Tập hút toàn cục cho phương trình vi phân hàm nửa tuyến tính với toán tử hille yosida

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN XUÂN HÙY
TẬP HÚT TOÀN CỤC
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TOÁN TỬ HILLE-YOSIDA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN XUÂN HÙY
TẬP HÚT TOÀN CỤC
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TOÁN TỬ HILLE-YOSIDA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. Trần Đình Kế
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy TS. Trần
Đình Kế, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác
giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm
túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Trần Đình Kế trong suốt quá trình
tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết
tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn
các thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu,
Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ
kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học

tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Xuân Hùy
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Kế.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được
công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Xuân Hùy
Mục lục
Lời nói đầu . . 1
Đặt vấn đề . . . . . . 2
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . 6
1.1. Nửa nhóm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 2. Tập hút toàn cục . . . . . 13
2.1. Tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 3. Áp dụng . . . . . 31
3.1. Bao hàm thức trong miền bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Bao hàm thức trong miền không bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận . . . . . . . 37
Tài liệu tham khảo . . . . . 38
Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài

Nghiên cứu lý thuyết ổn định đối với phương trình vi phân là một chủ
đề có tính thời sự, được khởi xướng từ những năm đầu của thế kỷ 20 và
đã đạt được nhiều thành tựu quan trọng. Trong vài thập kỷ trở lại, lý
thuyết ổn định được tiếp tục phát triển cho phương trình đạo hàm riêng
với các khái niệm mới. Một trong những khái niệm quan trọng được xây
dựng là khái niệm tập hút toàn cục cho hệ động lực sinh bởi các phương
trình nói trên. Nó cho phép nghiên cứu dáng điệu nghiệm khi thời gian
ra vô cùng. Luận văn tập trung nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục
cho hệ động lực sinh bởi một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính
chứa trễ với toán tử Hille-Yosida:
u

(t) ∈ Au(t) + F (u(t), u
t
), t ≥ 0;
u
0
= ϕ ∈ C,
với C = C([−h, 0]; X) là không gian các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0]
lấy giá trị trên không gian Banach X. Trong bài báo [33] kết quả về sự
tồn tại tập hút toàn cục được thiết lập cho trường hợp A sinh ra nửa
nhóm tích phân S(·) sao cho S

(·) là nửa nhóm compact, đồng thời hàm
phi tuyến F thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Trong luận văn này tôi sẽ
trình bày một kết quả mở rộng khi không có tính compact của nửa nhóm
S

(·) cũng như không có tính Lipschitz của F . Đề tài của luận văn được
chọn là: "Tập hút toàn cục cho phương trình vi phân hàm nửa tuyến

tính với toán tử Hille-Yosida".
1
2
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục cho một lớp phương trình phi
tuyến có trễ dạng parabolic mà phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm tích
phân. Chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo [21].
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu lý thuyết tập hút toàn cục;
• Áp dụng lý thuyết tập hút toàn cục cho lớp bài toàn đề cập.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: Phương trình vi phân dạng parabolic nửa tuyến tính
chứa trễ với toán tử Hille-Yosida;
• Phạm vi: dáng điệu tiệm cận nghiệm, tập hút toàn cục của hệ động
lực sinh bởi lớp phương trình nêu trên.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của hệ động lực vô hạn chiều, lý thuyết
điểm bất động, độ đo không compact.
6. Đóng góp mới của luận văn
Chứng minh và mở rộng các kết quả trong bài báo [21].
Đặt vấn đề
Giả sử (X,  · ) là một không gian Banach. Ta xét bài toán
u

(t) ∈ Au(t) + F (u(t), u
t
), t ≥ 0, (1)
u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (2)
ở đây u là hàm nhận giá trị trong X, u
t

là hàm trễ, tức là u
t
(s) = u(t+s)
với s ∈ [−h, 0],
F là một hàm đa trị xác định trên một tập con của X × C([−h, 0], X).
Trong mô hình này của chúng ta, A : D(A) ⊂ X → X là một toán tử
tuyến tính thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, tức là tồn tại các hằng số
M ≥ 1, ω ∈ R sao cho (ω, +∞) ⊂ ρ(A) (giải thức của A) mà
(λI − A)
−n

