Bao hàm thức tựa cân bằng tổng quát loại i và những vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2






NGUYỄN KIM PHỤNG






BAO HÀM THỨC TỰA CÂN BẰNG TỔNG
QUÁT LOẠI I VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn
người thầy đã định hướng cho tôi chọn đề tài và đã nhiệt tình hướng dẫn để
tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến phòng sau đại học, các
thầy cô giảng dạy chuyên ngành toán giải tích trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ
động viên tôi để tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Kim Phụng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của GS. TSKH.
Nguyễn Xuân Tấn luận văn chuyên ngành toán giải tích với đề tài: “Bao hàm
thức tựa cân bằng tổng quát loại I và những vấn đề liên quan” được hoàn
thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn tác giả đã kế thừa
những kết quả của những nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Kim Phụng


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3
5. Phương pháp nghiên cứu 3
6. Những đóng góp mới của đề tài 3
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1. Các không gian thường dùng 4
1.2. Nón và các khái niệm liên quan 11

1.3. Ánh xạ đa trị 14
1.4. Tính liên tục của ánh xạ đa trị 15
1.5. Tính lồi của ánh xạ đa trị 17
1.6. Điểm bất động của ánh xạ đa trị 18
Chương 2. BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LOẠI I 20
2.1 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I 21
2.2 Sự tồn tại nghiệm 22
Chương 3. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 29
3.1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu 29
3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa tối vectơ 29
3.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng yếu 34
KẾT LUẬN 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết tối ưu véctơ được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng
kinh tế. Sau đó có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học và kỹ thuật. Borel (1921),
Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niệm và
kết quả toán học. Koopman (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hoá.
Tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Bài toán điểm cân
bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của Nash (1951), Arrow-Debreu
(1954), sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng những mô hình
kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) và Browder-Minty (1978) đã
chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm
bất động. Năm 1994, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách
tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và của Browder-Minty với
nhau thành một dạng chung. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm

xK

sao cho
( , ) 0f x x 
với mọi
xK
, trong đó
K
là tập con cho trước của một
không gian,
:f K K R
là hàm số thực thoả mãn
( , ) 0.f x x 

i) Bài toán bất đẳng thức biến phân: cho
*
X
là không gian đối ngẫu của
không gian
X
: Cho ánh xạ
*
:T D X
: Tìm
xD
sao cho
( ), - 0T x x y 

với mọi
.yD

ii) Bài toán cân bằng Nash: cho
,
i
D X i I
là các tập con khác
rỗng trong
;XI
là tập hữu hạn các phần tử. Đặt
; : :
ii
iI
D D f D




Với mỗi
( )
i i I
x x D


, đặt
( ) ,
i
j j I
x x j i



. Tìm
xD
sao cho
( ) ( ; )
i
i i i
f x f x y


với mọi
ii
yD
.
Điểm
x
được gọi là điểm cân bằng Nash.
2
Do nhu cầu phát triển của Toán học, bài toán cân bằng và các bài toán
tối ưu kể trên cũng được phát triển và mở rộng. Nếu chúng ta cho thêm các
ánh xạ ràng buộc, thì bài toán cân bằng sẽ trở thành tựa cân bằng. Xuất phát
từ những vấn đề thực tế trong kinh tế và đời sống một số nhà toán học đã mô
hình hóa những vấn đề đó thành bài toán cân bằng tổng quát loại I như sau:
Cho các không gian
, , ; ; X Y W D X K W
là các tập con khác rỗng. Cho
các ánh xạ đa trị
:2
D
S D K
;

:2
K
T D K
,
:2
D
F K D D D   
.
Bài toán tìm
( ; ) D Kxy 
sao cho
1)
( ; );x S x y

2)
( ; )y T x y

3)
0 ( ; ; ; )F y x x t
với mọi
( , )t S x y
.
được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I. Các ánh xạ
,ST
được gọi
là ánh xạ ràng buộc,
F
được gọi là ánh xạ mục tiêu,
F
có thể là đẳng thức,

bất đẳng thức, bao hàm thức hay sự tương giao của các ánh xạ đa trị. Bài toán
bao hàm thức tựa biến phân Pareto dưới loại I đượ c phá t biể u như sau : tìm
( , )x y D K
sao cho
1)
( , );x S x y

2)
( , );y T x y

3)
 
( , , ) ( , , ) \ 0F y x x F y x x C
với mọi
( , )x S x y
.
Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn tôi đã chọn đề tài
“Bao hàm thức tựa cân bằng tổng quát loại I và những vấn đề liên quan”
để làm luận văn .
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày mô hình bài toán và một số bài toán liên quan và nghiên cứu
sự tồn tại nghiệm của chúng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3
Tìm hiểu các tài liệu về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và
một số bài toán liên quan đã được công bố trên các tạp chí quốc tế. Tìm
những ứng dụng của bài toán này trong kinh tế và các ngành khoa học khác.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tìm hiểu một số vấn đề của giải tích đa trị dể sử dụng trong việc chứng
minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán trong lý thuyết tối ưu.

