luận văn thạc sỹ toán học nghiệm toàn cục của phương trình vi phân phức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM







LƯU THỊ MINH TÂM






NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ
LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHỨC






L
L
U
U

Ậ
Ậ
N
N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ

T
T
O
O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C











Thái Nguyên - năm 2010
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






LƯU THỊ MINH TÂM





NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01


L
L
U
U
Ậ
Ậ
N

N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T
T
O

O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C







Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên - Năm 2010
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

1
Mở Đầu

Lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna đ-ợc đánh giá là một trong
những thành tựu sâu sắc của toán học trong thế kỷ hai m-ơi. Đ-ợc hình thành từ
những năm đầu của thế kỷ, lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ những công
trình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khác nhau của toán học.
Vào năm 1925, Nevanlinna đã phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất
phát điểm là công thức nổi tiếng Jensen. Lý thuyết có nội dung chủ yếu là định lý
cơ bản thứ nhất, định lý cơ bản thứ 2 và quan hệ số khuyết.
Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng:
Ch-ơng I: Trình bày cơ sở lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna.
Ch-ơng II: Trình bày một số kết quả về nghiệm toàn cục của ph-ơng trình
vi phân phức dựa trên bài báo nghiệm toàn cục của một số lớp ph-ơng trình vi
phân phức của tác giả Ping Li.
Kết quả của luận văn:
Cho P(f) là đa thức vi phân đối với f và nó có đạo hàm ( với hàm nhỏ của f
coi nh- là hệ số) có bậc không lớn hơn n - 1 , p
1
, p
2
là 2 hàm nhỏ của
z
e

và
12
,

là 2 hằng số khác không. Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị của
Nevanlinna để tìm ra nghiệm toàn cục siêu việt của ph-ơng trình vi phân phi
tuyến tính trong không gian phức:


12
12
.
zz
n
f z P f p e p e



Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS -
TSKH Hà Huy Khoái. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính nhất đến
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

2
Thầy, Thầy không chỉ h-ớng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Thầy còn thông
cảm, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học
tr-ờng Đại học S- phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô Viện Toán học
Việt Nam đã giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học và
luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr-ờng cao đẳng Công Nghệ và
Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt là các đồng nghiệp trong khoa KHCB, gia đình,
bạn bè đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học và hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010
Học viên
L-u Thị Minh Tâm












www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

3
Ch-ơng I
Cơ sở lý thuyết Nevanlinna

1.1. Hàm phân hình
1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ-ợc gọi là điểm bất th-ờng cô lập của hàm f(z)
nếu hàm f(z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính điểm đó.
1.1.2. Định nghĩa: Điểm bất th-ờng cô lập z = a của hàm f(z) đ-ợc gọi là

cực điểm của f(z) nếu

lim
za
fz


.
1.1.3. Định nghĩa: Hàm f(z) chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức

đ-ợc
gọi là hàm nguyên.
Nh- vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất th-ờng hữu hạn.
1.1.4. Định nghĩa: Hàm f(z) đ-ợc gọi là hàm phân hình trong miền
D
nếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số điểm bất th-ờng là
cực điểm.
Nếu D =

thì ta nói f(z) phân hình trên

, hay đơn giản, f(z) là hàm
phân hình.
*Nhận xét: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì trong lân cận của mỗi điểm

,z D f z
có thể biểu diễn đ-ợc d-ới dạng th-ơng của hai hàm chỉnh hình.
1.1.5. Định nghĩa: Điểm z
0
gọi là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) nếu trong

lân cận của z
0
, hàm



0
1
m
f z h z
zz


, trong đó h(z) là hàm chỉnh hình trong
lân cận của z
0
và

0
0hz
.
1.1.6. Tính chất: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì f(z) cũng là hàm
phân hình trên D. Hàm f(z) và f(z) cũng có các cực điểm tại những điểm nh-
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

4
nhau. Đồng thời, nếu z
0
là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) thì z

0
là cực điểm cấp
m+1 của hàm f(z).
*Nhận xét: Hàm f(z) không có quá đếm đ-ợc các cực điểm trên D.
1.1.7. Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình trong

