Toán tử chiếu suy rộng trên không gian banach và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
ĐOÀN TRƯỜNG
TOÁN TỬ CHIẾU SUY RỘNG
TRÊN KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội - 2014

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban
giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp THPT Sóc Sơn, gia đình và bạn
bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá
trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Đoàn Trường
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Toán tử chiếu
suy rộng trên không gian Banach và ứng dụng” được hoàn thành
bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Đoàn Trường
Mục lục
Mở đầu. . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Khái niệm không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Toán tử tuyến tính, toán tử compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Không gian liên hợp, tôpô yếu và tôpô yếu* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4. Không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5. Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2. Toán tử chiếu suy rộng và ứng dụng . . . . . . . . . . 21
2.1. Toán tử chiếu trên không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach . . . . . . . . . . . 27
2.2.1. Toán tử chiếu metric P
K
trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2. Toán tử chiếu suy rộng π
K
trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3. Toán tử chiếu suy rộng Π
K
trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3. Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach phản xạ, lồi chặt

và trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4. Ứng dụng vào nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Toán tử chiếu
P
K
: H → K,
trong đó H là một không gian Hilbert và K là một tập con lồi đóng của
H, đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học, như: Lý thuyết tối
ưu, lý thuyết điểm bất động, quy hoạch phi tuyến, lý thuyết trò chơi, bất
đẳng thức biến phân, và các bài toán bù (xem [4] và những tài liệu dẫn
trong đó).
Năm 1994, Alber [4] đã đưa ra các toán tử chiếu suy rộng
π
K
: B
∗
→ K và Π
K
: B → K
khi xét B là các không gian Banach lồi đều và trơn, ở đây B* là không
gian đối ngẫu của B. Trong [5] Alber đã đưa ra một số ứng dụng của toán
tử chiếu π
K
, Π
K

vào giải bất đẳng thức biến phân và bài toán tìm giao
của Von-Neumann trong không gian Banach. Nhiều tác giả đã quan tâm
nghiên cứu những toán tử chiếu suy rộng và ứng dụng của chúng. Những
nghiên cứu đó có thể tìm thấy trong [6] và các tài liệu dẫn trong đó.
Sau khi học những kiến thức trong chương trình đào tạo Thạc sĩ Toán
giải tích, với mong muốn hiểu biết sâu hơn về những kiến thức đã học, mối
quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Toán tử
chiếu suy rộng trên không gian Banach và ứng dụng” để thực hiện
luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình.
1
2
2. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phạm vi nghiên
cứu
Mục đích của đề tài này là tìm hiểu, khảo sát và nắm vững được những
tính chất của các toán tử chiếu trên không gian Banach và những ứng dụng
của chúng.
Thu thập tài liệu qua các bài báo đã được đăng và sách đã in, đọc
và phân tích, so sánh và tổng hợp để có một tổng quan về phép chiếu và
phép chiếu suy rộng.
Tìm những ví dụ minh họa và một số ứng dụng trong các bài toán
bất đẳng thức biến phân.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phép chiếu metric trên không gian Hilbert và suy rộng của nó trên
không gian Banach phản xạ.
Một số ứng dụng vào Lý thuyết tối ưu và bất đẳng thức biến phân.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm và giải tích biến phân.
5. Đóng góp của đề tài
Trình bày tổng quan về các toán tử chiếu suy rộng và một số ứng dụng
trong giải bất đẳng thức biến phân.

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản về không gian
Banach thực, Hilbert thực và một số kiến thức có liên quan khác, xem như
là công cụ sẽ dùng đến trong chương sau. Chứng minh các kết quả này có
thể tìm trong [1], [2] và [3]
1.1. Không gian Banach
1.1.1. Khái niệm không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian tuyến tính trên R cùng với một
ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn 3
tiên để sau:
1) ||x|| ≥ 0 (∀x ∈ X); ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
2) ||λx|| = |λ|||x|| (∀x ∈ X, ∀λ ∈ R);
3) ||x + y|| ≤ ||x||+ ||y|| (∀x, y ∈ X).
Số x gọi là chuẩn của véc-tơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn
là X.
Định nghĩa 1.2. Không gian tuyến tính thực cùng với một chuẩn xác định
trong X được gọi là một không gian định chuẩn thực.
3
4
Định nghĩa 1.3. Dãy {x
n
} trong không gian định chuẩn X được gọi là
hội tụ đến x
0
∈ X nếu:
lim
n→∞
x
n

