Luận văn phương pháp hàm lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có thể

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ LANH
PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV GIẢI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRẺ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. Vũ Ngọc
Phát
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, người đã định hướng
chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao
học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, cố vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Hà Nội, tháng 11 năm
2014
Tác giả
Nguyễn Thị Lanh
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, luận văn Thạc sĩ
chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định hệ
phương trình vi phân có trễ” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm
2014
Tác giả

Nguyễn Thị Lanh
Danh mục ký hiệu
Mở đầu
Cơ sở toán học
Chương 1.
1.1.
Phương trình vi phân
Phương trình vi phân thường
1.1.1.
1.1.2.
Phương trình vi phân có trễ
Bài toán ổn định
Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân
Bài toán ỗn định hệ phương trình vi phân có trễ
Một số bổ đề bổ trợ
Tính ổn định phương trình vi phân có trễ
On định phương trình vi phân tuyến tính có trê
ọ
Ôn định phương trình vi phân phi tuyến có trễ
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Mục lục
2
4
4
4

.

6

8

.

8

1
6
1.
1.2
.1.
1.
Chương 2.
2.1
2
1
Danh mục ký hiệu
M trường các số thực;
R
+
tập các số thực không âm;
R
n
không gian Euclide N chiều
trên trường số thực;
D lân cận mở của 0 trong R
n
;
M
nxm

(M) không gian các ma trận hệ số
thực cỡ n X m;
CỊA, 6] không gian các hàm nhận giá trị thực
liên tục trên đoạn [a, &]; C
1
[a, 6]không gian các
hàm nhận giá trị thực
khả vi liên tục tới cấp 1 trên đoạn [A, B]\
C = C([A, 6], R
n
) không gian các hàm nhận giá trị
thực trong liên tục trên đoạn [a, B]; A
T
ma trận
chuyển vị của ma trận A\
I ma trận đơn vị;
A(^4) tập tất cả các giá trị riêng của A;
4
^min(^) phần thực nhỏ nhất giá trị riêng của A
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân có nhiều ý nghĩa thực tiễn và lý
thuyết vì có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải các bài toán xuất phát từ thực
tế, và đòi hỏi phải sử dụng các lý thuyết và công cụ toán học hiện đại trong một
số lĩnh vực như giải tích, phương trình vi tích phân, giải tích hàm, giải tích đa trị,
lý thuyết ma trận, giải tích phổ các toán tử, thuật toán số giải các phương trình
điều khiển và giải các bài toán tối ưu .Vấn đề nghiên cứu các tính ổn định
bằng phương pháp hàm Lyapunov vẫn được quan tâm nghiên cứu và nhận được
nhiều kết quả lý thú và sâu sắc.
Vì sự hữu hiệu và quan trọng của phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán

ổn định phương trình vi phân có trễ, tôi đã chọn được đề tài: “Phương pháp hàm
Lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ” để hoàn thành
luận văn tốt nghiệp chương trình bậc đào tạo Thạc sĩ Toán học của mình.
Luận văn được cấu trúc thành 02 chương. Chương 1 được dành để đưa ra một
số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân. Trong chương
5
2 của luận văn, chúng tôi trình bày phương pháp hàm Lyapunov áp dụng vào xét
tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ.
2. Mục đích vi nghiên cứu
- Giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov và ứng dụng giải bài toán ổn định phương
trình vi phân có trễ.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết, phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định
phương trình vi phân có trễ.
- Phương pháp hàm Lyapunov và các điều kiện cần và đủ giải bài toán ổn định
phương trình vi phân có trễ.
4. Phương pháp nghiền cứu
- Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên
cứu.
- Lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết ổn định.
- Phương pháp đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận.
6
5. Đóng góp của đề tài
Trình bày một cách hệ thống khoa học về bài toán ổn định phương trình vi phân
có trễ: Phương pháp và kết quả cơ sở về bài toán ổn định.
7
Chương 1
Cơ sở toán học
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở chuẩn bị dùng cho các
phần sau. Trước tiên, chúng tôi giới thiệu một số không gian hàm, các khái niệm liên

