Luận văn thạc sĩ toán bài toán điều khiển cho một lớp phương trình vi phân phân phi tuyến cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ HUYỀN
BÀI TOÁN ĐIỀU KHIẺN CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYEN CÁP
HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học TS. Trần Đình Kế
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Trần
Đình Kế.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Đình Kế, người đã định hướng chọn đề tài và tận
tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các GS, TS dạy cao học chuyên
ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cùng các bạn học viên lớp cao học K16 đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Cao đẳng
nghề Cơ khí Nông Nghiệp - Bình Xuyên - Vĩnh Phúc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
thời gian học cao học.
Qua đây tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã luôn động viên, cổ vũ, tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả
Nguyễn Thị Huyền
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Kế, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán
giải tích với đề tài “Bài toán điều khiển cho một lớp phương trình vi phân phi tuyến cấp hai” được
hoàn thành bởi nhận thức của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả
Nguyễn Thị Huyền

Mục lục
Kiến thức chuẩn bị
Độ đo không compact và ánh xạ đa trị
Họ hàm Cô-sin và tính điều khiển được của phương
trình cấp
hai tuyến tính
Tính điều khiển được của hệ phi tuyến
Thiết lập các giả thiết
Chứng minh tính điều khiển được
ứng dụng
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Mở đầu
Chương 1.
1.1.
1
6
6
1.
1
3
1
6
1
6
1
9
Chương 2.
2.1.
2.

Chương 3.
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Xét bài toán điều khiển
x"(t) — Ax(t) — Bu(t) € F(í, x(t),u(t)), t £ J := [0, T], (0.0.1)
x(0)

+ g(x) = x

ữ

,

a/(0) + h(x

) = a?!, (0.0.2)
trong đó hàm trạng thái X lấy giá trị trong không gian Hilbert X,

hàm điều khiển u

€
L

2



(J;V),

với V

là một không gian Hilbert. Toán tử tuyến tính A

là phần tử sinh của một
họ hàm Cô-sin {ơ(í)}ÍỄR, toán tử điều khiển B

: V —> X

là tuyến tính, bị chặn và hàm
phi tuyến F:JxXxV—oXìầ

một ánh xạ đa trị. Các hàm g, h : C{J]X

) —>■ X

và giá
trị ban đầu (x0,xi) G X

2



được cho trước.
Hệ điều khiển tuyến tính tương ứng với hệ (0.0.1 )-(0.0.2) là:
x"(t

) = Ax(t

) + Bu(t), t

e J, (0.0.3)
x(0) = x
ữ
, a/(0) = Xị. (0.0.4)
Nghiệm tích phân X € C{J\X

) của (0.0.3)-(0.0.4) ứng với điều khiển u được cho bởi
x(t) = C(t)x0 + S(t)xi + í S(t — s)Bu(s)ds,
Jữ
với {^(^ỊíeR là họ hàm Sin ứng với họ Cô-sin {ơ(í)}ÍỄR. Đối với hệ
phi tuyến (0.0.1 )-(0.0.2), hàm X G C{J\X

) được gọi là nghiệm tích phân ứng với điều
khiển u

nếu tồn tại một hàm / e L

l



Ụ\X)

sao cho f(t

) G F(t,x(t),u(t))

với hầu khắp t E
J

và
x(t) = C(t)[x0 — g(x)] + S(t)[x 1 — h(x)] + í S(t — s)[Bu(s) + f(s)]ds.
J

0
Những vấn đề cơ bản liên quan đến các phương trình vi phân cấp hai và họ hàm Cô-sin
có thể tìm thấy trong ỊỊ14Ị.
Việc nghiên cứu tính giải được của phương trình cấp hai với điều kiện không cục bộ
đã được tiến hành bởi nhiều tác giả, trong đó có các kết quả tiêu biểu trình bày trong p,
m HĨỊ CẸ|.
Đặt
w(x0, Xi, u)(t) = C(t)x0 + S(t)xi + í S(t — s)Bu(s)ds,
J
0
và ký hiệu Ti(x

ữ

,xi,u

) là tập nghiệm của hệ (0.0.1 )-(0.0.2) ứng với điều khiển u

và dữ
kiện ban đầu (X

0

,XI

). Chú ý rằng có một số khái niệm khác nhau về tính điều khiển

được cho hệ phương trình vi phân cấp hai (xem trong [3]). ở đây, ta quan tâm đến khái
niệm điều khiển được dọc
theo quỹ đạo: hệ tuyến tính (0.0.3)-(0.0.4) được gọi là điều khiển được chính xác nếu
với (x

0ỉ

xi) £ X

2, ta có WT = X, ỏ

đó
WT := {W(xữ,xuu)(T) : u € ữụ-,v)}.
Tương tự, ta nói rằng hệ (0.0.1 )-(0.0.2) là điều khiển được chính xác nếu với (a^o,íCi) €
X

2



,

ta có Yi

T

= X, ở

đó
:= {y{T) : y e ^{x0,xi,u),u e L2(J;V)}.

