Luận văn thạc sĩ toán nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• •••

PHAN ĐÌNH CƠNG

NGHIỆM Cơ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ LÀ CÁC HÀM GIẢI TÍCH
Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02

•

••

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn
Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đối với P G S . T S H à
T i ế n N g o ạ n ; thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tác giả hồn thành Luận văn

này.


Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
Phịng Sau Đại học, cùng tồn thể đội ngũ giảng viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hồn
thành khố học.
Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Phạm Cơng Bình đã tạo điều kiện

thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn những người thân trong gia đình, tập thể lớp K16 Tốn
Giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, quý thầy cô đồng nghiệp trường THPT Phạm
Cơng Bình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên rất nhiều trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn !
H à N ộ i , t h á n g 7 n ă m 2 0 1 Ậ Tác giả

Phan Đình Cơng\

Lời cam đoan
Dưới sự hướng dẫn của P G S . T S H à T i ế n N g o ạ n , tác giả xin cam đoan luận
văn Thạc sĩ chun ngành Tốn Giải tích với đề tài “ N g h i ệ m c ơ b ả n c ủ a p h ư ơ n g
t r ì n h e l l i p t i c t u y ế n t í n h v ớ i h ệ s ố l à c á c h à m g i ả i t í c h ” được hồn

thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả, không trùng với bất cứ luận văn nào
khác.
Trong quá trình làm đề tài, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với
sự trân trọng và biết ơn.


H à N ộ i , t h á n g 1 n ă m 2 0 í 4 Tác giả

Phan Đình Cơng


Mục lục
MỞ ĐẦU.
Chương 1.

SĨNG PHẲNG VÀ CƠNG THỨC BIỂU DIỄN

HÀM số BẤT KỲ QUA SÓNG PHANG

4

1.

Một số ký hiệu

4

1.

Khái niệm sóng phẳng

5

1.

Cơng thức biểu diễn hàm số

8

2.

Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng

8

1.

1.

1
1

Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng

Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính khơng

thuần nhất với vế phải là các hàm sóng phẳng.
1.4.1

Bài tốn Cauchy, Định lí Cauchy-Kowalewski

.

Bài tốn Cauchy trong trường hợp vế phải đồng nhất bằng 1

1.4.2

1
4

Bài toán Cauchy với vế phải là hàm sóng phẳng

1
4
14 2

Chương 2.

NGHIỆM Cơ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH EL-

LIPTIC TUYẾN TÍNH
2

2.1 Phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.
Nghiệm cơ bản
2.1.
1.

Khái niệm phương trình elliptic tuyến tính
Định nghĩa nghiệm cơ bản

2
1
2
1

2.1.3. Xây dựng nghiệm cơ bản cho phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các
hàm giải tích

2


KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

4
9

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đối với một số phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hằng, nghiệm cơ
bản của chúng đã được các nhà tốn học tìm ra công thức biểu diễn dưới dạng
tường minh.
Luận văn đặt vấn đề mơ tả nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến
tính với hệ số là các hàm giải tích bằng việc sử dụng cơng cụ các sóng phẳng
trong khơng gian nhiều chiều. Với mong muốn được tìm hiểu s â u hơn v ề
vấn đ ề này tác giả chọn đ ề t à i : “ N g h i ệ m c ơ b ả n c ủ a p h ư ơ n g
trình

elliptic

tuyến

tính

với

hệ

số

là

các

hàm

giải

tích”.

Bố cục của luận văn gồm 2 chương
Chương 1. Luận văn trình bày các khái niệm về hàm sóng phẳng và một số
tính chất. Phát biểu và chứng minh một số định lý về công thức biểu diễn một
hàm số bất kỳ qua hàm sóng phẳng. Cũng trong chương này Luận văn trình
bày bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic với các dữ kiện Cauchy được
cho trên siêu phẳng.
Chương 2. Luận văn trình bày cách xác định nghiệm cơ bản của phương
trình elliptic tuyến tính thơng qua việc giải bài tốn Cauchy ở Chương 1. Đồng
thời đưa ra công thức nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với
hệ số là các hàm giải tích. Cũng trong chương này Luận văn ứng dụng nghiệm
cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính


7

để trình bày ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình elliptic tuyến tính
với hệ số là các hàm giải tích.
Luận văn được trình bày với cơ sở là nội dung chương 3 của cuốn sách:
"Fritz John (1955), P L A N E W A V E S A N D S P H E R I C A L M E A N S ,
Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin."