5. Phương pháp nghiên cứu
Ta sử dụng các công cụ của giải tích đa trị để giải quyết các vấn đề liên
quan tới các bài toán đặt ra trong lý thuyết tối ưu đa trị. Cụ thể, ta sử dụng các
định lý về điểm bất động của Ky Fan, Fan- Browder, bổ đề Fan-KKM để chỉ
ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán nay.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày kiến thức cơ bản về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I
và một số bài toán liên quan. Nghiên cứu một số ứng dụng về sự tồn tại
nghiêm của một số bài toán khác trong lý thuyết tối ưu.










4
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này ta nêu lại một số không gian thường dùng, một số
tính chất cơ bản của nón và ánh xạ đa trị từ một tập con khác rỗng của không
gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào không gian tôpô tuyến tính
lồi địa phương Hausdorff khác được sắp xếp thứ tự từng phần bởi nón. Trong
suốt bản luận văn các tính chất của nón đóng vai trò quan trọng nó giúp cho
việc nghiên cứu các bài toán ở các chương sau.
1.1. Các không gian thường dùng

Nhiều bài toán quan trọng của giải tích chỉ dựa trên các tính chất của
khoảng cách mà không liên quan tới các tính chất khác của đường thẳng, mặt
phẳng hoặc không gian ba chiều thông thường. Vì vậy muốn bản chất của các
sự kiện đó người ta trừu tượng hóa các khái niệm khoảng cách để đi đến khái
niệm không gian metric. Đó là một tập trong đó xác định “khoảng cách” giữa
từng cặp phần tử, với những tính chất thông thường của khoảng cách hình học.
Định nghĩa 1.1.1. Tập
M
khác rỗng cùng với ánh xạ
:d M M
là một
không gian metric nếu các tiên đề sau được thỏa mãn:
i)
( , ) ( , ) 0, ( , ) 0 ;x y M d x y d x y x y     

ii)
( , ) ( , ) ( , );x y M d x y d y x  

iii)
( , , ) ( , ) ( , ) ( , ).x y z M d x y d x z d y z   

Không gian metric kí hiệu là
 
,Md
,(hoặc viết tắt là
M
). Ánh xạ
d

được gọi là metric trên

 
;,M d x y
được gọi là khoảng cách giữa hai phần tử
x
và
.y

5
Ví dụ
i) Một tập con
M
bất kỳ của tập số thức

,với khoảng cách
( , )d x y x y
, thì
M
là một không gian metric.
ii) Tổng quát hơn, trong không gian
n

ta có thể xác định khoảng cách
giữa hai điểm
1
( , , )
n
x x x
và
1
( , , )

n
y y y
như sau:
2
1
( , ) ( ) .
n
ii
i
d x y x y




Ta thấy rằng trên một tập hợp có thể xây dựng nhiều metric khác nhau
để có những không gian metric khác nhau.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian metric
 
,Md
được gọi là không gian con của
không gian mêtric
 
,;X d d
được gọi là mêtric cảm sinh bởi
d
trên
.M

Định nghĩa 1.1.3. Ta nói rằng dãy điểm
 

n
x
của không gian
M
hội tụ tới
điểm
0
x
của
M
nếu
( 0)


,
*
0
nN
sao cho
0
( , )
n
d x x


ta kí hiệu
0
lim
n
x

xx


hay
0
( ).
n
x x n  

Ví dụ:
i) Sự hội tụ trên đường thẳng là sự hội tụ của một dãy theo nghĩa thông
thường.
ii) Sự hội tụ trong không gian
k

là sự hội tụ của dãy
1
( , , )
nn
nk
x x x

tới
1
( , , )
k
x x x
có nghĩa là
n
ii

xx
,
 
1, ,ik
. Sự hội tụ trong không gian
k

là hội tụ theo tọa độ.
Điều hiển nhiên rằng nếu một dãy hội tụ thì mọi dãy con của nó cũng
hội tụ. Ta có hai tính chất quan trọng sau:
i) Nếu
1n
xx
và
2n
xx
thì
12
xx
(tính duy nhất của giới hạn).
ii) Nếu
1n
xx
và
1n
yy
thì
11
( , ) ( , ).
nn

d x y d x y
(khoảng cách
d
là
một hàm liên tục đối với
x
và
y
).
6
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử
 
,Md
là không gian mêtric,
aM
,
0r 
, ta
gọi:
a) Tập
   
 
, : ,S a r x M d x a r  
được gọi là hình cầu mở tâm
,a

bán kính
.r

b) Tập

 
 
 
, : ,S a r x M d x a r  
được gọi là hình cầu đóng tâm
,a

bán kính
.r

Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric
 
,Md
tập con
VX
được gọi là
lân cận của điểm
0
x
nếu tồn tại số
0r 
sao cho:
0
( , )S x r V
.
Cho không gian metric
 