, điều kiện cần và đủ để
f(z) không có các điểm bất th-ờng khác ngoài cực điểm là f(z) là hàm hữu tỷ.
1.2. Định lý cơ bản thứ nhất
1.2.1. Công thức Poisson-Jensen
Định lý: Giả sử

0fz
là một hàm phân hình trong hình tròn

zR
với
0 R
. Giả sử

1,2, aM



là các không điểm, mỗi không điểm
đ-ợc kể một số lần bằng bội của nó, b
v
(v = 1,2,N) là các cực điểm của f trong
hình tròn đó, mỗi cực điểm đ-ợc kể một số lần bằng bội của nó. Khi đó nếu

. , 0 , 0;
i
z r e r R f z f z


thì:





2
22
22
0
22
11
1
log log Re
22
log log .
i
MN
v
v
v
Rr
f z f d
R Rrcos r
R z a

R z b
R a z R b z

















(1.1)
Chứng minh
*Tr-ờng hợp 1. Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm trong

zR
.
Khi đó ta cần chứng minh:



2

22
22
0
1
log log Re .
22
i
Rr
f z f d
R Rrcos r








(1.1a)
+ Tr-ớc hết ta chứng minh công thức đúng tại z = 0, nghĩa là cần chứng
minh:
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

5



2
0

1
log 0 log Re .
2
i
f f d







Do f(z) không có không điểm và cực điểm trong hình tròn nên hàm log f(z)
chỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có:



2
0
11
log 0 log log Re .
22
i
zR
dz
f f z f d
iz

Lấy phần thực ta thu đ-ợc kết quả tại z = 0.



2
0
1
log 0 log Re .
2
i
f f d







+ Với z tùy ý, chúng ta xét ánh xạ bảo giác biến
R


thành
1

và biến
z


thành
0


. Đó là ánh xạ:


2
.
Rz
Rz







Nh- vậy
R


t-ơng ứng với
1

. Trên
R


, ta có:




2
2
log log log log log .
Rz
R z R z
Rz







Nên



2
2
2

2
.
R z d
d d zd
z
Rz
R z z










(1*)
Do log f(z) là chỉnh hình trong
zR
, theo định lý Cauchy ta có:


1
log log .
2
R
d
f z f
iz

(2*)
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

6
Mặt khác


2
2
11
log log .
22
RR
zd d
ff
R
ii
Rz
z

(3*)
Do
z z R
suy ra
2
R
R
z

nghĩa là điểm
2
R
z
nằm ngoài vòng tròn
R


, nên hàm

2

1
log f
R
z



là hàm chỉnh hình. Nh- vậy tích phân trong
vế phải của (3*) bằng 0. Kết hợp với (1*) và (2*) ta có:





2
2
2
1
log log .
2
R
R z d
f z f
i
R z z

(1.2)
Hơn nữa, trên
R


,
.,
ii
R e d iRe d



và








2
22
Re
Re 2 .

i
ii
i
R z z R R re re
R Rrcos r









Kết hợp với (1.2) ta thu đ-ợc:





22
2
22
0
1
log log Re .
22
i
R r d
f z f

R Rrcos r








(1.3)
Lấy phần thực hai vế của đẳng thức (1.3) ta đ-ợc:






22
2
22
0
1
log log R e .
22
i
R r d
f z f
R Rrcos r

Đây là điều cần phải chứng minh.
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

7
* Tr-ờng hợp 2: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm bên trong


zR
, nh-ng có hữu hạn không điểm và cực điểm c
j
trên biên
R


. Với
0


nhỏ tùy ý, ta đặt:

.
jj
D z R U c



Gọi
D

là chu tuyến của D và


là các cung lõm vào trên
D

bao gồm
những phần trên đ-ờng tròn
R


cùng với các phần lõm vào của đ-ờng tròn
nhỏ bán kính

và tâm là các không điểm hoặc cực điểm f(z) trên
R


. Giả
sử
i

z re


trong miền
zR
, tồn tại

đủ nhỏ sao cho
zD
. Khi đó:




2
2
2
1
log log
2
D
R z d
f z f
i
R z z

(1.2a)
Giả sử z
0
là một không điểm hay cực điểm của f(z) trên
R


và


là
cung tròn ứng với z
0
trên
D

. Khi đó trên
0

,


0

m
f z c z z

trong đó m > 0 nếu z
0
là không điểm và m < 0 nếu z
0
là cực điểm. Suy ra


1
log logf z O





khi
0


.
Nh- vậy:

11
log . . ,
2
OM

trong đó M là một đại l-ợng bị chặn. Ta thấy
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

8

1
log . . 0OM






khi
0


.
Cho
0

trong công thức (1.2a), tính tích phân thứ nhất sẽ dần đến tích
phân trong vế phải của (1.3), tích phân thứ hai sẽ dần đến 0. Nh- vậy ta cũng thu
đ-ợc công thức (1.3) trong tr-ờng hợp này và từ đó suy ra (1.1).
*Tr-ờng hợp 3. Bây giờ ta xét tr-ờng hợp tổng quát, tức là f(z) có các
không điểm và các cực điểm trong
zR
đặt:




2
1
2
1
1

N
v
M
v
v
Rb
f
R a R b
Ra

(1.4)
Hiển nhiên


không có không điểm hoặc cực điểm trong
zR
. Nh-
vậy chúng ta có thể áp dụng công thức (1.1a) cho hàm


. Hơn thế nữa,
nếu
Re
i



thì :

2
1,
R a R a
Ra
a










và


2
1,
vv
v
v
R b R b
Rb
b

nên

f


.
Vậy







22
2
22
0
22
2
22
0
1
log log Re
22

1
log Re .
22
i
i
R r d
z
R Rrcos r
R r d
f
R Rrcos r

















(1.5)
Mặt khác:

www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

9






22
11
22
11
log log log log
log log log .
MN
v
v
v
MN
v
v
v
R z a
R z b
z f z
R a z R b z
R z a
R z b

fz
R a z R b z




















Thay

log z

vào (1.5) ta thu đ-ợc kết quả.
*ý nghĩa: Công thức Poisson-Jensen chỉ ra rằng, nếu biết giá trị của
modulus f(z) trên biên, các cực điểm, không điểm của hàm f(z) trong
zR

, thì
ta có thể tìm đ-ợc giá trị của modulus f(z) bên trong đĩa
zR
.
Khi z = 0 ta đ-ợc hệ quả quan trọng hay đ-ợc sử dụng về sau:
* Hệ quả: Trong những giả thiết của định lý, đồng thời nếu

0,fz

thì khi z = 0 trong định lý (1.2.1) ta thu đ-ợc công thức Jensen.



2
11
0
1
log 0 log Re log log .
2
MN
v
i
v
a
b
f f d
RR

(1.6)
Khi

0,fz
công thức trên đây chỉ cần thay đổi chút ít. Thật vậy, nếu

0,fz
hàm f(z) có khai triển tại lân cận z = 0 dạng:


,
x
f z c z Z




Xét hàm


R f z
z
z

ta thấy

0 0,


, đồng thời khi

Re ,
i
f



. Từ đó ta có:

2
11
0
1
log log Re log log log .
2
MN
v
i
v
a

b
c f d R
RR












www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

10
Nhận xét:
Giả sử f(z) là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi cấp của
hàm f(z) tại điểm
0
zG
, ký hiệu
0
z
ord f
, là số nguyên m sao cho hàm

0
m
fz
gz
zz


chỉnh hình và khác 0 tại z
0
. Nh- vậy:
0
z
ord f
m > 0 nếu z
0
là không điểm cấp m , bằng 0 nếu f(z) chỉnh hình,
khác 0 tại z
0
, bằng m nếu z
0
là cực điểm cấp m.
Với ký hiệu trên công thức Poisson-Jensen có thể viết d-ới dạng:




2
2

2
2
2
0
1
log log Re . .log
2
Re
i
i
Rz
Rz
f z f d ord f
Rz
z

,
trong đó tổng lấy theo mọi

trong hình tròn

R


.
1.2.2. Hàm đặc tr-ng
1.2.2.1. Một số khái niệm
Phần này trình bày khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc tr-ng và các
tính chất của chúng. Tr-ớc hết ta định nghĩa:
log
+
x = max{logx,0}.
Rõ ràng nếu x > 0 thì logx = log
+
x log
+
(1/x).
Nh- vậy:


2 2 2
0 0 0
1 1 1 1
log Re log Re log ,
2 2 2
Re

ii
i
f d f d d
f









ta đặt:



2
0
1
, log Re .
2
i
m R f f d

(1.7)
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

11
Hàm m(R,f) đ-ợc gọi là hàm xấp xỉ.
Gọi r
1
,r
2
,.,r
N
là các môdun của các cực điểm b
1
,b
2
,b
N
của f(z) trong
zR
.
Khi đó


11
0
log log log , ,
R
NN

vv
vv
R R R
dn t f
b r t




(1.8)
trong đó n(t,f) là số cực điểm của hàm f(z) trong
zt
, cực điểm bậc q
đ-ợc đếm q lần.
Thật vậy, tr-ớc hết bằng ph-ơng pháp tích phân từng phần ta có:


0
0 0 0
log , log . , , log ,
R
R R R
R R R dt
dn t f n t f n t f d n t f
t t t t


, (a)
mặt khác không mất tính tổng quát ta giả sử
12

0
N
r r r R
.
Khi đó:

12
1
00
, , , , ,
N
rr
RR
rr
dt dt dt dt
n t f n t f n t f n t f
t t t t



ta thấy rằng:


1
12
23
0,
1,
, 2,

,
N
tr
r t r
n t f r t r
N r t R














nên
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

12




12

1
12
1
23
12
00
0
2 1 3 2
12
1
, , , ,
0. 1. .
log 2log log
log log 2 log log log log
log log log log
log log l
N
N
N
rr
RR
rr
rr
R
rr
r r R
r r r
N
N
dt dt dt dt

n t f n t f n t f n t f
t t t t
dt dt dt
N
t t t
t t N t
r r r r N R r
N R r r r
Rr









2
1
og log log log
log ;
N
N
v
v
R r R r
R
r

(b)
từ (a) và (b) ta đ-ợc (1.8).
Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm N(R,f). Giả sử n(t,f) là số cực điểm của hàm
f(z) trong hình tròn
zt
; r
1
,r
2
, r
N
là môdun của các cực điểm b
1
,b
2
,,b
N

( mỗi cực điểm đ-ợc tính một số lần bằng bậc của nó). Khi đó ta có:


11
0
log log log , .
R
NN
vv

vv
R R R
dn t f
b r t





Hàm đếm đ-ợc định nghĩa bởi công thức sau:


1
0
, log , .
R
N
v
v
R dt
N R f n t f
bt




(1.9)

1
0

11
, log , .
R
N
R dt
N R n t
f a f t









(1.10)
Với cách định nghĩa này công thức Jensen (1.6) sẽ đ-ợc viết lại nh- sau:
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

13


11
log 0 , , , , .f m R f m R N R f N R
ff

Hoặc

11
, , , , log 0 .m R f N R f m R N R f
ff





Bây giờ ta đặt:


, , , .T R f m R f N R f
(1.11)
Khi đó công thức Jensen đ-ợc viết lại một cách rất đơn giản là:


1
, , log 0 .T R f T R f
f




(1.12)
Giá trị

,m R f
là hàm xấp xỉ độ lớn trung bình của

log fz
trên
zR

trong đó
f
là lớn. Giá trị

,N R f
có quan hệ với cực điểm. Hàm

,T R f
đ-ợc
gọi là hàm đặc tr-ng Nevanlinna của hàm phân hình

fz
, có vai trò quan trọng
chủ yếu trong lý thuyết của hàm phân hình.
1.2.2.2. Một số tính chất của hàm đặc tr-ng
Chúng ta tiếp tục nghiên cứu một số tính chất đơn giản của hàm

, , , , ,m R f N R f T R f
. Chú ý a
1
, ,a
p
là các số phức thì

1
1
log log ,
p
p
vv
v
v
aa







và

1, ,
11
log log log log .
pp
v v v
vp
vv
a p max a a p

áp dụng các bất đẳng thức trên cho hàm phân hình

1
, ,
p
f z f z
và sử
dụng (1.7) chúng ta thu đ-ợc các bất đẳng thức sau:
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

