Luận văn bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư
PHẠM HÀ NỘI 2
• • • •
PHẠM THỊ THUẦN
BÀI TOÁN TựA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
• • •
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn,
người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,
động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6
năm 
T á c
g i ả
Phạm Thị
Thuần
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng của GS. TSKH. Nguyễn
Xuân Tấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: ” B À I
T O Á N T Ự A C Â N B Ằ N G T Ổ N G Q U Á T L O Ạ I
I I ” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác
giả.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 
Tác giả
Phạm Thị
Thuần
Mục lục
Mỏ đầu
1 Kiến thức cớ bản
1.1 Các không gian thường dùng .
1.1.1 Khống gian Metric . . .
1.1.2 Không gian định chuấn
1.1.3 Khống gian Hilbert
1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff
1.2 Nón và ánh xa đa tri
1.2.1 Nón
1.2.2 Ánh xa đa tri
1.3 Các tính chất của ánh xa đa tri
1.3.1 Tính liên tuc và tính liên tuc theo nón
1.3.2 Tính lồi và tưa lồi theo nón
1.4 Môt số đinh lý về điểm bất đông của ánh xa đa tri
1.4.1 Ro đề KKM
1.4.2 Định lý Kỵ Fan . . . .
1.4.3 Định lý Browder-Ky Fan
2 Bài toán tựa cân bằng tống quát loại II
2.1 Phát biếu bài toán
2.2 Sự tồn tại nghiệm
2.3 Sư tồn tai nghiêm của môt số bài toán liên quan
2.3.1 Bài toán tựa cân bằng vô hướng loại II
2.3.2 Bao hàm thức tựa biến phân loại II

2.3.3 Bài toán tựa quan hệ biến phân loại II
2.4 Bài toán tưa cân bằng Pareto và tưa cân bằng yếu
2.5 Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectc

tống quát
Kết luận
Tài liệu tham khảo
2.6 Sự ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng
49
49
5
2
5
4
6
7
70
76
77
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu tương đối mới trong Toán học, mặc dù
từ những năm 30 của thế kỷ XX các nhà toán học đã thấy cần phải nghiên cứu ánh
xạ đa trị, tức ánh xạ nhận giá trị là các tập con của một tập hợp nào đó. Sự ra đời
của tạp chí quốc tế " S E T - V A L U E D A N A L Y S I S " vào năm 1993 là
một mốc lớn trong quá trình phát triển của giải tích đa trị. Vai trò của giải tích đa
trị trong Toán học và các ứng dụng của toán học đã được công nhận rộng rãi.
Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân, phương
trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phương trình suy rộng, lý thuyết
tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý, và toán kinh tế.

Có thể nói những ứng dụng mà giải tích đa trị đem lại là vô cùng to lớn, đặc biệt
trong các bài toán kinh tế.
Bài toán điểm cân bằng được hình thành từ khái niệm hữu hiệu mà Edge- worth và
Pareto đề xướng từ cuối thế kỷ 19. Sau đó nó được nhiều nhà toán học như Debreu,
Nash, sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế mà trong những năm cuối của
thế kỷ 20, nhiều nhà kinh tế thế giới quan tâm khai thác. Để chứng minh sự tồn tại
điểm cân bằng của mô hình kinh tế, đầu tiên người ta thường sử dụng các định lý
điểm bất động kiểu Brouwer, KakuTani, Ky Fan, Browder, Sau này, người ta đã
chỉ ra rằng Định lý điểm bất động Browder tương đương với Định lý về sự tương
giao
hữu hạn của các tập compắc, Định lý không tương thích của Hoàng Tụy và Định lý
KKM. Như vậy, người ta đã tìm ra được nhiều phương pháp khác nhau để chứng
minh sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng. Năm 1972 Ky Fan và năm 1978
Browder-Minty đã phát biểu bài toán điểm cân bằng một cách tổng quát và chứng
6
minh sự tồn tại nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau. Kết quả của Ky Fan
nặng về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Browder-Minty nặng về tính đơn
điệu của hàm số. Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng tổng
quát và tìm cách liên kết các bài toán của Ky Fan và Browder-Minty với nhau
thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm X G K sao
cho / (X , X ) > 0 với mọi X E K , trong đó K là tập cho trước của không
gian, / : K X K — ¥ R là hàm số thực thỏa mãn / (X , X ) > 0. Các tác giả đã
chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán này dựa trên Nguyên lý KKM.
Đầu tiên người ta nghiên cứu những vấn đề liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không
gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự đưa ra bởi
nón orthant dương. Sau đó mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón bất
kỳ. Khái niệm ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển
của Toán học và các lĩnh vực khác. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả
thu được từ đơn trị sang đa trị. Nếu chúng ta cho thêm các ánh xạ ràng buộc, thì
bài toán cân bằng sẽ trở thành tựa cân bằng. Bài toán tựa cân bằng được nhiều nhà

