Luận văn một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư
PHẠM HÀ NỘI 2
• • • •
NGUYỄN THỊ VÂN
MỘT số PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
• • •
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng
HÀ NỘI, 2014
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng. Sự
giúp đỡ, hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn
này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, và các thầy cô giáo dạy chuyên ngành
Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, người thân, bạn bè, đã giúp đỡ, động viên,
tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ, và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 10 tháng 1 năm 2015 Tác giả
Nguyễn Thị Vân
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả
khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam
đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 16 tháng 9 năm 2014 Tác giả
Nguyễn Thị Vân
LỜI CẢM ƠN

Mục lục
BẢNG KÝ HIỆU
Luận văn sử dụng những kí hiệu với nghĩa xác định trong bảng dưới đây:
c Tập số phức
c [A;
B]
Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a,b]
N Tập số tự nhiên
N* Tập số tự nhiên khác không
Q Tập số hữu tỷ
R Tập số thực
R

K
Không gian thực k chiều
z Tập số nguyên
0 Tập hợp rỗng
ll-ll Chuẩn
□ Kết thúc chứng minh.
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân phi tuyến là một lĩnh vực quan trọng trong các ngành
toán học cả về phương diện lý thuyết và mô hình ứng dụng. Có nhiều phương
pháp giải phương trình phi tuyến. Một trong những phương pháp được sử
dụng nhiều nhất là phương pháp lặp. Nên tôi đã chọn đề tài “Một số phương
pháp lặp để giải phương trình phi tuyến” với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về
phương pháp này.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến và
ứng dụng giải một số phương trình cụ thể trên máy tính.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải một số phương trình phi tuyến nhờ áp dụng phương
pháp lặp. Phân tích sự hội tụ của các phương pháp. Nêu các ứng dụng của các
phương pháp
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hệ thống một số phương pháp lặp: phương pháp Newton, phương pháp Euler,
phương pháp Runge-Kutta, phương pháp Kantorovich. ứng dụng giải số một
số phương trình trên máy tính.
5. Những đóng góp mới của đề tài
4
Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp lặp giải phương
trình phi tuyến. Nêu lên các ứng dụng của các phương pháp này vào giải một
số phương trình vi phân phi tuyến.
6. Phương pháp nghiên cứu
Vận dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, giải tích hàm, giải tích số và
lập trình máy tính.
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1. [2] Cho tập 1/0. Một ánh xạ d đi từ X X X vào M được gọi
là một metric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(ỉ ) d ( x, y ) > 0, d( x , y ) = 0 X = y .
(iỉ) d(x,y) = d(y,x),Vx,y e X (tính chất đối xứng).
(ỉỉi) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y),\/x, y,z £ X (bất đẳng thức tam giác).
Nếu d là metric trên X thì (X, d) là không gian metrỉc.
Nếu D

là metric trên X

thì nó cũng thỏa mãn tính chất sau
Id(x, y) — d(u, v)| < d(x, ù) + d(y, v).
Định nghĩa 1.2. [2] Dãy điểm {x
n
} trong không gian metric (X
:
d) được
gọi là hội tụ tới điểm X G X nếu lim d(x
n :
x) = 0.
71—>00
Kí hiệu lim x
n
= X hoặc x
n
—»• X khi n —>• oo.
n—>00
Định nghĩa 1.3. [2] Cho T là một ánh xạ từ tập X vào chính nó. Ánh xạ T
được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại x
0
G X, sao cho T(x
0
) = £()•
Định nghĩa 1.4. [2] Một dãy điểm {x
n
} trong không gian metric (x,d) được
gọi là dẫy cơ bản (hay dẫy Cauchy) nếu Ve > 0,3n{e) G N* : d(x
m
,x
n