Trong p, ỊIDỊ, kết quả về tính điều khiển được cho phương trình vi tích phân bậc hai
phi tuyến đã được thiết lập với điều kiện hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
Bài toán điều khiển đối với bao
hàm thức vi phân hàm dạng trung tính đã được nghiên cứu trong |23
Có thể tìm thấy các kết quả điều khiển cho phương trình vi phân chứa xung hoặc bao
hàm thức vi phân trung tính chứa xung trong các công trình p, [241 [26]. Đối với bài
toán điều khiển có điều kiện ban đầu phi địa phương, một số kết quả gần đây được thiết
lập trong các công trình
mmm-
Trong các công trình kể trên, các tác giả đã sử dụng một giả thiết quan trọng, đó là
5
toán tử
B
T
U — Ị S(T - s)Bu{s)di
có nghịch đảo bị chặn B

T

l

: X

—»• L2(J; y)/ker BT- Giả thiết này đòi hỏi BT phải là
toàn ánh và khi đó WT = X.
Ta biết rằng đối với hệ (0.0.3)-(0.0.4), tập đích W

T

không thể trùng

với X

nếu, S

(-) là toán tử compact và X

là không gian vô hạn chiều (xem [281 [20]).
Trong trường hợp này, W

T

là không gian con thực sự của X.

Do vậy giả thiết B

T

là toàn
ánh không thực tế, ngay cả với lớp phương trình sóng cổ điển (xem ví dụ chương cuối).
Do hạn chế nói trên, khái niệm điều khiển được chính xác đến không gian con tỏ ra
hữu dụng. Ta mô tả khái niệm này như sau. Giả sử x

0

là một không gian con đóng của I
và s
0
cl X I. Hệ tuyến tính được gọi là điều khiển được chính xác từ E

ữ

đến x

0

(hay (£0,
-X’o)-điều khiển được) nếu với mỗi (a:0,a:i) € E

ữ

,x

T

€ x

0

,

tồn tại u

€ L

2



(J; V

) sao cho
W(x

0

,Xị,u)(T)

= X

T

■

Giả sử rằng
{C(T)x0 + S(T)xi : {XQ,XI) G £0} c XQ.
Khi đó điều kiện R[B

T

] = x

0

tương đương với (E

0

,

x0)-điều khiển được

cho hệ (0.0.3)-(0.0.4), trong đó R[B

T

]

là tập ảnh của B

T

.

Mục tiêu của luận văn là đi
tìm các điều kiện cho hàm phi tuyến F

và các hàm g, h
sao cho hệ phi tuyến (0.0.1 )-(0.0.2) là (i^o,x0)-điều khiển được khi hệ
tuyến tính tương ứng (0.0.3 )-(0.0.4) có tính chất này,
So sánh với các kết quả đã có, hệ điều khiển đang xét cho phép có nhiễu điều khiển,
tức là, hàm phi tuyến không chỉ phụ thuộc hàm trạng thái X mà còn phụ thuộc u.

Ngoài
ra, ta không giả thiết hàm F,g,h

thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Thay vào đó, ta yêu cầu
một điều kiện yếu hơn, điều kiện này được diễn tả qua độ đo không compact (MNC)
(xem Chú ý 2.1.1 và 2.1.2 để có so sánh chi tiết). Để chứng minh kết quả điều khiển
được, ta áp dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén (xem [19|). Cụ thể, ta sẽ
xây dựng các độ đo không compact phù hợp và sử dụng các ước lượng theo độ đo để
chứng minh tính nén của toán tử nghiệm, từ đó áp dụng định lý điểm bất động thích

6
hợp. Cách tiếp cận của luận văn là phương pháp phổ dụng dùng để nghiên cứu các bao
hàm thức vi phân (xem [dõi và các công trình p, [T2Ị, Ị2TỊ, 122]).
Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản liên quan đến độ đo
không compact, giải tích đa trị và các kết quả điều khiển đối với phương trình cấp hai
tuyến tính. Chương 2 trình bày kết
quả chính: tính điều khiển được (Định lý 2.2.2) cho hệ phi tuyến (0.0.1)
(0.0.2). Chương cuối trình bày một ứng dụng cho bài toán điều khiển
đối với phương trình truyền sóng phi tuyến.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán điều khiển phi tuyến vô hạn chiều thông qua một lớp bài toán điều
khiển phi tuyến cấp hai trong không gian Hilbert. Chứng minh chi tiết các kết quả trong
bài báo [20].
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu lý thuyết phương trình vi phân cấp hai tuyến tính tổng quát;
2. Tìm hiểu bài toán điều khiển đối với phương trình cấp hai tuyến tính;
3. Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị nén;
4. Chứng minh tính điều khiển được cục bộ của một lớp bài toán với phương trình cấp
hai phi tuyến.
4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu là bài toán điều khiển liên quan đến phương trình vi phân cấp
hai.
• Phạm vi nghiên cứu: tính điều khiển được cục bộ.
5.Phương pháp nghiên cứu
7
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:
• Lý thuyết họ hàm Cô-sin;
• Độ đo không compact và lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị nén;
• Lý thuyết điểu khiển các hệ vi phân tuyến tính.
6.Đóng góp mới của luận văn

Chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo pn
8
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1. Độ đo không compact và ánh xạ đa trị
Giả sử s

là một không gian Banach. Ký hiệu
C

(£) = {Ẩ Ẽ 'PịE)