L(X)
≤
M
(λ − ω)
n
, λ > ω,
trong đó  · 
L(X)
là chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Như
đã đề cập trong [29], trong rất nhiều bài toán phương trình vi phân nửa
tuyến tính, thành phần tuyến tính có thể nhận giá trị nằm ngoài D(A)
và ta phải nghiên cứu bài toán này trong một không gian lớn hơn. Điều
này dẫn tới việc ta phải xét các mô hình mà A xác định không trù mật.
Ta có thể tìm thấy trong [16] một số mô hình mà toán tử xác định không
trù mật.
Với giả thiết A thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, có rất nhiều nghiên
cứu đề cập tới tính giải được và ổn định của các bài toán có dạng (1)-(2).
Ngoài ra, các kết quả cho trường hợp hàm F đơn trị có thể tìm thấy ở
[1, 2, 4, 18, 29]. Trong trường hợp bao hàm thức, chúng ta có kết quả của

[12, 26].
3
4
Như chúng ta đã biết, trong lí thuyết hệ động lực trong không gian vô
hạn chiều, tập hút toàn cục là một công cụ hữu ích để nghiên cứu tính
tiệm cận nghiệm trong rất nhiều hệ vi phân. Trong tài liệu chuyên khảo
[13, 28] đã trình bày đầy đủ các vấn đề liên quan tới lí thuyết tập hút.
Với bài toán (1)-(2), trong trường hợp F là hàm đơn trị, sự tồn tại tập
hút toàn cục đã được chứng minh trong [33]. Ngoài ra, kết quả tương
tự cho trường hợp trễ vô hạn được chứng minh trong [10]. Trong cả hai
nghiên cứu này, các tác giả đều cần tới hai giả thiết quan trọng:
1. Nửa nhóm S

(·) (xem tại chương 2) là nửa nhóm compact;
2. F là một ánh xạ Lipschitz.
Ở đây, ta cố gắng giảm nhẹ các giả thiết cho trường hợp trễ hữu hạn. Đặc
biệt, nếu S

(·) là không compact, ta giả thiết F thỏa mãn tính chất chính
quy được biểu diễn dưới dạng độ đo không compact (MNC). Trường hợp
đặc biệt, nếu F = F
1
+ F
2
, trong đó F
1
là hàm Lipschitz đơn trị, F
2
là
hàm đa trị compact thì tính chất được đề cập ở trên được thỏa mãn (ta

có thể xem ở ví dụ trong chương cuối). Cũng cần nhấn mạnh rằng, bài
toán này được xét dưới dạng bao hàm thức vi phân, nó không chỉ là một
sự mở rộng tổng quát của mô hình phương trình, mà ta còn có thể coi
nó như một bài toán điều khiển mà ở đó, hàm điều khiển được cho dưới
dạng phản hồi.
Về cách tiếp cận, như chúng ta đã biết, để nghiên cứu dáng điệu của
hệ động lực đa trị sinh bởi phương trình vi phân không duy nhất nghiệm
hoặc bao hàm thức vi phân, có hai phương pháp thường được sử dụng
nhất, đó là phương pháp Nửa dòng tổng quát (được đưa ra bởi Ball
trong [7, 8]) và phương pháp Nửa dòng đa trị (được đưa ra bởi Melnik
5
và Valero trong [25]). Những đánh giá, so sánh về hai phương pháp này
được nêu trong [15]. Chúng ta cũng đề cập tới lí thuyết hút quỹ đạo được
phát triển bởi Chepyzov và Vishik ở [14], đây cũng là một công cụ rất
tốt để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các hệ đạo hàm riêng mà tính
duy nhất nghiệm không được bảo toàn. Trong tất cả các lược đồ này, có
một bước rất quan trọng trong việc chứng minh tồn tại tập hút đó là chỉ
ra tính compact tiệm cận của nửa dòng. Thông thường, tính chất này
thỏa mãn nếu nửa dòng sinh bởi thành phần chính (ví dụ, trong bài này
là S

(·)) là compact. Tuy nhiên, với các hệ đạo hàm riêng trong miền
không bị chặn thì yêu cầu như trên là không thực tế. Để khắc phục khó
khăn này, ta sử dụng cách tiếp cận bằng các ước lượng cho độ đo không
compact. Gọi G(t, ·) là nửa dòng đa trị sinh bởi (1)-(2), nghĩa là
G(t, ϕ) = {u
t
: u(·, ϕ) là một nghiệm tích phân của (1) − (2)},
và G
T

= G(T, ·) với T > h, là toán tử dịch chuyển. Ta sẽ chứng minh G
T
là nén. Tính chất này giúp chúng ta chứng minh tính tiệm cận compact
của G. Ở đây, nửa nhóm S

