Luận văn ứng dụng phương pháp tham biến bé giải phương trình vi phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư
PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ THANH
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THAM BIEN BÉ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYEN
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Khuất Văn Ninh
HÀ NỘI - 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận
tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng
thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Bắc Ninh, Ban giám hiệu,
các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Cừ cùng gia đình, người
thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành
khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 201Ậ Tác giả
Nguyễn Thị Thanh
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của thầy PGS.TS. Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm

2014
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh
Mục lục
BẢNG KÍ HIỆU
Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới
đây:
c Tập số phức
C[
a
.j] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [A,

6]
CỊ
1
,
6
J Tập tất cả các hàm số xác định và cóđạo hàm liên tục đến
cấp N

trên [a, 6]
N Tập số tự nhiên
N* Tậpsố tự nhiên khác không
M Tập số thực
R

K

Không gian vectơ thực K

chiều
L

(X

, Y)

Không gian cáctoán tử tuyến tính liên tục từ X

vào Y

1 Tập hợp rỗng
11. 11 Chuẩn
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp tham biến bé là một phương pháp được ứng dụng nhiều trong
giải phương trình. Phương pháp tham biến bé đã được đề xuất trong công trình
của Schauder để giải phương trình đạo hàm riêng elliptic vào giữa thế kỷ XIX.
Sau đó nó được áp dụng trong nhiều công trình của các nhà toán học Liên Xô
vào việc giải phương trình toán tử. Đặc biệt nó giúp cho việc giải xấp xỉ phương
trình toán tử. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp tham biến bé
và ứng dụng vào giải phương trình vi phân phi tuyến, nhờ sự giúp đỡ, hướng
dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh, nên tôi đã chọn nghiên
cứu đề tài: "ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THAM BIẾN BÉ GIẢI MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN "
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn trình bày phương pháp tham biến bé liên tục, phương pháp thác
triển theo tham số và phương pháp tham biến bé rời rạc giải phương trình toán
tử. Luận văn cũng trình bày ứng dụng của phương pháp nói trên vào giải

phương trình tích phân, phương trình vi phân phi tuyến và giải số trên máy tính
bằng phần mềm Maple.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp tham biến bé nêu trên.
- Nghiên cứu phương pháp tham biến bé.
- Nêu ứng dụng của từng phương pháp tham biến bé vào giải một số phương
trình toán tử vi phân phi tuyến cụ thể, phương trình toán tử tích phân.
- Giải số một số phương trình vi phân cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Phương pháp tham biến bé liên tục.
- Phương pháp thác triển theo tham số.
V
- Phương pháp tham biến bé rời rạc.
- Một số ứng dụng vào giải một số phương trình vi phân phi tuyến cụ thể.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
- Vận dụng một số phương pháp phân tích, tổng hợp, các phương pháp của
Giải tích cổ điển, Phương trình vi phân, Giải tích hàm, Giải tích số và lập
trình cho máy tính.
6. Đóng góp mới của luận văn
- Trình bày phương pháp tham biến bé liên tục, phương pháp tham biến bé
rời rạc, phương pháp thác triển theo tham số.
- ứng dụng các phương pháp nói trên vào giải phương trình toán tử vi phân,
phương trình toán tử tích phân.
Lập trình trên Maple để giải một số phương trình vi phân
phi tuyến cụ thể.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co
1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X Ỷ 0 cùng với một
ánh xạ d : X X X —>■ R thỏa mãn các tiên đề sau đây:
i) i^x, y E X)d (X, y) > 0, d (x, y) = 0 X = y, (tiên đề đồng nhất);
ii) (yx,y ẽ X ) d ( x , y ) = d ( y , x ) , (tiên đề đối xứng);
iii) (\/x, y,z £ X) d (X, y) < d (X, z) + d (z, y), (tiên đề tam giác).
Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d ( x , y ) gọi là khoảng cách giữa
hai phần tử X, y. Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề
i), ii), Ui) gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric được ký hiệu là M = ( X , d ) .
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = ( X , d ) . Một tập con bất kỳ
X Q Ỷ Ộ của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian
metric. Không gian metric M
0
= (X
Q
, d ) gọi là không gian metric con của
không gian metric đã cho.
VÍ DỤ