quan tới hệ phương trình vi phân thường và có trễ, tiếp theo chúng tôi trình bày bài
toán ổn định của hệ phương trình vi phân, mục cuối chúng tôi giới thiệu phương pháp
hàm Lyapunov là một trong những công cụ hữu hiệu để xét tính ổn định của hệ
phương trình vi phân. Nội dung chương này được lấy từ các tài liệu pp, EỊ 0].
1.1. Phương trình vi phân
1.1.1. Phương trình vi phân thường
• Một số không gian hàm
a) Không gian IR
n
Không gian tuyến tính thực R
n
với chuẩn
Khi đó M
n
là không gian Banach, nếu ta trang bị tích vô hướng
và M
n
trở thành một không gian Hilbert.
b) Không gian M
nxm
gồm tất cả các ma trận A = (ữjj), 1 < Ỉ < N, 1 < J <
M cỡ N X M, trong đó dịj là các số thực. Chuẩn của ma trận A xác định bởi
/ N 771 \
PII= EẼK-I
2
Vi=i J= 1 /
c) Xét không gian C[A, B] gồm tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục
trên đoạn [a, 6], (—oo < A < B < +oo). Với chuẩn
||:c|| = sup |rc(í)I.
[a,6]

Khi đó C[A,B] là một không gian Banach thực.
d) Xét không gian ơ^a, 6] gồm tất cả các hàm số giá trị thực xác định và khả vi liên
tục trên đoạn [a, 6], (—oo < A < B < +oo). Với chuẩn
||a;|| = sup |a;(í)| + sup Ịa:
7
(í)I.
[a,ò] [0,6]
Khi đó C
1
[a, 6] cũng là một không gian Banach thực.
Ta cũng cần nhớ lại khái niệm một ma trận xác định dương hoặc xác định âm dưới
đây.
Định nghĩa 1.1.

Ma trận M € M

n x m

( M )

gọi là xác định dương nếu
(MX, X) >0, \/X Ỷ 0-
Điều kiện này tương đương với
3C>0: (Mx,x) > C\\x\\
2
,Vx G M

n

.
Ma trận M G M

n x m

( M )

gọi là xác định ăm nếu
(MX, X) <0, \/X Ỷ 0-
5
1 /
Điều kiện này tương đương vôi
3C>0: (Mx,x) < -C\\x\\
2
,Vx € R " .
• Xét phương trình vi phân
±{t) = f(t, x(t)), t e I = [t
ữ
- d,t
0
+ đị
x(t
0
) = x
0
, X e M
n
,í
0

> 0, trong đó
/(í,x) : I X D —» R
n
, D = {x G M
n
: ||x — a^oll < a}-
Ta nhắc lại định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ (1.1) như sau.
Định lý 1.1.

(Picard-Linderloff) Giả sứ hàm f(t,x)

liên tục theo biến t
và thỏa mẫn điều kiện Lipschitz theo X , tức là,
3L> 0 : ||/(í,£i) - f{t,x
2
)|| < Lịịxị - x
2
\\, Vxi,a
:2
e D,\/t > 0.
Khi đó hệ ( 1 . 1 )

có duy nhất nghiệm trên đoạn [to — d, to + đ\,
trong đó d > 0

và (

t
ữ
,x

0

)

e I X D.
1.1.2. Phương trình vi phân có trễ
Trong mục này ta giả sử H là một số thực không âm, và kí hiệu c = ơ([—H, 0], R
n
)
= {ÍP : [ — H, 0] —» R
n
liên tục}
với chuẩn của hàm if G c là
IMI c= sup ||^(í)||.
(1.1
Định nghĩa 1.2. CHO T
0
e R
n
,(7 > 0 ỉ)à X G CQío
—
H,TO + cr],M
n
), ĐẶT HÀM X
T
XẤC ĐỊNH BỞI
X
T
(S) := X(T + S), S € [-/ỉ,0],T e [í
0

,ío + o
-
]
với chuẩn
11^11= sup ||a;(í + s)||. se[—/1,0]
Khi đó, hàm X ị thuộc không gian
c
và gọi là đoạn quỹ đạo trên đoạn
[t—h, t] của hàm x(-).
Cho hàm / : R
+
X c —> M
n
. Xét phương trình vi phân có trễ dạng tổng quát:
x{t) = f{t,x
t
). ( 1 . 2 )

Các dạng hệ phương trình vi phân có trễ dạng (Ị1.2Ị) được mô tả bởi các hệ:
x(t) =

Ax(t) +

Dx(t — h) ,

x{t)
x(t) =

Axịt) + f(t, x(t),x(t — h)), x(t) = A(t)x(t) +

D(t)x(t — h(t)),
Ta có các khái niệm về nghiệm của phương trình (1.2) như sau.
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 3 .