(·) được giả thiết là liên tục theo chuẩn,
không cần tính compact. Hơn nữa, nhờ các ước lượng dựa vào bất đẳng
thức Halanay, ta cũng thu được tính chất tán xạ bị chặn của G dưới các
giả thiết nhẹ hơn so với các giả thiết đưa ra trong [33].
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Nửa nhóm tích phân
Định nghĩa 1.1.1. Một nửa nhóm tích phân là một họ {S(t)}
t≥0
các
toán tử tuyến tính bị chặn trên X thỏa mãn các tính chất:
(i) S(0) = 0;
(ii) t → S(t)v liên tục với mỗi v ∈ X;
(iii) S(s)S(t)v =

s
0
(S(t + r) − S(r))vdr, với mọi t, s ≥ 0, v ∈ X.
Nửa nhóm tích phân được gọi là không suy biến nếu S(t)v = 0 với mọi
t ≥ 0 kéo theo v = 0.
Định nghĩa 1.1.2. Nửa nhóm tích phân {S(t)}
t≥0
được gọi là liên tục
Lipschitz địa phương, nếu với mọi τ > 0, tồn tại hằng số L(τ) > 0 sao
cho

S(t) − S(s)
L(X)
≤ L|t − s|, với mọi t, s ∈ [0, τ].
Định nghĩa 1.1.3. Toán tử A được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm
tích phân {S(t)}
t≥0
trên X nếu tồn tại ω ∈ R sao cho (ω; +∞) ⊂ ρ(A)
và
R(λ, A)v = (λI − A)
−1
v = λ

+∞
0
e
−λt
S(t)vdt
với mọi λ > ω và mọi v ∈ X.
Bổ đề 1.1.4. [24] Các Mệnh đề sau tương đương:
(i) A là toán tử sinh của một nửa nhóm tích phân không suy biến,
liên tục Lipschitz địa phương;
6
7
(ii) A thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, tức là, tồn tại M ≥ 1 và
ω ∈ R sao cho (ω; +∞) ⊂ ρ(A) và
sup{(λ − ω)
n
(λI − A)
−n


L(X)
: n ∈ N, λ > ω} ≤ M.
Ta đã biết rằng (xem trong [24]) nếu {S(t)}
t≥0
là một nửa nhóm tích
phân sinh bởi một toán tử Hille-Yosida A, thì t → S(t)v là khả vi với
mỗi v ∈ D(A) và {S

(t)}
t≥0
là một C
0
-nửa nhóm trên D(A) sinh bởi
thành phần A
0
của A, được định nghĩa bởi
D(A
0
) = {v ∈ D(A) : Av ∈ D(A)},
A
0
v = Av, với v ∈ D(A
0
).
Xét bài toán Cauchy
u

(t) = Au(t) + f(t), t ∈ J = [0, T ], (1.1)
u(0) = u
0

. (1.2)
trong đó f ∈ L
1
(J, X) và u
0
∈ D(A) cho trước. Từ đây về sau, ta kí
hiệu L
1
(J; X) là không gian các hàm khả tích theo nghĩa Bochner.
Hàm u : J → D(A) được gọi là một nghiệm tích phân của bài toán
(1.1)-(1.2) nếu u ∈ C(J; X), u(0) = u
0
và
u(t) = S

(t)u(0) + lim
λ→+∞

t
0
S

(t − s)λ(λ − A)
−1
f(s)ds, t ∈ J.
Định lí 1.1.5. Nếu A là toán tử sinh của một nửa nhóm tích phân thì
tồn tại duy nhất một nghiệm tích phân u = u(·, u
0
, f ) của bài toán
(1.1)-(1.2) với mỗi f ∈ L

1
(J; X), u
0
∈ D(A).
Giả sử E là một không gian Banach và B(E) là họ tất cả các tập con
bị chặn E. Khi đó, hàm số được định nghĩa trên B(E),
χ(D) = inf{ : D có  − lưới hữu hạn},
8
được gọi là độ đo không compact (MNC) Hausdorff trên E.
Dựa vào độ đo Hausdorff χ, ta đưa ra khái niệm độ đo tuần tự χ
0
như sau:
χ
0
(Ω) = sup{χ(D) : D ∈ ∆(Ω)},
trong đó ∆(Ω) là họ tất cả các tập con không quá đếm được của Ω (xem
tại [3]). Ta đã biết
1
2
χ(Ω) ≤ χ
0
(Ω) ≤ χ(Ω),
với mọi tập bị chặn Ω ⊂ E. Khi đó, tính chất sau là hiển nhiên:
Mệnh đề 1.1.6. Xét χ là độ đo Hausdorff trong E và Ω ⊂ E là một
tập bị chặn. Khi đó, với mọi  > 0, tồn tại một dãy {x
n
} ⊂ Ω sao cho
χ(Ω) ≤ 2χ({x
n
}) + .