) <
e,Vm,n > n(s)
Định nghĩa 1.5. [1] Không gian metric (X, d) được gọi là đầyđủ nếu mọi
6
dãy cơ bản trong X đều hội tụ đến một phần tứ của X.
Định lý 1.6. [1] Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là một
không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.7. [1] Ánh xạ T từ không gian metric (X,d) vàochínhnó
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số a e [0,1) sao cho:
d(Tx,Ty) < ad(x, y) vôi mọi x,y € X.
Định lý 1.8. [1] (Nguyên lý ánh xạ co Banach)
Cho(X, d) là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạcotrên
X. Khiđó tồn tại duy nhất u e X sao cho T(u) = u. Ngoài ra với mọi
X G X, ta có T
n
(x) —> u khi n —> oo.
CHỨNG MINH.

Lấy X £ X

tùy ý. Do T

là ánh xạ co nên
d(T(x),T
2
(x)) = d[T(x),T(T(i:))] < ad(x,T(i:)).
=* d{T
n
{x),T
n+ 1

{x)) < a
n
d(x, T(x)).
Khi đó với Vn,p > 0 ta có:
D{T

N

{X),T

N + P

{X))
< d{T
n
{x),T
n+ 1
{x)) + d{T
n+ 1
{x),T
n + 2
{x))
+ + d{T
n+ p
-
1
{x),T
n + p
{x)).
< (a

n
+ a
n + 1
+ + a
ĩl +p
~
1
)d(x
ì
T(x))
< (a" + a
n + 1
+ + a
n + p
~
l
+ a
n + p
+ .)d(x, T(x:))
a
n
_
= D(X,T(X

)) (do 0 < A

<

1).
1 — a

Do 0 < A

< 1 nên lim A

N

=

0, suy ra {T"(;c)} là một dãy Cauchy. Không
n—>00
gian (X, D

) là đầy đủ, nên tồn tại U

G X

sao cho lim T

N

(X

) = U.
rỉ—>00
d{T{u),u) < d{T{u),T
n
{x)) + d{T
n
{x),u)
< ad(T

n
~
1
(x), u) + d(T
n
(x), u) —> 0.
7
Vì vậy T(U

) = U

hay U

là điểm bất động của ánh xạ T.
Vậy với mỗi X

€ X

dãy {T

N

(X)}

tồn tại giới hạn và T

N

(X

) —> U

khi N —>

oo. TÍNH
DUY NHẤT:

Giả sử T

có hai điểm bất động X

0

,Y

0

-,T(X

0
) = X

0

,T(Y

ữ
) = Y

0

.

Lúc đó
D(X

0

,Y

0
) = D(T(X

0

),T(Y

0

)) < AD{X

0

,Y

0
) < D{X

0

,Y

0

),

vô lý.
Vậy x
0
= y
0
. □
1.2. Phương trình vi phân thường
1.2.1. Khái niệm
Phương trình vi phân là phương trình có dạng
F{x,y,y
r
,y
/r
, ,y
{n )
) = 0 (1.1)
trong đó Y = Y(X

) là ẩn hàm cần tìm, và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm
(đến cấp nào đó) của ẩn.
Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến (xuất hiện các đạo hàm
riêng) thì phương trình vi phân còn được gọi là phương trình đạo hàm riêng. Để
phân biệt người ta thường gọi phương trình với ẩn hàm là hàm một biến là phương
trình vi phân thường.

Thông thường, ta xét các phương trình với ẩn hàm là hàmsố một
biến thực Y =


Y(X),

xác định trên khoảng mở I

c M. Khiđó, hàm F trong
đẳng thức trên xác định trong một tập mở G của M X M
n+1
. Trong trường hợp ẩn
hàm cần tìm là hàm vector Y(X

) = (YI{X

), ,Y

M

(X))

T

, F

là một ánh xạ nhận giá trị
trong M
m
và (1.1) là hệ phương trình vi phân.