nghiên cứu trong những năm gần đây. Với những lý do kể trên tôi đã chọn đề tài:
" B À I T O Á N T Ự A C Â N B Ằ N G T Ổ N G Q U Á T L O Ạ I
I I " làm luận văn Thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Để tìm nghiệm của các bài toán trước hết người ta phải biết bài toán có nghiệm
hay không, sau đó mới tìm các phương pháp tiếp cận nghiệm. Ví dụ, xét các bài
toán tối ưu, thông thường người ta đưa ra các điều kiện tổng quát cho việc tồn tại
nghiệm, sau đó mới tìm các thuật toán để giải. Chính vì vậy, việc xét sự tồn tại
nghiệm của các bài toán là một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu các
bài toán. Mục đích của luận văn là trình bày mô hình, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm
và sự ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.
7
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu bài toán dựa trên những yêu cầu của thực tế khách quan. Sau đó tìm
các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm và nghiên cứu sự ổn định của các tập
nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II: Sự tồn tại nghiệm, sự ổn định
của các tập nghiệm và một số ứng dụng của nó. Sau đó, trình bày các mối liên hệ
giữa bài toán này với một số bài toán khác trong lý thuyết tối ưu đa trị.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các định lý điểm bất động của Ky Fan,
Fan-Browder và Định lý KKM trong việc nghiên cứu các bài toán tựa cân bằng.
6. Giả thuyết khoa học
Luận văn là cái nhìn cụ thể về một lớp bài toán trong lý
thuyết tối ưu. Trình bày chi tiết sự tồn tại nghiệm, sự
ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng
quát loại II cũng như những ứng dụng trong các bài toán
liên quan.
Chương 1 Kiến thức

cơ bản
Chương này trình bày một số không gian thường dùng như: Không gian metric,
không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tôpô tuyến tính lồi địa
phương Hausdorff, các khái niệm về nón, ánh xạ đa trị, các tính chất của ánh xạ đa
trị để phục vụ chứng minh ở chương sau. Ngoài ra, chương này còn trình bày các
8
định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị, đó là các định lý cơ bản để chứng minh sự
tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát. Các khái niệm này ta có thể
tìm thấy trong cuốn của Nguyễn Phụ Hy [1], Nguyễn Xuân Tấn [3]. Các khái niệm
khác được nhắc đến đã có trích dẫn kèm theo.
1.1 Các không gian thường dùng
1.1.1 Không gian Metric
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X  ^ 0 cùng với một ánh
xạ D từ tích Descartes X X X vào tập hợp các số thực M thỏa mãn các tiên đề sau
đây:
1) (Vx, Y e X ) D ( X , Y ) > 0, D ( X , Y ) = 0 •<=>■ X = Y , (tiên đề đồng nhất);
2) (Vx, Y € X ) D ( X , Y ) = D ( Y , X ), (tiên đề đối xứng);
3) (Vz, Y , Z € X) D ( X , Y ) < D ( X , Z ) + D ( Z , Y ) , (tiên đề tam giác).
Ánh xạ D gọi là M E T R I C trên X , số D ( X , Y ) gọi là khoảng cách giữa hai
phần
tử X và Y . Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là H Ệ
T I Ê N Đ Ề M E T R I C .
Không gian metric được ký hiệu là M = ( X
:
D ) .
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = (X, D ) . Một tập con bất
kỳ x
ữ
^ 0 của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian
metric.

Không gian metric Mo = ( X Q
:
( Ỉ ) gọi là không gian metric con của
không gian metric đã cho.
7 1 — 1
Tính chất. 1) ( \ F X J ẽl,j = 1, 2 , 7 7 , , 77, G N * ) D ( X I , X
N
) <
J 2 D ( X J , X J
+
 ),
3 =1
2) (Vx,y,u,v G X) \d (x,y) — d (u,v)\ < d (x,u) + d (y,v),
( b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t ứ g i á c )
9
3. (Vx, Y , U G X ) ID (a;, Y ) — D ( Y , U ) \ < D (X , Ù ), (bất đẳng thức
tam giác).
Ví dụ 1.1.1. Với hai phần tử bất kỳ X
:
Y ẽ K ta đặt
d(x,y) = \x-y\. (1.1)
Dựa vào các tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập số thực M dễ dàng
kiểm tra hệ thức (1.1) xác định một metric trên R. Không gian tương ứng
được ký hiệu là M
1
. Ta sẽ gọi metric (1.1) là metric tự nhiên trên R
1
.
Ví dụ 1.1.2. Ta ký hiệu CỊ
A

6] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định
và liên tục trên đoạn [ A , B ] , (—oo < A < B < +oo). Với hai hàm số
bất kỳ X ( T ) , Y ( T ) € CỊ A B ] ta đặt
D ( X , Y ) = max IX ( T ) — Y ( T )I. (1.2)
a<t<b
Vì các hàm số X ( T ) , Y ( T ) liên tục trên đoạn [ A , B ] nên hàm số
IX ( T ) — Y ( T )I cũng liên tục trên đoạn [a, 6] . Do đó hàm số này đạt
giá trị lớn nhất trên
đoạn [ A , B ] . Suy ra hệ thức (1.2) xác định một ánh xạ từ tích Descartes
^[ , ] X C Ị A , B ] vào tập số thực R.
Dê dàng thấy ánh xạ (1.2) thỏa mãn các tiên đề về metric. Không gian
metric tương ứng vẫn ký hiệu là C Ị A 6].
Định nghĩa 1.1.3. (Hình cầu) Cho không gian metric M = (X, D ), A G X , số r >
0. Ta gọi:
• T ậ p S(a,r) = {x £ X : d(x,a) < r } l à hình cầu mở t â m a,
b á n k í n h r ;
• Tập 5"(a,r) = { X € X : D ( X , A ) < r} là H Ì N H C Ầ U Đ Ó N G tâm
A , bán kính r.
1
0
Định nghĩa 1.1.4. (lân cận) Cho không gian metric M = ( X , D ) . Ta gọi là L Â N
C Ậ N của điểm X G X trong không gian M mọi hình cầu tâm X , bán kính r >
0 nào đấy.
Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric M = (X, D ), tập A C . X , điểm
B £ X .
• Điểm B gọi là Đ I Ể M T R O N G của tập A , nếu tồn tại một lân cận
của điểm B bao hàm trong tập A .
• Điểm B gọi là Đ I Ể M N G O À I của tập A , nếu tồn tại một lân cận của
điểm B không chứa điểm nào của tập A .
• Điểm B gọi là Đ I Ể M B I Ê N của tập A , nếu mọi lân cận của điểm B

đều chứa những điểm thuộc tập A , và những điểm không thuộc tập A .
Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian metric M = ( X , D ) và tập A C X .
• Tập A gọi là T Ậ P M Ở trong không gian M , nếu mọi điểm thuộc Ả
đều là điểm trong của A , hay nói cách khác, nếu điểm X £ A , thì tồn
tại một lân cận của X bao hàm trong A .
• Tập A gọi là T Ậ P Đ Ó N G trong không gian M , nếu mọi điểm không
thuộc A đều là điểm ngoài của A , hay nói cách khác, nếu điểm X Ệ
A , thì tồn tại một lân cận của X không chứa điểm nào thuộc tập A .
Đ ị n h l ý 1 . 1 . 1 . Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở
là tập mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng.
1
1
Định lý 1.1.2. Cho không gian metric M = (X, đ), tập A c X, và A  ^ 0. Tập A
đóng trong không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm (x
n
) c A h ộ i t ụ
đ ế n đ i ể m X t h ì X e A .
H ệ q u ả 1 . 1 . 1 . Trong không gian metric bất kỳ M = (X
:
d), phần
bù của tập mở là tập đóng, phần bù của tập đóng là tập mở. Các tập X,
0 vừa đóng vừa mở.
Định nghĩa 1.1.7. Cho không gian metric M = [ X , D ) , và tập A c X . Hợp
của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là P H Ầ N T R O N G của A , ký hiệu
o
là A , hay I N T A . Giao của tất cả các tập đóng chứa A là B A O Đ Ó N G
của A và ký hiệu là Ã hay [Ạ|.
Đ ị n h l ý 1 . 1 . 3 . Cho không gian metric M = (X,d) và tập A c
X. Phần trong A của tập A là tập tất cả các điểm trong của A, còn bao
đóng Ẫ của tập A là hợp của tập Ả và tất cả các điểm giới hạn của tập

Ả.
H ệ q u ả 1 . 1 . 2 . Trong không gian metric bất kỳ M = ( X , d)
phần trong
của một tập là tập mở, bao đóng của một tập là tập đóng.
Đ ị n h l ý 1 . 1 . 4 . Trong không gian metric bất kỳ M = (X
:
d),
T tất cả
các tập mở trong M lập thành một tôpô trên X.
C H Ứ N G M I N H . Theo hệ quả (Ịl.l.lỊ) thì X, 0 G r.
Giả sử họ { G
A
)
A € L
c T, / là tập chỉ số có lực lượng nào đấy. Đặt G = u G
A
.
Lấy phần tử bất kỳ X ẽ G thì X ẽ G
ao
,   là chỉ số nào đó thuộc
aei
I. Vì G
Ữ Ữ
là tập mở, nên tồn tại lân cận S ( X , R ) c G
Ữ Ữ
=>- S ( X , R )
c G . Do đó G là tập mở.
Giả sử G Ị , Ơ ,G
M
là họ hữu hạn các phần tử tùy ý thuộc r. Đặt