,Md
,
A

là tập con của
,M x M
người ta
phân loại các điểm trong không gian metric như sau:
i) Điểm
x
gọi là điểm trong của tập
A
nếu tồn tại lân cận của điểm
x

bao hàm tập
A
.
ii) Điểm
x
gọi là điểm ngoài của tập
A
nếu tồn tại lân cận của điểm
x

không chứa điểm nào của tập
A
.
iii) Điểm
x
gọi là điểm biên của tập
A
nếu mọi lân cận của
x

đều
chứa những điểm thuộc
A
và những điểm không thuộc
A
. Tập tất cả điểm
biên của tập
A
ký hiệu là
A
.
iv) Điểm
x
được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của tập
A
nếu mọi
lân cận của điểm
x
chứa ít nhất một điểm của tập
A
khác
x
. Tập tất cả các
điểm giới hạn của tập
A
được gọi là tập dẫn suất và được ký hiệu là
'.A

v) Điểm
x

gọi là điểm cô lập của tập
A
nếu
x
thuộc
A
và
x
không là
điểm giới hạn của tập
.A

Định nghĩa 1.1.6. Tập
G
được gọi là mở nếu mọi điểm của
G
đều là điểm
trong của nó.
Tập
A
được gọi là đóng nếu
\MA
mở.
7
Ví dụ 1.1.7. Trong không gian metric hình cầu mở là tập mở, hình cầu đóng
là tập đóng.
Định lý 1.1.8. Cho không gian metric
 
,Md
, tập

AM
,
A
tâp
A
đóng
trong không gian
M
khi và chỉ khi mọi dãy điểm
 
n
xA
hội tụ tới
x
thì
xA
.
Định nghĩa 1.1.9. Cho không gian metric
 
,Md
và tập
AM
:
Hợp của tất cả các tập mở chứa trong
A
gọi là phần trong của
A
và ký
hiệu là
0

A
hay
int A
.
Giao của tất cả các tập đóng chứa
A
là bao đóng của
A
ký hiệu là
A

hay
 
A
.
Định lý 1.1.10. Cho không gian metric
 
,Md
và tập
AM
phần trong
0
A

của tập
A
là tập tất cả các điểm trong của tập
A
, còn bao đóng
A

của
A
là
tập tất cả các điểm giới hạn của tập
A
.
Từ khái niệm không gian metric người ta đưa khái niệm không gian
tôpô tổng quát hơn như sau:
Định nghĩa 1.1.11. Cho tập
M
bất kỳ, ta nói rằng họ

những tập con của
M
là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên
M
nếu:
i) Hai tập

và
X
đều thuộc họ

.
ii) Giao của một số hữu hạn tập thuộc họ

thì cũng thuộc họ đó.
iii) Hợp của một số vô hạn tập bất kỳ thuộc họ

thì cũng thuộc họ đó.

Một tập
M
cùng với một tôpô

trên
M
gọi là không gian tôpô
 
,M

.
Mỗi tập của họ này được gọi là tập mở, sau đó ta đưa ra các khái niệm
tập đóng, lân cận, sự hội tụ như trong không gian metric.
Các khái niệm lân cận, hội tụ, tập mở, tập đóng đều xác định trên
không gian metric cho ta cùng một tôpô.
8
Định lý 1.1.12. Trong không gian metric
 
,Md
họ các tập mở trong
M
lập
thành một tôpô trên
M
.
Định lý 1.1.13. Trong không gian metric
 
,Md
tôpô


sinh bởi metric
d
là
tôpô có cơ sở lân cận đếm được.
Định nghĩa 1.1.14. Trong không gian metric
 
,Md
, dãy
 
n
x
được gọi là
dãy cơ bản nếu
,
lim( , ) 0
nm
nm
xx


, tức là
*
0
0, nN

   
sao cho
0
,n m n
thì

( , )
nm
d x x


.
Ta thấy rằng mọi dãy
()
n
xM
hội tụ trong
M
đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.15. Không gian metric
 
,Md
gọi là không gian đầy đủ nếu
mọi dãy cơ bản của không gian này đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.17. Tập
M
khác rỗng được gọi là không gian tuyến tính trên
trường số thực

, các phần tử
,x y M
được gọi là các véc tơ nếu trên
M

xác định hai phép toán
 

: :( , ) ;M M M x y x y    

 
. : :( , ) ;M M x x

  

M
được gọi là không gian tuyến tính trên trường số thực

nếu hai
phép toán trên thỏa mãn các tiên đề sau:
i)
;x y y x  

ii)
   
;x y z x y z    

iii)
0 :0 0;M x x    

iv)
( ) : ( ) 0;x M x x     

v)
( ) ;x y x y
  
  

vi)
( ) ;x x x
   
  

vii)
( ) ( ) ;xx
  


9
viii)
1 :1 .M x x  


, , , , .x y z M

  

