MỘT HƯỚNG mở RỘNG ĐỊNH lí về sự tồn tại VECTOR RIÊNG của TOÁN tử lõm TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC nửa sắp THỨ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2




ĐÀO THỊ TƯƠI



MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ VỀ
SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
LÕM TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC
NỬA SẮP THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN PHỤ HY


HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy. Tác giả xin được gửi lời cảm
ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS. TS. Nguyễn
Phụ Hy.

Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng
Sau đại học, các Thầy, Cô của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học
tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Tác giả
Đào Thị Tươi
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn
của PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy.
Trong khi hoàn thiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Tác giả
Đào Thị Tươi
Mục lục
Mở đầu 1
1 Không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự 4
1.1. Khái niệm không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . 4
1.2. Khái niệm nón trong không gian định chuẩn thực . . . . 8
1.3. Quan hệ thứ tự trên không gian định chuẩn thực . . . . 12
1.4. Các phần tử thông ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Một số nón đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Phần tử u
0
- đo được. Không gian E
u
0
. . . . . . . . . . 20

1.7. Không gian định chuẩn thực M[a; b] . . . . . . . . . . . . 24
1.7.1. Định nghĩa không gian M[a; b] và một số tính chất
quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.2. Nón và quan hệ thứ tự trong không gian M[a; b] . 28
1.7.3. Các phần tử thông ước trong M[a; b] . . . . . . . 35
1.7.4. Không gian M[a; b]
u
0
. . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Mở rộng định lí tồn tại vector riêng của toán tử lõm
iii
iv
trong không gian Banach nửa sắp thứ tự 39
2.1. Khái niệm toán tử lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1. Một số định nghĩa [2,3] . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2. Một số tính chất đơn giản của toán tử lõm . . . . 40
2.2. Toán tử lõm trên không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
M[a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3. Mở rộng định lí về sự tồn tại vector riêng của toán tử lõm 48
2.3.1. Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2. Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Kết luận 56
Tài liệu tham khảo 57
BẢNG KÍ HIỆU
Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới
đây:
M[a; b] Tập tất cả hàm số thực bị chặn trên [a, b].
N Tập số tự nhiên.
N
∗

Tập số tự nhiên khác không .
R Tập số thực .
R
+
Tập số thực không âm.
Ø Tập hợp rỗng.
. Chuẩn.
K
∗
= K \θ Tập các phần tử thuộc tập K, không kể phần tử θ.
H
∗
= H \θ Tập các phần tử thuộc tập H, không kể phần tử θ.
A ∩ B Giao của tập A và tập B.
A\B Hiệu của tập A và tập B.
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kĩ thuật dẫn đến việc xét phương
trình:
Ax − λx = 0 (1),
trong đó A là một toán tử tác dụng trong một không gian X nào đó,
x ∈ X là phần tử phải tìm, tham số λ ∈ R. Phần tử x = θ thỏa mãn (1)
gọi là vector riêng của toán tử A, λ là giá trị riêng tương ứng với vector
riêng x.
Nhiều nhà toán học nghiên cứu về phổ và vector riêng của toán tử trong
các không gian hàm. Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki M. A.
đã nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm. Sau đó, năm 1984,
Bakhtin I. A. [7] đã mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phi tuyến
(K, u
0

)- lõm.
Năm 1987, PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy [2] đã xây dựng khái niệm toán
tử lõm chính quy và sự mở rộng các định lí quan trọng về vector riêng
đối với toán tử cho toán tử lõm chính quy.
Với mong muốn mở rộng các kết quả tương ứng đối với toán tử lõm trong
không gian Banach thực nửa sắp thứ tự, dưới sự hướng dẫn tận tình của
thầy giáo, PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi đã chọn đề tài:
“ Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại vector riêng
của toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự ”
Trong các công trình nghiên cứu, các bài báo nêu trong mục tài liệu
2
tham khảo từ [1] đến [9], khi mở rộng định lí về sự tồn tại vector riêng
của toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự, các tác
giả thường bổ sung các điều kiện phù hợp đối với các toán tử, còn đề tài
này mở rộng theo hướng bổ sung các điều kiện cho nón.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn “ Một hướng mở rộng định lí tồn tại vector riêng của toán tử
lõm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự ” nhằm đưa ra được
một số tính chất của toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp
thứ tự và mở rộng một định lí về sự tồn tại của vector riêng của toán tử
lõm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích đã nêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
+ Nghiên cứu một số tính chất của không gian định chuẩn thực nửa
sắp thứ tự.
+ Nghiên cứu một số tính chất của toán tử lõm trong không gian
Banach thực nửa sắp thứ tự.
+ Nghiên cứu sự tồn tại vector riêng của toán tử lõm trong không
gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
3