2. Mục đích nghiên cứu
Đưa ra cơng thức mơ tả nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính
với hệ số là các hàm giải tích trên cơ sở sử dụng phép biểu diễn hàm số bất kỳ
qua các sóng phẳng trong khơng gian nhiều chiều.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày các khái niệm sóng phẳng và cơng thức biểu diễn hàm số bất kỳ
qua các sóng phẳng, sau đó dẫn dắt ra công thức mô tả nghiệm cơ bản của
phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.

5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu và tổng quan kết quả về nghiệm cơ bản của
phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm
giải tích.

6. Dự kiến đóng góp của luận văn


8

Tổng quan về nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là
các hàm giải tích bằng cách sử dụng cơng cụ là hàm sóng phẳng.


Chương 1 SĨNG PHẲNG VÀ CƠNG THỨC
BIỂU DIỄN HÀM số BẤT KỲ QUA
SĨNG PHẲNG
1.1.

Một số ký hiệu

•

Rn = { X = (xi, X 2 , . . . , X N ) \ X Ị e K. , Ỉ = 1, N } .

•

Các chữ cái X , Y , Z , X , Y , Z , ^ , R } , C sẽ được thay thế cho các vectơ
( X Ị , . . . , X N ) , ( Y X , . . . , Y N ) , . . . , ( ( Ị , . . . , ( N ) trong khơng gian N

chiều, trong đó 71 > 2. Tất cả các chữ cái khác được thay thế cho các biến
vô hướng.
n

•

Tích vơ hướng của vectơ у và ж được kí hiệu là Y . X = yiXị.

•

Độ dài ( X . X ) Z của vectơ X là |xỊ.

•

Phần tử thể tích D X 1, . . . , D X N được viết tắt là D X , trong khi D S X được

i =1

kí hiệu phần tử diện tích mặt của một siêu mặt trong khơng gian N chiều.
Mặt cầu đơn vị có bán kính 1 với tâm ở gốc tọa độ trong
khơng gian X được kí hiệu là Í Ì X , phần tử diện tích mặt

cầu đơn vị là D U J X ,


•

Thể tích của hình cầu đơn vị trong khơng gian N chiều là 1 — ị 0 J N .
(
\nj
• Các phép tính tích phân được thực hiện trên tồn bộ miền biến thiên của
biến đó, trừ khi các hạn chế khác được chỉ ra.

•

Chứng minh hồn thành được kí hiệu là □.

1.2.

Khái niệm sóng phẳng

Định nghĩa 1.1. Cho G ( S ) là một hàm liên tục của biến vô hướng S , vectơ Y
= ( Y I , . . . , Y N ) ^ 0 được cố định thuộc không gian R n. Hàm số G ( Y . X ) là
một hàm theo biến X = ( X I , . . . , X n) và nhận giá trị hằng số trên các siêu
phẳng mà vectơ Y là pháp tuyến. Hàm G ( Y . X ) được gọi là một sóng phẳng.
Định lý 1.1. G i ả s ử n > 2 , g ( s ) l à m ộ t h ầ m l i ê n t ụ c c ủ ã b i ế n v ô

h ư ớ n g s . Ta c ó c ơ n g t h ứ c
+1

J g { y. x ) d u j x = U } n _ 1 J { l - p 2 ) ^ g { \ y \ p ) d p = u j n h { \ y \ ) , (1 .1 )
nx

-1

t ro n g đ ó h ( s ) đ ư ợ c x ấ c đ ị n h b ở i (1 .1 ), rỉa: l à m ặ t c ầ u đ ơ n v ị
t ro n g Rn.
C h ứ n g m i n h . Ta tính tích phân của G ( Y . X ) trong tồn hình cầu c ó

bán kính R với tâm ở gốc tọa độ bằng cách phân tích hình cầu thành các phần
thiết diện vng góc với hướng của Y . Trên mặt phẳng Y . X = \ Y \ P có
khoảng cách từ gốc là \ P \ , hàm G (X . Y ) có giá trị G (\ Y \ P ). Phần giao ( N
— 1) chiều của mặt phẳng đó với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1)
U!n_ 1 2

-v)

n —1

2

■


Suy ra

+r

J g { y. x ) d x = —зуУ { r 2 - p 2 ) ^ g ( \ y \ p ) d p .

—r

|x|
(1.2)

Lấy đạo hàm hai vế theo r và đặt r = 1 ta được
+1

Ị g ( y. x ) d u j x = u n _ 1 J ( l - p 2 ) ^ g ( \ y \ p ) d p = u j n h ( \ y \ ) .