1
2
E — n G J . Lấy một phần tử bất kỳ Y G E thì Y G G J , V J — 1,
2 , 7 7 1 .
j=í
Vì với mỗi J do G J là tập mở, nên tồn tại lân cận S J = S ( Y , R J ) . Đặt r =
min {ri, r
2
,r
m
} > 0, thì lân cận S(y,r) c n Sj c n Gj = E.
J =1 3 =1
Do đó E là tập mở.
Vì vậy T là một tôpô trên X .
Định nghĩa 1.1.8. Họ r tất cả các tập mở trong không gian metric M — (X, D )
gọi là T Ô P Ô S I N H B Ở I M E T R I C D .
H ệ q u ả 1 . 1 . 3 . Trong không gian metric bất kỳ, giao của một họ
tùy ý các
tập đóng là tập đóng, hợp của một họ hữuhạn tùy ý các tập đóng là tập
đóng.
Đ ị n h l ý 1 . 1 . 5 . Trong không gian metric bất kỳ M — (Xid), tôpô
T sinh bởi metric d là tôpô có cơ sở lân cận đếm được.
Định nghĩa 1.1.9. Trong không gian metric M — ( X I D ) . Một dãy {x
n
} là
D Ã Y C Ơ B Ả N nếu lim D (X
N
, X
m
) = 0 tức là

n,m
(Ve > 0) (3N) (Vn > N) (Vm > N) d {x
n
, x
m
) < £.
Một dãy hội tụ bao giờ cũng là cơ bản, vì nếu X
N
— > X thì theo bất đẳng thức
tam giác ta có D (X
N
, X
m
) < D (X
n
, X ) + D ( X , X
M
) —»• 0 (N , M
— > oo). Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không
nhất thiết hội tụ. Chẳng hạn nếu coi khoảng (0,1) là một không gian metric thì dãy
{-}, mặc dù cơ bản, nhưng không hội tụ trong không gian ấy.
Định nghĩa 1.1.10. • Không gian metric M — ( X , D ) trong đó mọi
1
3
dãy cơ bản đều hội tụ (tới một phần tử của X ) gọi là một K H Ô N G
G I A N Đ Ủ .
• Trái lại, trong không gian metric M = (X , D ) mà mọi dãy cơ bản không hội
tụ thì được gọi là K H Ô N G G I A N M E T R I C K H Ô N G Đ Ầ Y
Đ Ủ .
Cho hai không gian metric Ml = ( X , D I ), M

2
= ( Y
:
D
2
) , ánh xạ / từ
không gian M  đến không gian M  .
Định nghĩa 1.1.11. Ánh xạ / gọi là L I Ê N T Ụ C tại điểm X O £ X , nếu (Ve
> 0) (3Ố > 0) (Vx e X : D Ị (X , X
ữ
) < Ô ) D
2
(F ( X ), F ( X  )) < £ . Hay
nói cách khác: Ánh xạ / gọi là liên tục tại điểm X Q € X , nếu với lân cận cho
trước tùy ý U Y
0
= S ( Y O , E ) c Y của điểm Y
Ữ
= F ( X  ) trong M  ,
ắt tìm được lân cận V
X O
= S ( X O , Ỏ ) c X của điểm X Q trong M Ị sao cho
F { V
X O
) c U Y
Ữ
.
Định nghĩa 1.1.12. Ánh xạ / gọi là L I Ê N T Ụ C trên tập A c X , nếu ánh xạ /
liên tục tại mọi điểm X G A . Khi Ả = X thì ánh xạ / gọi là liên tục.
Đ ị n h l ý 1 . 1 . 6 . Cho f là ánh xạ đi từ không gian metric X vào

không gian metric Y, ba điều sau tương đương:
(i) f liên tục;
(iỉ) Nghịch ảnh của mọi tập đóng (trong Y) đều là tập đóng (trong X);
(Ui) Nghịch ảnh của mọi tập mở (trong Y) đều là tập mở (trong X).
Định nghĩa 1.1.13. A được gọi là Á N H X Ạ L I P S C H I T Z nếu 3 K >
0 : D ( A ( X ) , A ( Y )) < K D ( X , Y )
• K = 1: / được gọi là ánh xạ không giãn.
• 0 < K < 1: / được gọi là ánh xạ co.
Định lý 1.1.7 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). M Ọ I Á N H X Ạ C O Ả
Á N H
1
4
xạ không gian Metric đầy M = ( X , d) vào chính nó đều có
điểm bất động
X duy nhất, nghĩa là X e X thỏa mãn hệ thức Ax = X.
Định nghĩa 1.1.14. Cho không gian metric M = (X, d). Tập K c X gọi là T Ậ P
C O M P Ắ C trong không gian M , nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều
chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K .
Định nghĩa 1.1.15. Cho không gian metric M = (X, D ) và tập A c X .
Họ { G
A
)
A € L
gồm các tập mở trong M Ự là tập chỉ số có lực lượng nào
đấy) gọi là một P H Ủ M Ở của A , nếu u G
A
D A . Khi tập I hữu hạn, thì
aei
họ (G
a

