (n) + u1 (n)
u2 (0) = 0
(1.4.17)
· · ·






u (n + 1) = λ u (n) + u (n)
uk (0) = 0.
k
k k
k−1
Nghiệm của hệ phương trình sai phân (1.4.17) được xác định bởi

 u1 (n) = λn

1
n−1

 uj (n) =


i=0

λn−1−i uj−1 (i),
j

(1.4.18)

j = 2, 3, · · · , k.

Ví dụ 1.4.1. Hệ phương trình

x1 (n + 1) = x2 (n) + x3 (n)





x (n + 1) = −2x1 (n) + 3x2 (n) + x3 (n)
 2


x (n + 1) = −3x (n) + x (n) + 4x (n)
3
1
2
3

có nghiệm được xác định bởi
x(n) = An x(0)
hay


n−1

n

n−1

n−1

n

n



(2
− 3 − n.2 )x1 (0)
n.2 x2 (0)
(−2 + 3 )x3 (0)


x(n) = (2n−1 − 3n − n.2n−1 )x1 (0) (n + 2).2n−1 x2 (0) (−2n + 3n )x3 (0) 


n−1
n
n−1
n
n
((4 − n)2
− 2.3 )x1 (0)
n.2 x2 (0)
(−2 + 2.3 )x3 (0)
với x(0) = (x1 (0), x2 (0), x3 (0))T .


15

1.5. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
với hệ số phụ thuộc n
Xét hệ phương trình sai phân
x(n + 1) = A(n)x(n)

(1.5.1)

trong đó A(n) = (aij (n)) là một ma trận cấp k không suy biến. Ta chỉ xét
sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (1.5.1).
Định lý 1.5.1. Với mỗi nghiệm x0 ∈ Rk và n0 ∈ Z+ thì có duy nhất một
nghiệm x(n, n0 , x0 ) của hệ phương trình (1.5.1) với x(n0 , n0 , x0 ) = x0 cho
trước.
Chứng minh. Từ (1.5.1) ta có
x(n0 + 1, n0 , x0 ) = A(n0 )x(n0 ) = A(n0 )x0 ,
x(n0 + 2, n0 , x0 ) = A(n0 + 1)x(n0 + 1) = A(n0 + 1)A(n0 )x0 .
Bằng phương pháp qui nạp toán học, ta có thể kết luận:
n−1

x(n, n0 , x0 ) = [

A(j)]x0 ,

(1.5.2)

j=n0

trong đó A(n0 ) = I.
Cơng thức (1.5.2) chứng tỏ sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình (1.5.1).
Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng khái niệm ma trận cơ sở trong lí thuyết
hệ phương trình sai phân.
Định nghĩa 1.5.1. Nghiệm x1 (n), x2 (n), . . . , xk (n) của hệ phương trình
sai phân (1.5.1) được gọi là độc lập tuyến tính với n ≥ n0 ≥ 0 nếu:
C1 x1 (n) + C2 x2 (n) + · · · + Ck xk (n) = 0,

thì C1 = C2 = · · · = Ck = 0.

n ≥ n0


16

Giả sử Φ(n) là ma trận cột các nghiệm của hệ phương trình (1.5.1). Ta
viết
Φ(n) = [x1 (n), x2 (n), . . . , xk (n)].
Khi đó
Φ(n + 1) = [A(n)x1 (n), A(n)x2 (n), . . . , A(n)xk (n)]
= A(n)[x1 (n), x2 (n), . . . , xk (n)]
= A(n)Φ(n).
Do đó, Φ(n) thỏa mãn phương trình sai phân
Φ(n + 1) = A(n)Φ(n).

(1.5.3)

Ngoài ra nghiệm x1 (n), x2 (n), . . . , xk (n) là độc lập tuyến tính với n ≥ n0
khi và chỉ khi ma trận Φ(n) là không suy biến với mọi n ≥ n0 tức là
detΦ(n) = 0

n ≥ n0 .

Định nghĩa 1.5.2. Nếu Φ(n) là ma trận không suy biến với mọi n ≥ n0
và thỏa mãn (1.5.3) thì nó được gọi là ma trận cơ sở của (1.5.1).
Chú ý rằng Φ(n) là một ma trận cơ sở và C là ma trận hằng số thì
CΦ(n) cũng là một ma trận cơ sở của (1.5.1). Như vậy có rất nhiều ma
trận cơ sở của hệ (1.5.1) trong đó có một ma trận đã biết là

n

Φ(n) =

A(i) với Φ(n0 ) = I.
i=n0

Đặc biệt khi A là ma trận hằng thì Φ(n) = An−n0 nếu n0 = 0 thì Φ(n) = An .
Hệ quả 1.5.1. Có duy nhất một ma trận ψ(n) thỏa mãn phương trình
(1.5.3) và ψ(n0 ) = I.
Hệ quả 1.5.2. Nghiệm của hệ (1.5.1) với giá trị ban đầu x(n0 , n0 , x0 ) = x0
được cho bởi công thức:
x(n, n0 , x0 ) = Φ(n, n0 )x0 .

(1.5.4)


17

Bổ đề 1.5.1. (Bổ đề Abel)
Với mỗi n ≥ n0 ≥ 0 ta đều có
n−1

detΦ(n) =

[detA(i).detΦ(n0 )].