-

□

5 ta
Định lý 1.2. C h o g ( s ) l à h à m l i ê n t ụ c v à g i ả s ử к > 0. K h i c ó
đ( các cơng thức sau

/|
í*.
J \ y. x \ h l o g
ị y. x ị d U a

2^_1Г (*±ỉ)
x\k

r(*±±)

lĩ

2v^_1r ( ^ )

r(s±i)

t ro n g đ ó c n ỵ l à h ằ n g s ố , T ( t ) l à h à m

M (los Ivl + C « T )

(1.3
)


C h ứ n g m i n h . Với G ( S ) = C O N S T . = 1 ta có H = 1, và từ (1.1) ta suy

ra cơng thức sau
1

^ n __ Í Í - \
_
„2\
______—
„
= / (1­P ) ’

r (g)r (ầ)
r(|)

d

(1.5

Từ công thức (1.5) suy ra một cơng thức nổi tiếng

2y/ĩfĩ

(1.

“”'ĩ(ĩĩ

đối với diện tích của mặt cầu đơn vị trong không gian N chiều. Cho G ( S ) = E I S
ta được
h ( s ) = U } n ~ 1 í ( 1 — p2 )^e i s p d p =

2"I> + 1)

1

^n J -1

(1.

trong đó J„ là hàm Bessel với chỉ số V =
Với g(s) = |sỊfc và #(s) = Ịs|fclogỊs|, từ (-L1) ta nhận được các kết quả tương
ứng sau đây
dw

2vy-1r(í±i) t
*=- r
1

- - l»l

Ị \ Y . X \ K log |ỉ/.x| Đ U , =

lí/l +

□

trong đó C N Ỵ là các hằng số nào đó.

N h ậ n x é t 1 . 1 . Công thức (1.3), (1.4) hiển nhiên cũng đúng khi K = 0 .

N—


1.3.

Công thức biểu diễn hàm số

1.3.1.

Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng

Định lý 1.3. G i ả s ử f ( x ) ỉ ầ m ộ t h à m t h u ộ c l ớ p c \ v ầ b ằ n g k h ồ n g

n g o ầ i t ậ p b ị c h ặ n n à o đ ó . K h ỉ đ ó t ã c ó c ô n g t h ứ c b i ể u d i ễ n sau
(A*) 5 ^ J Ị j f ( y ) \ ( y - z ) . x \ h

d y = 4(2?ĩ i ) n ~ 1 k \ f ( z ) (1.8)

với n lẻ vầ k = 1 , 3 , 5 , . . .
(Aa)"í* j (/ f { y ) [ { y - z ) . x f log |(ỉ/ - z).i| d u j x j d y = - ( 2 i r i Ỵ k \ ị ( z )

(1.9)
với n c h ẵ n v ầ k = 0,2,4,... ( c h o c ầ n = 2 ) , t ro n g đ ó
_n í)2
j =1 J

ỉầ toẩn tử Lãpỉace theo biến z.
C h ứ n g m i n h . Ta xét một hàm F ( X ) tùy ý thuộc lớp C Ị và bằng khơng

ngồi tập bị chặn nào đó. Khi đó
I |2 —n

/

9 I I , dy
(2 ĩ i ) U J n

u

( L 1 °)

là một hàm của 2: thuộc lớp Ơ2, thỏa mãn phương trình vi phân Poisson
AZ u ( z ) = f ( z )

trong đó là Laplace đối với các biến Zi,... ,z .
n

(1 .1 1 )


Với N = 2 hàm nhân trong (1.10) được thay thế bằng — log IY — Z \ .

2ĩĩ

Thật vậy, từ (ỊTTTTỊ) ta có
A z u = — ^ 2 w ~ Ị f ( y ) { y i - Zi) I y - z \ ~ n d y
ỞZị J

i

= !<* + *)*№’*1
i

= — ^ 2 Ị ĩ y Ả V + z)yi\y\~n d y

^n

=

J

i

~ ỉ i m n ĩ2 í ỉyẢV + z ) y i \ y \ ~ n d y
%

=

\y\>r

~ìimnĩ2 / “1 y \ ~ n f ( y + z ) d S v ~ Ị f { y + z ) ^ - { y i \ y \ ~ n ) d y
n r — J