Ta nói phương trình vi phân có cấp N

nếu N

là cấp lớn nhất của đạo hàm của
ẩn xuất hiện trong phương trình.
Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát
F(x,y,y') = 0, (1.2)
8
trong đó F(X, Y, Y’)

được giả thiết liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trên
miền Gcl
3
. Với một số giả thiết thích hợp, phương trình vi phân cấp 1 có thể được
viết dưới dạng sau (gọi là DẠNG GIẢI RA ĐƯỢC ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM

)
y’ = f{x,y), (1.3)
với / liên tục trong miền D

c M
2
.
Ví dụ 1.1: Các phương trình
e
y
+ y
/2
cosx = 0,

y’"
2
— 2 xy = lnx,
d
2
u d
2
u dx
2
dy
2
’
lần lượt là phương trình vi phân thường cấp 1, cấp 3 và phương trình đạo hàm riêng
cấp 2.
Xét phương trình (1.1). Hàm giá trị vector Ộ : I —>

M
n
(với I

= (a, B

) là một
khoảng nào đó của M) là nghiệm của (1.1) nếu nó có các đạo hàm liên tục đến cấp n
trên I và thỏa mãn
F(x, ộ(x), ệ'(x), ộ"(x), (ỊÁ
n
\x)) = 0 với Mx G I. (1-4)
Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 1, nghiệm là một hàm thực một
biến Y = Ệ(X)

mà khi thay vào (1.2) hoặc (1.3) ta được một đẳng thức đúng.
1.2.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Bài toán Cauchy
Ta nhận thấy rằng nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộc vào một hay
nhiều hằng số tùy ý nào đó. Để xác định nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ
kiện nào đó về nghiệm (tùy thuộc vào cấp của phương
trình vi phân). Chẳng hạn: Y = —

+ c là nghiệm (tổng quát) của phương
o
X

3
trình Y'

= X

2

.

Dễ thấy Y

= — + 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
o
với điều kiện Y(

0) = 1.
9

Ta xét bài toán sau đây đặt ra với phương trình (1.2), gọi là bài toán Cauchy
(hay bài toán giá trị ban đầu).
Bài toán: Tìm nghiệm Y(X

) thỏa mãn
= /(*,»), ✓
(15)
y(x o) = Vo,
trong đó (X

0

,Y

0
) e D

được gọi là điều kiện ban đầu.
Câu hỏi đặt ra là bài toán có hay không và có bao nhiêu lời giải. Ta
lưu ý rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có nghiệm và khi có
nghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm. Chẳng hạn, bài toán
x
3
Y' = X

2
, Y(

0) = 0 có nghiệm duy nhất là Y

= —; bài toán XY' = Y, Y(

0) = 1
không có nghiệm nào; còn bài toán Y'

= Y

3, Y{

0) = 0 có ít nhất hai nghiệm
là Y

= 0; Y

2

=

— X
3
. y
,y
27
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Định nghĩa 1.9. [7] Cho hàm f xác định trên miền D
c
M
2
. Ta nói f thỏa mãn
điều kiện Lipchitz theo biến y trên D nếu tồn tại hằng số dương

1
0
L (gọi là hằng số Lỉpschỉtz) sao cho
\f(x,yi) - ĩ{x,y
2
)\ < Lịyi -y
2
\ vớỉ\J{x,y
1
),{x,y
2
) e D.
Định lý 1.10. [7](ĐỊnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử hàm f trong (1.5) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz
theo biến y trên hình chữ nhật
D = (x
:
y) G M
2
: X — x
0
< a,y — y
0
< b.
Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy là (1.5) là tồn tại và duy nhất trong
đoan I = [a — b,a + b], với h = min(a, —) và M = max I f(x, y)\.
M ( x , y ) € D
Chứng minh.
Sự tồn tại
Ta chứng minh rằng phép lặp Picard hội tụ đều trên I đến một nghiệm của bài

toán Cauchy. Trước tiên, ta chứng minh bằng qui nạp rằng
Ife+1
\y
k
+i{x) -y
k
(x)\< ML
Với K =