Cho t
0
€

€


c,
ta nói x(t
0
,ip,f)

là một nghiệm của
phương trình vi phẫn có trễ ( 1 . 2 )

với hàm điều kiện ban đầu <f tại t
0
(hoặc đơn giản, là một nghiệm đi qua điểm (to,ự>)) nếu
3ơ > 0

sao cho x(t
0
, (p, / )

thỏa mãn ( L 2 )

trên [t
0
—

h
:
t
0
+
ơ);
Ax(t) + Dx(t — h),
t
Ax(t) + Ị Dx(s)ds,
t—h
1
2
) X t
0
( t o, < P, f) = < P-
Dưới đây là điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
(1.2).
Định lý 1.2.

Xét phương trình vi phẫn ( Ị 1 . 2 Ị ) .

Giá
sử: ỉ) Vơi mọi h > 0

tồn tại số ổ > 0

sao cho
I I

<p\\ < h :
\\F(T,IP)\\ < Ỏ, V(í,<yơ) e R
+
X C;
ii) f(t,

<p) liên tục theo t G M

+





và thỏa mẫn điều kiện Lipschitz
theo <p
: v/i >
0
,
3/3 >

0
:
ll/(^i)
-
/(*,¥>2)11 <
p \ № \ -

^2II, €
c ,
IM <
h , i
= 1,2;
iii) \\f(t, < ^ ) | | <

7(11^11),
(t, ụ>)
ẽ M
+
X
c trong đó hàm

7

( r )

>
0

liên
tục, không giảm thỏa mãn điều kiện
R
i:„ [dr
lim / ——
= +00.
R ^ o J
7(r)
0

Khi đó hệ ( 1 . 2 )

có nghiệm duy nhất trênM

+



.

1.2. Bài toán ổn định
1.2.1. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân
Xét bài toán Cauchy sau
x (t )
=
t >
0
x(t
Q
)
=
x
ữ
, t
Q
>

0
,
(1.

trong đó x(t) G R
n
là trạng thái tại thời điểm t của hệ, hàm / : R
+
X IR
n
—» M
n
cho trước.
Ta giả sử với các điều kiện của hàm / hệ (1.3) luôn có nghiệm duy nhất
trên toàn M
+
. Ta có các khái niệm về sự ổn định của hệ (1.3) như sau.
Định nghĩa 1.4.

Nghiệm x(t)

của hệ ( 1 . 3 )

được gọi ỉà ổn định nếu
V e , V t

0

> 0 , 3 Ổ =

ô(e,t
ữ
) > 0

sao cho với bất kì nghiệm y{t),y(t
0
)
=

y
0
thỏa mẫn \\y
0
— a :

0

| | <

ổ thì điều sau được thỏa mãn
\ \ y ( t ) - x { t ) \ \ < e , ' i t > t
Q
.
Từ định nghĩa ta thấy rằng, nghiệm X(T) là ổn định nếu mọi nghiệm khác của
hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của nghiệm X(T) thì vẫn đủ
gần X(T) kể từ một khoảng thời gian T
Ữ
nào đó trở đi.
Định nghĩa 1.5.

Nghiệm x(t)

của hệ ( 1 . 3 )

được gọi ỉà ổn định tiệm cận
nếu
1) nghiệm x(t)

ỉà ổn định;
2) 30 > 0 SAO CHO Ị|í/o
—
^oll < <5 THÌ
l i m

\\y{t) - x{t)\ \ = 0 .
í-» + oc
Như vậy, nghiệm của hệ (1.3) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với nghiệm
Y{T) bất kì mà có giá trị ban đầu Y
Ữ
gần với giá trị ban đầu X
Ữ
thì khi thời gian T
—»• +oo nghiệm Y(T) sẽ dần tới nghiệm X(T).
Ta thấy rằng, qua phép biến đổi tuyến tính
X — Y I—^ Z
T — ÌQ I—Y T,
1
i ( r ) =

F(T,Z),
với F(T, 0) = 0, khi đó, với nghiệm X(T) tùy ý của hệ (1.3) sẽ trở thành
nghiệm 0 của hệ (1.4), và như vậy, tính ổn định của một nghiệm X(T) nào đó của hệ
(1.3) sẽ được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của
hệ (1.4). Để đơn giản, ta nói nghiệm 0 của hệ (1.4) ốn định nghĩa là hệ

(1.4) là ổn định. Do đó, từ bây giờ, ta sẽ giả thiết hệ (1.3) luôn có nghiệm 0, tức là
F(T, 0) = 0, T e M
+
. Tới đây, ta có khái niệm ổn định đối với nghiệm
1 như sau.
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 6 .