Nếu Ω ⊂ L
1
(J; X) thỏa mãn điều kiện: với mọi f ∈ Ω, f (t) ≤ ν(t)
hầu khắp t ∈ J, với ν ∈ L
1
(J) := L
1
(J; R), thì ta nói rằng Ω là một tập
khả tích bị chặn.
Mệnh đề 1.1.7. [22] Nếu {w
n
} ⊂ L
1
(J; X) là khả tích bị chặn, thì ta
có
χ({

t
0
w
n
(s)ds}) ≤ 2

t
0
χ({w
n
(s)})ds
với t ∈ J.
Áp dụng Mệnh đề 1.1.6 và Mệnh đề 1.1.7, ta có kết quả sau.

Mệnh đề 1.1.8. Với D ⊂ L
1
(J; X) thỏa mãn
1. ξ(t) ≤ ν(t), với mọi ξ ∈ D và với hầu khắp t ∈ J,
2. χ(D(t)) ≤ q(t) với hầu khắp t ∈ J,
9
trong đó ν, q ∈ L
1
(J). Thì
χ


t
0
D(s)ds

≤ 4

t
0
q(s)ds,
ở đây

t
0
D(s)ds = {

t
0
ξ(s)ds : ξ ∈ D}.

Chứng minh. Với  > 0, tồn tại một dãy ξ
n
∈ D sao cho
χ


t
0
D(s)ds

≤ 2χ

{

t
0
ξ
n
(s)ds}

+ ,
nhờ Mệnh đề 1.1.6. Áp dụng Mệnh đề 1.1.7 cho biểu thức trên, ta có
χ


t
0
D(s)ds

≤ 4


t
0
χ({ξ
n
(s)})ds + 
≤ 4

t
0
q(s)ds + .
Do  là bất kì, ta có điều phải chứng minh. 
Để kết thúc mục này, ta nhắc lại khái niệm χ-chuẩn của một ánh xạ
tuyến tính bị chặn T (T ∈ L(X)) như sau
T 
χ
= inf{β > 0 : χ(T (B)) ≤ βχ(B) với mọi tập bị chặn B ⊂ X}.
(1.3)
Ta biết rằng χ-chuẩn của T được tính bởi công thức
T 
χ
= χ(T (B
1
)) = χ(T (S
1
)),
trong đó B
1
và S
1

tương ứng là hình cầu đơn vị và mặt cầu đơn vị trong
X. Ta cũng có kết quả
T 
χ
≤ T 
L(X)
,
mà T 
L(X)
được hiểu là chuẩn toán tử trong L(X). Hiển nhiên, T là
toán tử compact nếu và chỉ nếu T 
χ
= 0.
10
1.2. Tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị
Ta nhắc lại một số khái niệm của giải tích đa trị. Giả thiết Y là một
không gian metric, và P(E) là họ tất cả các tập con khác rỗng của E.
Định nghĩa 1.2.1. Một ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:
(i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F
−1
(V ) = {y ∈ Y : F(y) ∩ V = ∅}
là một tập đóng trong Y với mỗi tập đóng V ⊂ E;
(ii) nửa liên tục trên yếu nếu F
−1
(V ) là tập đóng trong Y với mọi
tập đóng yếu V ⊂ E;
(iii) đóng nếu đồ thị Γ
F
= {(y, z) : z ∈ F(y)} là môt tập đóng trong
Y × E;

(iv) compact nếu ảnh F(Y ) là tiền compact trong E;
(v) tựa compact nếu hạn chế của nó trên mỗi tập compac A ⊂ Y là
compact.
Các kết quả dưới đây sẽ được chúng tôi sử dụng sau này.
Bổ đề 1.2.2. [22, Định lí 1.1.12] Giả sử G : Y → P(E) là một ánh xạ
đa trị đóng, tựa compact có giá trị compact. Khi đó, G là nửa liên tục
trên.
Bổ đề 1.2.3. [9, Mệnh đề 2] Cho E là một không gian Banach và Ω là
một tập con khác rỗng của một không gian Banach khác. Giả sử rằng
G : Ω → P(E) là một ánh xạ đa trị nhận giá trị compact yếu, lồi. Thì
G là nửa liên tục trên yếu nếu và chỉ nếu {x
n
} ⊂ Ω với x
n
→ x
0
∈ Ω và
y
n
∈ G(x
n
) kéo theo y
n
 y
0
∈ G(x
0
).
Bây giờ, ta nhắc lại các khái niệm về nửa dòng đa trị và tập hút toàn
11

cục (xem [25]). Giả sử Γ là một nửa nhóm không tầm thường của nửa
nhóm cộng tính các số thực R và Γ
+
= Γ ∩ [0, ∞).
Định nghĩa 1.2.4. Ánh xạ G : Γ
+
× E → P(E) được gọi là một nửa
dòng đa trị nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
1. G(0, w) = {w}, với mọi w ∈ E,
2. G(t
1
+ t
2
, x) ⊂ G(t
1
, G(t
2
, x)), với mọi t
1
, t
2
∈ Γ
+
, x ∈ E,
trong đó G(t, B) = ∪
x∈B
G(t, x), B ⊂ E.
Nửa dòng đa trị được gọi là nửa dòng đa trị ngặt nếu G(t
1
+ t