)
eJ
gọi là P H Ủ M Ở H Ữ U H Ạ N của A .
Đ ị n h l ý 1 . 1 . 8 ( T i ê u c h u ẩ n c o m p a c t H e i n e
B o r e l ) . Tập K c X là tập compắc trong không gian metric M =
( X , d) khi và chỉ khi mọi phủ mở ( ỡ a )
a e
/ của tập K đều chứa một
phủ con hữu hạn của K.
1.1.2 Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.16. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định
chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P ( P = № . hoặc P = C)
cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực K, kí hiệu là ll-ll và đọc là chuẩn, thỏa
mãn các tiên đề sau đây:
1) (Vx G X ) ||a;|| > 0, ||x|| = 0 X = 9 (kí hiệu phần tử không là9 );
2) (Vz G X) (Va G P ) IICKÍCỊỊ = |o:I ||zỊỊ;
3) (Vz, Y G X ) ||z + Y \ \ < ||z|| + IHI .
Số \ \ X \ \ gọi là chuẩn của véctơX . Ta cũng kíhiệu không gian định chuẩn
là X . Các tiên đề trên gọi là hệ tiên đề chuẩn.
1
5
Đ ị n h l ý 1 . 1 . 9 . Cho không gian định chuẩn X. Dối với hai véctơ
bất kì X, y G X ta đặt
d(x,y) = \\x - y\\ . ( 1 . 3 )
Khi đó d là một metric trên X.
Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ tiên đề
tuyến tính.
Nhờ định lý (1.1.9), mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không
gian metric với metric (1.3). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong
không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.1.17. Dãy điểm (X
n
) trong không gian định chuẩn X gọi là D Ã Y C Ơ
B ẢN , nếu
l i m \\x
n
-x
m
\\ = 0.
m,,n—¥oo
Định nghĩa 1.1.18. Không gian định chuẩn X gọi là K H Ô N G G I A N
B A N A C H , nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.19. Ánh xạ A từ không gian định chuẩn X vào không gian định
chuẩn Y được gọi là tuyến tính nếu
• A(x + y) = A(x) + A(y)-
• A (AX) = AA (X).
A được gọi là Á N H X Ạ G I Ớ I N Ộ I nếu 3 K > 0,Vz ẽ X : ỊỊ^4(x)ỊỊ <
K ỊỊícỊỊ.
Đ ị n h l ý 1 . 1 . 1 0 . Ánh xạ A : X —)■ Y tuyến tính, liên tục khi và
chỉ khi A G I Ớ I N Ộ I .
1
6
C H Ứ N G M I N H . Giả sử A giới nội. Lấy {;c
n
} c X , X
N
— > X tương
đương với X
N
— X —> 0.

Ta có Ị|A(a:
n
) - A ( X ) \ \ = \ \ A ( X
N
- rc)II < K \ \ X
N
- rcỊỊ ->• 0.
Suy ra D ( A ( X
N
) , A ( X ) ) = ||A(x
n
) — A(a;)|| —>• 0 suy ra A ( X
n
) —
> A ( X )
do
đó A liên tục.
Ngược lại, giả sử Ả liên tục nhưng Ả không giới nội.
Tức Vra > 0, 3 X
N
e X : ỊỊA(a^
m
)|| > M ||x
m
||. Ta đặt Y
M
=II ■ Ta được
    II
=
Jfrií = ^ 0,ra ->• oo. Suy ra { Y

M
} ->• 0. Ta có \ \ A ( Y
M
) \ \
=
^r]f > > 1- Suy ra \ \ A { Y
M
) \ \ ^ 0A ( Y
m
) 0 = ,4(0) (mâu
thuẫn)
Vậy A giới nội.
Ta có điều phải chứng minh.
1.1.3 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.20. (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên trường P
( P là trường số thực 1R hoặc trường số phức c ). Ta gọi là tích vô hướng trên
không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X X vào trường P , kí hiệu (.,.),
thỏa mãn tiên đề:
1) {Vx,y e X ) ( y,x) = (x,y);
2) (Vz, Y , Z £ X ) ( X + Y , Z ) = (z, Z ) + (Y , Z );
3) (Vx, Y e X) (Va e P ) (A X , Y ) = A ( X , Y );
4)
5)
6) Công thức ( 1 . 4 ) xác định một chuẩn trên không gian X.
1
7
7) Định nghĩa 1.1.21. Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích
vô hướng gọi là K H Ô N G G I A N T I Ề N H I L B E R T .
8) Định nghĩa 1.1.22. Ta gọi một tập H ^ 0 gồm những phần tử X , Y ,
Z , . . . . nào đấy là K H Ô N G G I A N H I L B E R T , nếu tập H thỏa

mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường P ;
2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.);
3) H là không gian Banach với chuẩn II^ỊỊ = Y / (X , X ) , X € H .
9) Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H .
10) Định nghĩa 1.1.23. (Trực giao) Cho không gian Hilbert H . Hai phần tử
X ,Y E H gọi là T R Ự C G I A O , ký hiệu X -L Y , nếu (X, Y ) = 0.
11) Định nghĩa 1.1.24. Cho không gian Hilbert H và tập con A c H , A ^ 0.
Phần tử X G H gọi là trực giao với tập A , nếu X - L Y (Vy E Ả ) và kí hiệu
X - L A .
12) Đ ị n h l ý 1 . 1 . 1 2 ( Đ ị n h l ý h ì n h c h i ế u l ê n
k h ô n g g i a n c o n ) . Cho không gian Hilbert H và H
ữ
là không
gian con của H. Khi đó phần tử bất kì X € H B I Ể U D I Ễ N M Ộ T C Á C H
D U Y N H Ấ T D Ư Ớ I D Ạ N G
13) X = Y + Z , Y € H
0
, Z G H Q .
(1.6)
14) Phần tử y trong biểu diễn ( 1 . 6 ) gọi là hình chiếu của phần tử X
lên không gian con H
ữ
.
1
8
15) Định nghĩa 1.1.25. (Hệ trực chuẩn) Cho không gian Hilbert H . Một tập
(còn gọi là hệ thống) gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử (e
n

)
>1
C H gọi là một
hệ trực chuẩn, nếu
16) (
e
ij
e
j) ổy
(1-7)
17) Ô Ị J là kí hiệu Kroneckes, Ô Ị J = 0 với I  ^ J , Ỗ Ị J = 1 với I = J ,
( I , J = 1, 2, ).
18) Nhận xét: Không gian định chuẩn và không gian Hilbert có hai cấu trúc tôpô
và đại số.
19) Về cấu trúc tôpô: Họ lân cận của 0, L I — { U
A
}
A Ẽ
J , U
A
là lân
cận của 0.
20) X G X , { X + U
a
}
E I
là họ lân cận của X .
21) Định nghĩa 1.1.26. Mọi họ các lân cận của điểm 0 (Kí hiệu: T I ) được gọi là
họ cơ sở của lân cận nếu:
1) U bất kỳ là lân cận của điểm 0 thì tồn tại U

Ữ
c 1 4 sao choU
Ữ
c
U ;
2) Với U Ị , Ư 2 € 1 Ẩ thì Ư Ị n Ư 2 € Ĩ Ầ \
3) Với U ị ẽ Ỉ A , i = 1 , o o t h ì u U ị ẽ Ỉ A \
22) I =1
4) Với W Ễ w, tồn tại U Q E T Ỉ sao cho U Ữ + Ư Q c W .
1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phươngHausdorff
23) Định nghĩa 1.1.27. (Không gian tôpô) Cho tập 1 / 0 . Một họ T C V ( X )
các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Uer;
(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc r thì thuộc r;
(iii)Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc T thì thuộc T.
24) Khi đó (X , T ) được gọi là một không gian tôpô.
1
9
25) Định nghĩa 1.1.28. (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thực X .
Một tôpô T trên X được gọi là T Ư Ơ N G T H Í C H V Ớ I C Ấ U T R Ú C
Đ Ạ I S Ố của X nếu các ánh xạ + và . liên tục, với tôpô r trên X , tôpô thông
thường trên M, còn X X X và M X X được trang bị bởi tôpô tích. Tức là:
(i) Với mọi X
:
Y ẽ X và mọi lân cận W của X + Y , tồn tại các lân cận U
của X , V của Y sao cho U + V c W .
(ii) Với mọi À € M, X ẽ X và với mọi lân cận W của X X , tồn tại £ > 0 và
lân cận V của X sao cho Ị I V c W với mọi F I & (A — £ , X +
E ) .
26) Khi đó, r được gọi là T Ô P Ô T U Y Ế N T Í N H trên X và X được

gọi là một K H Ô N G G I A N V E C T Ơ TÔ P Ô hay K H ÔN G G I A N TÔ P Ô TU Y Ế N
T ÍN H .
27) Định nghĩa 1.1.29. (Tập lồi) Tập X с Ш
П
được gọi là L Ồ I nếu
28) Xx + (1 — X)y E X \/x, у € X , V A e [ 0 , 1 ] .
29) Định nghĩa 1.1.30. (Không gian tôpô lồi địa phương) Một không gian vectơ
tôpô X gọi là K H Ô N G G I A N L Ồ I Đ Ị A P H Ư Ơ N G (và tôpô của
nó gọi là T Ô P Ô L Ồ I Đ Ị A P H Ư Ơ N G ) nếu trong X C Ó một có sở
lân cận (của gốc) toàn tập lồi. Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên
trong không gian lồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi.
30) Ví dụ. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi
hình cầu đơn vị: Vo = { В (0; 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng là V = { E B
(0; 1) Ịe > 0} = { В (0; È ) \ E > 0}.
31) Định nghĩa 1.1.31. Cho không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện với mọi cặp
điểm khác nhau X I , X
2
ẽ X đều có hai lân cận V I , V  của X ! , X
2
sao
cho Ví п V = 0 (có nghĩa là, hai điểm khác nhau bao giờ cũng có thể tách được
bởi hai lân cận rời nhau). Khi đó, không gian tôpô X được gọi là K H Ô N G
2
0
G I A N T Á C H hay K H Ô N G G I A N H A U S D O R F F , và tôpô của
nó gọi là tôpô tách hay tôpô Hausdorff.
32) Định nghĩa 1.1.32. Một không gian vectơ tôpô X mà có một cơ sở lân cận T
gồm toàn tập lồi, thì X được gọi là K H Ô N G G I A N T Ô P Ô T U Y Ế N
T Í N H L Ồ I Đ Ị A P H Ư Ơ N G H A U S D O R F F .
1.2 Nón và ánh xạ đa trị