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Toán tử lõm.
- Phạm vi nghiên cứu:
+ Tính chất của toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp
thứ tự.
+ Sự tồn tại vector riêng của toán tử lõm trong không gian Banach
thực nửa sắp thứ tự.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng phương pháp giải tích hàm và toán tử lõm nghiên cứu tài
liệu và áp dụng kết quả nghiên cứu vào một không gian hàm cụ thể;
+ Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất;
+ Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
+ Trình bày một cách có hệ thống về toán tử lõm và các tính chất của
toán tử lõm.
+ Mở rộng một định lí về sự tồn tại của vector riêng của toán tử lõm
trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự bằng cách bổ sung điều
kiện phù hợp cho nón.
+ Áp dụng các kết quả vào không gian M [a; b].
Chương 1
Không gian định chuẩn thực nửa
sắp thứ tự
1.1. Khái niệm không gian định chuẩn thực
Định nghĩa 1.1.1. (Không gian định chuẩn thực)
Một không gian định chuẩn thực là một không gian vectơ thực E cùng
với một ánh xạ E → R, được gọi là chuẩn và kí hiệu ., thỏa mãn các
điều kiện:
i) x ≥ 0, ∀x ∈ E và x = 0 nếu và chỉ nếu x = θ, với θ là phần tử
không của không gian E;
ii) αx = |α|. x, ∀x ∈ E và ∀α ∈ R;

iii) x + y ≤ x + y, ∀x, y ∈ E.
Số x được gọi là chuẩn của vector x.
Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn tương ứng là E.
Các tiên đề i), ii), iii) gọi là các hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. (Dãy hội tụ)
4
5
Dãy điểm (x
n
)
∞
n=1
của không gian định chuẩn thực E được gọi là hội tụ
tới điểm x ∈ E nếu lim
n→∞
x
n
− x = 0 hay với mỗi ε > 0, tồn tại một số
n
0
∈ N
∗
sao cho ∀n ≥ n
0
ta có
x
n
− x < ε.
Định nghĩa 1.1.3. (Dãy cơ bản)
Một dãy điểm (x

n
)
∞
n=1
trong không gian định chuẩn được gọi là dãy cơ
bản nếu lim
n,m→∞
x
n
− x
m
 = 0 hay với mỗi ε > 0, tồn tại một số n
0
∈ N
∗
sao cho ∀n, m > n
0
ta có
x
n
− x
m
 < ε.
Định nghĩa 1.1.4. (Không gian Banach)
Một không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu mọi
dãy cơ bản trong E đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.5. (Tập đóng)
Cho E là một không gian định chuẩn, D ⊂ E được gọi là tập đóng nếu
với mọi dãy (x
n

)
∞
n=1
⊂ D, x
n
→ x ∈ E khi n → ∞ thì x ∈ D.
Định nghĩa 1.1.6. (Tập lồi)
Cho E là một không gian định chuẩn, D ⊂ E được gọi là tập lồi nếu với
mọi x, y ∈ D, ∀t ∈ [0; 1] thì tx + (1 − t)y ∈ D.
Định nghĩa 1.1.7. (Tập bị chặn)
Cho E là một không gian định chuẩn, D ⊂ E được gọi là tập bị chặn
nếu tồn tại số α > 0 sao cho x ≤ α với ∀x ∈ D.
Định lý 1.1.1. Nếu lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y và lim
n→∞
α
n
= α thì
lim
n→∞
(x
n
+ y

n
) = x + y,
6
lim
n→∞
α
n
x
n
= αx,
nghĩa là, các phép toán cộng hai phần tử trong E và nhân một phần tử
của E với một số thực là liên tục.
Chứng minh. Do x
n
→ x khi n → ∞, y
n
→ y khi n → ∞ trong không
gian E, nên ta có
x
n
− x → 0, n → ∞ và y
n
− y → 0, n → ∞.
Ta lại có
(x
n
+ y
n
) − (x + y) ≤ x
n