2
, w) =
G(t
1
, G(t
2
, w)) với mọi w ∈ E và t
1
, t
2
∈ Γ
+
. G được gọi là bị chặn
chung cuộc nếu với mỗi tập bị chặn B ⊂ E, tồn tại số T(B) > 0 sao
cho γ
+
T (B)
(B) là bị chặn. Ở đây, γ
+
T (B)
(B) là các quỹ đạo kể từ thời điểm
T (B) : γ
+
T (B)
(B) =

t≥T (B)
G(t, B).
Định nghĩa 1.2.5. Một tập bị chặn B
1

⊂ E được gọi là một tập hấp
thụ của nửa dòng đa trị G nếu với mỗi tập bị chặn B ⊂ E, tồn tại
τ = τ(B) ≥ 0 sao cho γ
+
τ(B)
(B) ⊂ B
1
.
Định nghĩa 1.2.6. Tập con A ⊂ E được gọi là tập hút toàn cục của
nửa dòng đa trị G nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1. A hút mọi tập B ∈ B(E), nghĩa là dist(G(t, B), A) → 0 khi t → ∞,
với mọi tập bị chặn B ⊂ E, trong đó dist(·, ·) kí hiệu nửa khoảng cách
Hausdorff của hai tập con trong E;
2. A là nửa bất biến âm, tức là A ⊂ G(t, A), ∀t ∈ Γ
+
.
Định lí sau đây cho chúng ta một điều kiện đủ để tồn tại tập hút toàn
cục của một nửa dòng đa trị G.
Định lí 1.2.7. [25] Giả sử nửa dòng đa trị G thỏa mãn các tính chất:
1. G(t, ·) là nửa liên tục trên và có giá trị đóng với mỗi t ∈ Γ
+
;
12
2. G tán xạ điểm, tức là tồn tại K > 0 sao cho với w ∈ E, u(t) ∈
G(t, w), thì u(t)
E
≤ K với t ≥ t
0
(w
E

);
3. G là compact tiệm cận, tức là nếu B là một tập đóng trong E
sao cho với T (B) > 0, γ
+
T (B)
(B) bị chặn, thì mỗi dãy ξ
n
∈ G(t
n
, B) với
t
n
→ ∞ là tiền compact trong E.
Nếu G là bị chặn chung cuộc, thì nó có một tập hút toàn cục compact
A trong E. Hơn nữa, nếu G là một nửa dòng ngặt, thì A là bất biến, tức
là A = G(t, A) với mỗi t ∈ Γ
+
.
Chương 2
Tập hút toàn cục
2.1. Tồn tại nghiệm yếu
Ta kí hiệu
P
c
(X) = {D ∈ P(X) : D là tập đóng},
C
h
= {ϕ ∈ C([−h, 0]; X) : ϕ(0) ∈ D(A)},
C
ϕ

= {v : J → D(A), v ∈ C(J, X), v(0) = ϕ(0)}.
Với v ∈ C
ϕ
, ta kí hiệu v[ϕ] ∈ C([−h, T ], X) như sau
v[ϕ](t) =





v(t) nếu t ∈ [0, T ]
ϕ(t) nếu t ∈ [−h, 0].
Trong mục này, ta cần các giả thiết sau
(A) Toán tử A thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida và C
0
-nửa nhóm {S

(t)}
t≥0
liên tục theo chuẩn, tức là t → S

(t) liên tục với t > 0 (theo tô pô
mạnh của L(X)).
Đối với thành phần phi tuyến của hệ (1)-(2), ta giả thiết
(F) Hàm đa trị F :
D(A) × C
h
→ P
c
(X) thỏa mãn:

(1) F là nửa liên tục trên với giá trị compact yếu, lồi;
(2) F (x, y) := sup{ξ : ξ ∈ F (x, y)} ≤ ax + by
C
h
+ c, với
mọi x ∈ D(A), y ∈ C
h
, ở đây a, b, c là các hằng số không âm;
13
14
(3) Nếu {S

(t)} không compact, thì
χ(F (B, C)) ≤ pχ(B) + q sup
t∈[−h,0]
χ(C(t)),
với mọi B ⊂ D(A), C ⊂ C
h
, ở đây p, q ∈ R
+
.
Đặt
P
F
(v) = {f ∈ L
1
(J; X) : f (t) ∈ F (v(t), v[ϕ]
t
), với hầu khắp t ∈ J},
ta thu được kết quả sau.