: A

là tập đóng},
K{S) = {ẨG ?>{£) : A là tập compact},
Kv

{£) = {Ẩ Ễ K{£) ’• A

là tập lồi}.
Ta có định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử (A, >) là tập sắp thứ tự bộ phận. Một hàm 13 :
V{£) —> A được gọi là độ đo không compact (MNC) trên £ nếu
Ị3(cõ íỉ) = /3(fỉ) với m ỗ i íỉ G v(£)i trong đócõn là
bao lồi đóng của íĩ. Một MNC /3 được gọi là i) đơn điệu, nếu ^0,^1
€ v(£), íỉo c ÍỈ1 kéo theo /3(fỉo) < /3(^i); ỉỉ) không kỳ dị, nếu /3({a} u ÍỈ)
= /?(íì) với mọi a G £, fỉ G V(£);
Ui) bất biến đối với nhiễu compact, nếu /3(K u ri) = Ị3(ũ) với mọi tập
compact tương đối K c £ và $} £ V(£);
Nếu A là một nón trong không gian định chuẩn, ta nói 13 là

iv) nửa cộng tính đại số, nếu /3(íĩ
0
+ ^1) < ßfäo) + ßis^i) với mọi
f2o; ^1 € v(£);
V) chính quy, nếu ß(ü) = 0 tương đương với íỉ là compact tương đối.
Ví dụ quan trọng về MNC là độ đo không

compact Hausdorff,

thỏa mãn tất cả
9
các tính chất trong định nghĩa nói trên:
x(fỉ) —

inf{e : íì

có một e-lưới hữu hạn}.
Dựa trên độ đo Hausdorff X trên £, ta có độ đo th eo dẫy Xo như sau:
Xo(fì) = sup{x{D) : D e A(fì)}, (1-1.1)
với A(fì)

là tập các tập con không quá đếm được của ri (xem [ĩ]). Ta biết rằng
ịx{tì)

< Xo(fì) < x(fì), (1-1-2)
với mọi tập bị chặn íĩ c £.

Tính chất sau là hiển nhiên:
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử X là độ đo Hausdorff trên £ và ri c £ là một tập bị
chặn. Khi đó với mọi e > 0

;
tồn tại một dẫy {x
n
} c fỉ sao cho
x(ft) < 2x({zn}) + 6.
Nhắc lại rằng X

và V

là các không gian Hilbert chứa quỹ đạo các hàm trạng thái và
hàm điều khiển tương ứng. Ký hiệu Xx

và Xv

là các độ đo Hausdorff tương ứng trên
các không gian này. Đặt J

= [0, T],

Xcx

và Xcv

là các độ đo Hausdorff tương ứng trên
các không gian C(J;X

) và C(J]V).

Ta có các kết quả sau (xem JH, [E]): với mỗi tập bị
chặn D

c C{J]X),
ỵx(D(t)) < Xcx{Đ), với mọi te J, ờ đây Dự) := {x{t) : X e D}.
1
• nếu D

là tập liên tục đồng bậc thì
Xcx{D) = sup xx{D(t)) .
Ta ký hiệu Kc

là một độ đo trong không gian tích C(J;X

) X C(J;V),

xác định như
sau: cho 7Ti và 7T2 là các phép chiếu chuẩn tắc từ không gian tích nói trên xuống các
không gian C(J;X

) và C(J; V)

tương ứng, khi đó
Kc(Ả) = XC X { K I{A)) + XCV{K 2 OA)), (1.1.3)
với mọi tập bị chặn A

c C(J

; X

) X C(J

; V).

Chú ý rằng Kc

có tất cả
các tính chất nêu trong Định nghĩa 1.1.1 1 bao gồm cả tính chính quy.
Ta nhắc lại khái niệm MNC-chuẩn (xem im HS]) mà ta cần dùng trong phần sau.
Giả sử £ị, £

2

là các không gian Banach và T : £\ —>

£2 là một toán tử tuyến tính bị
chặn. Giả sử Ị3i

và /?2 là các độ đo không compact trên S\ và s2 tương ứng. Ta định
nghĩa
IITII^ ạ
2
= inf{A; : /32(T(fỉ)) < k(3ị(íl)

với mọi tập bị chặn íĩ}.
Khi đó với mỗi r,

đại lượng IITII^ ạ
2
là một số thực, được gọi là (/3i, Ị3

2

y

chuẩn của r.
Đặc biệt, ta có
/3
2
(T(fi)) < ||r||ftAft(n). (1.1.4)
Giả sử Y

là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2. Ánh xạ đa trị T : Y —>• V(£) được gọi là:
(i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F~l{y) = {y G y : J
r
( y) c V} là tập mở trong
Y với mỗi tập mở V c £;
(ỉỉ) đóng nếu đồ thị của nó IV = {(y,z) : 2: £ J7(y)} là một tập con đóng của
Y X S;
(Hi) compact neu tap anh T{Y) la compact tUOng doi trong £;
(iv) tiCa compact niu han chi cua no tren cac tap compact la anh xa
compact.
Dinh nghia 1.1.3. Mot anh xa da tri T : D{F) C £ —>• K(£) duoc goi la nen
theo do do (3 (fi-nen) neu vdi moi tap bi chan C D(F) khong phai la tap
compact tuong doi, ta co
/3(^(n)) г №)■
Ap dung ly thuyet bac to-po cho anh xa da tri nen (xem [[T9]) ngudi ta da chiing
minh ducJc nguyen ly diem bat dong sau day.
Dinh ly 1.1.1 ([m Bo de 3.3.1]). Gia sit M. la mot tap con loi, dong va bi chan
cua £, T : M. —>■ Kv(M) la anh xa ntia lien tuc tren va (3-nen, vdi /3 la
mot do do ddn dieu, khong ky di tren £. Khi do tap cac diem bat dong