0, bất đẳng thức trên chính là
đẳng thức này đúng.
Giả sử ta có điều đó với K —

1, khi đó với XQ < X < X

Ữ

+ H,

ta có
M\x — x
ữ
\. Bất
K

\X

- Xol
với Va: € I.
(K

+ 1)!
[ f{t,yo{t))dt
Jx
0
1
1
\y
k+ 1
{x) - y
k
{x)\ =
<
<
\x —
XQ\
~K
T
lfe+
l
-dt
= ML
í ư ( t , y k { t ) ) - /(í,ỉ/fe-i(í))]dí
J x
ữ
J X 0
LỈ \y
k
{t) - y
k

-i{t)\dt
J x
0
R

X

I™ ™ IK
< Mứ í
J x
ữ
k \ X - X o
(K

+ 1)! '
Với X

0

— H < X < X

0

ta đánh giá tương tự.
Xét dãy hàm {Y

K

(X

)} trên I, ta có:
Iy
k
+p(x) - y
k
(x)I
— y k+ p (?c ) U k+ p — 1 (*e) “1“ Uk+ p— 1 ("^)
+ • • • + Vk +i { x) - y
k
(x )
M Ị (L\x - x

0

\)

k+ p

(L\x-x

0
|)
fc+1
L\ {k + p)\
+ 1)!
j>k+1
Chuỗi số là hội tụ, nên phần dư của nó (xuất hiện
ở biểu thức cuối) có thể làm cho bé tùy ý khi K

đủ

lớn. Theo tiêu chuẩn Cauchy dãy hội tụ đều trên I
đến hàm Y(X).

Để chứng minh Y(X

) là nghiệm ta
chỉ cần qua giới hạn
trong đẳng thức
(1.6)
Vì dãy hàm {Y

K

(X)}

hội tụ đều, / liên tục đều trên
hình chữ nhật D

nên dãy hàm {/(í,
đến hàm Do
có thể
chuyển giới hạn qua dấu tích phân để được đẳng
thức (1.6). Vậy Y(X

) chính là nghiệm của bài toán
Cauchy (1.5).
Tính duy nhất
Giả sử bài toán Cauchy còn có thêm nghiệm
Z(X).

Khi đó ta có
y(x) - z(x) =
f
[/(í, y(t)) - f(t,
z(t))]dt
J X 0
Suy ra
[f{t, y{t)) - f{t, z(t))]dt <2M\x -
x
0
\.
Iy{x) - z{x)I
' X
Từ đó
\y(x)-z(x)\ =
J X 0
< L ĩ Iy(t) - z(t)\dt
J X 0
< 2
2
Lặp lại quá trình trên, ta dễ dàng chứng minh
được rằng với mọi số tự nhiên k:
I y ( x ) — z ( x ) \ < 2M L
k
— với m o i X
& I .
(k + 1)!
Cho K

00 ta có IY(X) — Z(X)

I = 0 trên I. Như vậy
một cách địa phương nghiệm Y(X

) là duy nhất.
Phân loại nghiệm phương trình vi phân
Về mặt hình học, bài toán Cauchy cho
phương trình vi phân cấp 1 có thể hiểu là tìm
nghiệm Y(X

) của (1.3). Mà đồ thị của hàm số Y

=
Y(X

) (hay còn gọi là đường cong tích phân của
phương trình vi phân) đi qua điểm (XO,YO).