− x
0
 = 0;
kí hiệu: x
n
→ x
0
hoặc lim
n→∞
x
n
= x
0
Định nghĩa 1.4. Dãy {x
n
} trong không gian định chuẩn X được gọi là
dãy Cauchy nếu
lim
n,m→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
1.1.2. Toán tử tuyến tính, toán tử compact
Giả sử X và X

là hai không gian tuyến tính trên R ánh xạ: f : X → X


.
Định nghĩa 1.6. f được gọi là một ánh xạ tuyến tính, hoặc toán tử tuyến
tính, hay gọi tắt là toán tử, nếu ∀x ∈ X, ∀y ∈ X

, ∀α, β ∈ R,
f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).
Sau đây ta thường gọi f là toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.7. Toán tử tuyến tính f : X → X

được gọi là bị chặn nếu
∃k > 0, ∀x ∈ X,
||f(x)|| ≤ k||x||. (1.1)
Định lý 1.1. Giả sử X và X

là hai không gian định chuẩn f : X → X

là một toán tử tuyến tính thì các mệnh đề sau đây tương đương
(i) f là liên tục đều;
5
(ii) f là liên tục ;
(iii) f liên tục tại điểm 0 ∈ X;
Nhận xét 1.1.
a) Đối với các toán tử tuyến tính, các khái niệm liên tục và bị chặn là
tương đương.
b) Từ (1.1) suy ra
sup
x∈X,x=0
f(x)
x

< +∞.
Định nghĩa 1.8. Giả sử X và X

là các không gian định chuẩn trên R.
Kí hiệu L(X, X

) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào
X

. L(X, X

) là không gian véc-tơ con của R - không gian véc-tơ L(X, X

)
tất cả các ánh xạ tuyến tính từ X vào X

. Với mỗi f ∈ L(X, X

), đặt
f = inf {k : f(x) ≤ k x,∀x ∈ X}
Định nghĩa 1.9. Cho không gian metric M = (X, d). Tập K ⊂ X gọi là
tập compact trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K
đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K. Tập K gọi là tập compact
tương đối trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K
đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập X.
Định nghĩa 1.10. Giả sử X và X

là các không gian định chuẩn. Ánh xạ
(toán tử) tuyến tính f : X → X


được gọi là toán tử compact nếu ảnh f(B)
của hình cầu đơn vị B trong X là compact tương đối trong X

.
Nếu f là toán tử compact thì
f = sup
x∈B
f(x) = sup

y : y ∈ f(B)

< ∞,
6
do vậy f liên tục. Toán tử compact nói chung là chặt chẽ hơn toán tử liên
tục. Do đó toán tử compact còn được gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.
Định lý 1.2. Nếu f là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn X

thì các mệnh đề sau đây là tương đương:
a) f compact;
b) Nếu A là tập bị chặn trong X thì f(A) là tập compact tương đối
trong X

;
c) Nếu {x
n
} là dãy bị chặn trong X thì tồn tại dãy con {x
n
K
} để dãy

{f(x
n
K
)} hội tụ trong X

Định nghĩa 1.11. Toán tử tuyến tính A : X → X

được gọi là hữu hạn
chiều, nếu niềm giá trị của toán tử A là một không gian con hữu hạn chiều
của Y .
Định lý 1.3. Giả sử X, X

là các không gian định chuẩn; A, B : X → X

là toán tử compact. Khi đó, với mọi số α, β toán tử αA + βB là compact.
Định lý 1.4. Giả sử X là không gian định chuẩn, X