1.1.1. Với hai điểm bất kỳ X

= (xi, X

2

,XK), Y = (YI, V

2 ,
VK)

thuộc không gian vectơ thực K

chiều R

K

(K

là số nguyên
dương nào đó) ta đặt:
Y , - V j f ■
3

=1
Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.1) thỏa mãn các tiên đề i), ii) về metric. Dễ kiểm tra
hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric, trước hết ta chứng minh bất
đẳng thức Cauchy- Bunhiacopski: với 2K

số thực DJ, BJ

(j = 1, 2, ,k) ta có:
8
d ( x , y ) =
\
. ẻ«ỉ
A
±*r
3 = 1 \ 3 = 1 \ 3 = 1
Thật vậy
0 <£ (

a
i
b
3 -
a
3
b
iY
= £ £ a\b) - 2. ị £ aAajbj + £ ị a)b\
i=lj=l i = l j = l i = l j = í
Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.1.2).
Với ba vectơ bất kỳ X = (x
u
x
2
, x
k
) , y = ( y ị , y
2
, V k ) , z = ( Z ị ,
z
2
, z
k
) thuộc ta có:
d
2
(x , y) = £ {X j -V j )
2
3

=
1

K
= £ [ ( X j -
Z j
) + ( Z j - V j ) ]
2
3 = 1
= (
X j
- Z j )
2
+ 2. X) { X j - Z j ) ( Z j
- yj)+E {
z
j - V j )
2
9
3
=1
3 =
1
3
=
1
= d
2
( X , y ) + 2. d ( x , z ) . d ( z , y ) + d
2

( z , y ) = [ d ( x , z ) + d ( z , y ) ]
2
=> d ( x , y ) < d (X , z )
+ d (z, y).
Do đó hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric.
Vì vậy hệ thức (1.1.1) xác định một metric trên không gian .
Không gian metric tương ứng vẫn ký hiệu là M
fc
và thường được gọi là không gian
Euclidean, còn metric (1.1.1) gọi là metric Euclidean.
1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co
Giả sử X

là không gian metric đủ và ánh xạ T

: X —> X

thỏa mãn điều kiện:
d (T x , T y ) < a d (X , y ),
với hằng số 0 < A

<

1 và Va;, Y E X.

Khi đó tồn tại duy nhất phần tử X*

e X

sao cho
X * = Tx*, hơn nữa với X
0
G X

thì dãy {X

N

}

N €N

xác định bởi XỴ

+
1 = Tx*;, VẢ; ẽ N,

là
hội tụ đến X*,

đồng thời ta có ước lượng:
O í
d ( x
n
, x * ) < - d ( x ị , x
0
)
1 — A
— a

10
< d
2
( x , y ) + 2 . ( X j - Z j f . ( Z j - V j )
2
+ d
2
( z , y )
(1.1.3)
1.2. Không gian Banach, không gian Hilbert, không gian
L(X,Y)
1.2.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1. ( Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn
(hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên
trường p (P = R hoặc p = c ) cùng với một ánh xạ X —> M, được gọi là
chuẩn và ký hiệu là ||.|| thỏa mãn các tiên đề sau:
i) (Vx £ X) ||a;|| > 0, \\x\\ — 0 X — 9;
e X)

(Va; € P

) IICKÍCỊỊ = |o:I ||xỊỊ; III)(VX,
Y E X) \\X + Y

II < ||x|| + II//II.
Số lịa;II gọi là chuẩn của vectơ X. Ta cũng ký hiệu không gian định
chuẩn là X. Các tiên đề i), ii), iii) gọi là hệ tiên
đề chuẩn.
Định nghĩa 1.2.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn)dãyđiểm
{x

n
} của không gian định chuẩn X được gọi ỉà hội tụ tới điểm X G X, n ế u
lim II— x|| = 0. Ký hiệu lim x
n
= X h a y x
n
—¥ X (n oo).
x — ^ o o x — ^ o o
Định nghĩa 1.2.3. (Dãy cơ bản) Dãyđiểm { x
n
} trong khônggian định
chuẩn X được gọi là dãy cơ bản, nếu lim ||x
n
— x
m
\\ — 0.
m ,n —>0 0
Định nghĩa 1.2.4. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X được gọi
là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
VÍ DỤ

1.2.1. Xét không gian vectơ K-

chiều M
fc
, với mỗi X E

R
fc
,

VÍ DỤ

1.2.1. Xét không gian vectơ K-

chi
l ~ k
X = (XỊ,X

2

,X

K

).