FixF := {x : x e J-’(x)} la khong rdng va compact.
Dinh nghia 1.1.4. Gia sti G : J K(£) la mot ham da tri. Khi do G diitfc goi la
• kha tich
;
neu no co ham chon kha tich theo nghia Bochner. TUc la ton
tai g : J —» £, g(t) £ G(t) vdi hau khap t € [0,T] sao cho
• bi chan tich phan, neu ton tai ham £ € Ll{J) sao cho
||G(i)|| := sup{||<7||f : g

G G(t)} <

£(i) vdi hau khap t

G J.
Tap cac ham chon kha tich cua G diicJc ky hieu la Sq.
Ham da tri G dude goi la do duac neu G~
l
{V) la tap do duoc (theo do do
Lebesgue tren J) vdi mQi tap mci V cua £. Ta noi rang G la do
được mạnh

nếu tồn tại một dãy G

n

: J —)■ K(£), n =

1,2, các hàm đơn giản sao
cho
lim G{t

)) = 0 với hầu khắp í ẽ J,
trong đó ĩí

là khoảng cách Hausdorff trên K(£).
T
Ta biết rằng nếu không gian s là tách được thì các khái niệm đo được và đo được
mạnh trùng nhau, và nó tương đương với điều kiện ánh xạ í dist(x,G(t))

là đo được với
mỗi X G s. Ngoài ra, nếu G

đo được và bị chặn tích phân thì nó khả tích. Khi đó ta có
hàm đa trị í ẽ G(s

) ds

xác định bởi
Ta có kết quả sau đây liên quan đến ước lượng theo độ đo Hausdorff (x-ước lượng) cho
tích phân của hàm đa trị trong trường hợp s

là không gian tách được.
Mệnh đề 1.1.2 (|Tãl Định lý 4.2.3]). Giả sử E là không gian Banach tách được
và G : J —>• K{£) là hàm bị chặn tích phân và khả tích sao cho
với mọi t € J. Nói riêng, nếu G : J —¥ K(S) đo được và bị chặn tích phân
thì hàm khả tích và ta có
X(Jo G^ds) - Ị x(
ơ
(
s

))
ưs
vôi mọi t € J.
Xet toan tijf tuyen tinh L : L

l



(J\£) —> C(J;£)

thoa man cac dieu kien sau:
(LI) ton tai hang so C > 0 sao cho
nt
\\L{f){t)-L{g){t)\\s<C || f(S)-g(S)\\sd8
Jo
vdi moi f,g£ L
X
(J ;£), t G J;
(L2) vdi moi tap compact K C £ va day {f
n
} C L
1
(J;£^) sao cho {/„(*)} C K
vdi hau khap t G J, neu fn —^ /
0
(hoi tu yeu) thi L{fn) L{f0) trong C(J]
£) (hoi tu manh).
Nhii da noi trong [T2], Chu y 4.2.3], toan tut tich phan (goi la toan til
Cauchy)

(1.1.5)
thoa man (L1)-(L2).
Ta co ket qua sau, duoc coi nhu mot ltfOng co ban.
Menh de 1.1.3 ([[T9]]). Gia sit L thoa man (LI)-(L2) va {£
n
} c LX(J\ £) la day
bi chan tich phan, nghla la
||^n(^)||£: <
v



hau khapt

G J,
d do v E Ll{J). Gia sti them rang ton tai q G Ll(J) sao cho
x({£n(i)}) ^ v<3i huu khap t G J.
Khi do
x(Wfn)(*)}) <
2C



[ q{s)ds
Jo
vdi moi t G J, trong do C la hang sd xdc dinh trong (LI).
STJC dung Menh de 1.1.3, ta co:
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử fỉ c V-Ự^E) là một tập bị chặn thỏamãn
ỉ. với mọi £ e ||£(t)||£ < v(t) với hầu khắpt e J,
2. x(fỉ(í)) < q(t

) vđz hầu khắp t

e J,
trong đó íì(t) = {£(í) : £ G íỉ}
;
V và q ỉà các hàm thuộcLl{J). Nếu L
thỏa mẫn (L1)-(L2) thì
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.1.1, với mọi e > 0, tồn tại một dãy {£n} c fỉ sao cho
x(mm) < 2x({L(í„)(í)})+e. (1-1-6)
với mỗi t £ J.