14
1)


11
, , log .
pp
vv
vv
m r f z m r f z p

2)


1
1
, , .
p
p
vv
v
v
m r f z m r f z









3)


11
, , .
pp
vv
vv

N r f z N r f z







4)


1
1
, , .
p
p
vv
v
v
N r f z N r f z









Sử dụng (1.11) ta thu đ-ợc

5)


11
, , log .
pp
vv
vv
T r f z T r f z p







6)


1
1
, , .
p
p
vv
v
v
T r f z T r f z

Trong tr-ờng hợp đặc biệt khi

12
2, ,p f z f z f z a
= constant, ta
suy ra

, , log log2T r f a T r f a


. Và từ đó chúng ta có thể thay
thế f + a, f bởi f, f a và a bởi - a, suy ra:


, , log log2.T r f T r f a a


(1.13)
1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna
1.2.3.1 .Định lý
Giả sử f là hàm phân hình, a là một số phức tùy ý, khi đó ta có:

11
, , , log 0 , ,m R N R T R f f a a R
f a f a







www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

15
trong đó:

, log log2.a R a




Ta th-ờng dùng định lý cơ bản thứ nhất d-ới dạng:


11
, , , 1 ,m R N R T R f O
f a f a

trong đó O(1) là đại l-ợng giới nội khi
r
.
Chứng minh:
Theo (1.11) và (1.12) ta có:

1 1 1
, , , , log 0 .m R N R T R T R f a f a
f a f a f a






Từ (1.13) ta suy ra:

, , , .T R f a T R f a R



Với

, log log2a R a

. Từ đó ta có:

11
, , , log 0 , .m R N R T R f f a a R
f a f a







Với

, log log2a R a



. Định lý đ-ợc chứng minh xong.
*ý nghĩa:
Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna, ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ bản thứ
nhất. Hàm đếm
1
,NR
fa




đ-ợc cho bởi công thức:

1
1
, log
M
R
NR
fa
a









,
trong đó
a

là các nghiệm của ph-ơng trình

f z a
trong hình tròn
zR
.
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

16
Hàm xấp xỉ:

2
0
1 1 1
, log .
2
Re
i
m R d
fa
fa













Nh- vậy, nếu f nhận cng nhiều giá trị gần a ( tức l

Re

i
fa


nhỏ, thì
hàm m càng lớn. Có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất là hàm
đo độ lớn của tập nghiệm phơng trình

f z a
v độ lớn tập hợp tại đó f(z)
nhận giá trị gần bằng a. Trong khi đó, vế phải của đẳng thức trong định lý cơ bản
có thể xem là không phụ thuộc a ( sai khác một đại l-ợng giới nội). Vì thế, định
lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng, hàm phân hình f(z) nhận mỗi giá trị a ( và giá
trị gần a ) một số lần nh nhau. Đây l một tơng tự của định lý cơ bn của
đại số. Hàm đặc tr-ng Nevanlinna, về ý nghĩa nào đó, có thể xem nh- đặc tr-ng
cho cấp tăng của một hm phân hình.
Nhận xét:
Nếu hàm f cố định, ta có thể viết

, , , , , ,m R a N R a n R a T R
lần l-ợt
thay cho

1 1 1
, , , , , , ,m R N R n R T R f
f a f a f a

nếu a là hữu hạn và

, , , , ,m R N R n R
thay cho

, , , , ,m R f N R f n R f
.
Nếu chúng ta cho R biến thiên thì định lý cơ bản thứ nhất có thể đ-ợc viết
d-ới dạng nh- sau:

, , 1 .m R a N R a T R O

Với mỗi a là hữu hạn hay vô hạn. Số hạng m(R,a) dần tới trung bình nhỏ
nhất có thể đ-ợc của f a trên vòng tròn
zR
, số hạng N(R,a) dần đến số
nghiệm của ph-ơng trình

f z a
trong
zR
. Với mỗi giá trị của a, tổng của
hai số hạng này có thể xem là không phụ thuộc vào a.
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