Đặt \\X\\

= y \

X

I\

2

-

Khi đó là
không gian Banach.

Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được R
fc
là không gian định chuẩn.
11
Lấy {x
n
} là dãy cơ bản trong M*, X

N

= ỊX[\X£\

Ta có
lim \\X

N

— X

M

\\

= 0 nghĩa là:
(Ve > 0) (3M £ N*) (Vm,n > M) : \\x
n
— x
m
\[ < £
Suy ra (với mỗi J

< N < K

cố định), (Ve > 0) (3Mj £

N*) (Vm, N > MJ

):
__(n) (m) _
a;} - ícV < £.
Vậy với mỗi J

cố định thì dãy là một dãy cơ bản hội tụ
Ký hiệu X J = lim XỊ

N

\J =

1, K

nghĩa là:
(Ve > 0) (Vj = 1 , 2 , J f c ) (3Mj <E N*) (Vra > Mj) :
Đặt X —

(XJ

) .
=
^ , ta sẽ chứng minh {X

N

}

hội tụ đến X.
Đặt Mo = MAX {MỊ

, M2

, , MỴ

} thì:
Vậy {x
n
} hội tụ đến X .
1.2.2 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.5. Cho X là một không gian tuyến tính. Ánh xạ lị) : X xX-
>K thỏa mãn các điều kiện:
1 ) ĩ p ( x , x ) > 0,Vx Ễ X ;
2 ) ĩ p ( x , x ) = ũ ^ X = 9 ;
12
£
3

=1
(1.2.1)
<
^

■» l„(
n
) „(

M

)

> \x\ - x\
<
•\/
&
£
<
¥
(n) _
x
j
x
j
< e.
( n )
x

j

x

j
2 / k

< C

2

^ \ ±
(n)
x

j

x

j
V j
= i
k
3
=
1
< 3 = 1 ,2 , . . . , k
(n)
/Ỵ» '' __
/V»
3 ) ý { x , y ) = ĩ ị ; ( y , x ) , V x , y <E X ;
4 ) ý ( a x i + / 3 x
2
, y ) = o e ệ { x
1
, y ) + P ý { x

2
, y ) , V x
u
x
2 ì
y e X
và Vữ, Ị3 € M,
được gọi là một tích vô hướng trên X, còn I p ( x , y ) được gọi là tích
vô hướng của hai phần tử X, y và thường được kí hiệu là (X, y).
NHẬN XÉT

1.1. Nếu X

là một không gian tuyến tính trên đó có xác định một
tích vô hướng ( . ), khi đó ánh xạ ||.|| : X

—> M xác định bởi ||a;|| = Y/

(X

, X

) là
một chuẩn trên X

và X

cùng với chuẩn đó là một không gian tuyến tính định
chuẩn.
Chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn cảm sinh bởi tích vô hướng. Từ đó

có ánh xạ D : X

x X ^ I xác định bởi
d ( x , y ) = ||z - y II = y / { x - y , x - y )
là một hàm khoảng cách trên X

và (X, D

) là một không gian metric.
Khoảng cách D

vừa xác định được gọi là khoảng cách cảm sinh bởi tích vô
hướng.
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng (
. ). Nếu cùng với khoảng cách d cảm sinh bởi tích vô hướng mà (X, d)
trở thành một không gian metric đủ thì lúc đó X cùng với tích vô
hướng ( . ) được gọi là một không gian Hilbert.
VÍ DỤ

1.2.2. Xét X

= với X

= (XI,X

2

,XỴ)

ẽ

y = {yi,V
2
, ,yk) e đặt (x,y) = Y,
x
iVi-
Có
thể thấy R
k
cùng với
I

=1
tích vô hướng được xác định như trên là một không gian Hilbert.
1.2.3 Không gian L(X,Y)
Cho hai không gian định chuẩn X,

Y

.

Ta ký hiệu L(X

, Y)

là tập tất cả các
toán tử tuyến tính liên tục từ X

vào Y

.