là không gian Banach,
A
n
∈ L(X, X

) (n = 1, 2, ) là dãy toán tử compact, hội tụ trong L(X, X

)
đến toán tử A ∈ L(X, X

), tức là:
lim
n→∞

A
n
− A = 0.
Khi đó A là toán tử compact.
1.1.3. Không gian liên hợp, tôpô yếu và tôpô yếu*
Định nghĩa 1.12. Giả sử X là một không gian định chuẩn trên R. Ta
gọi X
∗
= L(X, R) là không gian liên hợp của X và gọi X
∗∗
= L(X
∗
, R) là
không gian liên hợp thứ hai của X.
7
Xét ánh xạ ϕ : X → X
∗∗
xác định bởi ϕ(x)(f) = f(x) với mọi x ∈
X, f ∈ X
∗
. Giả sử x, y ∈ X, α, β ∈ R ta có
ϕ(αx + βy)(f) = f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)
= (αϕ(x))(f) + (βϕ(y))(f)
với mọi f ∈ X
∗
, vậy ϕ là ánh xạ tuyến tính. Mặt khác
|ϕ(x)(f)| = |f(x)| ≤ ||f||.||x|| với mọi f ∈ X
∗
nên
||ϕ(x)|| = sup

f=1
|ϕ (x) (f)| ≤ x.
Với mọi x ∈ X, x = 0 tồn tại f ∈ X
∗
với ||f|| = 1 và f(x) = ||x||. Do đó
|ϕ(x)(f)| = |f(x)| = ||x||, nghĩa là ||ϕ(x)|| = ||x||. Ta có kết quả sau.
Định lý 1.5. Ánh xạ chính tắc ϕ : X → X
∗
là tuyến tính và thỏa mãn
||ϕ(x)|| = ||x|| với mọi x ∈ X. Do đó ϕ là phép nhúng đẳng cự X vào X
∗∗
.
Định nghĩa 1.13. Không gian X được gọi là phản xạ nếu phép nhúng
chính tắc nói trên là toàn ánh, nghĩa là đẳng cấu.
Định nghĩa 1.14. Tôpô yếu nhất trên X để các ánh xạ f ∈ X
∗
liên tục
được gọi là tôpô yếu trên X.
Lấy điểm x ∈ X, để ánh xạ f liên tục tại x cần và đủ là các tập dạng
U(f, x, ε) = {y ∈ X : |f(y) − f(x)| < ε}
là tập mở. Gọi σ là tôpô yếu trên X thì σ là tôpô sinh bởi họ các tập nói
trên, tức là tôpô gồm tất cả các hợp tùy ý của các giao hữu hạn của các
tập đã chỉ ra. Một cách cụ thể W ∈ σ nếu và chỉ nếu mọi x ∈ W tồn tại
8
hữu hạn hàm f
1
, f
2
, , f
n

∈ X
∗
và ε > 0 sao cho U(f
1
, f
2
, , f
n
, x, ε) ⊂ W,
ở đây
U(f
1
, f
2
, , f
n
, x, ε) =
n
∩
i=1
U (f
i
, x, ε)
= {y ∈ E : sup
1≤i≤n
|f
i
(y) − f
i
(x)| < ε}.

Định nghĩa 1.15. Dãy {x
n
} ∈ X được gọi là hội tụ yếu đến x ∈ X, kí
hiệu là x
n
 x, nếu mọi lân cận yếu U của x tồn tại n
0
sao cho x
n
∈ U
với mọi n ≥ n
0
. Nói cách khác x
n
 x, nếu mọi f
1
, f
2
, , f
p
∈ X
∗
, ε > 0
tồn tại số n
0
sao cho x
n
∈ U(f
1
, f

2
, , f
n
, x, ε) với mọi n ≥ n
0
.
Sự hội tụ yếu có đặc trưng sau đây.
Bổ đề 1.1. Dãy {x
n
} trong không gian định chuẩn X hội tụ yếu đến x ∈ X
nếu và chỉ nếu f(x
n
) → f(x) với mọi f ∈ X
∗
.
Từ bổ đề này ta thấy rằng nếu x
n
→ x thì x
n
 x. Điều ngược lại
chỉ luôn luôn đúng trong trường hợp X hữu hạn chiều. Nhờ phép nhúng
ϕ : X → X
∗∗
, mỗi x ∈ X được đồng nhất với một phần tử của X
∗∗
, tức là
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X
∗
.
Định nghĩa 1.16. Tôpô yếu nhất trên X