Do íỉ bị chặn tích phân, nên {£n} cũng có tính chất này. Hơn nữa,
x({fn(í)}) < < q{t),

với hầu khắp t e J.
Áp dụng Mệnh đề 1.1.3, ta có
x({£(£n)(í)}) <2c [ q(s)ds, teJ.
Jo
Thay vào (Ị1.1.6D, ta được
rt
ỉs

6, í E J.
Vì e là số dương nhỏ tùy ý, ta có điều phải chứng minh. □
Ta sử dụng khái niệm dãy nửa compact như sau:
Định nghĩa 1.1.5. Dãy {£
n
} c Ll{J\S) được gọi là nửa compact nếu nó bị chặn
tích phân và tập {£n(í)Ị là compact tương đối trong £ với hầu khắp t G J.

Sử dụng các kết quả [Щ Định lý 4.2.1 và Định lý 5.1.1], ta có
Mệnh đề 1.1.5. Nếu {£
n
} С Ll(J\£) là một dãy nửa compact, thì {£
n
} là
compact yếu trong ƯỰ-^S) và (L(£
n
)} là compact tương đối trong Hơn
nữa, nếu £
n
—
1
£o thì L(£n) —> L(£o).
1.2. Họ hàm Cô-sin và tính điều khiển được của phương trình cấp hai tuyến tính
Họ các toán tử tuyến tính bị chặn {C(í)}íẽR trên X

được gọi là họ hàm Cô-sin nếu
1. ơ(0) = /;
2. C(t + s) + C(t

— s) = 2C(t)C(s),

với mọi í,5ẽM;
3. với mỗi X G X,

ánh xạ t

!-»■ C(t)x

là liên tục mạnh.
Họ hàm Sin {5'(Í)}íễR, ứng với họ hàm Cô-sin {C(í)}íeR, được định nghĩa như sau
S(t)x = í C(s)xds, ĩ E l , í ẽK .
Jữ
Toán tử A

: D(A

) с

X X

được gọi là toán tử sinh của họ hàm Cô-sin {C,(í)}í6R nếu
Ax — —C(t)x
dt

2



v ' t

=0
Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.2.1 ([Ị2Zj). Giả sử {C(í)}
íeR
là một họ hàm Cô-sin trên X. Khỉ đó
tồn tại M > 1 và ÜJ > 0 sao cho
1. ||ơ(í)|| < Ме

ш



^

với mọi t

G M;
2.




—
£(£i)|| < M J*2 e^ds vói mọi tị:t2 G M,íi < t2.
Chi tiết về lý thuyết hàm Cô-sin có thể tìm thấy trong các tài liệu
ЩЩ.
Giả sử x0, E

ữ

là các không gian đã đề cập trong Chương 1. Ta biết
rằng hệ tuyến tính (0.0.3)-(0.0.4) là (E

ữ

,

x0)-điều khiển được nếu và chỉ nếu R[BT\ =

x

ữ

.

Ta sử dụng kết quả sau đây:
Bổ đề 1.2.1 (jm Bổ đề 3.5]). Giả sử V, W, z là các không gian Banach phản xạ
và ợữ e L(V; Z),GI ẽ L{ỵ\?\Z). Khi đó các khẳng định sau tương đương:
1. R[Qо] С RịQx],
2. tồn tại 7 > 0 sao cho
л/ÎïlôoVllv < lier^llvv,
với mọi z* G z\
Áp dụng bổ đề trên với V = x

ữ

,w = L

2



(J-,V), z

= X, ợ

ữ

là phép nhúng x

ữ

vào X
và Q\

= B

T, điều kiện đảm bảo tính điều khiển được tương đương với bất đẳng thức
\\BT
Z
\\L'(J;V) > Vĩ\\z\\x;, 1 > 0, (1.2.1)
với mọi z £ Xq.

ở đây Bĩp

: X

—> L2(J; V) là toán tử liên hợp của B

T

.

Bất đẳng thức
cuối suy ra rằng (B
T
B^Z, z)x

> 7lkllx*j với mọi z

G X. Hơn nữa, sửa dụng lý luận
trong chứng minh ỊỊTTỊ Định lý 3.7] ta có В

* = B*S*(T

— •) và khi đó toán tử Гд : X
x

ữ

xác định bởi
ГT(z) = BTỉ3*Tz= f S(T - s)BB*S*(T - s)zds, z £ X (1.2.2)
J
0
là khả nghịch và
Il(rj1)"'!! < -• (1-2.3)
Với giả thiết hệ tuyến tính là (E
0
, x
0
)-ãiều khiển được, cho trước X
T
e x
0
, ta có
thể tìm được điều khiển phản hồi qua công thức sau
u(t) = B'S"{T -

