Luận văn thạc sĩ toán lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (459.69 KB, 61 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ
NỘI 2

BÙI THỊ NGA

LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Văn Hùng

Hà Nội, 2014

Lời cảm ơn
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hùng, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tơi có thể hồn
thành luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cơ giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập.
Nhân dịp này tơi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã ln động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tơi trong q trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả

Bùi Thị Nga

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng,
luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài “Lí thuyết ổn
định của hệ phương trình sai phân” được hoàn thành bởi nhận thức
của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả

Bùi Thị Nga

Mục lục

Chương 2 Lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân

21

2.1 . Khái niệm sự ổn định

21

2.2.

Sự ổn định của hệ tuyến tính với hệ số phụ thuộc N .

27

2.3. Sự ổn định của hệ tuyến tính với hệ số hằng

29

2.4. Phép phân tích khơng gian pha

32

2.5. Phương pháp Liapunov

39

2.6. Phương pháp thứ 2 của Liapunov
2.7.
On định bởi xấp xỉ tuyến tính

47
49

Chương
3.1.

58

3. Một số ứng dụng

58

Một lồi với hai lớp tuổi

60

3.2. Mơ hình chu kì kinh doanh

Nghiên cứu trường hợp loài bọ bột cánh cứng
3

Mơ hình của Nicholson-Bailey

6
8

3.3.
3.4.
Kết luận
Tài liệu tham khảo

71

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hệ phương trình sai phân được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác
nhau của tốn học, chẳng hạn như giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò
chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp, khoa học máy tính, lý thuyết
mạch, di truyền học, kinh tế học, tâm lý học và xã hội học, ... . Vì vậy, việc nghiên
cứu phương trình sai phân là một vấn đề thời sự của toán học được nhiều nhà toán
học quan tâm.
Bên cạnh đó, lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định
tính phương trình sai phân. Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở các lĩnh vực khác
nhau, nhất là trong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinh thái và mơi trường. Vì

thế nó đang được phát triển mạnh mẽ theo cả lý thuyết và ứng dụng.
Với những lý do đó, tơi chọn đề tài "Lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai
phân" để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiền cứu
-

Luận văn nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, phương pháp giải
một số hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một.

-

Luận văn nghiên cứu lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và một
số ứng dụng của nó.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu, những nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
-

Nghiên cứu các tài liệu khoa học về phương trình và hệ phương trình sai phân;
4

-

Trình bày lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và một số ứng
dụng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hệ phương trình sai phân, lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và

ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của phương trình, hệ phương trình vi phân, phương
trình sai phân, sự ổn định của hệ phương trình vi phân.

6. Đóng góp mới của luận văn
Trình bày sự ổn định của hệ phương trình sai phân và các
ứng dụng.

Chương 1 Phương trình và hệ phương trình
sai phân

Trong chương này chúng tơi trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình và hệ
phương trình sai phân. Các kiến thức này chủ yếu dựa vào [ỊỈj từ trang 57 đến
trang 153.

1.1.

Sai phân

1.1.1.

Định nghĩa

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu hai toán tử cần thiết cho phương trình sai phân, đó
là:
Tốn tử sai phân
A X ( N ) = X ( N + 1) — X ( N ) .
Toán tử dịch chuyển

E X ( N ) = X ( N + !)—>■ E 2 X ( N ) = E ( E X ( N ))
= Ex(n + 1) = x(n + 2) —»• E k x(n) — x(n + k).
5

1.1.2.

Tính chất

1. Cho I là tốn tử đồng nhất I X = X. Ta có,
A = E - I ^ E = A + I.
Do đó,
k
k

k

ýCíEk~Ìx(n)

A x{n) = (E- I) x{n ) =

ơ- 1- 1 )

i =0
k

k

k

E x { n ) = (A + I ) x { n ) = C ị A ^ x i n )
i=0

6

(1.1.2)

A và E là các tốn tử tuyến
tính

7

A[ax(n) + byin )] = aAx(n) + bAy(n )
E[ax(n ) + by(n )] = aEx(n ) + bEy(n )
3.
n— 1
yì Aa;(fc) = x(n) - x(n0),
71— 1

x(fc)) = x{n).