1.2.1 Nón
33) Trước hết ta nhắc lại định nghĩa nón trong không gian tuyến tính. Từ khái
niệm ấy ta đưa ra các định nghĩa về điểm hữu hiệu của một tập hợp, tính liên tục,
tính lồi và tính Lipschitz của ánh xạ theo nón, điểm tối ưu của bài toán tối ưu véctơ,
điểm cân bằng của bài toán cân bằng véctơ và nhiều bài toán khác nhau liên quan
đến hàm véctơ.
34) Định nghĩa 1.2.1. [3] Cho Y là không gian tuyến tính và С ç Y . Ta nói
rằng С là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu: T C ẽ С với mọi с € С , T > 0. Nón
С được gọi là nón lồi nếu С là tập lồi. Trong trường hợp Y là không gian tôpô
tuyến tính và С là nón trong Y ta kí hiệu: c/C, intơ, C O N V ( C ) là bao đóng,
phần trong và bao lồi của nón С . Nón С gọi là nón đóng nếu С là tập đóng. Kí
hiệu: 1 ( C ) = С n (— С ), ta thấy rằng: nếu С là nón lồi, thì 1 ( C ) là
không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong С và nó được gọi là phần trong
tuyến tính của nón С . Ta có các khái niệm sau:
1) Nón С được gọi là nón nhọn nếu 1 ( C ) = {0}.
2) Nón С được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.
3) Nón С được gọi là nón đúng nếu C L C + C \ L ( C ) Ç C .
35) Dễ dàng thấy rằng, nếu с là nón đóng, thì с là nón đúng.
36) Với nón С cho trước ta định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần trên Y như
sau:
2
1
37) x , y G Y , x > z С У
n
ế u X — у £ С .
38) Nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thể viết đơn giản X У У .
39) Cho x , y £ Y ta kí hiệu X y y , nếu X — y £ C \ Ỉ ( C ) và a; > Ị/, nếu X —
y € intơ.
40) Ta thấy quan hệ thứ tự trên có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Nếu С là nón lồi, thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính nên nó là quan hệ thứ tự

từng phần trên Y . Hơn nữa, nếu С là nón nhọn thì quan hệ trên có tính phản đối
xứng, có nghĩa là nếu có X Y Y và У У X, thì X = Y .
41) Ví dụ 1) Tập {0} và cả không gian Y đều là nón trong Y . Ta gọi chúng là
những nón tầm thường.
42) 2) Cho Y = R
n
= { x = ( x i , X , x
n
) I X j G R,j = 1,n } . Khi đó
43) C = 1R” = { X = ( X Ị , X
2
, € M
n
| X J
> 0, J = 1, ,n}
44) là nón lồi, đóng, nhọn. Cho X = ( x ị , x
2
,
, y = (

/

,

/

,y
n
) thuộc
45) M

n
thì X y y nếu X j y Ị j j với mọi j = 1,
Nón này được gọi là nón
46) orthant dương trong R
n
.
47) Nếu lấy
48) c — { x — ( x i , x
2 ĩ
x
n
) G R
n
\xi > 0 }
( 1 . 8 )
49) thì C là nón lồi, đóng nhưng không nhọn. Vì, ta dễ dàng thấy
50) L ( C ) = { X = (0, X
2
, X
N
) E K
n
} Ỷ {0} •
(1-9)
51) Khái niệm hữu hiệu là khái niệm nền tảng của tối ưu đa mục tiêu. Người ta
đã đưa ra nhiều khái niệm khác nhau về điểm hữu hiệu như: Hữu hiệu lý tưởng,
2
2
Pareto, thực sự, yếu, Trước hết ta nhắc lại các khái niệm ấy qua các định nghĩa
sau.