− x + y
n
− y.
Do đó, (x
n
+ y
n
) − (x + y) → 0, n → ∞,
hay lim
n→∞
(x
n
+ y
n
) = x + y, trong không gian E.
α
n
x
n
− αx = α
n
x
n
− α
n
x + α
n
x − αx
≤ α
n

(x
n
− x) + (α
n
− α)x
≤ |α
n
|x
n
− x + |α
n
− α|x.
Vì α
n
→ α, n → ∞, nên |α
n
− α| → 0, n → ∞ và dãy (|α
n
|) bị chặn;
còn x
n
→ x, n → ∞ nên x
n
− x → 0, n → ∞.
Do đó, α
n
(x
n
− x) + (α
n

− α)x → 0, n → ∞,
hay α
n
x
n
− αx → 0, n → ∞,
hay lim
n→∞
α
n
x
n
= αx.
Định lý 1.1.2. Giới hạn (nếu có) của một dãy trong không gian định
chuẩn là duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử (x
n
)
∞
n=1
hội tụ tới x, y ∈ E.
7
Khi đó, ∀ε > 0 tồn tại một số n
0
∈ N
∗
sao cho ∀n ≥ n
0
ta có

x
n
− x <
ε
2
,
x
n
− y <
ε
2
.
Theo tiên đề iii) của định nghĩa 1.1.1 ta có
x − y = x − x
n
+ x
n
− y ≤ x − x
n
 + x
n
− y < ε.
Cho ε dần đến 0 suy ra x − y = 0
⇒ x − y = θ với θ là phần tử không của không gian E.
⇒ x = y.
Định lý 1.1.3. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
(x
n
)
∞

n=1
hội tụ tới x thì dãy chuẩn (x
n
)
∞
n=1
hội tụ tới x.
Chứng minh.
Theo tiên đề iii) của định nghĩa 1.1.1, ∀x, y ∈ E ta có:
x = x − y + y ≤ x − y + y,
hay
x − y ≤ x − y.
Đổi vai trò của x, y ta lại có
y − x ≤ y − x.
Do đó ta có |x − y| ≤ x − y, ∀x, y ∈ E.
Suy ra
|x
n
 − x| ≤ x
n
− x, n = 1, 2,
Vì vậy, nếu (x
n
) hội tụ tới x thì lim
n→∞
x
n
− x = 0,
suy ra |x
n

 − x| → 0 khi n → ∞,
hay x
n
 → x khi n → ∞.
8
Định lý 1.1.4. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
(x
n
)
∞
n=1
hội tụ thì dãy chuẩn (x
n
)
∞
n=1
bị chặn.
Chứng minh. Giả sử x
n
→ x khi n → ∞ trong không gian E, theo định
lí 1.1.3 ta có x
n
 → x khi n → ∞, do đó tồn tại n
0
∈ N
∗
sao cho
∀n ≥ n
0
, x

n
 ≤ x + 1.
Đặt β là số lớn nhất trong các số x
1
, x
2
, , x
n
, x + 1.
Khi đó ∀n ∈ N
∗
, x
n
 ≤ β hay dãy (x
n
)
∞
n=1
bị chặn.
1.2. Khái niệm nón trong không gian định chuẩn
thực
Định nghĩa 1.2.1. (Khái niệm nón )
Giả sử E là không gian định chuẩn thực, K là tập con khác rỗng trong
không gian E. Tập K được gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều
kiện sau:
i) K là một tập con đóng trong không gian E;
ii) (∀x, y ∈ K) x + y ∈ K;
iii) (∀x ∈ K) (∀t ∈ R
+
) tx ∈ K;