Hệ ( L 3 )

được gọi là ổn định nếu V e , V í

0

> 0 ,
3 Ố =

ỗ(e,t
ữ

) > 0

sao cho với bất kì nghiệm x(t),x(t
0
) = x
ữ
thỏa mãn
11
^

0

I I < ^

thì điều sau được thỏa mãn
||a;(í)|| < e, Ví > T
0
.
Hệ ( 1 . 3 )

được gọi là ổn định tiệm cận nếu
ỉ) hệ ỉà ổn định;
1) 30 > 0

sao cho 1 1 ^ 0 I I <

ổ thì
lim Ị|z(í)|Ị = 0. í—
>+00
Ta có khái niệm về sự ổn định mũ dưới đây.
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 7 .

Hệ ( 1 . 3 )

gọi ỉà ổn định mũ nếu tồn tại M > 0
và ỗ > 0
sao cho với bất kì nghiệm x(t),x(t
ữ
) =

x
0

của hệ thỏa mãn
{t)\\< Me-
a{ t
~
tữ
\ V í >

t
0
.
(1.
khi đó hệ (1.3) trở thành
\
1
Định nghĩa này cho thấy rằng, nghiệm 0 của hệ là ổn định tiệm cận và mọi nghiệm
bất kì của hệ tiến tới nghiệm 0 nhanh với tốc độ theo hàm mũ.
Ta xét một vài ví dụ đơn giản sau.
V í d ụ 1 . 1 .

Xét bài toán sau trong K ,
{x(t) =

ax, t > 0
x(t
0
) =

x
0
, t

0
> 0 .
Ta thấy rằng, nghiệm của hệ này cho bởi
x(t) =

x
ữ
e
at
, t > 0 .
Bằng các tính toán đơn giản, ta có thể kết luận. Hệ là ổn định (cũng tiệm cận và ổn
định mũ) nếu A < 0. Nếu A = 0 thì hệ là ổn định. Hơn nữa, ta có thể chọn được số
ổ không phụ thuộc vào t
0
, do đó, hệ cũng ổn định đều (và cũng ổn định tiệm
cận đều).
Ví dụ 1.2. XÉ T H Ệ SAU
x(t) = a(t)x(t) ,

t > 0

x(t
Q
) =

x
ữ
, t
ữ
> 0 ,

trong đó a là hàm số liên tục từ M

+





vào M .Í
Dễ thấy nghiệm của hệ trên xác định bởi
t
f a ( s ) d s
x(t) =

x
ữ
ế
ữ
t
Như vậy, nếu tích phân F A(S)DS là bị chặn bởi số /i(£o) < +°0 nào đó,
ío
nghĩa là,
í
J a(s)ds < n(t
0
) <
+00
to
thì hệ là ổn định. Và nếu số ỊI(TO) chọn được không phụ thuộc vào T
0

thì hệ là ổn
định đều. Hơn nữa, nếu
lim I A(S)DS = —oo
í-»+ 00
to
thì hệ là ổn định tiệm cận.
1
Các kết quả cơ sở về tính ổn định cũng như các tiêu chuẩn ổn định của hệ phương
trình vi phân tuyến tính đã được trình bày kĩ trong phần 2 của Щ [3]. Ta nhớ lại một
kết quả về tiêu chuẩn ổn định của hệ tuyến tính sau, (xem [TJ tr. 299 -301 hoặc [2] tr.
110)
Định lý 1.3.

Cho hệ tuyến tính
x(t) =

Ax(t), t > 0 ,
(1.5)
x(t
0
) =

x
0
, to > 0 ,
trong đó A £ M

n x n

( R ) .