(1.1.3)
(1.1.4)
Thật vậy, với P ( N ) =
+ • • • + ữfc, ta có

A0NK

+ CLINK

1

AP ( N ) = [ A Q ( N + L ) K + ữi(n 4- l)fc_1
+----------------------------------------------------------1- ữfc]
—

[a0nfe + A I N K ~ L +-----------h
AK\

AỮKNK~L

+ Q I ( N ) , Qị(n) là đa

thức có bậc nhỏ hơn K — 1.
Tương tự,
A 2 P(n) = a 0 k(k — 1 )
n k 2 + Qĩin)

Q Ĩ I N ) là đa thức
có bậc nhỏ hơn K
— 2.
Tiếp tục quá trình K lần ta thu được
A k P{n) = a 0 k\.

Do đó, AK + I P ( N ) = 0, Vi > 1.

1.1.3.

8

Đa thức giai thừa

Một trong những hàm thú vị nhất của
tính tốn sai phân đó là đa thức giai
thừa X ^ K \ Với iễR
^ =

X ( X — 1)...

X

(X

—K

+ 1), K & z+.

9

Nếu X — nElỉ + vkn>k thì

n ^ = 7--------và n(n)
= n\.
\n — k)\
Bây giờ ta xác định A và E trên những hàm
liên tục
A/(í) = f ( t + 1) - f ( t ) và E f ( t ) = f ( t + 1).

Với F ( X ) = X ^ ta có
Ax { k ) = (x + l)(fe) - x { k ) và Ex { k ) = (x+ l) k .
Tính chất: cố định K e z+ và X E M ta có
(i) Ax^
(ii) A n x^ = k(k — 1)... (k — n +
l)x( k ~ n ì-,
(iii)

1.2.

A k xW = kỉ.

Phương

trình

sai

phân

tuyến tính
1.2.1.

Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1. Phương trình sai phẫn

tuyến tính khơng thuần nhất cấp k có
dạng
y(n + k)+ Pi(n)y(n + k - 1) H

----------------------------------------------------b
p k (n)y(n )
=
g(n )
----------------------------------------------------(1-2.1)
với Pi(n),g(n ) là những hàm thực xác
định với Vn > n ữ ,Pk(n ) 7^ 0.
Nếu g(n ) = 0 thì phương trình (1.2.1)
gọi là phương trình thuần nhất.
Từ (L2J.) ta có

1

Y(N

+ K ) = -pi(n)?/(n + K 0 - 1)
---------------------------------------------P K ( N ) Y ( N
--------------------------------------------------------------Chon = 0 ta có y(k) = -p 1 (0)y(k-l)-

p 2 {0)y{k-2) -------------------------------------------------------------------------Cho n = 1 ta có y(k+l) = -p 1 (l)y(k)-

p 2 {l)y{k-l) -----------------------------------------------------------------------------Bằng cách lặp lại q trình trên, ta có thể
tính được giá trị của tất cả các
>

K.

YIN)

với

N

1

1.2.2.
Nghiệm của phương trình sai 1phân
tuyến tính
Phương trình sai phân tuyến tính với điều
kiện ban đầu
y(n + k) +Pi(n)y(n + k- 1) H
---------------------------------------------------\-Pk{n)y{n)

=

g(n),

---------------------------------------------------(1.2.3)
Y(N0) = AỮ, Y(N0
+ K - 1) = afc_i,

+ 1) = A U ..., Y ( N Ữ

với FLJ Ễ 1 có nghiệm duy nhất Y ( N ) .
Trong phần này ta sẽ nghiên cứu
phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất cấp K có dạng
x(n + k) + Pi(n)x(n + k — !) + •••+

p k (n)x(n ) = 0.