Ví dụ 1.1.18. Tập
n

với phép cộng và phép nhân thông thường là một
không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.19. Không gian tuyến tính định chuẩn thực là cặp
( , . )M
,
trong đó
M
là một không gian tuyến tính còn

.
là một ánh xạ
M 
thỏa
mãn:
i)
0, , 0 0x x M x x     
;
ii)
.xx



iii)
x y x y  

Số
x
được gọi là chuẩn của
x
.
Ví dụ 1.1.20. Không gian tuyến tính định chuẩn
 
,ab
C
(không gian các hàm bị
chặn trên đoạn
 
,ab
) với chuẩn

max ( )
a t b
x x t


.
Dễ thấy mọi không gian chuẩn đều là không gian metric với
( , )d x y x y
. Do đó trên không gian định chuẩn ta có đầy đủ các khái
niệm như trong không gian metric.
Định nghĩa 1.1.21. Cho
M
là không gian tuyến tính trên trường số thực

,
hàm
.,. :MM
được gọi là tích vô hướng trên
M
nếu các điều kiện
sau được thỏa mãn:
i)
y,x x,y ;

ii)
x y, x,z y,z ;z  

iii)
, , , ;x y x y x y
  



iv)
, 0, , 0 0,x x x x x   
, , , , .x y z M

   

10
Định nghĩa 1.1.22. Không gian tuyến tính
M
được trang bị một tích vô
hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ
được gọi là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.23. Không gian
n

với tích vô hướng
1
,
n
ii
i
x y x y

 

là các
không gian Hilbert.
Trên không gian tiền Hilbert

.:M 
với
,x x x
.
Thấy rằng
( , . )M
là không gian định chuẩn. Trên
M
có cả hai cấu
trúc tôpô và đại số. Hai cấu trúc này tương thích với nhau, tức là hai phép tính
đại số liên tục trong tôpô.
Nếu ta định nghĩa
( , ) ,x y x y x y x y

    
thì
( , )M

là không
gian metric. Nếu
( , )M

là không gian metric đầy đủ thì
( , . )M
được gọi là
không gian Banach. Vậy không gian tiền Hilbert là một không gian định
chuẩn, do đó nó cũng là không gian metric và trên
M
có cả hai cấu trúc: tôpô
và đại số.

Ví dụ 1.1.24. Cho không gian véctơ thực
k
chiều
k

trong đó
 
12
, , ,
n
x x x x
với
n
x 
, mọi
1,nk
.
i) Đối với
()
k
n
xx
ta đặt:
2
1
.
k
n
n
xx




(1.1)
Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là
k

. Dễ thấy
k

là không
gian Banach.
ii) Với mọi
()
k
n
xx
, mọi
()
k
n
yy
ta đặt:
1
,
k
nn
n
x y x y




(1.2)
Dễ thấy hệ (1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi
tích vô hướng (1.2)
11
2
1
,
k
n
n
x x x x



,
()
k
n
xx
.
Trùng với chuẩn (1.1). Nên không gian véc tơ thực
k

cùng với tích vô
hướng (1.2) là không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.25. Cho
M
là không gian tuyến tính thực đồng thời được

trang bị một cấu trúc tôpô

và một cấu trúc đại số (phép cộng hai phần tử và
phép nhân một số với một phần tử). Nếu hai phép toán cộng và phép nhân liên
tục trong

thì
M
được là không gian tôpô tuyến tính.
Nếu cơ sở lân cận của 0 gồm các tập lồi thì
M
được gọi là không gian
tôpô tuyến tính lồi địa phương.
Nếu
M
là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương thỏa mãn: với
,,x y M x y
thì tồn tại lân cận
x
U
của
x
và
y
U
của
y
để
xy
UU  

thì
M
được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff.
Ví dụ 1.1.26. Không gian Banach, không gian Hilbert là không gian tôpô
tuyến tính lồi địa phương Hausdorff.
1.2. Nón và các khái niệm liên quan
Ta đã biết trong trường số thực

, hai số bất kỳ đều có thể so sánh
được với nhau thông qua quan hệ thứ tự toàn phần. Trong không gian khác ta
không có tính chất đó. Tuy nhiên bằng cách sử dụng các khái niệm Nón trong
không gian tuyến tính, người ta vẫn có thể đưa ra một thứ tự từng phần để so
sánh hai phần tử với nhau.
Định nghĩa 1.2.1. Cho
Y
là không gian tuyến tính và
C
là tập con trong
Y
.
C
gọi là nón trong
Y
nếu
, 0.tc C t

i) Nón
C
được gọi là nón lồi nếu
C

là tập lồi.
12
ii) Nếu
Y
là không gian tôpô tuyến tính và
C
là nón trong
Y
, ký hiệu:
, int ,clC C convC
tương ứng là bao đóng, phần trong và bao lồi của
nón
C
,
 