∗
để các phiếm hàm
x ∈ X ≡ ϕ(X) ⊂ X
∗∗
liên tục được gọi là tôpô yếu* trên X
∗
.
Hệ quả 1.1. Hình cầu đơn vị đóng B

∗
(0; 1) trong không gian liên hợp X
∗
của không gian định chuẩn X là compact yếu*.
Cặp đối ngẫu tổng quát:
9
Cho X và Y là hai không gian véc-tơ và ., . : X ×Y → R là một dạng
song tuyến tính tách được theo từng biến. Nghĩa là
x, λy
1
+ µy
2
 = λ(x, y
1
) + µ(x, y
2
); ∀x ∈ X, y
1
, y
2
∈ Y, λ, µ ∈ R,

λx
1
+ µx
2
, y = λ(x
1
, y) + µ(x
2
, y); ∀x
1
, x
2
∈ X, y ∈ Y, λ, µ ∈ R.
∀x
0
∈ X\{0}, ∃y ∈ Y : x
0
, y = 0, .
∀y
0
∈ Y \{0}, ∃x ∈ X : x, y
0
 = 0.
Lúc đó, mỗi y ∈ Y cố định sẽ xác định một phiếm hàm tuyến tính trên
X theo quy tắc
x ∈ X → x, y ∈ R,
và mỗi x ∈ X cũng xác định một phiếm hàm tuyến tính trên Y bởi
y ∈ Y → x, y ∈ R.
Như vậy có thể xem X là một không gian véc-tơ những phiếm hàm trên
Y , hay X ≤ Y


. Tương tự, Y ≤ X

. Ta sẽ kí hiệu tôpô yếu nhất trên X
bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm y ∈ Y bởi σ(X, Y ) và tôpô yếu
nhất trên Y bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm x ∈ X bởi σ(X, Y )
Định lý 1.6. σ(X, Y ) là tôpô trên X. Hơn nữa, không gian liên hợp của
(X, σ(X, Y )) cũng chính là Y.
Dĩ nhiên, một kết quả tương tự cũng đúng đối với tôpô σ(X, Y ) và ta
cũng có (Y, σ(X, Y ))
∗
= X. Để chứng minh các kết quả này ta cần đến bổ
đề sau.
Bổ đề 1.2. Nếu f
1
, f
2
, , f
m
và g là các phiếm hàm tuyến tính trên không
gian véc-tơ X sao cho
m

i=1
Kerf
i
⊂ Kerg,
10
thì g là một tổ hợp tuyến tính của họ {f
1

, f
2
, , f
m
}.
Hệ quả 1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn với không gian liên
hợp X
∗
. Lúc đó với dạng song tuyến tính x, f = f(x) trên X × X
∗
ta có
σ(X, X
∗
) = τ
ω
∗
. Đặc biệt, (X, τ
ω
)
∗
= X
∗
và (X
∗
, τ
ω
∗
)
∗
= X.

Do tính đối xứng giữa các không gian X và X
∗
, được thể hiện qua hệ
quả trên, ta thường kí hiệu các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không
gian X là x
∗
∈ X
∗
và viết x
∗
, x thay cho x
∗
(x). Nghĩa là x
∗
, x = x
∗
(x).
1.1.4. Không gian Banach phản xạ
Trong mục này, ta xét trường hợp X là một không gian định chuẩn và
X
∗
là không gian liên hợp của nó. Ta đã biết X
∗
cũng là một không gian
định chuẩn, hơn nữa là không gian Banach, với chuẩn được xác định bởi
x
∗
 = sup {|x, x
∗
| : x ≤ 1}, x