Trong L(X

, Y)

ta có thể định nghĩa các phép toán tuyến tính như sau: Ta gọi
tổng của hai toán tử А, В

là toán tử А

+ В

sao cho
(Va; G X) {А + В) X = Ах + Вх,
và tích của toán tử A

với số A

là toán tử A A

sao cho
(Ух G X) ( a A ) X = aAx.
Rõ ràng các toán tử А

+ В

và AA

cũng tuyến tính và liên tục, tức là thuộc
L(X,Y),

và với các phép toán tuyến tính như trên, L(X,Y)

trở thành một không
gian vectơ.
Hơn nữa, trong L(X,Y)

ta đã định nghĩa chuẩn ||Л||của mỗi toán
tử Ả theo công thức \\A\\ = sup YỴ- = sup ||Ar||.Chuẩn ấy thỏa mãn
X^O

||я|| = 1
đầy đủ các tiên đề về chuẩn, cụ thể là:
1) Nếu ||A|| = 0 thì do (Vx G X

) IIАжII < ||Л|| . ||ж|| ta có АХ

= 0 Va:, tức A

=
0 (toán tử không). Ngược lại nếu А

= 0 thì dĩ nhiên II^4II = 0.
2) ||aA|| = \A\.

||Л|| là do Va: : ЦссЛжЦ = \A\.

||Ac||.
3) I\ A + B\\ < \\A\\ + Ị|5Ị| là do
MX

: ||(Л + B)X

II = IIАХ

+ BX

II < IIАжII + ||-0ж||.
Như vậy L(x, Y) là một không gian định chuẩn.
Cũng như trong mọi không gian định chuẩn, trong L(X,

Y

) ta có thể nói đến
sự hội tụ: một dãy toán tử A

N

G L(X,Y

) hội tụ tới toán tử A

G L (X,

Y)

nếu II
A

N

— A\\

—>• 0. Sự hội tụ này gọi là sự hội tụ theo chuấn, để phân biệt sự hội
tụ từng điếm, định nghĩa như sau: một dãy toán tử A

N

hội tụ từng điểm đến Ả
nếu (Va; £ X)A

N

X —> AX

(nghĩa là IIA

N

X

- AX

II -» 0 ).
Rõ ràng sự hội tụ theo chuẩn kéo theo sự hội tụ từng điểm vì ^A

N

X

— AX

II
< \\A

N

— A\\ .

II07II. Nhưng ngược lại không đúng.
Định lý 1.2.1. Nếu A
:
B £ L ( X , Y ) , A~
x
liên tục và có bất đẳng thức thì
tồn tại B~
x
liên tục và các đánh giá
No III ll^
1
5“
1
<
l - l l ( B - A ) A - r
1.3. Một số không gian hàm: Không gian M
fc
, C ị a b ],
ĩ
a
M
1.3.1 Không gian

Giả sử M là kí hiệu của trường các số thực. Với mỗi số nguyên không âm K,
không gian của các bộ K

số thực tạo thành một không gian vectơ K

chiều trên M,
kí hiệu là được viết là:
X
trong đó mỗi X Ị là một số thực. Các phép toán của không gian vectơ trên M
n
được định nghĩa bởi:
X + y = (Xi + y
u
x
2
+ 2/2, •••, Xk + Vk)
ax = (ax 1, ax2,axjfc)
yí DỤ

1.3.1. Không gian M
2
với X = (XI,X

2

)
Không gian M
3
với X = (XI,X

2 ,X

3

)
1.3.2 Không gian C

[A M
Cho —OO<A<B<

+oo. Khi đó, không gian X

= C[

A

6] là không gian
các hàm X

= X(T

) xác định và liên tục trên [A,B].


X

= CỊ

A B

-Ị

là không
gian Banach thực với chuẩn ỊỊícỊỊ = max \X

(í)Ị.
a < t < b
Sự hội tụ X

N

X

khi N

—»• oo trong X

tương đương với sự hội tụ
\\x
n
— x|| = max \x
n
(t) — X (t)I —>■ 0 khi n —> oo.
a < t < b
Nghĩa là dãy (X

N

),N

= 1, 2, các hàm số liên tục X

N

: [A, B] —>

R liên tục đều
trên đoạn [a, 6] đến hàm số liên tục X :