Khi đó, hệ ( 1 . 5 )

là ổn định tiệm cận khi và
chỉ
khi mọi giá trị riêng của ma trận Ả có các phần thực là âm, tức là
ReA <0, VA G A(A).
Xét hệ phương trình vi phân
x(t) = f(t,x(t)), t> 0 ,
(1.6)
æ ( 0 ) = X o ,
trong đó / : м
+
X M
n
—» M
n
là hàm phi tuyến cho trước, X(T) € K
n
là trạng
thái của hệ tại thời điểm T, và giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là F(T, 0) = 0 với mọi T
> 0.
Đặt К là tập tất cả các hàm số a(-) liên tục, tăng nghiêm ngặt từ M
+
vào M
+
và
thỏa mãn a(0) = 0.
Định nghĩa 1.8. CHO HÀM SỐ V(T,X) : l
+

X R" —> M. HÀM SỐ
dv dv
Vf(tMt)) = ^ + ^ĩMt)) ( 1 . 7 )

gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm v(t,x(t)) dọc theo nghiệm
x(t)
CỦA (1.6).
Sau đây ta đưa ra định nghĩa hàm Lyapunov và các kết quả về xét tính
1
ốn định dựa vào hàm Lyapunov cho hệ (1.6).
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 9 .

Hàm V(t,x) khả vi ỉỉên tục theo (t,x) và V(t, 0 ) =
1, V í > 0

gọi là hàm Lyapunov của hệ ( 1 . 6 )

nếu các điều kiện sau
được thỏa mẫn:
ỉ) V(t,x) là hàm xác định dương theo nghĩa
Ela(-) G K : V{T,X) > o(||x||), V(í,z) <E M
+
X M
n
;
ỉỉ) Đạo hàm Vf(t,x) < 0

với mọi nghiệm x(t)

của hệ ( 1 . 6 ) ;

Nếu hàm V(

t,

X)

thỏa mãn thêm hai điều kiện:
Ui) 36(0 e K : V{t,x{t)) < 6(||a;||), V{t,x) G R+
X
R
n
-,
iv)

3 c ( - ) G

K : Vf(t,x(t)) < — c ( | | a ; | | ) ,

với mọi nghiệm x(t)

của hệ
(1.6) ,

thì ta gọi V(t,x) ỉà hàm Lyapunov chặt.
Ví dụ 1.3.

Xét hệ phương trình
X ( t ) = - ( x - 2 y ) ( l - X
2
- 3y

2
)
ỹ ( t ) = - ( y + a;)(l - X
2
- 3y
2
) .
Khi đó hàm V (T, X, Y) = X
2
+ 2Y
2
+ 21 là hàm Lyapunov của hệ đã cho. Thật
vậy, rõ ràng V(T, X, Y) xác định dương, và tồn tại hàm A(T) = 21 là hàm liên tục và
tăng nghiêm ngặt trên M. Hơn nữa, đạo hàm theo t ta có
V(t) = v; + v;.x{t) + v;.ý(t).
Tic do,
V(t) = 2 +

2x(2y - z ) ( l -

x
2
- 3

y
2
) - 4

y(y + z ) ( l

- x
2
- 3

y
2
) = 2
—

2(x
2
+ 2y
2
)(l — x
2
— 3

y
2
) < 0 v d i

x,

y d u n h o .
D i n h l y 1 . 4 .

Cho he phuCtfng trinh vi phan nhu trong f l l . 6 | )

;

khi
do:
1) Neu he ( 1 . 6 )

co ham Lyapunov thi he do la on dinh;
1
2) Neu he ( 1 . 6 )

co ham Lyapunov chat thi he do la on dinh tiem
can.
CHUNG MINH. 1) Gia sil trai lai he (1.6) khong on dinh, khi do ton tai cac so €i >
0,to > 0 va
v<
3i
m
Qi <5 > 0 ton tai nghiem X
1
(T) ma X
1
(T
0
) = X
0
va mot so T > T
0
sao cho
llxoll < S =► ||a;i(T)|| > €i.
Lay 5 > 0 du nho sao cho V^O) C D. Theo gia thiet ham V la ham Lyapunov cua he

nen V(T
Q
, •) lien tuc va V(T
0
,0) = 0, do do ta co the chon X
0
e Vj(0) sao cho
V(t
0
,x
0
) < a(ei ) .
Do V la ham Lyapunov nen
V
f
V{t,x) < 0
nen ta co
V(t,xi(t)) < V(t
0
,x
0
), V i >

t
0
.
Do do
o(ei) < a(ll®i(*)ll) < V(T,XI(T)) < V(T
0
,X

0
) < o(ei)
day la dieu vo li. Vay he (1.6) la on dinh.
2) Giả sử hệ (1.6) có hàm Lyapunov chặt, khi đó ta có
ỶfV(t,x) < - 7 ( N I ) ,