Mệnh đề 2.1.1. Giả sử (F)(1) − (F)(2) thỏa mãn. Khi đó P
F
(u) = ∅
với mỗi u ∈ C
ϕ
. Hơn nữa, P
F
: C(J; X) → P(L
1
(J; X)) là nửa liên tục
trên yếu với giá trị compact yếu, lồi.
Chứng minh. Chứng minh của định lí tương tự như trong [9, Định lí
1]. 
Định nghĩa 2.1.2. Với mỗi ϕ ∈ C
h
cho trước, một hàm u : [−h, T ] → X
được gọi là một nghiệm tích phân của bài toán (1)-(2) trên [−h, T ] với
điều kiện ban đầu ϕ nếu tồn tại f ∈ P
F
(u) sao cho
u(t) =







S


(t)ϕ(0) + lim
λ→+∞

t
0
S

(t − s)λ(λI − A)
−1
f(s)ds, t ≥ 0,
ϕ(t), t ∈ [−h, 0].
Bây giờ, ta xác định toán tử đa trị F : C
ϕ
→ P(C
ϕ
) như sau
F(v)(t) =

S

(t)ϕ(0) + W(f)(t) : f ∈ P
F
(v)

,
trong đó
W(f )(t) = lim
λ→+∞

t

0
S

(t − s)λ(λI − A)
−1
f(s)ds, t ≥ 0. (2.1)
15
Dễ thấy rằng, v ∈ C
ϕ
là một điểm bất động của F khi và chỉ khi v[ϕ]
là một nghiệm tích phân của (1)-(2). Để chứng minh kết quả tồn tại
nghiệm của bài toán (1)-(2), ta sử dụng định lí điểm bất động sau đây.
Bổ đề 2.1.3. Giả sử E là một không gian Banach và D ⊂ E là một
tập con khác rỗng, compact, lồi. Nếu toán tử đa trị F : D → P(D) là
nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, thì F có điểm bất động.
Định lí điểm bất động trên là một trường hợp đặc biệt của kết quả
trong [19].
Định nghĩa 2.1.4. Một dãy {f
n
} ⊂ L
1
(J; X) được gọi là nửa compact
nếu nó là khả tích bị chặn và {f
n
(t)} ∈ K(t), hầu khắp t ∈ J, với
K(t) ⊂ X, t ∈ J, là một họ các tập compact.
Ta đã biết rằng {f
n
} là nửa compact trong L
1

(J; X), thì nó cũng là
compact yếu (xem tại [22, Mệnh đề 4.2.1]). Chúng ta cũng cần tới kết
quả sau (chứng minh có trong [26, Mệnh đề 7]).
Mệnh đề 2.1.5. Giả sử (A) thỏa mãn. Nếu D ⊂ L
1
(J; X) là khả tích bị
chặn, thì W(D) là liên tục đồng bậc trong C(J; X). Nếu D = {f
n
} là một
dãy nửa compact thì {W(f
n
)} là compact tương đối trong C(J; X). Hơn
nữa, nếu f
n
 f
∗
trong L
1
(J; X) thì W(f
n
) → W(f
∗
) trong C(J; X).
Sau đây là kết quả chính của mục này.
Định lí 2.1.6. Giả sử rằng (A) và (F) thỏa mãn. Khi đó, bài toán
(1)-(2) có ít nhất một nghiệm tích phân với mỗi ϕ ∈ C
h
cho trước.
Chứng minh. Đầu tiên, ta nhận thấy lim
λ→+∞

λ(λI − A)
−1

L(X)
= 1,
nhờ tính chất lim
λ→+∞
λ(λI − A)
−1
v = v với mỗi v ∈ X. Bây giờ, ta chỉ ra
16
sự tồn tại của một tập lồi, đóng M
0
⊂ C
ϕ
thỏa mãn F(M
0
) ⊂ M
0
. Lấy
z ∈ F(u). Từ định nghĩa của toán tử nghiệm, ta có
z(t) ≤ S