( ) .l c C C  

iii) Nón
C
gọi là nón đóng nếu
C
là tập đóng.
iv) Nón
C
gọi là nón nhọn nếu
 
( ) 0lC 
.
Ta có một số ví dụ về nón.
Ví dụ 1.2.2

i) Tập
 
0
và
Y
là nón trong không gian
Y
. Ta gọi chúng là các nón
tầm thường.
ii) Cho
n

là không gian Euclide
n
chiều, tập
 
 
12
, , , | 0, 1, ,
nn
nj
C x x x x x j n

     

là nón lồi, đóng, nhọn. Cho
 
12
, , ,
n

x x x x
,
 
12
, , ,
n
y y y y
thuộc
n

thì
xy
nếu
jj
xy
với mọi
1,2, ,jn
. Nón này được gọi là nón orthant
dương trong
n

.
iii) Cho
 
 
12
1
, , |
p
i

i
y L x x x


   

với
1 p  
lấy
 
| 0, 1,2
p
i
C x L x i   

thì
C
là nón lồi, nhọn.
Định nghĩa 1.2.3. Cho
C
là nón trong không gian tuyến tính
,Y B Y
được
gọi là nón sinh bởi tập
,B
ký hiệu
()C cone B
nếu
 
| , 0 .C tb b B t  

Trong trường hợp
B
không chứa điểm gốc và với mọi
,0c C C
đều
tồn tại duy nhất
,b B c tb
thì
B
được gọi là cơ sở của nón
C
.
Định nghĩa 1.2.4 Với nón
C
cho trước ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng
phần trên
Y
như sau:

,,x y Y x Cy
nếu
.x y C

13
Nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thể viết đơn giản
.xy

Cho
,x y Y

ta ký hiệu
,xy
nếu
\ ( )x y C l C
và
,xy
nếu
int .x y C

Ta thấy quan hệ thứ tự có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Nếu
C

là nón lồi, thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính nên nó là quan hệ thứ tự từng
phần trên
.Y

Định nghĩa 1.2.5. Cho
Y
là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh
bởi nón lồi
C
.
A
là tập con khác rỗng của
Y
. Ta nói rằng:
i) Điểm
xA
là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập
A

đối với nón
C

nếu
y x C
với mọi
yA
.
Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của
A
đối với nón
C
được kí hiệu
là
( / )IMin A C
hoặc
.IMinA

ii) Điểm
xA
là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của
A
đối với
nón
C
, nếu không tồn tại
yA
để
| ( )x y C l C
. Tập các điểm

hữu hiệu Pareto của
A
đối với nón
C
được kí hiệu là
( / )PMin A C
.
iii) Điểm
A
là điểm hữu hiệu yếu (khi
int 0C 
và
CY
) của
A
đối
với nón
C
, nếu
 
 
/ 0 int .x Min A C
Tức là
x
là điểm hữu hiệu
theo thứ tự sinh bởi nón
 
0
0 int .CC
Tập các điểm hữu hiệu

yếu của
A
đối với nón
C
được kí hiệu là
W ( / )Min A C
hoặc
W.MinA

iv) Điểm
xA
được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của
A
đối với nón
C
nếu tồn tại nón lồi
C

khác
Y
và chứa
\C clC
trong phần trong
của nó để
( / )x PMin A C

.
Tập các điểm hữu hiệu thực sự của
A
đối với nón

C
được kí hiệu
là
(A/ C)PrMin
hoặc
.PrMinA
.
14
1.3. Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.3.1. Cho
X
là tập hợp bất kỳ. Ký hiệu
2
X
là tập gồm các tập
con của
X
. Mỗi ánh xạ
F
từ tập
X
vào
2
Y
được gọi là ánh xạ đa trị từ
X

vào
Y
. Ký hiệu

:2
Y
FX
. Nếu với mọi
xX
tập
 
Fx
chỉ gồm đúng một
phần tử của
Y
thì ta nói
F
là ánh xạ đơn trị từ
X
vào
Y
. Khi đó thay cho ký
hiệu
:2
Y
FX
ta sử dụng ký hiệu quen thuộc
:F X Y
.
Ví dụ 1.3.2. Xét phương trình đa thức
1
11
0,
nn

nn
x a x a a


    

ở đó
n
là số nguyên dương và
i
a 

 
1,2, ,in
là các hệ số thực. Quy
tắc cho tương ứng mỗi véc tơ
12
( , , , )
n
n
a a a a
là tập nghiệm của phương
trình trên cho ta một ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.3. Đồ thị
,gphF
miền hữu hiệu
omFd
và miền ảnh
rgeF
của

ánh xạ đa trị
2
Y
X 
tương ứng được xác định bằng công thức:

 
 
, : ( )gphF x y X Y y F x   


 
om : ( )d F x X F x   

và
 
: sao cho ( )rgeF y Y x X y F x    
.
Định nghĩa 1.3.4. Cho
:2
Y
FX
, ánh xạ
1
:2
X
FY