txrĩrv - C(T)x

0 - S(T)x,].
Chương 2 Tính điều khiển được của hệ phi tuyến
2.1. Thiết lập các giả thiết
Trong mục này chúng tôi đưa ra một số giả thiết dùng để nghiên cứu
bài toán (0.0.1 )-(0.0.2)
(SA) Hệ tuyến tính (0.0.3)-(0.0.4) là (Eữ,xữ)-điều khiển được. Hơn nữa,
1. {C(t)x
0
+ S(t)x 1 : (z
0
,£i) e E
0
} c x0;
2. Jq S(T — s)f(s)ds £ x
0
với mọi f £ Ll{J] X).
Đối với hàm phi tuyến F, ta giả sử:
(Fl) F : J X X X V —»• Kv(X) sao cho F(-,x(-),v(-)) đo đượcmạnh với
mỗi phần tử (X, V) €E C(J;X) X L2(J; V);
(F2) Với hầu khắp t £ J, F(t, •, •) : X X V —¥ Kv(x) lànửa liên tục
trên;
(F3) Tồn tại một hàm ỉiên tục không giảm ty : M
+
—>
M
+
sao cho
\\F(t:V:0\\ ■=

supdHl* : 2 e F(t, ĩ],

C)} < (\\r)\\x

+ HCllv),
với hầu khắp t G J, (
77
, C) G X X V, ở đẫy n G
(Fị) Tồn tại các hàm k,q £ Lxự) sao cho
Xx{F{t,n,Q)) < k{t)xx{tì) + q{t)xv(Q), với hầu khắpt e J,
16
và mọi tập con bị chặn íĩ с X và Q с V.
Nhận xét 2.1.1. Chú ý giả thiết (Fị): nếu X là một không gian hữu hạn
chiều, có thể suy ra (Fị) từ các giả thiết (F2)-(F3). Khi đó F(t, -, •) biến
tập bị chặn trong X X V thành tập bị chặn trong X, và do đó X x {F(t, ri,
Q)) = 0 với mọi tập bị chặn с X và Q с V.
Ta sẽ chỉ ra rằng nếu F(t, -, •) là một hàm đa trị Lipschitz ứng với khoảng cách
Hausdorff Ti trên K(X), tức là với mọi X, y € X, £, Г] G V :
'H^F(t,x,$i),F(t,y,rjỸj < k(t)\\x - y\\x + q(t)U - rj\\v, (2.1.1)
thì (F4) thỏa mãn. Thật vậy, do định nghĩa của độ đo không compact Hausdorff, cho
trước 6 > 0, ta có thể chọn {yi, ,y

m

}

с X

và {??!,Г)р}

С V

sao cho
171 p
í l С U B ( y i , X x { i ï ) + e), Q С u B ( ĩ ] k , X v { Q ) +
é ) . i=
1
k
= 1
Với mọi z £ F(t

:

fỉ, Q

), tồn tại ( ĩ , ( ) e í ì x Q sao cho z

£ F(t,

X, £). Lấy
Уг

và Щ

sao cho
II® - Vi\\x < Xx{tì) + e, и - rjk\\v < Xv(Q) + e,
Ta được
Ik - zịk\\x < k(t)\\x - yiịịx + ợ(t)|Ị£ - rjk\\v
< + б)+ q(t)(xv(Q) +

e),
do p.l.lỊ), ở đậy z

ik

e F(t,

y

i:



ĩ]ỵ).

Vì vậy
F(t,$ì,Q) С IJ Bịzik:k(t)(xx(tl) + e) + q(t)(xv{Q) + eỹỳ.
Bất đẳng thức cuối suy ra (F4).
Đối với các hàm g

và h,

ta giả sử rằng:
(GHl) g

,

h : C(

«7; X) —> X

là các ánh xạ liên tục sao cho với X e C(

«7; X),
(g(x),h(x)) € £
0
;
(GH2) Tồn tại các hằng số Cg,Ch

> 0 và các hàm không giảm фд,ф/г : R+ —¥

M+
sao cho
Ilơ(z)||* < С5фр(||ж||с),
Н М Ж ) Н * < C ' A ( I M I c ) ,
trong đó ЦгсЦс = |M|c(J;X);
(GH3) Ta có
Xcx(C{-)g {D)) < mgxc x(D ),
Xcx{S(-)h (D)) < mh ỵcx(D),
với mọi tập con bị chặn D

с C(J',X), ở

đây rrig, Tĩih

là các hằng số
không âm.
Nhận xét 2.1.2.
1. Nếu g

và h là các hàm liên tục Lipschitz, thì (GH3) đúng.
Thật vậy, ta có thể chỉ ra (GH3) thỏa mãn với hàm g.

Giả sử
llỡ(x) - g{y)\\x < ỉgịịx - y\\c, ỉg > 0, với mọi x,y <E C(J;X).
Khi đó
sup \\C(t)g(x) - C(t)g(y)\\x < Ig sup C(t)\\x - y\\c.
t€J tÇiJ
Từ đó suy ra
\\C{-)g{x) - C(-)g(y)\\c < mg\\x - y\\c,
ở đây m

g

:= ỉg

supíej C(t).

Bất đẳng thức này dẫn đến bất đẳng thức cuối trong (GH3).
Ngoài ra, dễ dàng kiểm tra rằng g

và h

thỏa mãn (GH2), do
HíKaOIU < ỉg\\x\\c + ||s(0)||*,
Đối với h

ta chứng minh tương tự.
2. Nếu g

và h

là các hàm hoàn toàn liên tục, nghĩa là chúng biến các tập bị chặn trong
C(J;X

) thành tập compact tương đối trong X,

thì (GH3) thỏa mãn với m

g

= rrih

=
0.
Thật vậy, giả sử D

c C{J\X

) là một tập bị chặn. Khi đó g(D

) là tập compact tương đối
trong X.