(t)
L(X)
ϕ(0) +  lim
λ→+∞

t
0

S

(t − s)λ(λI − A)
−1
f(s)ds
≤ Mϕ(0) + lim
λ→+∞

t
0
S

(t − s)
L(X)
λ(λI − A)
−1

L(X)
f(s)ds
≤ Mϕ(0) + M

t
0
(au(s) + bu
s

C
h
+ c)ds,
trong đó M = sup

t∈[0,T ]
S

(t).
Mặt khác, ta có
u
s

C
h
= sup
θ∈[−h,0]
u(s + θ) ≤ ϕ
C
h
+ sup
ρ∈[0,s]
u(ρ).
Từ đó thu được
z(t) ≤ Mϕ(0) + M

t
0
(au(s) + bϕ
C
h
+ b sup
ρ∈[0,s]
u(ρ) + c)ds
≤ Mϕ(0) + M T (bϕ

C
h
+ c) + M

t
0
(au(s) + b sup
ρ∈[0,s]
u(ρ))ds
≤ M
1
+ M(a + b)

t
0
sup
ρ∈[0,s]
u(ρ))ds,
với M
1
= Mϕ(0) + M T (bϕ
C
h
+ c). Do thành phần cuối là tăng theo
t, ta có
sup
ρ∈[0,t]
z(ρ) ≤ M
1
+ M(a + b)


t
0
sup
ρ∈[0,s]
u(ρ)ds. (2.2)
Gọi
M
0
= {u ∈ C
ϕ
: sup
s∈[0,t]
u(s) ≤ ψ(t), t ∈ J},
với ψ là nghiệm duy nhất của phương trình
ψ(t) = M
1
+ M(a + b)

t
0
ψ(s)ds.
17
Rõ ràng, M
0
là một tập con đóng, lồi trong C
ϕ
và đánh giá (2.2) đảm
bảo rằng F(M
0

) ⊂ M
0
.
Đặt
M
k+1
= convF(M
k
), k = 0, 1, 2,
ở đây
conv là kí hiệu bao đóng lồi của một tập con trong C
ϕ
. Ta có M
k
là đóng, lồi và M
k+1
⊂ M
k
với mọi k ∈ N.
Đặt M =
∞

k=0
M
k
, thì M là một tập con đóng lồi của C
ϕ
và F(M) ⊂ M.
Ta sẽ chứng minh M là compact nhờ định lí Arzel`a-Ascoli. Thật vậy,
với mỗi k ≥ 0, P

F
(M
k
) là khả tích bị chặn do giả thiết (F)(2). Do đó,
Mệnh đề 2.1.5 cho ta tính liên tục đồng bậc của F(M
k
). Từ đó kéo theo
M
k+1
cũng là liên tục đồng bậc với mọi k ≥ 0. Do đó M là liên tục
đồng bậc.
Để áp dụng được định lí Arzel`a-Ascoli, ta còn phải chứng minh M(t) là
compact với mỗi t ≥ 0. Điều này tương đương với µ
k
(t) = χ(M
k
(t)) → 0
khi k → ∞, với χ là độ đo Hausdorff trên X.
Nếu {S

(t)} là compact thì dễ dàng kiểm tra được
µ
k+1
(t) = χ(M
k+1
(t)) ≤ lim
λ→∞
χ



t
0
S

(t − s)λ(λI − A)
−1
P
F
(M
k
)(s)ds

≤ 4 lim
λ→∞

t
0
χ

S

(t − s)λ(λI − A)
−1
P
F
(M
k
)(s)

ds

= 0,
18
nhờ Mệnh đề 1.1.8. Ngược lại, nếu {S

(t)} là không compact, ta có
µ
k+1
(t) ≤ 4M

t
0
χ (P
F
(M
k
)(s)) ds
≤ 4M

t
0
[p χ(M
k
(s)) + q sup
τ∈[−h,0]
χ(M
k
[ϕ](s + τ ))]ds
≤ 4M

t

0
[p χ(M
k
(s)) + q sup
τ∈[0,s]
χ(M
k
(τ)]ds
≤ 4M(p + q)

t
0
sup
τ∈[0,s]
µ
k
(τ)ds,
theo (F)(3). Do vế phải là không giảm theo t nên
sup
τ∈[0,t]
µ
k+1
(τ) ≤ 4M (p + q)

t
0
sup
τ∈[0,s]
µ
k

(τ)ds.
Đặt η
k
(t) = sup
τ∈[0,t]
µ
k
(τ), ta có
η
k+1
(t) ≤ 4M (p + q)

t
0
η
k
(s)ds.
Đặt η
∞
(t) = lim
k→∞
η
k
(t), thì
η
∞
(t) ≤ 4M (p + q)

t
0

η
∞
(s)ds.
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall-Bellman, ta thu được η
∞
(t) = 0 với
mọi t ∈ J. Do 0 ≤ µ
k
(t) ≤ η
k
(t) → 0 khi t → ∞, ta có µ
k
(t) → 0 với
k → ∞.
Ta xét F : M → P(M). Để áp dụng Bổ đề 2.1.3, ta còn phải chứng
minh F là nửa liên tục trên. Nhờ Bổ đề 1.2.2, ta chỉ cần chứng minh F
có đồ thị đóng. Xét {u
n
} ⊂ M với u
n
→ u
∗
và v
n
∈ F(u
n
) với v
n
→ v
∗