(1.2.4)

Định nghĩa 1. 2. 2. Một hệ gồm k

nghiệm độc lập tuyến tính của
(1.2.4) được gọi là hệ nghiệm cơ

bản các nghiệm.
Định nghĩa 1.2.3. Định thức Wronski

của hệ nghiệm Xi(n), a? 2(n), • • •
,x r (n ) là
( Xị (n)
•••
^

w (N ) = det

X Ị ( N + 1)
•••

X

£2(71

XR(N

+

\ X ị ( n + r — 1) x 2 ( n + r —
1) ••• x r ( n + r — 1) J

(1.2.5)
Ví dụ 1. 2. 1. Cho phương trình
X(N

+ 3) — 7 X ( N +
1) + Q X ( N ) = 0.
Định thức Wronski của các nghiệm 1,
(—3) n ,2n của phương trình trên là

\

(-3)n

1 ( - 3 )n+1 2 n+1 \

w (N ) = det

2n

1
2

x

—20.2n(—3)n.

1 ( - 3 )n+2 2n+2J

Bổ đề 1. 2. 1. (Bổ đề Abel)

Cho xi(n),x 2 (n),... ,Xk{n ) là các
nghiệm của (1.2.4) và W(n) là định
thức Wronski. Khi đó với n > n 0
ta có
W ( N ) = (-!)*<”-”■> ( n
PL(Í) ) W(NỮ).
l
=
n
0

1

CHỨNG

MINH.

Ta sẽ chứng minh bổ 3

đề cho K — 3. Trường hợp tổng quát
chứng minh tương tự. Gọi Xi(n), x2 (n),

3

là 3 nghiệm độc lập tuyến
tính của (1.2.4). Ta có
x (n)

x 3 (n + lỶ k

^Xị(n + 1) x 2 (n+ 1)
w(n

+ 1) = det

X ị ( n + 2)

\xi(n + 3)

x2{n +

2) x 3 ( n +

x2(n +

(1.2.7)

2)

3) X 3 ( n + 3 ) J

Mặt khác, từ (1.2.4) ta có
X i ( n + 3) = -p 3( n ) x i ( n ) - [ p i ( n ) x i ( n
p 2{ n ) x i ( n + 1)].

+ 2) +

Do đó
X 2 ( N + 1)

Xi(n+1)

Í

x3(n+l)

x 1 (n + 2 )

W( N + 1) = det

x 2 (n + 2)

x 3 (n + 2)

-P\Xi{n)

~PzX2 (n)

^

-P3X3 {n)

~ P i X i ( n + 2 ) -p i X 2 { n + 2 ) - p i X 3 ( n

+ 2) ^ - p 2 £ i ( ™

+ l) -p2x2{n + l) -p2x3(n + l)J

^X I ( N +1 ) x2(n+l) £3(71+1)^
= det

£i(n + 2) X 2 ( N + 2) x3(n + 2)

-P 3 X 3 { N ) J

^-p3Zi(rc)

Ị X I ( N + 1 ) £2(^+1) £3(71+1)^

= -p3(™)det

Xi(n +

2)

x2(n +

Xi (n)

2)

£

3(71

x 2{ n )

+

2)

z 3( n )

^ Xi(n) a;2(n)

= -P3(n)(-l)2det

z3(n)

£1(71 + 2) X 2 { N + 2) £3(71 + 2)
^ i ( n + l ) x 2( n + l ) £ 3(

71+ l ) y

Vậy
n— 1

Ì = UQ

71— 1

Ì=7lo

□

Hệ quả 1.2.1. G I Ả
W (n0)

SỬ

P K ( N ) Ỷ 0,Vn > N

Ữ

THÌ W(N)

Ỷ 0,Vn > N 0

KHI VÀ CHỈ KHI

Ỷ 0-

Định lý 1.2.1. Hệ nghiệm của (Ị1.2.4Ị)

Xị(n),

x 2 (n),.. ,

Xk(n)

là một hệ cơ bản nếu và chỉ

nếu tồn tại n ữ G z + sao cho w (n 0) ^ 0.