được xác định bởi:

 
1
( ) : ( )F y x X y F x

  
được gọi là ánh xạ ngược của
F
.
Như vậy khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ
ngược. Nếu tập
1
()Fy

mở với mọi
yY
thì
F
được gọi là có nghịch ảnh mở.
Tương tự như ánh xạ đơn trị ta có các phép toán về ánh xạ đa trị như
sau:
Định nghĩa 1.3.5. Cho
12
, : 2
Y
F F X 
là các ánh xạ đa trị, ta có các phép tính
như sau:
i)
1 2 1 2
( )( ) ( ) ( ).F F x F x F x  

15
ii)
1 2 1 2
( )( ) ( ) ( );F F x F x F x  

iii)
11
( )( ) / ( );
c
F x Y F x

iv)
1 2 1 2
( )( ) ( ) ( );F F x F x F x

v)
1 2 1 2
( )( ) ( ) ( );F F x F x F x  

vi)
 
11
( ) ( ( ))F x F x



vii) Nếu
Y
là không gian tôpô tuyến tính,

:2
Y
FX
, các ánh xạ bao
đóng (
F
), phần trong
0
()F
của ánh xạ
F
được xác định là:
( ) ( )F x F x
và
00
( )( ) ( ( ))F x F x
.
viii) Nếu
,XY
là các không gian tôpô tuyến tính thì ánh xạ bao lồi và
bao lồi đóng của
F
được xác định lần lượt là:
(coF)( ) coF( )xx
và
(co )( ) co ( ).F x F x

1.4. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Trong phần này ta trình bày tinh nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và
tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên

tục của ánh xạ đơn trị.
Cho
,XY
là hai không gian vectơ tôpô lồi địa phương, ánh xạ đơn trị
:f X Y
được gọi là liên tục tại
0
x
nếu với mọi tập mở
V
chứa
 
0
fx
tồn
tại tập mở
U
chứa
0
x
sao cho
()f U V
.
Định nghĩa 1.4.1. Ta nói
F
là nửa liên tục trên tại
x domF
nếu với mọi tập
mở
VY

thỏa mãn
()F x V
tồn tại lân cận mở
U
của
x
sao cho
( ) ,F x V x U  
.
Nếu
F
là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc
domF
,
F
thì được gọi
là nửa liên tục trên ở trong
.X

16
Định nghĩa 1.4.2. Ta nói
F
là nửa liên tục dưới tại
Fx dom
nếu với mọi
tập mở
VY
thỏa mãn
()F x V  
tồn tại lân cận mở

U
của
x
sao cho
( ) ,F x V x V domF     
.
Nếu
F
là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc
domF
, thì
F
được gọi
là nửa liên tục dưới ở trong
X
.
Định nghĩa 1.4.3. Ta nói
F
là liên tục tại
x domF
nếu
F
đồng thời là nửa
liên tục trên và nửa liên tục dưới tại
x
. Nếu
F
là liên tục tại mọi điểm thuộc
domF
, thì

F
được gọi là liên tục ở trên
.X

Định nghĩa 1.4.4. Cho
,XY
là các không gian tôpô,
:2
Y
FX
là ánh xạ đa
trị.
F
được gọi ánh xạ đóng nếu đồ thị
gphF
của
F
là một tập đóng trong
không gian
XY
. Nếu
()Fx
là tập compact trong
Y
thì
F
gọi là ánh xạ
compact.
Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là nửa liên
tục trên và nửa liên tục dưới.

Mệnh đề 1.4.5. Cho
:2
Y
FD
là ánh xạ đa trị. Nếu
F
là ánh xạ nửa liên
tục trên với giá trị đóng thì
F
là ánh xạ đóng. Ngược lại nếu
F
là ánh xạ đóng
và
()FD
là compact thì
F
là ánh xạ nửa liên tục trên.
Mệnh đề 1.4.6. a) Cho
:2
Y
FD
là ánh xạ đa trị. Nếu
F
là ánh xạ nửa liên
tục dưới tại
x domF
khi và chỉ khi với bất kỳ
()y F x
và với bất kỳ dãy
suy rộng

 
,
I
x D x x




, tồn tại dãy
   
, ( )
I
y y F x
  



sao cho
yy


trong đó
I
là các chỉ số.
b) Nếu ánh xạ
F
có nghịch ảnh mở, thì
oFc
cũng có nghịch ảnh mở.
c) Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên tục dưới.