iv) (∀x ∈ K \{θ}) − x /∈ K ( θ là phần tử không của không gian E).
Định lý 1.2.1. Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực E
thì θ ∈ K và K là tập lồi.
Chứng minh. Thật vậy:
∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K do đó với t = 0 ta có
tx = 0x = θ ∈ K.
9
∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0, 1] ta có tx ∈ K, (1 − t) y ∈ K nên tx + (1 − t)y ∈ K.
Định lý 1.2.2. Giao của hai nón trong không gian định chuẩn thực E
chứa ít nhất hai phần tử là một nón trong không gian định chuẩn E.
Chứng minh. Giả sử K và H là hai nón trong không gian E sao cho
K ∩H chứa ít nhất hai phần tử. Ta phải chứng minh K ∩H là một nón
trong không gian E.
Ta có θ ∈ H, θ ∈ K nên θ ∈ K ∩H,
nên K ∩ H = φ.
H, K là các tập con đóng trong E. Hiển nhiên, K ∩ H là tập con đóng
trong E.
∀x ∈ K ∩ H và ∀t ∈ R
+
, khi đó ta có:
x ∈ H ⇒ tx ∈ H vì H là nón,
x ∈ K ⇒ tx ∈ K vì K là nón
⇒ tx ∈ K ∩ H.
∀x, y ∈ K ∩H ⇒





x, y ∈ K

x, y ∈ H
⇒





x + y ∈ K
x + y ∈ H
⇒ x + y ∈ K ∩H.
Vì K∩H có ít nhất hai phần tử nên ∃x ∈ K∩H và x = θ,∀x ∈ K∩H\{θ}
suy ra
⇒





x ∈ K \ {θ}
x ∈ H \{θ}
⇒





−x /∈ K
−x /∈ H
⇒ −x /∈ K ∩H.
Vậy K ∩ H là một nón trong không gian E.

10
Định lý 1.2.3. Giả sử M là một tập con khác rỗng của không gian định
chuẩn E thỏa mãn các điều kiện: đóng, lồi, bị chặn và không chứa phần
tử không của không gian E.
Khi đó tập K(M) = {x ∈ E : x = tz, t ≥ 0, z ∈ M} là một nón trong
không gian E.
Chứng minh. Thật vậy:
Ta chứng minh K(M) thỏa mãn các điều kiện của nón.
*) Trước hết, ta chứng minh K(M) = φ vì M ⊂ K(M).
Tiếp theo, ta chứng minh (∃α > 0, ∃β > 0)(∀z ∈ M)α ≤ ||z|| ≤ β.
Thật vậy, vì M là tập bị chặn, nên (∃β > 0)(∀z ∈ M) ||z|| ≤ β.
Giả sử inf
z∈M
||z|| = 0 , theo tính chất cận dưới đúng của dãy số thực thì
∃(z
n
)
∞
n=1
⊂ M sao cho lim
n→∞
z
n
 = 0.
Nên dãy (z
n
)
∞
n=1
hội tụ tới phần tử không θ trong không gian E, M là

tập đóng, suy ra θ ∈ M, điều này mâu thuẫn với tính chất của tập M
không chứa phần tử θ. Do đó (∃α > 0)(∀z ∈ M) z ≥ α.
Ta đã chứng minh được tồn tại các số dương α, β sao cho
(∀z ∈ M)α ≤ z ≤ β.
*)Tiếp theo, ta chứng minh K(M) là tập đóng.
Giả sử dãy (u
n
)
∞
n=1
⊂ K(M) hội tụ tới phần tử v trong không gian E.
Nếu v là phần tử không, thì hiển nhiên v ∈ K(M), vì θ = 0.z, z ∈ M.
Ta xét trường hợp v = θ, nghĩa là v > 0. Khi đó,
(∃n
0
∈ N
∗
)(∀n ≥ n
0
) u
n
− v <
1
2
v
⇒ |u
n
 − v| <
1
2

v, ∀n ≥ n
0
.
11
⇒
1
2
v ≤ u
n
 ≤
3
2
v, ∀n ≥ n
0
.
Ta có u
n
= t
n
.z
n
, z
n
∈ M, t
n
≥ 0, ∀n ∈ N
∗
. Nên
1
2

v ≤ t
n
z
n
 ≤
3
2
v, ∀n ≥ n
0
⇒
1
2β
v ≤ t
n
≤
3
2α
v, ∀n ≥ n
0
.
Hệ thức sau cùng chứng tỏ dãy số (t
n
)
n≥n
0
bị chặn, do đó tồn tại dãy
con (t
n
i
)