T
J
O ĩ Ị ị
Ị[ĩ/|=r

|ĩ/|>r

= — limr [ f(y + z)d S y
u n r- > 0 J
I y\ = r
1_n

= m.
Việc chứng minh của công thức Poisson được đưa ra ở đây một cách chi
tiết, bởi sự quan trọng của nó cho những phần sau, vì tất cả các phép tính đạo
hàm đối với các tích phân kỳ dị sẽ được thực hiện bằng việc đưa đến cơng
thức này. Nó sẽ được đề cập đến cho phương trình cùng dạng được xác định
với giả thiết rằng F ( X ) thỏa mãn điều kiện Hổlder.
Bây giờ ta chọn N chẵn cho đồng nhất thức (1.4), N lẻ cho đồng nhất
thức (1.3), thay Y bằng Y — Z , nhân hai vế với F ( Y ) và lấy tích phân theo Y
(ta vẫn giả thiết rằng / là thuộc lớp C Ị và bằng khơng ngồi tập bị chặn nào


đó). Ta chọn một số ngun K khơng âm sao cho N + K là một số chẵn, và áp
toán tử A Z vào hai vế của đẳng thức cuối N ^ lần. Ta


1

k

A* \ y - z \ = k ( k + n - 2 ) \ y - z
thấy,

k

và N > 2 ta nhận được các công thức sau
on+ỉ-lr f k + 2 \ -p f k + n \ T ' í n \

\y - z\' = - —

(
A
[2 — n) 7Ĩ
(1.12)

I

,

2

*1

với N lẻ,
(AO^Iy-^logly-*!
=

2n+fc~2r (***) r (*y) r (f)
( 2 - n)

^_

K

2—

) \y

n

với N chẵn.
Từ công thức (|1.3|), (|1.4Ị), (|1.11|) ta có

(A.)

f(y)\(y - z).x\k dujx j dy= 4(2m)n 1k\f(z)
7

\

với n lẻ và K = 1,3, 5 , . . .

(A

f ( y ) [ ( y - z ) . x ] k log I( y - z ) . x I d u j x \ d y = - ( 2 ĩ r i ) n k \ f ( z )

với n chẵn và K = 0,2, 4 , . . . (cho cả N = 2), trong đó
_n í)2
j=

là tốn tử Laplace theo biến Z .

1J

□


N h ậ n x é t 1 . 2 . Về mặt hình thức ta có thể kết hợp các công thức cho N

chẵn và N lẻ bởi công thức sau
n

R

f ( y ) [ { y - z)-x\k •

\{y
z).x i

-

duix \
dy

(1.14)
trong đó log S kí hiệu các nhánh chính của hàm log xác định trong mặt phẳng
phức S với đường cắt dọc theo trục thực âm.
Công thức fll.8|), (ỊL9Ị) thế hiện việc biếu diễn của hàm F ( Z ) như một tổ hợp
tuyến tính của các hàm sóng phẳng của Z . Các hàm sóng phẳng Ở đây có một

trong hai dạng \ ( Y — Z ) . X \ K hoặc [ ( Y — Z ) . X \ K log I(y — Z ) . X \ .
1.3.2. Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng
Định lý 1.4. G i ả s ử f ( x ) l ầ m ộ t h ằ m t h u ộ c ỉ ớ p C ị v ầ b ằ n g k h ô n g

n g o à i t ậ p b ị c h ặ n n ầ o đ ó . V ớ i X ẽ Rn, |rc Ị = 1 v à p ẽ M t a đ ặ t
J{x,p)= Ị f(y)dSy
y. x = p

(1.1

ỉầ tích phẵn của f trên siêu phẳng với phấp tuyến đơn vị X vầ có
khoảng cách p (có tính tới dấu) từ gốc. Khi đó ta có cấc công
thức biểu diễn sau
2(2?ĩ i ) n 1 f ( z ) = ( A z ) " z 1 J J ( x , x . z ) d ù j 2

với n lẻ,

(1.1


(2ĩri)nf(z) = (Az)r^ẴJdujx Ị

dJ

p= + oc

^p)

(1.1

íĩ* P = - 00
v ớ i n c h ẵ n , t ro n g đ ó p h ẫ n t í c h f ( z ) t h à n h c ấ c h ầ m s ó n g p h ẳ n g .
Chứng minh. Theo công thức (1.15) J ( X , P ) =