∗
∈ X
∗
.
Không gian định chuẩn X
∗
cũng có không gian liên hợp gồm các phiếm
hàm tuyến tính liên tục X
∗∗
trên nó mà ta kí hiệu là X
∗∗
, chuẩn
x
∗∗
 = sup {|x
∗
, x
∗∗
| : x ≤ 1}, x
∗∗
∈ X
∗∗
.
Chú ý rằng trên X
∗
cũng tồn tại hai tôpô, đó là tôpô sinh bởi chuẩn mà
ta gọi là tôpô mạnh và tôpô yếu* τ
ω
∗
= σ (X

∗
, X) . Vì
|x, x
∗
| ≤ x
∗
; ∀ ∈ X, x
∗
∈ X
∗
,
nên sự hội tụ theo chuẩn kéo theo sự hội tụ yếu*, hay tôpô yếu* là yếu hơn
tôpô mạnh. Bây giờ với mỗi phần tử x ∈ X, phiếm hàm tuyến tính tương
ứng φ
x
đã xét là liên tục theo tôpô σ (X
∗
, X) nên cũng liên tục theo tôpô
chuẩn, tức là φ
x
∈ X
∗∗
. Mặt khác, chuẩn của trong X
∗∗
được xác định bởi
φ
x
 = sup {|x
∗
, φ

x
| : x
∗
 ≤ 1} = sup {|x, x
∗
| : x
∗
 ≤ 1} = x.
11
Như vậy, ánh xạ Φ : X → X
∗∗
với Φ(x) = φ
x
là một phép nhúng đẳng
cự từ X vào X
∗∗
và do đó, có thể đồng nhất X với không gian con Φ(x)
của X
∗∗
. Với quan điểm như vậy, từ nay về sau ta luôn xem X là không
gian con của không gian X
∗∗
. Không gian định chuẩn X được gọi là không
gian phản xạ nếu X = X
∗∗
(tức là ánh xạ nhúng là một song ánh từ X lên
X
∗∗
, điều này xảy ra khi và chỉ khi Φ(B


) = B
∗∗
. Vì không gian X
∗∗
luôn
luôn là không gian Banach, nên một không gian phản xạ phải là không
gian Banach. Định lý dưới đây cho thấy khi nào một không gian Banach
là phản xạ.
Định lý 1.7. Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi hình
cầu đơn vị đóng B

(0; 1) là compact yếu.
Hệ quả 1.3. Trong một không gian phản xạ mọi tập lồi, đóng, bị chặn là
compact yếu.
Hệ quả 1.4. Trong một không gian phản xạ mọi dãy bị chặn đều tồn tại
dãy con hội tụ yếu.
Định nghĩa 1.17. (Không gian lồi đều) Một không gian Banach X gọi là
lồi đều nếu ∀ε > 0 ∃δ > 0 sao cho với bấy kỳ x, y ∈ X, x ≤ 1, y ≤ 1
và x − y > ε thì ta có




x + y
2




≤ 1 − δ.

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, trong không gian lồi đều thì với 1 đoạn
thẳng nằm trong hình cầu đơn vị thì trung điểm của đoạn thẳng đó nằm
trong hình cầu có bán kính 1 − δ với δ > 0
Định lý 1.8. Mọi không gian Banach lồi đều là không gian phản xạ.
12
Định lý 1.9. Nếu X là không gian Banach lồi đều và (x
n
) ⊂ X và x
n
 x
yếu trong tôpô σ(X, X
∗
) và lim
n→∞
sup x
n
 ≤ x thì x
n
→ x mạnh.
Cho X là không gian Banach và S
X
= {x ∈ X : x = 1} là mặt cầu
đơn vị.
Định nghĩa 1.18. (Không gian Banach trơn đều) Cho X là không gian
Banach gọi là trơn đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
∀x, y ∈ X, x = 1, y ≤ δ
thì
x + y+ x − y ≤ 2 + ε y.
Modun của tính trơn là hàm ρ
X

xác định với ∀t bởi
ρ
X
(t) = sup

x + y+ x − y
2
− 1 : x = 1, x = t

.
Định lý 1.10. Mọi không gian Banach trơn đều là không phản xạ.
Định lý 1.11. Mọi không gian Banach là trơn đều nếu và chỉ nếu X
∗
là
không gian lồi đều. Modun của tính lồi và tính trơn là xác định bởi
ρ
X∗
(t) = sup

tε
2
− δ
X
(ε) : ε ∈ [0, 2]