Ví dụ 1.2.2. Hệ {n , 2n } là hệ nghiệm cơ bản của phương trình
X(N

3N — 2 .
.
2N
+ 2)--------------X ( N + 1)
H——— X ( N ) = 0.
77,-1 N — 1

Định lý 1.2.2. Nếu Pk(n ) 7^

0,Vn > n 0 í/ỉỉ (1.2.4) có một hệ nghiệm cơ bản

với mọi n > n 0 .
CHỨNG
Xị(n0

MINH.

Giả sử (1.2.4) có các nghiệm X I ( N ) ,

X2(N),...

, X K ( N ) sao cho

+ i - 1) = 1, Xị(n 0 ) = Xị(n 0 + 1) = • • • = Xi(n 0 + i - 2)
= X ( N + ô) = ããã = X I ( N 0 + K — 1) = 0V1 <

I

<

K.

Do đó,
^l(^o) = L , X 2 ( N 0 + 1) = 1, X 3 ( L Ĩ Q + 2) = 1, ■ ■ ■ , X Ỵ { N Ữ + K - 1) = 1.
Từ đó,

w
Vậy hệ {zi( N ) ,

X2(N),

( N 0 ) = detl = 1.
□

■ ■ ■ , X K ( N ) Ị là hệ nghiệm cơ bản của (1.2.4). Bổ đề

1.2.2. C H O X Ị ( N ) , X 2 ( N ) L À H A I N G H I Ệ M C Ủ A (1.2.4). K H Ỉ
(i) x(n ) = Xị (n) + a^ 2(n) cũng là nghiệm của (1.2.4);

ĐÓ:

(iỉ) x(n ) = axi(n ) với a là hằng số bất kì cũng là nghiệm của (1.2.4).
Định nghĩa 1.2.4. Cho {xi(n),x (n), ■ ■ ■ ,Xk(n)} là hệ nghiệm cơ bản của
2

(1.2.4)

. Khi đó nghiệm tổng qt của (1.2.4) là:

xn

E

k
aịXị{rì) với a,ị là hằng số. i= 1

1.3.

Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ

số hằng
Định nghĩa 1.3.1. Phương trình sai phãn tuyến tính thuần nhất với hệ số

hằng là phương trình có dạng
x ( n + k ) + P i x ( n + k — 1) + P 2x ( n + k — 2) + • • • + P k x ( n ) = 0
(1.3.1)
VỚI

PI

LÀ CÁC HẰNG SỐ VÀ

P K Ỷ 0- Xét phương trình đặc
trưng
+ P I \ K + • • • + P K = 0.
Ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1. Giả sử Ai, À2, • • • , Ajfc đơi một khác nhau. Ta sẽ chỉ ra {À", À2, • •
• , A£} là một hệ nghiệm cơ bản của (1.3.1). Thật vậy, ta sẽ chỉ
ra W (0) Ỷ 0, trong đó W (N ) là định thức Wronski,
1
Ị 1
1 ■■
'1ì

+■=
QJ
r
'ỡ
II

0'

Ai

a2

A3

A?

^2

\2

•K

\K —
1 ^3

• K-1)

Aị-1

A

3

Đây là định thức Vandermonde, nên
W ( 0) =

Rõ ràng 0) 7^ 0 do X J Ỷ \

v<

n

l
3i I 7^ J - Như vậy {À”, À2, • • • , A£} là một

hệ nghiệm cơ bản của (1.3.1). Do đó, nghiệm tổng qt của phương trình là
ữị

G c.