Hay
nói cách khác, bài toán Cauchy là tìm đường cong
tích phân của phương trình (1.3) đi qua điểm
(X

Ữ

,Y

ữ
) £ D

cho trước.
Định nghĩa 1.11. [7] Giả sử D c M
2
sao cho vế
phải của phương trình (1.3) xác định và
ỉiên tục trên D. Hàm số y = y(x,C) phụ
thuộc liên tục vào hằng số c, được gọi là
nghiệm tổng quát của (1.3) nếu:
(a) Với mỗi điều kiện ban đầu (x
ữ
,y
ữ
) £ D ta
luôn giải được c dưới dạng
c =
<p{x
0ì
y
0
)
trong đó <f là hàm liên tục.
(b) Hàm y = y(x,c) thỏa mẫn
phương trình (1.3) với mỗi giá trị của
c khi (x
0:
y
0
) e D.
Khi đó hệ thức <f(x,y) = c (hoặc chính
hàm (p(x,y) ) được gọi là tích phẫn tổng

quát của phương trình (1.3).
Ví dụ 1.2: Phương trình Y'

+ Y

= 0 có nghiệm tổng
quát là Y(X

) = CE~

X



với C

là hằng số tùy ý.
Định nghĩa 1.12. [6] Nghiệm của phương trình
(1.3) mà tại mỗi điểm {x
0
,y
0
) của nó tính
duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (1.5)
được thỏa mãn, được gọi là nghiệm riêng.
Ngược lại nghiệm của phương trình (1.3)
mà tại mỗi điểm (XQ^Q) của nó tính duy
nhất nghiệm bài toán Cauchy bị vi phạm,
được gọi là nghiệm kì dị của phương
trình vi phân.

Nhận xét:
Từ định nghĩa nghiệm tổng quát ta suy ra
rằng với mỗi điều kiện ban đầu (X

Ữ

,Y

Q
) E D,

ta
luôn tìm được CO

= ÍP(X

Ữ

,Y

Ữ

)

sao cho Y

=
Y(X,CỮ

) là nghiệm của bài toán Cauchy tương

ứng. Nói cách khác bằng cách chọn các giá trị
thích hợp cho hằng số, ta có thể thu được các
nghiệm riêng tùy ý của phương trình, không kể
các nghiệm kì dị.
Giải (hay còn gọi là tích phân) một phương trình
vi phân là tìm tất cả các nghiệm (biểu thức
nghiệm tổng quát) của phương trình đó hoặc
nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện ban
đầu cho trước.
Ví dụ 1.3: Tìm nghiệm riêng Y(X

) của phương
trình Y'

= 3Y + X

thỏa mãn điều kiện y(0) = 1.
Dễ dàng kiểm tra rằng nghiệm tổng quát của
phương trình đã cho là
X 1
Y =

— + CE

3 X

.

Để tìm nghiệm riêng thỏa
mãn điều kiện như trên ta

3
4
5 Chương 2
6 y*
7 Ap dụng phương
pháp lặp giải một số
phương trình phi tuyến
8 Giải tích hàm phi tuyến nghiên cứu
các toán tử không có tính tuyến tính. Trong đề tài
này, ta xét các phương trình toán tử phi tuyến và
phương pháp giải số. Chúng ta bắt đầu xem xét
các phương trình toán tử có dạng
9 u = T(u), u G
K, (2.1)
10 ở đây V

là một không gian Banach,
K

là một tập hợp con của V, T : K

—»• V.

Các
nghiệm của phương trình này được gọi là các
điểm cố định của T

khi chúng được giữ nguyên
bởi T.

Phương pháp quan trọng nhất để xét tính
giải được các phương trình, đó là định lý điểm bất
động trong không gian Banach. Tôi xin trình bày
định lý này ở phần 2.1, và ứng dụng vào nghiên
cứu các phương pháp lặp khác nhau trong giải
tích số.
11 Sau đó, chúng ta mở rộng phương
pháp Newton, cho một số lớp phương trình vi
phân trong không gian Banach.
2.1. Định lý điểm bất động trong
không gian Banach
12 Cho V

là một không gian Banach,
với chuẩn Ị|.|Ịy và K

là một tập con của V.

Xét
toán tử
13 T :K
(2.2)
14 xác định trên K.