, t ≥ 0.
Ví dụ 1.1.
Không gian L
p
là trơn đều (và lồi đều) với 1 < p < +∞. Tuy nhiên

L
∞
(R
2
) không là không gian lồi đều, thật vậy xét x = (1, 1) và y = (0, 1).
Ta có
⇒ x
∞
= y
∞
= 1
và
x + y
∞
= (1, 2)
∞
= 2
13
nhưng
x − y
∞
= (1, 0)
∞
= 1.
Định nghĩa 1.19. (Không gian trơn) Một không gian Banach (E, .)
được gọi là trơn nếu giới hạn
lim
t→0
x + ty−x
t

tồn tại với mỗi x, y ∈ B thỏa mãn x = y = 1.
Định nghĩa 1.20. (Đạo hàm Fréchet) Cho X, Y là các không gian Banach,
A là toán tử từ U- mở ⊂ X vào Y , ta nói A khả vi Fréchet tại x
0
∈ U nếu
tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn A

(x
0
) ∈ L(X, Y ) sao cho
A(x + h) −A(x
0
) − A

(x
0
)h = α(x
0
, h),
trong đó lim
||h||→0
α(x
0
, h) = 0.
Nếu ánh xạ A khả vi Fréchet tại mọi điểm x
0
∈ U thì ta nói A khả vi
trên U. Khi đó ta gọi A

là đạo hàm Fréchet của ánh xạ A.

Nếu hai toán tử tuyến tính liên tục A

1
, A

2
cùng là đạo hàm Fréchet của
A tại x thì khi h → 0
A

1
(h) − A

2
(h)
h
=
r
1
(h) − r
2
(h)
h
→ 0.
Nhưng với mọi phần tử k ∈ X và mọi ε > 0 ta có:
A

1
(k) − A


2
(k)
k
=
A

1
(εk) − A

2
(εk)
εk
.
Khi ε → 0 thì εk → 0 nên vế phải sẽ dần tới 0, vậy vế trái phải bằng 0,
tức là A

1
(k) = A

2
(k), hayA

1
= A

2
. Như vậy, đạo hàm Fréchet của một ánh
xạ nếu có phải là duy nhất.
14
Định nghĩa 1.21. (Đạo hàm Gâteaux) Ánh xạ A : X → Y được gọi là

khả vi Gâteaux tại x
0
∈ X nếu tồn tại ánh xạ δA ∈ L(X, Y ) sao cho với
mỗi h ∈ X,
δA(x
0
, h) = lim
t→0
A(x + th) −A(x)
t
.
Nếu ánh xạ A khả vi Gâteaux tại mọi điểm x
0
∈ X thì ta nói A khả vi trên
X. Khi đó ta gọi δA là đạo hàm Gâteaux của ánh xạ A.
1.1.5. Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.22. Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ. Cho F : X ⇒ Y là
ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là
2
Y
), khi đó ta gọi F là một ánh xạ đa trị từ X vào Y .
Như vậy, với mỗi x ∈ X nào đó ta có F (x) có thể là tập rỗng.
Ta sẽ thường sử dụng kí hiệu F : X ⇒ Y để chỉ sự kiện X là ánh xạ đa
trị từ X vào Y.
Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì ta
nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y, khi đó, thay cho kí hiệu F : X ⇒ Y
người ta sử dụng kí hiệu quen thuộc F : X → Y.
Định nghĩa 1.23. Đồ thị gphF , miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF
của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bằng các công thức
gphF = {(x, y) ∈ X ×Y : y ∈ F (x)},