Àr là nghiệm bội tương

Trường

-M-M. uvii t o
r

hợp

2.

x n
ữiXr

k

()=
i 2—1
, ,\r ^

GiảsửÀi,À 2 ,

với ĨRIỊ = K . Khi đó (1.3.1) có thể viết như sau:
I= 1

^

ứng M I , ra2,..., M R

(E - X 1 ) m i {E - x 2 ) m 2 •••(£- Ar) m r x{n) = 0.

(1.3.2)

Ta chú ý rằng nếu ' T P I Ị N ) , I P 2 { N ) , ■ ■ ■ { N ) là nghiệm của
(E - A i) m i x{n) = 0

(1.3.3)

thì cũng là nghiệm của (1.3.2). Thật vậy, giả sử

IFS(N)

là nghiệm của (1.3.3) thì ( E

— \ Ị ) M I I P S ( N ) = 0. Giả sử ta có thể tìm được một hệ nghiệm cơ bản
của (|1.3.3|) với mỗi i, 1 < Ỉ <

R,

khi đó hợp của r hệ nghiệm cơ bản đó là hệ nghiệm cơ

bản của (1.3.2). Thật vậy, xét bổ đề sau
BỔ đề 1.3.1. T Ậ P G I = {A?, Or\ Or2> • • • > C™‘-1Arm‘+1} L À
nghiệm cơ bản của (1.3.3)
CHỨNG

MINH.

Trước hết, ta chỉ ra rằng C R N \

nR

là nghiệm của (1.3.3). Thật vậy,

{E X i ) m i CỊ l Xị~ r = \r r (ẰiE - Xi^C, =

ir

'n

-

r

Xét W(0) :

mi

A C

r

n

= 0, theo (ỊTÕỊ).

1

0

1

0

A?

2A;

0

1
2!3!... ( R R II — 2)!

m.i-1

(mi

1) \irii-2

1! *

□
Định lý 1.3.1. G =

CHỨNG

X» + m *~ r (E - I) m i C r n = x"+ m >-

0

Ai

W(0)
=

MỘT HỆ

MINH.

IX

;1

2!3!... ( R R II - 2)!

Gi là một hệ nghiệm cơ bản của (Ị1.3.2Ị).

Theo bổ đề trên, ta có các hàm của G là nghiệm của (1.3.2)

/
1

Ai
W(0) = det

0
1

Ai

2XL

VAĨ-1 (fc - 1)ÀĨ

1

• • • X2R
k
—
2

0
1
2 À;

AỊ"1 (k-l)X k r - 2 J

\

7^0.

hay
W"(0) = n (Ai-AO’
lv<
Vì Ằ Ị Ỷ 3i I 7 - J nên W (0) Ỷ từ đó W ( N ) 7^ 0, Vn > 0. Vậy G là hệ
nghiệm cơ bản của (1.3.2).
Hệ quả 1.3.1. N G H I Ệ M

TỔNG QUÁT CỦA

□

(1.3.2) L À
n

n

( )=

+
-Ị

X

AÌ2N2

f am._inmi_1).

1=1

Ví dụ 1.3.1. Cho phương trình
X(N

+ 3) — 7 X ( N + 2) + Ì Q X ( N + 1) — 12 X ( N ) = 0 x(0) =

0, z(l) = 1,

X(2)

= 1.

Dễ thấy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
X(N)

1.4.

= 3.2n + 2 N . 2 N — 3n+1.

Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ

số hằng
Là hệ phương trình có dạng
Xi(n + 1 ) = a n X i ( n ) + ai2X2{n) +

x2(n + 1) = a2ịXi(n) +

+

a l k x k (n)

+ a 2 k x k (n )
k

x k ( n + 1) = a k i X i ( n ) + a k 2x 2( n ) + • • • + a k k x k ( n )

trong đó D Ị J , 1 < I , J <

K

là các hằng số.