Ta tìm phương pháp giải
phương trình (2.1) và khả năng giải xấp xỉ U

bằng
một số phương pháp lặp.
15 Chọn một nghiệm ban đầu «0 G K

,
và xác định dãy {U

n
} theo công thức
16
17
18 với / : K

c V

—»• V.

Ta đưa phương trình
về bài toán tìm điểm bất động (2.1) bằng cách đặt
T(V

) = V

— C

0

F(V

) với hằng số c
0
Ỷ

0, hay rộng
hơn T(V

) = V — F(F(V

)) với F

thỏa mãn:
19 F(W

) = 0 W

= 0.
20 Vậy phương trình (2.1) có thể đưa
về phương trình (2.5). Và từ phép lặp (2.3) ta có
được một phương pháp xấp xỉ để giải phương
trình (2.5). ở mục 2.2, tôi sẽ trình bày việc giải
phương trình bằng các phương pháp lặp trong các
tập hợp khác nhau. Xét ví dụ sau:
21 Ví dụ 2.1. Cho V

là đường thẳng thực M, T
là một toán tử afin,
22 Tx = ax + b,
X G R,
23 A,

B

là hằng số. Ta xác định công thức lặp

của T.

Cho X

Ữ

£

R và N =

0,1,2, xác định: X

N

=
AX

N

+ B.
24 Vậy, trong trường
hợp không tầm
thường A Ỷ

1)
phương pháp lặp hội
tụ khi và chỉ khi |a| < 1.
25 Với số \A\

xuất hiện trong tính chất:

26 ITX

— TY\

< |a||a: — Y\,VX,Y

G K.
27 Định nghĩa 2.1. Ta nói một toán tử T :
K
c
V —> V là co với hệ số co a e [0,1) nếu:
28 IIT(u) — T(t>)Ị| < a;Ị|
w — - L í 11, Vw, V £ K,
29 gọi là không giãn nếu
30 |ỊT(m) — T(i>)|| < |Ịw
— V\\,VU,V

e K

,
31 liên tục Lipschit nếu
32 \\T{u)-T{v)\\ <
L\\u-v\\,Vu,v e K.
33 Ta thấy:
34 Ánh xạ co
raánh xạ không
giãn,
35 suy
liên tục Lipsit.
36 suy

liên tục đều.
Dễ dàng nhận thấy:
A

N

X

0

H B

nếu A Ỷ

1-
1 — A
x
ữ
+ nb nếu a = 1,
37 Định lý 2.2. (Định lí Banach về điểm
bất động)
38 Giả sử rằng K là một tập đóng
khác rỗng trong không gian Banach V, và
T : K —»■ K là một ánh xạ co với hằng số
a,0 < a < 1. Khi đó ta có các kết quả sau:
(1) Tồn tại duy nhất u e K sao cho
39 u =
T(u).
(2) Đối với bất kỳ u
ữ

£ K, dãy {u
n
} c K
được xác định: U
n +
1 = T(u
n
),n =
1, 1,2, hội tụ về u : \\u
n
— w|| —> 0 khi n
—> oo.
40 1
- OL

N
41
42
43 Chúng ta đi xét tính giải được duy nhất của
phương trình phi tuyến trong không gian Hilbert .
44 Định lý 2.3. Cho V là một không gian
Hilbert. Giả sửT :V V là đơn điệu mạnh
và liên tục Lipschitz, nghĩa là tồn tại hai
hằng số C1,C
2
> 0 sao cho với bất kỳ V I , V
2
G
V,
45 {I'M - T(

v
2))>
v
l - «2
> Cill«! - «
2
||
2
, (2.9)
46 l№)-ĩ>
2
)|| < C

2

\\V

1

-
V

2

\\.

(2.10)
47 Khi đóvới bất kì
b EV, tồn tại duy nhất u G V sao cho
48 T(U

) =
B.