17
1.2.3.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Xét hàm hữu tỷ

p
p
q
q
za
f z c
zb



, trong đó
0c
.
Giả sử p > q. Khi đó

fz
khi
z
, nh- vậy khi a hữu hạn m(r,a) = 0
với mọi r > r
0
nào đó. Ph-ơng trình f(z) = a có p nghiệm sao cho
n(t,a) = p(t>t
0
), nh- vậy:

, , log 1
r
a
dt
N r a n t a p r O
t


khi
r
,
Do đó, khi
r
,


, log 1 ,T r f p r O

và

, log 1 ,N r a p r O


, 1 ,m r a O
với
a
.
Nếu p < q,

, log 1 ,T r f q r O

, log 1 ,N r a q r O


, 1 ,m r a O
với
0a
.
Nếu p = q,

, log 1 ,N r f q r O


, log 1 ,N r a q r O


, 1 ,m r a O
với
ac
.
Nh- vậy, trong mọi tr-ờng hợp


, log 1 ,T r f d r O



, log 1 ,N r a d r O

, 1 ,m r a O
với

af
,
trong đó d = max(p, q).
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

18
Trong tr-ờng hợp này, m(r, a) là bị chặn khi
r
ngoại trừ một giá trị
của a là

f
. Nếu ph-ơng trình f(z) = a có nghiệm bội

tại

với
0 d


, thì


, log 1 ,m r a r O

, log 1 .N r a d a r O

Ví dụ 2: Xét hàm


cos sin
,
ri
z
f z e e



với
i
z re


. Khi đó


cos sin cos
log log log log
i r ir r
f z f re e e

,

cos
log ,cos 0
0,cos 0
r
e











,

cos
log ,
22
3
0,
22
r
e

,
=
cos ,
22
3
0,
22
r

.
Từ đó:


2
2
0
2
11
, log cos .
22
i
r
m f a f re d r d

Do hàm
z
e
không có không điểm trong
zr
nên N(r, f) = 0,
nh- vậy,

, , , .
r
T r f m r N r


Do đó

,
r
T r f


.
Ví dụ 3: Xét


p
p
P z az a
, là một đa thức và

Pz
f z e
. Khi đó
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19

 
 

p
p
az a
Pz
f z e e


,
Nh- vËy:
 
   
, , , . , log
pp
pp
aa
az az
T r f T r e T r e pT r e e



   



,
=
 
 
. , 1
p
az
pT r e O
.
TÝnh
 
,
p
az
T r e
. §Æt
p
az
ge
. Ta cã
     
, , ,T r g m r g N r g
.
Do g chØnh h×nh nªn:

 
,0N r g 
suy ra
   
 
, , ,
p
az
T r g m r g m r e
.

 


2
0
1
, log ,
2
i
p
a re p
az
m r e e d









=
   
 
2
cos sin
0
1
log
2
p
ar p i p
ed







,
=
 
2
cos
0
1
log
2

p
a r p
ed






,
=
 
2
2
1
cos
2
p
p
p
a r p d






,
=
 

2
2
11
. . sin
2
p
p
p
p
ar
a r p
pp






.
Nh- vËy
 
,
p
ar
T r g
p


,
www.VNMATH.com

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

20
suy ra

, 1 .
p
a
T r f r O




1.2.4. Định lý Cartan về đồng nhất thức và tính lồi
1.2.4.1. Định lý
Giả sử f(z) là một hàm phân hình trong
zR
. Khi đó:



2
0
1
, , log 0
2
i
T r f N r e d f

, với ( 0 < r <R).
Chứng minh:

Ta áp dụng công thức Jensen (1.6) cho hàm f(z) = a z với R = 1 và thu
đ-ợc:

2
0
log , 1
1
log .
2
log log 0, 1
i
aa
a e d
a a a

Nh- vậy trong mọi tr-ờng hợp ta đều có:

2
0
1
log log .
2
i
a e d a







(*)
Lại áp dụng (1.6) cho hàm số

i
f z e


và có:

2
0
1
log 0 log . , , .
2
i i i i
f e f r e e d N r N r e







Lấy tích phân hai vế theo biến

và thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân
vế phải ta có:
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

21

2 2 2
0 0 0
22
00
2 2 2
0 0 0
1 1 1
log 0 log .
2 2 2
11
,,
22
1 1 1
log . , , .
2 2 2
i i i
i i i
f e d f r e e d d
N r d N r e d
f r e e d d N r N r e d