domF = {x ∈ X : F (x) = ∅},
và
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}.
15
Định nghĩa 1.24. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không
gian tôpô. Khi đó:
1. Nếu gphF là tập đóng trong không gian tôpô tích X × Y , thì F được
gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng);
2. Nếu X và Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gphF là tập lồi
trong không gian tích X × Y , thì F được gọi là ánh xạ đa trị lồi;
3. Nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ X, thì F được gọi là ánh xạ có giá
trị đóng;
4. Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F (x) là tập lồi với mọi
x, thì F được gọi là ánh xạ có giá trị lồi.
Tiếp theo ta đưa ra khái niệm tính nửa liên tục trên và tính nửa liên
tục dưới của ánh xạ đa trị.
Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không gian
tôpô Y.
Định nghĩa 1.25. Ta nói F là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với
mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x sao
cho
F (x) ⊂ V ∀x ∈ U.
Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm domF , thì F được gọi là nửa liên
tục trên ở trong X.
Định nghĩa 1.26. Ta nói F là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu với
mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V = ∅ tồn tại lân cận mở U của x
sao cho
F (x) ∩V = ∅ ∀x ∈ U ∩ domF.
16
Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là

nửa liên tục dưới ở trong X.
Định nghĩa 1.27. Ta nói F là liên tục tại x ∈ domF nếu F đồng thời là
nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x. Nếu F là liên tục tại mọi điểm
thuộc domF thì F được gọi là liên tục ở trên X.
Định nghĩa 1.28. Một ánh xạ đa trị T từ một không gian Banach B vào
lớp các tập con của đối ngẫu B
∗
của B gọi là một toán tử đơn điệu nếu
x
∗
− y
∗
, x −y ≥ 0, ∀x, y ∈ B và x
∗
∈ T (x), y
∗
∈ T (y).
Ta không yêu cầu T(x) là khác rỗng.
1.2. Không gian Hilbert
Giả sử H là không gian tuyến tính trên R
Định nghĩa 1.29. Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương
trong H là một ánh xạ φ : H × H → R thỏa mãn các điều kiện:
a) ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z);
b) ϕ(x, y + z) = ϕ(x, y) + ϕ(x, z);
c) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y);
d) ϕ(x, λy) = λϕ(x, y);
e) ϕ(x, y) = ϕ(x, y);
với mọi x, y, z ∈ H, λ ∈ R.
17
Định nghĩa 1.30. Dạng song tuyến tính đối xứng dương (., .) xác định

trong không gian tuyến tính H được gọi là một tích vô hướng trong H, nếu
nó thỏa mãn thêm điều kiện:
(x, x) > 0 khi x = 0.
Nhận xét 1.2. Tích vô hướng (., .) thỏa mãn các điều kiện:
1) (x, x) ≥ 0 (∀x ∈ H), (x, x) = 0 ⇔ x = 0;
2) (x, y) = (y, x) (∀x, y ∈ H);
3) (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z), (∀x, y, z ∈ H, ∀λ, µ ∈ R).
Định nghĩa 1.31. Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng
gọi là không gian tiền Hilbert.
Ví dụ 1.2. Lấy H = C
[0,1]
không gian gồm các hàm liên tục trên [0, 1]
nhận giá trị thực, với x, y ∈ X biểu thức
x, y =
1

0
x(t)y(t)dt,
xác định một tích vô hướng trên C
[0,1]
. Khi đó không gian này là một không
gian tiền Hilbert và thường kí hiệu C
L
[0,1]
.
Mệnh đề 1.1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
|(x, y)|
2
≤ (x, x) (y, y) (∀x, y ∈ H) . (1.2)
Mệnh đề 1.2. Giả sử H là không gian tiền Hilbert, các dãy {x

n
} và {y
n
}
hội tụ đến x và y trong H. Khi đó,
lim
n→∞
(x
n
, y
n
) = (x, y) .
18
Định nghĩa 1.32. Không gian tiền Hilbert H đầy đủ được gọi là một không
gian Hilbert.
Định nghĩa 1.33. Mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian
Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H.
Định lý 1.12. (F.Riesz)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có thể
biểu diễn duy nhất dưới dạng: f(x) = x, a, ∀x ∈ H, với a là một phần tử
nào đó thuộc H xác định duy nhất theo f và f = a.
Nhận xét 1.3. Nhờ định lý trên ta có thể đồng nhất H
∗
với H hay không
gian Hilbert là không gian tự liên hợp. Vậy không gian Hilbert là không gian
phản xạ vì H = H
∗
= H
∗∗
.