Sử dụng

công thức (1.8) cho N lẻ với K = 1 ta có
JJf (y)\ (y- z).x\d U l d y = Jd u>, J

+ 00
|p| dp J" f( y)d S y

iỵz

fi*

(y — z).x=p

—oo

+

00

= J d ü J x J \ p \ J ( x , p + z . x ) d p . (1-18) f2 x
-00

Ta nhận thấy rằng đối với |x| = 1
+ 00
A* J \ p \ J { x , p + z . x ) d p

—

—

—

Ta nhận được từ (1.8) cho trường hợp n lẻ công thức sau đây
—

2(27T Ỉ Ỵ 1 f ( z ) = ( A z ) n z 1 J J ( x , x . z ) d u j x .
—

—

íL

ở đây tích phân biểu diễn (ngoại trừ một hệ số khơng đổi U )n) đại lượng

trung bình của các tích phân phẳng của / trên các mặt phẳng đi qua
điểm Một cơng thức tương tự có thể được suy ra cho N chẵn từ (1.9)
—


—

—

với K = 0. Ta chú ý ở đây đối với \ X \ = 1,
+ 00 +00 Az J log \ p \ J ( x , p + z . x ) d p = / (log

\p\)Jpp{x,p + z.x)dp
—

— 00 —00

+ 00
= / (log \ p - z . x \ ) J p p ( x , p ) d p
— 00
+ 00
= - —Jp(x,p)dp
—

—

—

—

—

—

—

J p - z.x

00 p= + 00 = _ f
dJ(x,p)
J p- x.z
—

—

—

p= — oo

Hai tích phân cuối cùng ở đây được hiểu theo nghĩa giá trị chính Cauchy.

Giá trị chính Cauchy của tích phân ở đây được hiểu là
+

—

00

—

—

—

J f { z ) d p = lim J f ( z ) d p .

■00

\ p — z. x \ > e

Khi đó ta nhận được từ (1.9) cho trường hợp N chẵn cơng thức
sau

p= + oc
(2ĩĩỉ)nf(z) = (Az)r^ẴJdujx Ị dJ^'Ấ
—

—

—

—
—

tìx

P=-00

n

d2
trong đó A Z = > —là toán tử Laplace theo biến ■ * — 1 ' D Z I
—

3=1

j

□


1.4.

Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính

khơng thuần nhất với vế phải là các hàm sóng phẳng.
1.4.1.

Bài tốn Cauchy, Định lí Cauchy-Kowalewski
—

Gọi L [ U \ là tốn tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp M có dạng
"L .

—
—

—

= 1 ,...,71

—

k =0 i u - , i k

k

1

«
(1.19)

=

trong đó X = ( x i , x 2 , ■ ■ ., £ n ) € K n .

—

Với £ = (£i, £2J • • • J £n) £ ta xét
bậc m sau theo biến
£

—

đa thức
m

—

—

k=0 ỉivíH

—

= E E ^,...<»4..(1.20)

— 1 5 ...,71

Đặt

—

Q(x, 0=
£
L21
( )

—

—

í1

—

—

1

,...,71

Các đa thức P ( X , £) và Q(^, 0 được gọi tương ứng là biểu trưng và biểu

—

trưng chính của tốn tử L . Tốn tử L nói trên được gọi là toán tử elliptic nếu
Q ( X , £) thỏa mãn điều kiện sau
—

Q(z,ỉ)^0,

Ví

6R " ,

í/0.

(1.22)

Ta sẽ ln giả thiết rằng M là số chẵn.

—

—

Giả sử £
định. Trong

không gian
siêu

Mnta

xét


phẳng S Ị V sau

—

Sịv

—

= {x e Rn\ £.x — p = 0}
(1-23)

—

trong đó P € M là một số thực nào đó. Siêu phẳng này có vectơ pháp

—

tuyến là vectơ £. Nếu phương trình (1.19) là elliptic thì mọi siêu phẳng

S { P đều là không đặc trưng.
—

Ta xét bài tốn Cauchy sau đối với phương trình
L [»] = /(*),
(1.24)

—

với các dữ kiện Cauchy thuần nhất trên siêu phẳng nêu trên là

—

Q^u(x')
—

=
K = 0 , . . . , m - 1,

(1.25)

0,

trong đó vế trái là đạo hàm các cấp theo hướng £ của U ( X ) .

—

—

Ta có định lý Cauchy-Kowalewski sau đây
Định lý 1.5. G i ả s ử f ( x ) v ầ c á c h ệ s ố A ị 1 ^ i k ( x ) l ầ c ấ c

—

hầm giảitích.
Khỉ đó bài tốn Cauchy nói trên có duy nhất nghiệm giải

—

t í c h u ( x ) t ro n g l ẵ n c ậ n c ủ a s i ê u p h ẳ n g S { p .
—

Do mọi hàm F ( X ) đều có thể biểu diễn thành các hàm sóng phẳng nên

trong các mục sau ta sẽ lần lượt xét bài tốn Cauchy nói trên cho các trường hợp
F ( X ) = 1 và F ( X ) = G ( X . $ , — P ).