t > 0,x €

D \ { 0 } .
Do đó hàm V(T,X(T)) là hàm giảm theo T nên tồn tại giới hạn
l i m

v(t,x(t)) = c. í
— > + 0 0
Ta cần chứng tỏ c = 0. Thật vậy, nếu trái lại c > 0 thì tồn tại số A € (0, c) và T > 0
sao cho
V(

t,

x(t)) > a v ớ i m ọ i

t > T.
Theo giả thiết V(T,X) < 6(||x||) nên
1
z(í)|| > 6
_1
(a), W>T.
Do đó
Mặt khác, do

nên với mọi T > T ta có
V(t,x(t)) -

V(T,x(T)) < - T)
suy ra
-V(T,x(T)) < V í > T ,

hay
V{T,X(T)) > 7(6
_1
(a)), Ví > T.
Cho T +oo suy ra điều mâu thuẫn. Vậy hệ (1.6) là ổn định tiệm cận. Định lí được
chứng minh. □
1
Ta có kết quả về sự ổn định mũ như sau.
Định lý 1.5.

Giả sử tồn tại hàm Vịt, xịt)) thỏa mãn:
I) 3Ai > 0,A
2
> 0 : Ai||a;(t)||
2
< V(T,X(T)) < A
2
||a:(í)||
2
, €
R
+
X M

n
;
tì) 3a > 0 :

Vf(t,x(t)) < — 2

với mọi nghiệm x(t)

của hệ
(L6 ).
Khỉ đó hệ là ổn định mũ với các chỉ số ổn định Lyapunov a và N —
1.2.2. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ
Xét hệ phương trình vi phân có trễ
x(t) = t> 0 ;
x(t) =

<p(t), t €

ị—h, 0 ] .
Tương tự như đối với hệ phương trình vi phân thường (1.3) ta cũng có các
khái niệm tương tự về tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ
( M )
Định nghĩa 1.10. HỆ ( 1.8) GỌI L À :
1. ổn định nếu V e > 0 , 3 ( 5 > 0 ,

£
c
: l l ^ l l <

ổ thì với mọi nghiệm

x(t,(p) thỏa mãn \\x(t, < ^ ) | | < e , V í G R

+



.
2. ổn định tiệm cận nếu hệ ( 1 . 8 )

là ổn định và \\x(t, y ? ) Ị Ị

—¥
0

khi t + o o .
3. ổn định mũ nếu mọi nghiệm x(t,íp) thỏa mãn điều kiện:
3M > 0,0! > 0 : ||a;(i,y?)|| < Me
_aí
||^||, Ví > 0.
(1.
2
Hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ (1.8) được định nghĩa tương
tự như sau:
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 1 1 .

Hàm V(t, <f) : R

+

X
c
—> M

n





gọi là hàm
Lyapunov của
hệ ( 1 . 8 )

nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
ỉ) V(t,<f) là hàm khả vi liên tục theo 0 )

= 0 ;
ỉỉ) Tồn tại các hằng số Q í i , Q í

2
> 0

sao cho với mọi nghiệm x(t)
thỏa mãn
ail|z(í)ỊỊ
2

< V(t,x
t
) < a
2
||zí||
2
;
\) Tồn tại hằng số

«3
> 0

sao cho Vf(t,x
t

) < — Q '

3

( | | a :

í

| | ) ,

với
mọi
III
nghiệm x(t)

của hệ ( 1 . 8 ) ,

trong đó
T >

n ™ A _ i : _

V{t + h,x
t
+ h)-V(

t,
x
t

)

Vf{t,x
t
) = l i m

— .
Ta có định lý sau về tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ
(L8).
Đ ị n h l ý 1 . 6 .

Giả sử tồn tại hàm Lyapunov V(t,x
t

)

cho hệ ( Ị 1 . 8 Ị ) .
Khi đó
hê là ổn đinh mũ với chỉ số ổn đinh Lyapunov a = —

a
3
,N = — .
2 0í\
1.3. Một số bổ đề bổ trỢ
B Ổ đ ề 1 . 1 . ( B ổ đ ể S c h u r )

Cho p, Q là các ma trận đối xứng xấc
định dương, M G M

n x m

( M ) .

Khi đó,
( p M ^
Bổ đề 1.2.