(1.5.5)

i=n0

Hệ quả 1.5.3. Nếu trong hệ phương trình (1.5.1), A là ma trận hằng thì
detΦ(n) = [detA(i)]n−n0 .detΦ(n0 ).
Hệ quả 1.5.4. Ma trận cơ sở Φ(n) là không suy biến với mọi n ≥ n0 khi
và chỉ khi Φ(n0 ) là không suy biến.
Như vậy, để kiểm tra tính độc lập tuyến tính của ma trận cơ sở Φ(n)
với n ≥ n0 , ta chỉ cần chỉ ra rằng nó độc lập tuyến tính tại n = n0 .
Hệ quả 1.5.5. Các nghiệm x1 (n), x2 (n), . . . , xk (n) của hệ (1.5.1) độc lập
tuyến tính với n ≥ n0 khi và chỉ khi Φ(n0 ) là không suy biến.
Hệ quả 1.5.6. Hệ phương trình sai phân (1.5.1) có k nghiệm độc lập tuyến
tính với n ≥ n0 .
Chứng minh. Với mỗi i = 1, 2, . . . , k, đặt ei = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0) thì ei
là một véctơ trong Rk . Theo định lí 1.5.1, với mỗi ei , 1 ≤ i ≤ k, tồn
tại nghiệm x(n, n0 , ei ) của hệ (1.5.1) sao cho x(n0 , n0 , ei ) = ei . Khi đó
Φ(n0 ) = I nên Φ(n0 ) là không suy biến. Theo hệ quả (1.5.5) ta thu được
hệ nghiệm {x(n, n0 , ei ), 1 ≤ i ≤ k} là độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.5.3. Giả sử {xi (n) : 1 ≤ i ≤ k} là các nghiệm độc lập tuyến
tính của hệ (1.5.1) thì nghiệm tổng quát của hệ này cho bởi công thức
k

x(n) =

Ci xi (n)
i=1

với Ci ∈ R và tồn tại ít nhất một số Ci = 0.
Cơng thức (1.5.6) có thể viết là x(n) = Φ(n)C trong đó
Φ(n) = (x1 (n), x2 (n), . . . , xk (n))
là một ma trận cơ sở của hệ (1.5.1).

(1.5.6)


18

1.6. Hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần
nhất với hệ số phụ thuộc n.
Xét hệ phương trình sai phân
y(n + 1) = A(n)y(n) + g(n)

(1.6.1)

trong đó A(n) = (aij (n)) là ma trận vuông cấp k không suy biến, g(n) ∈ Rk .
Định lý 1.6.1. Mọi nghiệm y(n) của hệ phương trình (1.6.1) có thể viết
dưới dạng y(n) = Φ(n)C + yp (n) với C là một véctơ hằng cho trước và
yp (n) là một nghiệm riêng của hệ phương trình (1.6.1).
Chứng minh. Giả sử y(n) là một nghiệm bất kì, yp (n) là một nghiệm riêng
của hệ phương trình (1.6.1). Đặt
x(n) = y(n) − yp (n)

n ≥ n0 .

Khi đó ta có
x(n + 1) = y(n + 1) − yp (n + 1) = A(n)y(n) + g(n) − A(n)yp (n) − g(n)
= A(n) [y(n) − yp (n)]
= A(n)x(n),
do đó, x(n) là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất (1.5.1). Hay
x(n) = Φ(n)C
với C là véctơ hằng nào đó. Như vậy
y(n) − yp (n) = Φ(n)C,

hay
y(n) = yp (n) + Φ(n)C.

Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng công thức tìm nghiệm riêng yp (n) của hệ
phương trình (1.6.1).


19

Bổ đề 1.6.1. Một nghiệm riêng của hệ phương trình (1.6.1) được xác định
bởi công thức
n−1

Φ(n, r + 1)g(r) với yp (n0 ) = 0.

yp (n) =
r=n0

Chứng minh. Do
n−1

yp (n) =

Φ(n, r + 1)g(r)
r=n0

với mọi n ≥ n0 , nên
n−1

yp (n + 1) =

Φ(n + 1, r + 1)g(r)
r=n0
n−1

=

Φ(n + 1, r + 1)g(r) + Φ(n + 1, r + 1)g(n)
r=n0
n−1

=

A(n)Φ(n, r + 1)g(r) + Φ(n + 1, r + 1)g(n)
r=n0

= A(n)yp (n) + g(n).
Do đó yp (n) là nghiệm của hệ phương trình (1.6.1) và yp (n0 ) = 0.
Định lý 1.6.2. Nghiệm duy nhất của hệ phương trình sai phân với giá trị
ban đầu
y(n + 1) = A(n)y(n) + g(n),

y(n0 ) = y0

(1.6.2)

được cho bởi công thức
n−1

y(n, n0 , y0 ) = Φ(n, n0 )y0 +

Φ(n, r + 1)g(r),

(1.6.3)

r=n0

cụ thể hơn
n−1

y(n, n0 , y0 ) =

n−1

n−1

A(i) y0 +

A(i) g(r).
r=n0

i=n0

(1.6.4)

i=r+1

Hệ quả 1.6.1. Nếu A là ma trận hằng thì nghiệm của hệ phương trình
(1.6.2) được xác định bởi
n−1

y(n, n0 , y0 ) = A

n−n0

An−r−1 g(r).

y0 +
r=n0

(1.6.5)


20

Ví dụ 1.6.1. Hệ phương trình sai phân
y(n + 1) = Ay(n) + g(n),
trong đó A =

2 1

, g(n) =

n

, y(0) =

1

. Dùng thuật tốn Putzer

0 2
1
0
ta có nghiệm của hệ đã cho là


3
n
n−1
2 + n.2
− n
4 .
y(n) = 
n
2 −1