[a, 6] —>

M, n = 1,2,
1.3.3 Không gian
Cho — oo < A < B <

+oo. Khi đó, không gian X

= CỊ


6
j (K

ẽ N*) là không gian
các hàm X — xịt) xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp K

trên [a, 6]. X = C*
6
j là không gian Banach với chuẩn
k

ll^ll
=
MAX \X^

(í)|.
ị=0
a
<t<
b
1.4. Một số khái niệm về phương trình vi phân thường
Phương trình vi phân thường cấp N

là phương trình trong đó có chứa hàm
số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn hàm) và đạo hàm của hàm số đó:
F ( x , y ( x ) , y ' ( x ) , ,y
{n)
(xỶ) =0. (1-4.1)
Cấp của phương trình là cấp của đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương
trình. Xét phương trình vi phân cấp N

khi đạo hàm cấp cao nhất biểu diễn dưới
dạng:
. (1.4.2)
Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.4.2) là tìm hàm Y

= Y(X

) thỏa mãn
phương trình (1.4.2) và điều kiện ban đầu
y (zo) = 2

/0

, y ' (so) = y ' o , y
{ n
~
l )
(x
0
) = v ĩ ~
l
\ (1.4.3)
trong đó X

Ữ

, Y

0

,

2

/q, Y

Q™ ^ là những số cho trước.
Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân thường
-p = /n (x , y
u

y
2
, . . . , y n )
a x
là tìm các hàm 2

/1

, Y

2

,Y

N

thỏa mãn hệ phương trình (1.4.4) và thỏa mãn điều kiện
ban đầu
y i (zo) = 2/10, V 2 (zo) = V 20, - - , y
n
M = V n 0, (1.4.5)
trong đó 2/105

2/205

■■■,UN

0 là những số đã biết. Phương trình (1.4.2) có thể đưa
về hệ N

phương trình vi phân cấp một bằng cách đặt
2/1 = y ' , V 2 = y ” , •••, V n -1 = y
{ n
~
1 ]
,
khi đó phương trình (1.4.2) có dạng
dy
~T~
=
yi
dx
dyi
J = V 2
ax
< (1.4.6)
dy
n
- 2
~7 Un-l
d y
n
-1 _ f f \
< rfx
Điều kiện ban đầu (1.4.3) được viết dưới dạng (1.4.5).
Hàm sỐ Y = <P

(X

) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4.2) nếu thay Y

=
(P(X),Y

!

= TP' (X),^

(X

) vào (1.4.2) thì ta được đồng nhất thức.
Hàm SỐ Y = (P (X, C) (C G R)

có đạo hàm riêng theo biến X

đến cấp N

được
gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4.2) nếu: V (X

, Y)

G D (D

là miền
xác định của phương trình) ta có thể giải ra đối với C, C = TP (X,Y).

Hàm Y =
IP (X, C

) thỏa mãn (1.4.2) khi (X,Y)

chạy khắp D

, Vc G R.

Người ta chia các
phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân thường thành hai nhóm sau:
1) Các phương pháp giải tích - Đó là các phương pháp tìm nghiệm dưới dạng
biểu thức giải tích.
2) Các phương pháp số - Đó là các phương pháp tìm nghiệm dưới dạng
bảng.
Chẳng hạn: phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Xét bài toán Cauchy
y ' = f ( x , y ) , y ( x
0
) = y
0
. (1-4.7)
Phương pháp xấp xỉ liên tiếp là phương pháp xây dựng dãy hàm Y

N

(X)

theo
công thức
X
V n (x ) = Vo + Ị ỉ (*, Vn -1 (z)) dx, y
0

(X) = y
0
, (1.4.8)
x
0
và nghiệm của (1.4.7) là giới hạn của dãy hàm Y

N

(X).
Trong lý thuyết phương trình vi phân thường đã chứng minh rằng: Nếu hàm
F(X,Y

) thỏa mãn điều kiện Lípschitz theo biến Y,
I/ { x , y i ) - f { x , y 2)1 < N \ y
1
- y
2
\
ì
N = const, (1.4.9)
trong hình chữ nhật D

, D = Ị(X,Y)

e R

2

\ \X — XQ\ < A, \Y — YO\ < B},

thì
dãy hàm (Y

N

(X

)) hội tụ đều tới nghiệm Y(X

) của phương trình (1.4.7) trên đoạn
[X,X + H],H >

0 là một số dương nào đó và hàm YO(X)

tùy ý cho trước.
Sai số giữa Y

N

(X

) và Y(X

) được đánh giá bởi công thức sau
£n = \Y

N

(a;) -Y{X)\< MN

N

^7—^7

, (1.4.10)
ỵn + lj!
trong đó M = MAX

I/ (X,Y)

I, H

= MIN (A,

— ).
( x , y ) € D
V
VÍ DỤ

1.4.1. Tìm nghiệm xấp xỉ thứ ba liên tiếp của bài toán sau bằng phương
pháp xấp xỉ liên tiếp Y'

= YFX + Y

2

, Y

(0) = 0.