Khi đó C(-)g(D

) là liên tục đồng bậc và do đó
Xcx(C{-)g{D)) = sup ỵx(C{t)g{D)) = 0,
ÍỄ J
do C(t)g(D

) là compact tương đối với mỗi í G J. Tương tự như trên ta có
Xcx{S{-)g{D)) = sup ỵx(S{t)g{D)) = 0.
te J
2.2. Chứng minh tính điều khiển được
Với mỗi (:r, ù)

G C{

J; X

) X L2(J; V),

ta xác định tập
sịix.u) = {/ G l}ự\X) : f{t) G F(t,x{t),u{t)),t G J}.
Định nghĩa 2.2.1. Một hàm X G C(J;X) được gọi ỉà một nghiệm tích
phân của hệ phi tuyến (0.0.1)-(0.0.2) nếu tồn tại f G Sp(x,u) sao cho
(t)

= ơ(í) [x0 - y(®)] + ^(t

) [a?i - /i(x)] + í S(t-s) [Bu(s

) + /(s)] ás.
«/ 0
Để chứng minh tính điều khiển được cho hệ (0.0.1 )-(0.0.2), ta chia
việc chứng minh thành các bước. Bước thứ nhất, ta định nghĩa nghiệm
X
toán tử đa trị, có các điểm bất động là các nghiệm của bài toán điều khiển (0.0.1)-
(0.0.2).

Xét toán tử Q : C{J\X) —> X

được xác định bởi Qy

= y(T

) và toán tử tích phân
С

được xác định như sau:
С : L\J-X) C(J]X)
£(/)(*) = í s(t - s)f(s)ds. Jo
hĩa toán tử G

trên C(J:X):
Ngoài ra, ta định nghĩa toán tử Q trên C(J;X):
G{x){t)

= Cự)

[a?0 - g{x)] + S(t

) [zi - h(x)].

Ta xây dựng toán tử đa trị
T : C{J]X) X Ữ{J]V) V{C(J;X) X C{J]V)), T{x:u) = {(y{x,uj),z(x,uj)) : f €
5ị(a;,u)}, trong đó
z(x, u, f

) = B*S*(T -

OK)-1 [a* - Ỗỡ(a0 - Q£(/)] ỉ/(z, И, /) = Q(x) +

JCBZ(X, u, f
) + £(/).
ở đây toán tử Гд được xác định bởi (1.2.2) và X
T
€ X cho trước.
Chú ý rằng toán tử đa trị T

được xác định nhờ giả thiết (SA). Các phép chiếu của T
lên C(J;X

) và с

{J;V)

tương ứng được biểu diễn như sau
ĩĩi^ix, u) = {y(x, u j ) : f e sị(x, lí)}, (2.2.8)
1Г

2

Г(х, и)

= {z{x,

« , / ) : / € sỉ-(ж,

u

)}-

(2.2.9)
Rõ ràng nếu (x*,u*)

là một điểm bất động của T

thì tồn tại hàm / G Sp(x*,u*)

sao cho
X* = g{x*)

+ £(Bu*

+ /), (2.2.10)
= B'S'(T - ■)(TỊ)~l [xT - QQ(x') - acự )]. (2.2.11)
u
(2.2.
1)
(2.2.
2)
(2.2.
3)
(2.2.
4)
(2.2.
5)

Do đó, dễ dàng kiểm tra rằng hàm u*

là hàm điều khiển đưa (X

0

,XI

) tới X
T
=
X*(T).
Bây giờ ta đi tìm điểm bất động của T

thỏa mãn (2.2.10)-(2.2.11)
Dễ thấy toán tử đa trị T

có thể hạn chế trên C(J;X)

X C(J; V).

Chúng ta gọi T
là toán tử nghiệm.
Bước thứ hai, chúng ta sẽ chứng minh một số tính chất của toán tử T.

Mệnh
đề sau sẽ được sử dụng:
Mệnh đề 2.2.1. Toán tử £ xác định bởi (2.2.1 )-(2.2.2) thỏa mãn (Ll)-
(L2) với hằng số c = Mữ := sup
íe

j ỊỊẩ^ỊỊ. Ngoài ra, nó biến tập bị chặn
bất kỳ trong Ll(J\X) thành tập liên tục đồng bậc trong C{J\X).
Chứng minh. Sử dụng kết quả từ [121 Bổ đề 4.2.1], ta thấy c

thỏa mãn (L1)-
(L2). Mặt khác, nếu Q

c L1(J;X) là một tập bị chặn, thì với mọi f e Q vầ t

1:

t

2

e
J : t

2

> ti, tẫ có
\\C{f){t2) - £(/)(íi)||x = II [ S(t2 — s)f(s)ds — í S{t! - s)f(s)ds\\x
J

0 -'0
</ \ \ S { t 2 - s ) - S { t 1 - s ) \ \\ \ f { s ) \ \ x d s + ỉ ||S(Í2 - s)||||/(s)Ms.
J 0 Jtx
Sử dụng Mệnh đề 1.2.1, ta được
||S(Í2 - s) - S{t! - s)II < M [ 2 ewCdC < M(t
2

- íi)ewT.
Jtỵ — S
Sử dụng ước lượng này, ta được
||£(/)(í2)-£(/)(íi)||x < Af(Í2-íi)ewT [ \\f(s)\\xds+M

0



Ị ||/(s)||xưs.
^0 Jtỵ
Bất đẳng thức cuối suy ra kết luận thứ hai trong Mệnh đề 2.2.1. □
Mệnh đề 2.2.2. Giả sử A là một tập bị chặn trong C(J;X) X Ơ(J; V).
Khỉ đó tập TĨ2^F{Ả) là liên tục đồng bậc trong C(J; V).
Chứng minh. Giả sử D

= ĩĩi(A).