∞
i=1
⊂ (t
n
)
n≥n
0
hội tụ tới t
0
> 0. Suy ra,




z
n
i
−
v
t
0




=
1
t
0
t

0
z
n
i
− v
=
1
t
0
t
0
z
n
i
− t
n
i
z
n
i
+ t
n
i
z
n
i
− v
≤
1
t

0
|t
0
− t
n
i
|z
n
i
 +
1
t
0
u
n
i
− v
≤
β
t
0
|t
n
i
− t
0
| +
1
t
0

u
n
i
− v → 0(i → ∞).
Nên, z
n
i
→
v
t
0
khi i → ∞ ⇒
v
t
0
∈ M ⇒ v = t
0
(
v
t
0
) ∈ K(M).
Vậy, K(M) là tập đóng.
*) Giả sử u, v ∈ K(M) và α

≥ 0, β

≥ 0 ta chứng minh α

u + β


v ∈
K(M).
Ta có u = t
1
.z
1
, v = t
2
.z
2
với t
1
, t
2
≥ 0; z
1
, z
2
∈ K(M).
Nếu ít nhất một trong bốn số t
1
, t
2
, α

, β

bằng 0, thì hiển nhiên α


u +
β

v ∈ K(M).
Với t
1
> 0, t
2
> 0, α

> 0, β

> 0 ta có
α

u + β

v = (α

t
1
+ β

t
2
)

α

t

1
α

t
1
+ β

t
2
z
1
+
β

t
2
α

t
1
+ β

t
2
z
2

.
Do M là tập lồi nên biểu thức trong ngoặc vuông thuộc M và α


t
1
+β

t
2
>
0 nên α

u + β

v ∈ K(M).
Vì vậy, α

u + β

v ∈ K(M), ∀α

≥ 0, ∀β

≥ 0.
12
*) Ta chứng minh K(M) ∩ [−K(M)] = {θ}.
Giả sử tồn tại u
0
∈ K(M) ∩ [−K(M)] và u
0
= θ. Ta có:
u
0

∈ K(M) ⇒ u
0
= t
0
z
0
với t
0
> 0, z
0
∈ M,
−u
0
∈ K(M) ⇒ −u
0
= t
1
z
1
với t
1
> 0, z
1
∈ M
⇒ θ = u
0
− u
0
= t
0

z
0
+ t
1
z
1
= (t
0
+ t
1
)[
t
0
t
0
+ t
1
z
0
+
t
1
t
0
+ t
1
z
1
].
Vì t

0
+ t
1
> 0, nên θ =
t
0
t
0
+ t
1
z
0
+
t
1
t
0
+ t
1
z
1
∈ M - vô lý,
nên K(M) ∩ [−K(M)] = {θ}.
Vậy, K(M) là nón trong không gian E.
1.3. Quan hệ thứ tự trên không gian định chuẩn
thực
Giả sử E là một không gian định chuẩn thực, K là một nón trong
không gian E.
Định nghĩa 1.3.1. Với x, y ∈ E, ta viết x ≤ y (hoặc x < y) nếu
y − x ∈ K (hoặc y − x ∈ K\{θ}).