Đặt
^ữn Ũ 2 ã ã ã

ô21 đ22 ã ã ã

đ2fc

ai*A

A

\a k i Clk ■■■ ữkk/
2

a22X2(n) +

Hệ phương trình sai phân đã cho có thể viết dưới dạng ma trận như sau
x(n + 1) = Ax(n).

(1.4.1)

Nếu từ một giá trị n0 > 0 mà X ( N 0) = X Ữ cho trước thì hệ (Ị1.4.1Ị) được gọi là bài tốn có
giá trị ban đầu.
Bằng quy nạp, ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của hệ phương trình fll.4.ip được cho bởi
x ( n , n 0 , x 0 ) = A n ~ n ° x 0,

với A ° = I là ma trận đơn vị và X ( N 0 ,

NỮ,

(1.4.2)

x0) = X 0 .

Nếu N Ữ — 0 thì nghiệm trong cơng thức (1.4.2) có thể viết là X ( N , N 0 ) hoặc đơn giản
là X ( N ) . Khơng làm mất tính tổng qt chúng ta có thể giả sử 77,0 = 0.
Đặt Y ( N — N ữ) = X ( N ) , khi đó hệ (Ị1.4.1Ị) trở thành:
y 0 = x(n 0 ) và y(n) = A n y 0 .

y(n + 1) = Ay(n)]

(1.4.3)

Như vậy bài tốn giải giải hệ phương trình sai phân (1.4.3) được đưa về
bài tốn tính ma trận A N . Xét phương trình đặc trưng của hệ (1.4.3)
det(A — AI) = 0 ^ Àk + aiÀk_1 + • • • + ak-iA + ak = 0.

(1-4-4)

Giả sử phương trình (1.4.4) có các nghiệm là Ai,..., Ajfc. Đặt
k

P( X) = JỊ(a - Xị).

(1.4.5)

j =1
Định lý 1.4.1. (Định lí Cayley-Hamilton)

Mọi ma trận đều thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó, tức là
P ( A ) = IỊ04 -

= ũ.

k
(1.4.6)
3 = 1

Hay
A‘ +

H--------h a t I = 0.

(1.4.7)

Thuật tốn Putzer tìm ma trận A N .
Định lý 1.4.2. Cho A là một ma trận thực cấp к , có cấc giá trị riêng Ai, A 2,...,

Khi đó
s

A n = J2uj(n)M(j - 1). (1.4.8)

3 =1

Trong đó
(1.4.9)
Bằng quy nạp ta có thể chỉ ra rằng
n

M(n) = П(Л - V) (1.4.10)

j= 1

Ta thấy rằng, từ định lí Cayley-Hamilton ta có
n

M ( K ) = L [ ( A - Aj/) = 0.
3 = 1

Ngoài ra M ( N ) = 0, Vn > K . Nếu cho N = 0 thì từ cơng thức (1.4.8) ta có
л° = / = ui(0)/ + u2(0)M(l) + u 3 (0)M(2) + --- + ufc(0)M(fc-l). (1.4.11) Do đó, Wi(0) =
1 và U 2 ( 0) = w3(0) = • • • = U K ( 0 ) = 0.
An+1 =

Mặt khác, từ (1.4.8) cũng có

J 2 uị{n+l)M{j-l)

(1.4.12)

3 =1

vá

лп+1 = A.A n = А

Uj{n)M(j -ĩ) =Y^ Uj(n)AM(j
j=1

Từ (1.4.12) và (1.4.13) ta có

J

j=1

- 1). (1.4.13)

từ (1.4.9) ta có
A M T Í - 1) = M ( J )
+ X I M ( J - 1)
Bây giờ ta sẽ xây
dựng công thức
xác định hàm
U ( N ) . Từ
(1.4.15) và từ
(1.4.14) ta có:
k
^UỖ{N+L)M
{ J - 1) =
Ỵ2UẢN)IMU)
+ X 3 M ( J - !)]•
j =1
So sánh các hệ số