Khi đó D

là một tập bị chặn trong C(J;X).

Với
bất kì V G 7r2Jr(Л

), tồn tại một (x,u

) Ẽ Л và / E <s^(a;,w) sao cho
(í) = B'S'(T - t)(rỊ)-' [xT - QÇ(x) - QCỰ)]
Từ đó

\\v(t

2

)

- t7(*i)||v
< ||Б* II • \\S*(T - t
2
) - S *( T - íi)ỊỊ • WFîr'W (IIxtIU + \\Qg{x) \\
x
+ \\Q£(f)\\x)
< Ì||S|| ■ IIsự -

1 2) - S(T -

«он оыи + IIÖÖWIU + пасти*)
ì||B||M|t2 - ь\е“

т



(\\x

T

ị\

x

+ ị\QQ(x)\\

x

+ ||Q£(/)|U). (2.2.12)
ở đây ta sử dụng bất đẳng thức (1.2.3) và Mệnh đề kiện (GH2), ta có
\\QG(x)\\x = IIC(T)[xQ - g(x)] +5(T)[æi - h(x)] \\x
<
И ^ С П И
( I k o l l x
+ C ' A ( I M I c ) ) +
\\S{T)\\
( l l ^ i l l x
+
С ' й Ф / Д Н ж Н с ' ) ) .
Vì vậy có thể tìm Mi > 0 sao cho
\\QQ{x)\\x < M ị , với mọi X G D.
Ngoài ra, do (F3), ta có
ll<W)ll* = || г S(T-s)f(s)ds\\x J 0
< М0Ъ(\\х\\с + IMIc) / /- i{s)ds
J 0
với mọi / G S

l



F

{x, ù).

Do Л

là bị chặn, tồn tại một số M

2

>

0 sao cho
\ \ Q £ ự )\ \ x < M2 ,
V
у
v
Ap dụng điều
1.2
(2.2.13
(2.2.14
với mọi (x, ù) G A. Do đó thay (2.2.13) và (2.2.14) vào bất đẳng thức (2.2.12), ta được
là liên tục đồng bậc trong C(J; V). □
Ta sẽ sử dụng các kết quả sau.
Bổ đề 2.2.1 (|Щ Bổ đề 5.1.1]). Cho F thỏa mãn (F1)-(F2) và {(x
n
, u
n
)} с C { J ] X )
X C { J ] V ) là một dãy hội tụ tới (x*,u*) G C(J',X) X C ( J ] V ) .
Giả sứ rằng {4>
n

} với Фп G sị(x
n
,u
n
) hội tụ yếu tới Ф* trong L
l
{ J \ X ) ,
khỉ đó ф* E sị(x*,u*).
Bổ đề 2.2.2 (|Щ Định lý 1.1.12]). Giả sử X và Y là các không gian metric và
G : X —¥ V(Y) là một ánh xạ đóng, tựa compact với giá trị compact.
Khi đó G là nửa liên tục trên.
Ta đưa ra tính chất thứ nhất cho toán tử nghiệm.
Bổ đề 2.2.3. Giả sử có (F1)-(F3) và (GH1)-(GH2). Khi đó toán tử đa
trị T cho bởi ( |2.2.4[ )-( |2.2.6| ) là một ánh xạ đa trị tựa compact.
Chứng minh. Giả sử к

с C(J;X

) X C(J; V)

là một tập compact và
D

= 7Ti{K),c = TĨ

2

{K).

Từ (2.2.6) ta có

X v { K 2 T( K )( t ) ) = x v (B ' S' ự - t ) ( Tl ) -1 [ xT- Q Q ( D ) - aesỊ.(«•)])
< ||B*S(T - (хт - QS(D) - QCSị(K))
< ||B*5,(T-<)(rJ)-1||^,«[xx(ee(ô)) + X X { Q C S ] , ( K ) )
Ta lại có
Xx (Q Q (D )) = Xx (c(T)[x0 - g (D ) } + S(T)[n - л(д)])
< l|C(r)||x^(ff(-Đ)) + ||5(Т)||Хл(Л(Д)) = 0,
Do g,h : C{J\ X)

—ï

X

là liên tục và D

с C(J]X

) là tập compact, nên g(D

) và
h(D

) là các tập compact. Mặt khác,
Xx{{f{s) : / e Sp{K)}) < xx{F{s,D(s),C{s))) = 0 với mỗi s e J,
(2.2.15)