Định lý 1.3.1. Quan hệ “ ≤ ” là một quan hệ thứ tự trong E.
Chứng minh. Thật vậy:
*) Mọi x ∈ K, x − x = θ ∈ K ⇒ x ≤ x.
*) Với x, y ∈ K sao cho x ≤ y và y ≤ x thì y − x ∈ K và x − y ∈ K.
Do y −x = −(x −y), nên nếu x −y = θ thì mâu thuẫn với điều kiện iv)
của định nghĩa 1.2.1. Do đó, x − y = θ ⇔ x = y.
*) Với x, y, z ∈ K sao cho x ≤ y và y ≤ z thì y − x ∈ K và z −y ∈ K.
Do z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K nên x ≤ z.
13
Định nghĩa 1.3.2. (Không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự)
Không gian định chuẩn thực E cùng với quan hệ sắp thứ tự “ ≤ ” trên
gọi là không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự theo nón K (hay sắp thứ
bộ phận theo nón K).
Định lý 1.3.2. Nếu x, y ∈ E : x ≤ y thì (∀z ∈ E)x + z ≤ y + z, và
(∀λ ∈ R
+
)λx ≤ λy, (−λ)y ≤ (−λ)x.
Chứng minh. x ≤ y ⇒ (y + z) − (x + z) = y − x ∈ K ⇒ x + z ≤ y + z.
∀λ ∈ R
+
, ta có:
λy − λx = λ(y − x) ∈ K ⇒ λx ≤ λy.
−λx − (−λ)y = −λx + λy = λ(y −x) ∈ K ⇒ −λy ≤ −λx.
Định lý 1.3.3. Nếu với mọi (x
n
)
∞
n=1
⊂ E, (y
n

)
∞
n=1
⊂ E, x
n
≤ y
n
, ∀n =
1, 2, 3
lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y trong E, thì x ≤ y.
Chứng minh. Vì y
n
− x
n
∈ K, ∀n = 1, 2, , lim(y
n
− x
n
) = y − x và K
là tập đóng nên y − x ∈ K ⇒ x ≤ y.
Định lý 1.3.4. Giả sử có u
0

∈ K và x ∈ E. Khi đó, nếu ∃µ ∈ R,
x ≤ µu
0
thì x ≤ γu
0
, ∀γ ∈ R, γ ≥ µ.
Chứng minh.
µu
0
− x ∈ K, ∀γ ∈ R, γ ≥ µ ⇒ γ − µ ≥ 0 ⇒ (γ − µ)u
0
∈ K
⇒ γu
0
− x = (γ − µ)u
0
+ (µu
0
− x) ∈ K
⇒ x ≤ γu
0
, ∀γ ∈ R, γ ≤ µ.
14
Định lý 1.3.5. Giả sử u
0
∈ K, x
0
∈ K sao cho ∃µ
0
∈ R, x

0
≤ µ
0
u
0
.
Khi đó, tồn tại số thực nhỏ nhất α sao cho x
0
≤ αu
0
.
Chứng minh. Xét ánh xạ
f : R −→ K
µ −→ f(µ) = µu
0
− x
0
.
Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một
số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục. Từ đó
và từ tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f
−1
(K) là tập
đóng trong không gian R. Hiển nhiên, µ
0
∈ f
−1
(K).
Giả sử inf f
−1

(K) = −∞. Khi đó ∃(µ
n
)
∞
n=1
⊂ f
−1
(K),
(∃N > 0)(∀n ≥ N) thì µ
n
< 0 ⇒ −
1
µ
n
(µ
n
n
0
− x
0
) ∈ K và
lim
n→∞

1
µ
n
(µ
n
n

0
− x
0
)

= lim
n→∞

− u
0
+
x
0
µ
n

= u
0
∈ K,
mâu thuẫn với tính chất của nón K.
Do đó inf f
−1
(K) = α > −∞.
Do f
−1
(K) là tập đóng, nên α ∈ f
−1
(K), nghĩa là α = min f
−1
(K).

Vì vậy, ∃α nhỏ nhất sao cho αu
0
− x
0
∈ K hay x
0
≤ αu
0
.
Định lý 1.3.6.
Giả sử có u
0
∈ K và x
0
∈ E sao cho ∃µ
1
> 0 : x
0
≥ −µ
1
u
0
. Khi đó, tồn
tại số thực nhỏ nhất β sao cho x
0
≥ −βu
0
.
Chứng minh. Theo giả thiết, x
0

∈ E, và
∃µ
1
> 0, x
0
≥ −µ
1
u
0
⇒ −x
0
∈ E và − x
0
≤ µ
1
u
0
.
Theo định lí 1.3.5, tồn tại số thực β nhỏ nhất sao cho −x
0
≤ βu
0
hay
tồn tại số thực nhỏ nhất β sao cho x
0
≥ −βu
0
.
15
Định nghĩa 1.3.3. (Dãy đơn điệu)