(2.11)
49 Hơn nữa, nghiệm u phụ thuộc liên
tục Lipschitz theo b: Nếu T(ui) = &1 và
T(ii2) = U2, khi đó
50 \\ui - u
2
\\ <
—\\bi - b
2
\\. (2-12)
51
C
1
52 CHỨNG MINH.

Phương trình
T(U

) = B

tương đương với phương trình U

=
53 U — 6(T(U) —

B

) với bất kỳ 6
Ỷ

0. Xác định một toán tử TO

: V

—>• V
theo
54 công thức
55 T
9
(v) =v- 9{T{v) - 6).
56 Với 9 >

0 đủ nhỏ ta sẽ chứng
minh ánh xạ TỸ

là ánh xạ co. Thật vậy
57 T
e
(vị ) - T
e
(v
2
) = (ĩ;i -
v
2

) -
9{T ( vị ) -
T(v
2
)).
58 Khi đó
59 \\T
e
{
Vl
) - T
e
{v
2
)\\
2
= \\
V1
-V
2
\\
2
-
26{T{V
1
)-T{V
2
),V
1
-V

2
) +
60 +6
2
\\T(V
1
)-T(V
2
)\\.
61 Sử dụng các giả thiết (2.9) và (2.10) ta có
62 \\TeM - T
e
(v
2
)
I I
2
< ( 1 - 2
c
2
d +
cịd^ịịvt - v
2
\\
2
.
63 Với ớ(0, ‘-Ệ-) '■

1 — 2C

2

Ỡ

+ CỊỠ

2

<

1,
suy ra TỘ

là ánh xạ co.
64
C
1
65 Khi đó, theo định lý Banach về điểm bất
động thì TỸ

có duy nhất một điểm bất động U

e V.
Do đó, phương trình (2.11) có một nghiệm duy
nhất.
66 Ta đi chứng minh tính liên tục
Lipschitz của nghiệm đó đối với vế phải. Từ
T(UI

) = &1 và T(U

2
) = &2J ta có
67 T(uị) - T(u
2
) = &1 - b
2
.
68 Khi đó: (T(ui) - T(u
2
), Ui - u
2
) = (bị - b
2
,
Uỵ - u
2
).
69 Áp dụng giả thiết (2.9) và bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz, ta có:
70 ||«1 - W2II
2
< II&1 - B

2

\\\\UI - U

2

1|.
71 (2.12) được chứng minh. □
2.2. ứng dụng các phương pháp lặp
72 Định lý Banach về điểm bất động
được trình bày ở phần trước chứa hầu hết tính chất
mong muốn của phương pháp số. Với các điều
kiện đã nêu, dãy xấp xỉ được xác định, và hội tụ
đến nghiệm duy nhất của bài toán. Hơn nữa, tốc
độ hội tụ là tuyến tính (xem (2.8)), chúng ta có
một ước lượng sai số tiên nghiệm (2.6) dùng để
xác định số lần lặp cần thiết để có được một
nghiệm với độ chính xác theo quy định, trước khi
tính toán thực tế; và một ước lượng sai số hậu
nghiệm (2.7) để tính giới hạn sai số khi tính các
nghiệm bằng số. Trong phần này, tôi áp dụng định
lý Banach về điểm bất động để tính xấp xỉ (bằng
số) của một số bài toán.
2.2.1.Phương trình phi tuyến
73 Cho một hàm thực / : M —>

M.
Tìm nghiệm của nó, nghĩa là, ta đi giải các
phương trình:
74 f(x) = 0 , X € R.
75 Có nhiều cách để đưa phương trình này về
bài toán điểm bất động tương ứng dạng:
76
77
78
79

80 phương pháp Newton để tìm nghiệm, giả
thiết F'(X

) Ỷ

0 khi F(X

) = 0.
(2.13
)
Chẳng hạn, T(x) = X — f(x) hay rộng hơn T(x) = X — c
0
f(x) với c
0
cố
X = T(x), x ẽ R . (2.14)