( B ấ t đ ẳ n g t h ứ c m a t r ậ n

C a u c h y )

Cho N ỉà ma
trận đối xứng xác định dương. Khi đó ta có
\ M

T
- Q ) < 0 & p + M Q ~
l
M
T
< 0.
2
±2X
Ấ
Y < X
1
NX + Y
T
N
1
Y, V(æ, Y) e X M
n
.
\ M
T
- Q ) < 0 & p + M Q ~
l
M
T
< 0.
2
Chương 2 Tính ổn định phương trình vi
phân
có trễ
Chương này trình bày các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận cho các hệ phương trình

vi phân tuyến tính có trễ hằng và trễ biến thiên, hệ phương trình vi phân phi
tuyến có trễ hằng và biến thiên bằng phương pháp hàm Lyapunov. Các điều
kiện được trình bày dưới dạng nghiệm của các bất đẳng thức ma trận tuyến
tính mà có thể giải được bằng các công cụ Matlab LMI toolbox [5]. Nội dung
chương này lấy từ các tài liệu p, 0Ị.
2.1. Ôn định phương trình vi phân tuyến tính có trễ
Trong mục này, giả sử A, D € M
nxn
(IR), H dương xét hệ phương trình sau:
x(t) =

Ax(t) +

Dx(t — h),
(2.1)
X(T) = T e [—H, 0).
Ta có một kết quả về sự ổn định tiệm cận của hệ (2.1) qua định lý sau.
Định lý 2.1.

Giả sử các ma trận hệ số của hệ phương trình

fl2.ip
thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương
p > 0 ,

Q > 0

sao cho
ỊA
T

P + PA + Q PD\
M = _ <0. (2.2)
V

D
T
P -Q)
Khi đó hệ ( 2 . 1 )

là ổn định tiệm cận.
CHỨNG MINH. Xét hàm Lyapunov cho hệ (2.1) có dạng:
í
2
V(t,x
t
) = (Px(t),x(t)) +

J
(Qx(s),x(s))ds.
t — h
Ta kiểm tra các điều kiện trên hàm Lyapunov chặt của Định nghĩa ỊTTÕ] về
sự ốn định của hệ (2.1). Vì P > 0, Q > 0 nên
vã
t
V(T,X
T
) < A
max
(P)||x(í)||
2

+ J A
max
(Q)||a:(s)||
2
í/s
t — h
< Amax(^)l|^(í)H
2
+ A
max
(Q)/l||^íỊ|
2
.
Hơn nữa, do ||a;(í)||
2
< llxíll
2
nên ta có
V(T,X
T
) < [A
max
(P) + ^A
max
(Q)].||a:
t
||
2
.
Hay

Ai||x(í)||
2
< v^,^) < A
2
||a:
í
||
2
, (2.3)
như vậy điều kiện i) và iii) được thỏa mãn.
Để kiểm tra điều kiện ii) và iv) ta lấy đạo hàm của hàm V theo T như
sau:
Vf(t,x
t

) = 2

(Px(t),x(t)) + (Qx(t),x(t)) -

(Qx(t — h),x(t -

h)}
= ( 2

PAx(t),x(t)} + 2

(PDx(t — h),x{t)) + (Qx(t),x(t) )
— (

Qx(t — h), x(t — h))

= ( (

A
T
p + PA + Q)x(t), x(t) ) + 2

(PDx(t — h), x(t) )
(Qx(t —

h), x(t —

h) ) .
2
(
x{t)
) t a c ó
\x {t -h )J
rp ỊA
T
P + PA + Q Pd\
V
f
(t
:
x(t)) = z
T
(t)

I

*

1

-QJ
Theo giả thiết (2.2) ta có
VF{T,X
T
) <
(MZ(T),Z(T)) < -\\\Z(T)\\\VT >
0, trong đó A = A
min
(M). Hơn
nữa, do ||z(t)||
2
> ||x(í)||
2
nên ta có
Vf(t,x
t
) <-Ằ\\x(t)\\
2
, V í > 0 .
Vậy các điều kiện của Định nghĩa |l.9| được
thỏa mãn, do đó theo Định lý
1.4 hệ (2.1) là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.1.

Xét hệ phương trình vi phân có
trễ dạng:

Xị
(t) = —Sxi(t) + X\(t
— 2 ) ,

t > 0 ,

X2{t)
= - 5

x
2
{t) + 2

x
2
{t -
2 ) ,

ở đăy h — 2 .
Ta thấy các ma trận
Đặt biến
ỉ
□
(2.4