Lời giải. Nghiệm xấp xỉ của bài toán trên được xây dựng như sau:
VN

(z) = / M + Y

2

N-I

) DX, N =

1,2,
0


v
J
Áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ đầu tiên Y

Ữ

(X

)
= 0, ta có:
У1 (
x
) =I(
x
* + ýị (s)) dx =

f x*dx =
V
M J
V
1,25 J
= 1,25,
Do vậy trên đoạn [0; о, 4] ta có
£3

= \УЗ

(X) -Y(X)

I < MN

N

= 1,
25
-
l3
|[ = 96

s
Từ đó MAX

|y
3
(ж) — 2

/ (ж) I < —(о, 4)
4
и о, 00133.
1.5. Phương pháp sai phân, phương pháp Euler
1.5.1 Phương pháp sai phân
Xét bài toán:
£ [ y \ = y " - Q ( x ) y = f { x ) ,
(1.5.1)
y { a ) = V a , y { b ) = y
b
.
Giả sử có đủ điều kiện để bài toán (1.5.1) tồn tại và duy nhất nghiệm. Giả sử các
hàm F(X

) liên tục trên [a, B]

và Q(X

) > 0. Chia [a, 6] thành N

phần bằng nhau bởi
các điểm chia.
B

— A
\ f ị \ < r = , M = max \y
{
‘ ’ ( x ) \.
Ml
- 12 ’ A<X<B

|y v N
Khi đó bài toán (1.5.1) tương đương với
y

(

Xi+ 1

^


2y

^

— + n- q ( x ị ) y { x ị ) = ĩ ( x ị )\2 = 1,2,n - 1
y { x o) = y
a
, y { x n ) = V b
(1.5.2)
Trong hệ (1.5.2) chúng ta bỏ TỊ

thì nhận được lược đồ sai phân hữu hạn: CNVI =
—

^ —
V I

~

L

- Q(

XI

)Y(XI) = F(XỊ); I =

1,2,N-

1
y o = V a i U n = V b
(1.5.3)
Giải hệ phương trình tuyến tính (1.5.3) ta được các YI

đó là giá trị gần đúng của
nghiệm bài toán (1.5.1) tại các điểm X Q, X Ị , ., X
N
.
M a x \ y { x ị ) — V i \ < a < v < b
y |
9 6
VÍ DỤ

1.5.1. Giải gần đúng phương trình sau bằng phương pháp
sai phân:
y" (a;) + (x — 1) y' (X

) — 2Y

(X

) = —4:X,

0 < X < 1,
với các điều kiện biên sau
IY

(0) - Y'

(0) = 2
»(1) = 3.
Sử dụng công thức
I / \ Vi+1 V i - I n t \ V i + Í V i - 1
y i (
x
) = —771—; y i (
x
) = —
2 h
và thay vào phương trình trên ta được
h
2
4Y

(0) - Y'

(0) = 2
v(l) = 3.

Sau khi biến đổi ta được
[ h (X i - 1) + 2] y
i + 1
- ịy i (l + h
2
) + [2 - h ( X ị - 1)] y i _ ị = -8X ị h
2
. (*)
Chọn bước h = 0.2. Khi đó có bốn nút bên trong
X I = 0.2I]

* = 1,2, 3,4.
Ta viết phương trình sai phân (*) theo các nút là
M Ọ , - a f
h 2
Sai số nhận được sẽ là:
h
2
- 2 VI =

-4XI
2
H
1.84^2 — 4.162/1 + 2.16 Y

0

= —0.064
1.882/3 - 4.16y
2

+ 2.12?/! = -0.128
1.92í/4 — 4.16?/3 + 2.087/2 = —0.196
1.962/5 - 4.16y
4
+ 2.04y
3
= -0.256.
Theo giả thiết 4y (0) — Y'