áp dụng công thức (*) ta có:




22
00
11
log 0 log , , .
22
ii
f f re d N r N e d

Từ đó:









22
00
2
0
2
0
1
, log , log 0 ,
2
1
, , , log 0 ,
2
1

, , log 0 .
2
ii
i
i
N r f re d N r e d f
N r f m r f N r e d f
T r f N r e d f

Với ( 0 < r < R).
Vậy định lý đ-ợc chứng minh.
1.2.4.2. Hệ quả 1: Hàm đặc tr-ng Nevanlinna T(r,f) là một hàm lồi tăng
của logr với 0 < r <R.
Chứng minh:
Ta thấy rằng

,
i
N r e

hiển nhiên là hàm tăng, lồi của logr nên ta suy ra
hàm T(r,f) cũng có tính chất nh- vậy và hệ quả đ-ợc chứng minh. Trong tr-ờng
hợp này chúng ta có:
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

22



2
0
1
, , .
2
i
d
r T r f n r e d
dr

1.2.4.3. Hệ quả 2: Trong mọi tr-ờng hợp chúng ta đều có


2
0
1
, log2.
2
i
m r e d







Chứng minh
Sử dụng định lý cơ bản thứ nhất cho hàm f(z) với
i
aa

chúng ta có:



, , , log 0
i i i
T r f m r e N r e f e G



, trong đó

log2G


. Lấy tích phân hai vế theo biến

ta có:


2 2 2
0 0 0
1 1 1
, , ,
2 2 2
ii
T r f d m r e d N r e d

+

22
00
11
log 0 .
22
i
f e d G d







Sử dụng định lý (1.2.4.1), công thức (*) ta sẽ thu đ-ợc:



22
00
11
, , , log 0 log 0 .
22
i

T r f m r e d T f f f G d








Nh- vậy:


2 2 2
0 0 0
1 1 1
, log2 log2.
2 2 2
i
m r e d G d d







Hệ quả 2 đ-ợc chứng minh.
* Nhận xét:
Định lý Cartan v hệ qu chỉ ra rng trung bình của các giá trị của hàm
m(r,a) lấy trên một vòng tròn l khá nhỏ, hm T(r,f) hầu nh- chỉ phụ thuộc

trung bình của giá trị N(r,a) trên vòng tròn.
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

23
1.3. Định lý cơ bản thứ hai
1.3.1. Giới thiệu
Trong mục tr-ớc chúng ta đã định nghĩa hàm đặc tr-ng Nevanlinna và có
đ-ợc định lý: với mỗi số phức a,

, , 1m R a N R a T R O
. Từ đó
chúng ta cũng thấy rằng tổng m + N có thể xem là độc lập với a. Đó chính là kết
quả của định lý thứ nhất. Định lý cơ bản thứ hai sẽ cho ta thấy rằng trong tr-ờng
hợp tổng quát số hạng N(R,a) chiếm -u thế trong tổng m + N và thêm nữa trong
N(R,a) chúng ta không thể làm giảm tổng đó nhiều nếu các nghiệm bội đ-ợc tính
một lần. Từ kết quả này cũng suy ra định lý Picard, nói rằng hàm phân hình nhận
mọi giá trị, trừ ra cùng lắm là hai giá trị.
Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna đ-ợc suy từ định lý sau,đ-ợc gọi là
bất đẳng thức cơ bản.
1.3.2. Bất đẳng thức cơ bản
Để đơn giản, chúng ta sẽ viết m(r,a) thay cho m(r,1 / f a) và

,mr
thay cho m(r,f).
1.3.2.1. Định lý
Giả sử f(z) là hàm phân hình khác hằng số trong
zr
. Giả sử a
1

,
a
2
,.a
q
là các số phức hữu hạn riêng biệt,
0


và
v
aa



với
1 vq


. Khi đó:

1
1
, , 2 , .
q
v
v
m r m r a T r f N r S r

Trong đó N
1
(r) d-ơng và đ-ợc định nghĩa:


1
1
, 2 , , ' .
'
N r N r N r f N f
f





www.VNMATH.com