Định nghĩa 1.4.7. Cho
:2
Y
FD
là ánh xạ đa trị;
17
i) Nếu
F
được gọi là
C 
liên tục trên (dưới) tại
x domF
nếu bất kỳ
lân cận
V
trong
Y
có một lân cận
U
của
x
sao cho:
( ) ( ) . ( ( ) ( ) )F x F x V C F x F x V C     
với mọi
omF.x U d

ii) Nếu
F
vừa là
C 

liên tục trên và
C 
liên tục dưới tại
x
ta nói rằng
F
là
C 
liên tục tại
x
.
iii) Nếu
F
là liên tục trên, dưới, ,
C 
liên tục tại mọi điểm của
omFd
, chúng ta nói rằng nó liên tục trên, dưới, ,
C 
liên tục trên
D
.
iv) Trong trường hợp
 
0C 
, ta nói
F
là liên tục trên (liên tục dưới)
thay vì nói 0-liên tục trên (0- liên tục dưới).
F

là liên tục nếu nó vừa liên tục
trên và liên tục dưới.
1.5. Tính lồi của ánh xạ đa trị
Trong mục này ta trình bày định nghĩa tính lồi, tựa giống như lồi của
ánh xạ đa trị. Các khái niệm này mở rộng các khái niệm đã biết trong các
trường hợp ánh xạ đơn trị và là các khái niệm cần thiết trong việc kiểm tra các
Định lý tồn tại nghiệm ở các chương sau.
Định nghĩa 1.5.1. Cho
,XY
là không gian tôpô tuyến tính
DX
là tập lồi.
cho ánh xạ
:2
Y
FD
,
C
là nón lồi trong
,YF
được gọi là
C 
lồi trên (hoặc
C 
lồi dưới) nếu:

( ) (1 ) ( ) ( (1 ) )F x F y F x y C
   
     
,

hoặc
 
( ) (1 )( ) ( ) (1 ) ( )F x y F x F y C
   
     

với mọi
omFxd
và
 
0;1


.
Trong trường hợp
F
là đơn trị thì
C 
lồi trên và
C 
lồi dưới là trùng
nhau và ta gọi là
C 
lồi.
Định nghĩa 1.5.2. Cho ánh xạ đa trị
: 2 , , ,
Y
F D D X X Y
là không gian
tôpô tuyến tính lồi địa phương với nón

C

18
i)
F
được gọi là
C 
giống như tựa lồi trên trên
D
nếu với bất kỳ
 
12
, , 0;1x x D


và
1 1 2
( ) ( (1 ) )F x F x x C

   
hoặc
2 1 2
( ) ( (1 ) )F x F x x C

   

ii)
F
được gọi là giống như tựa lồi dưới trên
D

nếu với bất kỳ
 
12
, , 0;1x x D


và
1 2 1
( (1 ) ) ( )F x x F x C

   
hoặc
1 2 2
( (1 ) ) ( )F x x F x C

   
.
1.6. Điểm bất động của ánh xạ đa trị
Năm 1929, ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz đã
chứng minh một kết quả rất quan trọng, ngày nay gọi là Bổ đề KKM bằng
phương pháp tương đối sơ cấp mà từ đó suy ra được nguyên lý điểm bất động
Browder. Năm 1961, Ky Fan đã mở rộng Bổ đề KKM cổ điển trong không
gian véctơ tôpô Hausdorff hữu hạn chiều với ánh xạ đa trị. Năm 1968, Browder
đã chứng minh kết quả của Ky Fan theo một dạng khác. Đó là định lý điểm bất
động và ngày nay người ta thường gọi định lý đó là định lý điểm bất động Fan -
Browder. Từ đó đến nay có rất nhiều kết quả mở rộng của các Định lý Ky Fan,
Fan - Browder, Bổ đề KKM và chúng được xem như là công cụ hữu hiệu để
chứng minh sự tồn tại nghiệm của các loại bài toán tối ưu. Trong phần này,
chúng tôi chỉ giới thiệu một số định lý điểm bất động phát biểu trong không
gian tôpô tuyến tính lồi địa phương sẽ sử dụng để chứng minh các định lý ở các

chương sau. Định lý sau là sự mở rộng của định lý điểm bất động của Ky Fan.
Định lý 1.6.1. Cho
X
là một không gian véctơ tôpô,
DX
là một tập con
lồi, khác rỗng, compact. Cho
:2
X
FD
là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, nghịch
ảnh mở và với mọi
, ( )x D x F x
. Khi đó tồn tại điểm
xD
sao cho
()Fx
.
Định lý 1.6.2. Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,
DX
là
một tập con lồi, khác rỗng. Cho
:2
K
FD
là ánh xạ đa trị compact nửa liên
19
tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó tồn tại
xD
sao cho

()x F x
.
Định nghĩa 1.6.3. Một ánh xạ
:2
X
FD
được gọi là ánh xạ KKM nếu với
bất kỳ tập
 
1
, ,
n
t t D
luôn có
 
1
1
, , ( )
n
nj
j
co t t F t



.
Ngoài khái niệm trên, người ta còn mở rộng khái niệm KKM từ một tập
này vào một tập khác.
Ta có khái niệm ánh xạ KKM suy rộng sau:
Định nghĩa 1.6.4. Cho

,XZ
là các không gian tôpô tuyến tính,
DX
;
KZ
;
:2
X
F K D D  
;
:2
K
Q D D
là các ánh xạ đa trị. Ánh xạ
F

được gọi là
Q 
KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn
 
1
, ,
n
t t D
và
 
1
co , ,
n
x t t

tồn tại chỉ số
 
1, ,jn
sao cho
0 ( , , )
j
F y x t
với mọi
( , )
j
y Q x t
.
Định lý 1.6.5. (Bổ đề Fan-KKM) Giả sử
D
là một tập con lồi khác rỗng trong
không gian véctơ tôpô
, : 2
X
X F D
là ánh xạ KKM. Nếu
F
có giá trị
đóng, đồng thời có ít nhất một điểm
xD


sao cho
( ')Fx
là tập compact thì
()

xD
Fx



.