(0) = 2; Y

(1) = 3 suy ra
YI +

0.4
VO

=
1.8
Giải hệ trên ta có nghiệm gần đúng trên [0,1] được cho dưới dạng bảng 1.1
1.5.2 Phương pháp Euler
Xét bài toán giá trị ban đầu sau đây:
y
1
= J - = f { x , y ) ■ (1.5.4)
y ' { x
ữ
) = y
ữ
, (1.5.5)

Giả sử hàm F(X,Y

) có đạo hàm riêng bậc M

liên tục trên
R = [ x
0
x
0
+ X ] X [ y
0
- r , y
0
+ r ], m e N , r , X > 0.
Lấy đạo hàm (1.5.4) theo X ta có Y"
(®) = F X {X, Y

) + F Y (X, Y

) Y',
X
y
X
y
X
y
0
0,2
0.8090791872
1.056342537

0.4
0,6
1.403681473
1.846738695
0,8
1
2.380612245
3
Bảng 1.1
Y'"

(*) = ĨXX

(*, y) + 2/** (z, Y) Y'

+ f y y {X, Y

) y
/2
+/„ (x, y) y",
Thay X =

x
0
vầ y = y
ữ
ta nhận được dãy
y ' ( ^ o ) , y
7 /
( ^ o ) J y'" ( ^ o ) , . . .

với X đủ gần x
ữ
chúng ta có thể tính được giá trị gần đúng của nghiệm của bài
toán (1.5.4), (1.5.5) theo công thức:
,(j )
™ y
U )
{ x
0
) ■
y (
x
) ~ E- ^o) •
j = i 3 -
Trong trường hợp X ở xa x
0
, chúng ta chia đoạn [xị-i,xị\ ,I

= l,n; khi đó giả sử tính
được Y

(Xị) ~ Ui, ta đặt yị^ = yVÌ (Xị).
Sử dụng công thức
™ y . U )
y ( x ) n z
i
( x ) = ^ 2 ^ ị - ( x - x
i
ý , (1.5.6)
j =1 ^

a: G [a^a^+i], thì y
i+
i sẽ được tính bởi Y

I +

I = ZỊ(X

I +

1

).
Chọn M =

1 thì (1.5.6) sẽ là
V i + I = V i + h f ( x
i t
y
t
) h = Xị
+
1
— = 0, ,n — 1.
X
Phương pháp số tính nghiệm gần đúng của (1.5.4), (1.5.5) theo công thức (1.5.7) gọi
là phương pháp Euler.
Bây giờ xét sai số của phương pháp Euler.
Ta có
h

y ( x + h) = y ( x ) + Ị y ' ( x + s ) d s . (1.5.8)
0
(1.5.7)
h
Nếu thay F Y' (X + S

) DS

= HY

1

(X

) + 0 (H

2
) thì
Y {X

+ /i) = Y (X) + HF (X, Y

(z)) + 0 (H

2
).
Đặt £ = X i, X + h = X
i +
1 thì \ ĩ j i
+

i — V i ị = 0 (/ỉ
2
)-
Vỉ DỤ

1.5.2. Áp dụng phương pháp Euler tìm nghiệm gần đúng của
phương trình:
Y' = ỊXY, Y{

0) = 1, X <E [0,1], H

= 0, 2.
Lời giải:
Ta kí hiệu: AYI

= HF(XỊ,YI).

Theo phương pháp Euler V i + 1 = V i + Ay i =
V i + h f ( x i , y i ).
Ta có: f ( x i , y i ) = ^ X i U i , h = x
i+1
- Xi,
Ayi = h f { x
i ì
y
i
) = ( x
i + 1
- X i ) ^ X ị y ị .
Ta có bảng sau:

X ^ s s V
Dựa vào nghiệm chính xác Y

= e« ta thấy sai số của giá trị Y

5

bằng £\

= 1,4571 -
1,2840 = 0,1731.
1.5.3 Phương pháp Euler cải biên
i
X I
VI Ỉ{X

I

,Y

I

) = ỊXIVI = HF{XI,YI) Nghiệm đúng
0 0 1,0000 0 0 1,0000
1 0,2 1,2000 0,1200 0,0240 1,0100
2 0,4 1,224 0,2448 0,0489 1,0408
3 0,6 1,2729 0,3818 0,0763 1,0942
4 0,8 1,3492 0,5396 0,1079 1,1735
5 1,0 1,4571 0,7285 0,1457 1,2840
Bảng 1.2