.
Ta có
v
n
(t) ∈ S

(t)ϕ(0) + W ◦ P
F
(u
n
)(t).
19
Lấy f
n
∈ P
F
(u
n
) sao cho
v
n
(t) = S

(t)ϕ(0) + W(f
n
)(t). (2.3)
Từ tính nửa liên tục trên yếu của P
F
(nhờ Mệnh đề 2.1.1), ta xét Bổ
đề 1.2.3 khi f

n
 f
∗
trong L
1
(J; X) và f
∗
∈ P
F
(u
∗
). Hơn nữa, đặt
K(t) = F ({u
n
(t), u
n
[ϕ]
t
}) thì {f
n
(t)} ∈ K(t) hầu khắp t ∈ J với K(t) là
compact trong X do F là nửa liên tục trên. Nhờ (F)(2), ta có {f
n
} khả
tích bị chặn. Do đó {f
n
} là dãy nửa compact. Áp dụng Mệnh đề 2.1.5 sẽ
cho ta tính compact của {W(f
n
)} trong C(J; X). Do đó có thể chuyển

qua giới hạn trong (2.3) để thu được v
∗
(t) = S

(t)ϕ(0) + W(f
∗
)(t) với
f
∗
∈ P
F
(u
∗
). Suy ra, v
∗
∈ F(u
∗
).
Định lí được chứng minh. 
Phần còn lại của chương này, ta chứng minh một số tính chất của tập
nghiệm, những tính chất quan trọng này sẽ được dùng để chứng minh
sự tồn tại tập hút.
Gọi π
T
, T > 0, là toán tử chặt trên đoạn [0, T ] tác động lên C([0, +∞); X),
tức là, với z ∈ C([0, +∞); X), π
T
(z) là hạn chế của z trên đoạn [0, T ].
Kí hiệu
Σ(ϕ) = {u ∈ C([0, +∞); X) : u[ϕ] là một nghiệm tích phân

của (1)-(2) trên [−h, T ] với mọi T > 0}.
Bổ đề 2.1.7. Giả sử (A) và (F) thỏa mãn và {ϕ
n
} ⊂ C
h
là một dãy
con hội tụ. Khi đó π
T
◦ Σ({ϕ
n
}) là compact tương đối trong C([0, T ]; X).
Đặc biệt, π
T
◦ Σ(ϕ) là compact với mỗi ϕ ∈ C
h
.
20
Chứng minh. Lấy v
n
∈ π
T
◦ Σ(ϕ
n
), n ∈ N, là một dãy. Ta có
v
n
(t) ∈ S

(t)ϕ
n

(0) + W ◦ P
F
(v
n
)(t), t ∈ [0, T ].
Ta cần chỉ ra rằng {v
n
} là liên tục đồng bậc và {v
n
(t)} là compact tương
đối với mỗi t ∈ [0, T ]. Đánh giá tương tự như (2.2) cho ta
v
n
(t) ≤ M
1
+ M(a + b)

t
0
sup
ρ∈[0,s]
v
n
(ρ)ds, ∀t ∈ [0, T ], (2.4)
trong đó M = sup
t∈[0,T ]
S

(t)
L(X)

, và
M
1
= M sup
n
ϕ
n
(0) + M T (b sup
n
ϕ
n

C
h
+ c).
Do vế phải của (2.4) là không giảm theo t, ta có
w
n
(t) ≤ M
1
+ M(a + b)

t
0
w
n
(s)ds, ∀t ∈ [0, T ],
với w
n
(t) = sup

ρ∈[0,t]
v
n
(ρ). Áp dụng bất đẳng thức Gronwall-Belman, ta
thu được tính bị chặn của {w
n
}, từ đó kéo theo tính bị chặn của {v
n
}
trong C([0, T ]; X). Lấy f
n
∈ P
F
(v
n
) sao cho
v
n
(t) = S

(t)ϕ
n
(0) + W(f
n
)(t).
Sử dụng giả thiết (F)(2), ta thu được tính khả tích bị chặn của {f
n
},
nhờ tính bị chặn của {v
n

}. Nếu {S

(t)} là compact thì {v
n
} hiển nhiên
là compact. Trong trường hợp {S

(t)} là không compact, ta có {W(f
n
)}
là tập liên tục đồng bậc nhờ Mệnh đề 2.1.5. Điều này nghĩa là {v
n
} là