52) Định nghĩa 1.2.2. [3] Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được
sinh bởi nón lồi C và Ả là tập con khác rỗng của Y . Ta nói rằng
i) Điểm X G A là ĐIỂM HỮU HIỆU LÝ TƯỞNG của tập A đối với nón C nếu Y
— X E C với mọi Y £ A.
53) Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được ký hiệu là
I M I N ( A \ C ) hoặc I M Ỉ N A .
ii) Điểm X ẽ A là Đ I Ể M H Ữ U H I Ệ U P A R E T O (cực tiểu
Pareto) của A đối với nón C , nếu không tồn tại Y E A để X — Y E
C \ Ỉ ( C ) .
54)Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C được ký hiệu là
P M I N ( A Ị C ) hoặc đơn giản hơn là M I N ( A Ị C ) hoặc M Ỉ N A .
iii) Điểm X ẽ A là đ i ể m h ữ u h i ệ u y ế u (khi intơ 7-
0 vàc ^ y ) của A
55) đối với nón C , nếu X G M Ỉ N ( A \ {0} u intơ). Tức là X là điểm hữu
hiệu theo thứ tự sinh sinh bởi nón CO = {0} и intơ.
56) Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón С được kí hiệu là
W M I N ( A Ị C ) hoặc W M I N A .
iv) Điểm X G A là Đ I Ể M H ỮU H I Ệ U T H Ự C S Ự của A đối với nón С nếu tồn
tại nón lồi С khác Y và chứa C \ L ( C ) trong phần trong của nó để X
e P M I N .
57) Tập các điểm hữu hiệu thực sự của Ả đối với nón С được ký hiệu là Pr
M I N { A \ C ) hoặc Pr M I N A .
58) Khái niệm các điểm hữu hiệu theo nghĩa cực đại cũng được định nghĩa
một cách đối ngẫu và tập hợp các điểm ấy được kí hiệu là I M A X ,
P R M A X , M A X , W M A X .
2
3
59) Từ các định nghĩa trên ta có được
60)а.) X £ Min A k h i v à c h ỉ k h i A c \ { x
— C ) < z X + Ỉ { C ) . b ) X E w Min

A

k h i
v à c h ỉ k h i А

П ịx

— i n t ơ ) = 0 . c )
IMinA Ç PrMinA ç Min A ç WMinA.
1.2.2 Ánh xạ đa trị
61) Định nghĩa 1.2.3. [5] Cho X , Y là hai tập hợp bất kỳ. Cho F : X
— Ï 2
Y
là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y . Ta nói
F là Á N H X Ạ Đ A T RỊ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y . Ta nói
F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Nếu với mỗi X G X tập F ( X ) chỉ gồm
đúng một phần tử của Y , thì ta nói F ( X ) là Á N H X Ạ Đ Ơ N T R Ị
từ X vào Y . Kí hiệu quen thuộc F : X — > Y .
62)Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 2 . 4 . [ 5 ] Đồ thị gphF, miền hữu hiệu dornF
v à miền ảnh
63) R G E F của ánh xạ đa trị F : X —»■ 2
y
tương ứng được
xácđịnh bằng các
64) công thức
65) gphF = { ( x , y ) e X x Y : y e F ( x ) } , domF = { x Ç : X : F { x )
Ỷ 0} ,
66) và
67) rgeF = {y € Y : 3x £ X s a o c h o y £ F ( x ) } .

68) Á N H X Ạ
N G Ư Ợ C F ~
L
: Y —> 2
Х
của ánh xạ đa trị F : X —> 2
Y
được xác
69) định bởi công thức
70) F - 4 y ) = { x < E X : y e F { x ) } ( y e Y ) .
2
4
71) Định nghĩa 1.2.5. [5] Cho F : X — > 2
y
là ánh xạ đa trị, X và Y là các
không gian tôpô.
1. Nếu G P H F là tập đóng trong không gian tôpô tích X X Y , thì F được
72) gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng).
2. Nếu X và Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu G P H F là
tập
73) lồi trong
không gian tích X X Y , thì F được gọi là Á N H X Ạ Đ A
T R Ị L Ồ I .
3. Nếu F ( X ) là tập đóng với mọi X ẽ X , thì F được gọi là Á N H X Ạ
C Ó G I Á T R Ị Đ Ó N G .
4. Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F ( X ) là tập lồi với mọi X G X,
thì F được gọi là Á N H X Ạ C Ó G I Á T R Ị L Ồ I .
74) Các phép tính về
ánh xạ đa trị. Cho X, Y là các khônggian tôpô
75) tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. F I , F

2
: X —> 2
y
là các ánh xạ đa
trị. Ta có các phép tính sau:
1. (Fị u F
2
) (ж) = F i ( x ) u F
2
{X )\
2. (FI П F
2
) (ж) = FỊ(X) П F
2
(X )-,
3. (^)0*0 = ПЗД;
4. (Fl X F
2
) (X ) = Fl (ж) X F
2
{ X ) ;
5. (FAF
2
) (Ж) = ад\вд = {y G У|у G Fi(®),y ^ F
2
(z)};
6. (Fi + F
2
) (X ) = -F\(x) + F
2

( X ) \
2
5