- Dãy (x
n
)
∞
n=1
⊂ E gọi là dãy không giảm, nếu:
x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
n
≤
- Dãy (y
n
)
∞
n=1
⊂ E gọi là dãy không tăng, nếu:
y
1
≥ y
2
≥ ≥ y
n
≥
- Các dãy không giảm, dãy không tăng gọi chung là dãy đơn điệu.
Định nghĩa 1.3.4. (Tập bị chặn trên, bị chặn dưới bởi phần tử)
- Tập hợp M ⊂ E gọi là bị chặn trên bởi phần tử u ∈ E, nếu :
∀x ∈ M, x ≤ u.

- Tập hợp L ⊂ E gọi là bị chặn dưới bởi phần tử v ∈ E, nếu :
∀y ∈ L, y ≥ v.
Định nghĩa 1.3.5. (Cận trên đúng, cận dưới đúng)
- Phần tử x
∗
∈ E gọi là cận trên đúng của tập A ⊂ E, nếu :
i) ∀x ∈ A, x ≤ x
∗
;
ii) (∃u ∈ E)(∀x ∈ A)x ≤ u, thì x
∗
≤ u.
Khi đó, kí hiệu x
∗
= supA.
- Phần tử y
∗
∈ E gọi là cận dưới đúng của tập B ⊂ E, nếu :
i) ∀y ∈ B, y
∗
≤ y;
ii) Nếu (∃v ∈ E)(∀x ∈ B)x ≥ v, thì v ≤ y
∗
.
Khi đó, kí hiệu y
∗
= infB.
16
1.4. Các phần tử thông ước
Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón

K ⊂ E.
Định nghĩa 1.4.1. (Các phần tử thông ước)
Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E.
Với x, y ∈ E ta nói x thông ước với y nếu tồn tại số α(x) > 0, β(x) > 0
sao cho
αy ≤ x ≤ βy.
Định lý 1.4.1. Cho x, y ∈ E, nếu x thông ước với y thì y thông ước với
x.
Chứng minh. Vì x thông ước với y nên tồn tại số dương α, β sao cho
αy ≤ x ≤ βy. Do đó
1
β
x ≤ y ≤
1
α
x,
hay y thông ước với x.
Định lý 1.4.2. Nếu hai phần tử x, y ∈ E cùng thông ước với phần tử
z ∈ E thì x và y thông ước với nhau.
Chứng minh. Giả sử hai phần tử x, y ∈ E cùng thông ước với phần tử
thứ ba z ∈ E.
Khi đó, tồn tại các số dương α, β, λ, γ sao cho :
α.z ≤ x ≤ β.z,
λ.z ≤ y ≤ γ.z.
Ta có
x ≥ α.z =
α
γ
.γ.z ≥
α

γ
.y,
17
x ≤ β.z =
β
λ
.λ.z ≤
β
λ
y.
Vì vậy, tồn tại các số dương α
1
=
α
γ
, β
1
=
β
λ
sao cho:
α
1
.y ≤ x ≤ β
1
.y,
nghĩa là x thông ước với y.
Giả sử H là nón trong không gian E, u
0
∈ H \{θ}.

Kí hiệu H(u
0
) là tập tất cả các phần tử thông ước với u
0
.
Định lý 1.4.3. Tập hợp H(u
0
) là tập lồi.
Chứng minh. Với x ∈ H(u
0
), y ∈ H(u
0
), t ∈ [0; 1]. Vì x, y thông ước với
u
0
nên tồn tại các số dương α
1
, β
1
, α
2
, β
2
sao cho:
α
1
.u
0
≤ x ≤ β
1

.u
0
,
α
2
.u
0
≤ y ≤ β
2
.u
0
.
Suy ra
t.α
1
.u
0
≤ tx ≤ t.β
1
.u
0
,
(1 − t)α
2
.u
0
≤ (1 − t)y ≤ (1 − t)β
2
.u
0

.
Suy ra
(t.α
1
+ (1 − t)α
2
).u
0
≤ tx + (1 − t)y ≤ (β
1
+ (1 − t)β
2
)u
0
.
Hiển nhiên, tα
1
+ (1 − t)α
2
, β
1
+ (1 − t)β
2
là các số dương.
Suy ra tx + (1 − t)y ∈ H(u
0
),
hay H(u
0
) là tập lồi.