Kết luận chương 1: Trình bày về khái niệm các không gian thường
dùng, khái niệm và tính chất của ánh xạ đa trị liên quan đến nón trong không
gian có thứ tự để phục vụ cho việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài
toán ở chương sau.


20
Chương 2
BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LOẠI I

Ta bắt đầu chương bằng bài toán trong thực tế sau: cho cơ sở sản xuất
hàng tiêu dùng
A
và cơ sở tiêu thụ
B
có quan hệ hợp tác với nhau. Cơ sở
A

có tập chiến lược
D
; cơ sở
B
có tập chiến lược

K
Sự thành hay bại trong mỗi
cơ sở phụ thuộc rất nhiều vào chiến lược của người lãnh đạo. Với mỗi chiến
lược
x
thuộc
D
và
y
thuộc
K
; lãnh đạo cơ sở
A
có tập chỉ đạo
 
,S x y
của
cơ sở
B
có tập chỉ đạo
 
,T x y
Mục đích của mỗi cơ sở là tìm một phương án
sản xuất thông qua chỉ đạo của lãnh đạo cơ sở mình và đối tác để sản xuất của
mình luôn được cân bằng, hay nói cách khác luôn đạt được mục tiêu và sản
xuất ổn định.
Về mặt toán học, vấn đề trên có thể mô hình hoá như sau: Cho
,,X Y Z

là các không gian tuyến tính, các tập con

,D X K Z
. Cho các ánh xạ đa
trị
: 2 , : 2 , : 2
D K Y
S D K T D K F K D D D       
;
12
, : 2 ; : 2 ; : 2
P K Y
P P D Q D D G K D D     
với giá trị khác rỗng.
Bài toán: tìm
( , )x y D K
sao cho
1)
( , );x S x y

2)
( , );y T x y

3)
0 ( , , , )F y x x z
với mọi
( , )z S x y

được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I, ký hiệu là
()
I
GQEP

;
Bài toán tìm
1
xP
sao cho
0 ( , , )G y x t
với
2
()t P x
và
( , )y Q x t

được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và được ký hiệu là
()
II
GQEP
. Các ánh xạ
12
, , , ,S T P P Q
được gọi là ánh xạ ràng buộc,
F
và
G

21
được gọi là ánh xạ mục tiêu,
F
và
G
có thể là đẳng thức, bất đẳng thức hoặc

là bao hàm thức hay tương giao của các ánh xạ đa trị.
Bài toán cân bằng đã được biết đến từ lâu bởi các công trình của
Arrow-Debreu, Nash. Nó là sự mở rộng của các bài toán như bất đẳng thức
biến phân, tối ưu vô hướng đồng thời nó cũng bao gồm các bài toán điểm bất
động, bài toán bù, bài toán cân bằng Nash, bất đẳng thức minimax như những
trường hợp đặc biệt. Đã có rất nhiều sự mở rộng các bài toán trên theo nhiều
hướng như bài toán tựa cân bằng với biến ràng buộc phụ thuộc vào một tham
số, tựa biến phân hoặc bao hàm thức tựa biến phân của nhiều ánh xạ đa trị.
Điều đặc biệt trong bài toán trình bày ở trên
F
là ánh xạ mục tiêu với 4 biến.
Ta thấy số các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu đa mục tiêu có thể đưa về
một trong hai bài toán trên bằng cách chọn hàm mục tiêu
F
hoặc
G
một cách
thích hợp.
Các bài toán cân bằng tổng quát bao gồm: các bài toán tựa tối ưu, các bài
toán bao hàm thức tựa biến phân và bài toán tựa cân bằng. Nhiều tác giả đã
nghiên cứu các bài toán tựa tối ưu và tựa cân bằng trong luận văn này tôi chỉ
đề cập tới bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên (dưới) và một số
vấn đề liên quan.
2.1 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I
i) (UPQVIP) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên loại I:
tìm
( , )x y D K
sao cho:
1)
( , );x S x y

2)
( , );y T x y

3)
 
( , , ) ( , , ) \ 0F y x x F y x x C
với mọi
( , )x S x y
.
ii) (LPQVIP) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto dưới loại I:
tìm
( , )x y D K
sao cho: 1)
( , );x S x y