Định lý 1.13. Giả sử H
0
là không gian con đóng của không gian Hilbert
H. Khi đó với mỗi phần tử x của H đều biểu diễn một cách duy nhất dưới
dạng:
x = y + z trong đó y ∈ H
0
, z ∈ H
⊥
0
.
Khi đó ta nói y là hình chiếu của x lên H
0
.
1.3. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa
Định nghĩa 1.34. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa J : B → 2
B
∗
được định
nghĩa bởi:
J(x) =

j(x) ∈ B
∗
: j(x), x = j(x)x = x
2
= j(x)
2

.

Để tránh nhầm lẫn, ta luôn hiểu j(x) là chuẩn trong B
∗
và x là
chuẩn trong B. Nhiều tính chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa f đã được
nghiên cứu. Ta đưa ra những tính chất của J dưới đây:
19
(J
1
) với ∀x ∈ B, J(x) là không rỗng, bị chặn và lồi đóng;
(J
2
) với ∀x ∈ B và α ∈ R, J(αx) = αJ(x);
(J
3
) với ∀x, y ∈ B, ϕ ∈ J(x) và ψ ∈ J(y), ϕ − ψ, x − y ≥ 0;
(J
4
) với ∀x, y ∈ B và ψ ∈ J(y), 2 ψ, x −y ≤ x
2
− y
2
;
(J
5
) nếu B là lồi ngặt, J là một ánh xạ của 1-1 lên (tức, song ánh);
(J
6
) nếu B là phản xạ, J là một ánh xạ của B lên B
∗
;

(J
7
) nếu B
∗
là lồi ngặt, J là một ánh xạ đơn trị;
(J
8
) J là toán tử liên tục trong không gian Banach trơn;
(J
9
) J là toán tử liên tục đều trên mỗi tập bị chặn trong không gian
Banach trơn đều;
(J
10
) J là toán tử đồng nhất trong các không gian Hilbert, tức là,
J = I
H
.
1.4. Bất đẳng thức biến phân
Giả sử B là không gian Banach lồi đều và trơn đều, B
∗
là không gian
đối ngẫu của ·
B
, ·
B
∗
, ·
H
là các chuẩn trong không gian Banach B,

B
∗
và trong không gian Hilbert H. Kí hiệu cặp đối ngẫu của B
∗
và B là
ϕ, x với ϕ ∈ B
∗
và x ∈ B((y, x) kí hiệu là tích vô hướng trong H).
Định nghĩa 1.35. Cho A : X
∗∗
×X
∗∗
→ X
∗
là nửa đơn điệu và K ⊂ X
∗∗
là một tập con lồi đóng. Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán:
Tìm w
0
∈ K sao cho
A(w
0
, w
0
), u −w
0
 ≥ 0, ∀u ∈ K.
20
Định nghĩa 1.36. Phần tử x
∗

∈ K được gọi là nghiệm của bất đẳng thức.
Nếu
z −f, ξ −x
∗
 ≥ 0, ∀ξ ∈ K,∀z ∈ Aξ.
Giả sử K ∈ intD(A) và intD(A) là không rỗng. Nếu toán tử A đơn điệu
tức là
z
1
− z
2
, x
1
− x
2
 ≥ 0, ∀x
1
, x
2
∈ D(A), ∀z
1
∈ Ax
1
, ∀z
1
∈ Ax
2
.
Định nghĩa 1.37. Phần tử x
∗

∈ K được gọi là nghiệm của bất đẳng thức
biến phân, nếu tồn tại z ∈ Ax
∗
sao cho
z −f, ξ −x
∗
 ≥ 0, ∀ξ ∈ K,
trong đó A là khai triển đơn điệu cực đại của A trong D(A).
Kết luận
Chương này đã trình bày được một số khái niệm về không gian Banach,
không gian Hilbert, các khái niệm cơ bản của giải tích đa trị, ánh xạ đối
ngẫu chuẩn hóa, và bài toán bất đẳng thức sẽ nghiên cứu ở chương sau.