Định lý 1.4.4. Nếu u
0
∈ K \ {θ} thì H(u
0
) ⊂ K \{θ}.
18
Chứng minh. x ∈ H(u
0
) khi đó ∃α > 0, β > 0 sao cho
αu
0
≤ x ≤ βu
0
⇒ x − αu
0
∈ K.
Và u
0
∈ K \ {θ}, α > 0 nên αu
0
∈ K \ {θ}. Do đó:
x = (x − αu
0
) + αu
0
∈ K \ {θ}.
Vậy, H(u
0
) ∈ K \{θ}.
1.5. Một số nón đặc biệt

Định nghĩa 1.5.1. (Nón chuẩn tắc)[2,3]
Trong không gian Banach thực E, một nón H được gọi là nón chuẩn tắc,
nếu ∃δ > 0, sao cho ∀e
1
, e
2
∈ H, e
1
 = e
2
 = 1 ta có e
1
+ e
2
 > δ.
Định lý 1.5.1. Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự
theo nón K ⊂ E, H là một nón trong không gian E.
H là nón chuẩn tắc khi và chỉ khi H thỏa mãn điều kiện:
(∃N > 0)(∀x, y ∈ H : y − x ∈ H) x ≤ N y. (1.1)
Chứng minh. Điều kiện đủ: Giả sử điều kiện (1.1) được thỏa mãn. Khi
đó,
(∀e
1
, e
2
∈ H : e
1
 = e
2
 = 1)((e

1
+ e
2
) − e
1
= e
2
∈ H),
nên 1 = e
1
 ≤ N. e
1
+ e
2
 ⇔ e
1
+ e
2
 ≥ N
−1
.
Suy ra, H là nón chuẩn tắc.
19
Điều kiện cần: Giả sử H là nón chuẩn tắc, nhưng điều kiện (1.1) không
xảy ra, nghĩa là
(∀n ∈ N
∗
)(∃x
n
, y

n
∈ H : y
n
− x
n
∈ H) x
n
 > n y
n
. (1.2)
Hệ thức (1.2) chứng tỏ:
x
n
= θ, y
n
= θ( n ∈ N
∗
, θ là phần tử không trong không gian E ),
x
n

n y
n

> 1; 0 <
n y
n

x
n


< 1, ∀n ∈ N
∗
.
Ta đặt
x
n

n y
n

= 1 + c
n
,
n y
n

x
n

= 1 − d
n
,
trong đó c
n
> 0, 0 < d
n
< 1, n = 1, 2,
Xét các phần tử
g

n
=
x
n
x
n

+
y
n
n y
n

, h
n
=
−x
n
x
n

+
y
n
n y
n

, n = 1, 2,
Ta có
g

n
 ≥




x
n
x
n





−




y
n
n y
n





= 1 −

1
n
> 0, ∀n ≥ 2,
h
n
 ≥




−x
n
x
n





−




y
n
n y
n






= 1 −
1
n
> 0, ∀n ≥ 2,
nên g
n
= θ, h
n
= θ, ∀n ≥ 2.
Hiển nhiên, g
n
∈ H, ∀n ∈ N
∗
.
Còn h
n
∈ H, ∀n ∈ N
∗
, được chứng minh như sau:
h
n
=
−x
n
x
n


+
y
n
n y
n

=
1
n x
n
. y
n


−
n 
y
n
x
n

x
n
+
x
n

n y
n


y
n

=
1
n x
n
. y
n

[(d
n
x
n
+ c
n
y
n
) + (y
n
− x
n
)] ∈ H, ∀n ∈ N
∗
.
Mặt khác,
g
n
 ≤





x
n
x
n





+




y
n
n y
n





≤ 1 +
1
n
, ∀n ∈ N

∗
.