1.4.2. Bài toán Cauchy trong trường hợp vế phải đồng nhất bằng 1
—

Gọi

v(x,£,p) là

nghiệm của phương trình


L[V]

—

=

1

(1.26)
với các

—

dữ kiện Cauchy thuần nhất trên siêu
p là

phẳng
— =

—

0,

X

ẽ

S^p

,

k =

. . . , m
1.

0,
-

(1.27)

Ta sẽ chứng minh được nghiệm V này có dạng

—

v{x,£,p)

—

=

(z.£- p ) m w ( x , £ , p )
(1.28)

với W ( X , £ , P ) là hàm giải tích của X , £ , P trong miền

—

—

\x\
\P/\£\\<£.

(1.29)

Ta giả sử thêm các hệ số A Ị 1 ^ I K ( X ) là các hàm giải tích trong lân cận N

—

của một điểm nào đó. Khơng hạn chế tính tổng qt chúng ta có thể giả sử rằng
điểm đó là điểm gốc tọa độ.
—

Khi đó theo định lý của Cauchy-Kowalewski trong lân cận của điểm bất kỳ

X Ữ trong N nằm trên siêu phẳng ở đó tồn tại hàm V = V ( X , £,p) là

nghiệm của phương trình (1.26). (Chúng ta dùng ở đây đặc trưng elliptic

—

của phương trình, bảo đảm rằng các siêu phẳng thực khơng là mặt đặc trưng, cũng
như tính giải tích của các hệ số thỏa mãn định lý). Hơn nữa
V là xác định duy nhất. Vì V chỉ phụ vào L và siêu phẳng, nên nó phải là thuần
nhất bậc 0 theo £ và P .
—

Ta sẽ phân tích sự phụ thuộc của V vào £ và P . Cho thuận tiện ta có thể

biến siêu phẳng thành cố định bằng phép biến đổi trực giao. Phép biến đổi này có
thể được chọn địa phương để phụ thuộc một cách liên tục vào £ và P . Giả sử Ĩ ] là
vectơ đơn vị: \ Ĩ ] \ = 1. Khi đó siêu phẳng X . £ = P có thể biến thành siêu phẳng
X ' . Ĩ ] = 0 bằng phép biến đổi trực giao

—

—

’f

= x+

w , ~ m ^ r ) { ( + m ~ w (1-30)

bằng việc thử lại trực tiếp, với điều kiện £ không cùng hướng với —TỊ. (Đây

chỉ là phép quay trong mặt phẳng góc quay tạo bởi 2 tia £ và Ĩ ] ) .

—

Phép biến đổi ngược được cho bỏi công thức » ,

—

X=X+
—

—

(ỉ + Ị Ệ Ị V )
2Ỉ
2 x ' . ĩ icr lỉl - x+ .Í.I?) + Ị£1l i ici '
] f < (líl ’ (£
)

p

(1.31

Bây giờ với N là lân cận của điểm gốc trong không gian X , là hình
cầu
—

—

tâm là điểm gốc bán kính ố, trong đó hệ số của L là hàm giải tích. Ta

—

hạn chế £ với |f - 7)\ < \ vhp với ị p ị < f, thì \ Ệ \ >

—

—

1

Ảnh của N với phép biến đổi (1.30) là hình cầu N 7 tâm x ' = — p ĩ ỉ / |

£| bán kính ơ . Hình cầu N ' chắc chắn chứa hình cầu bán kính Ơ / 2 tâm là
điểm gốc của khơng gian x ĩ (Hình 1.2).
Bằng phép thế (1.31) các hệ số A ( x ) của L trở thành các hàm
—


A ' ( X ' , £ , P ) (với 77 giữ cố định). A ' ở đây là các hàm giải tích của

—

X ' , ^ , P với
—

Ấ1Ấ

I '\
\X I

2’ '' ■ T ■ 4

—

1
à
It
I
II ^
< 01 l£ - V \ < nl \ P \ < A

(1.32)

—

—

Toán tử L trở thành toán tử L ' tác động vào các hàm của X ' , với các hệ
số phụ thuộc giải tích vào X ' và tham số trong miền (1.32). Các hệ

—

số có thể khai triển thành chuỗi luỹ thừa hội tụ đối với X Ị , — R } I , P

—

với \ X ! \ , Ị£ - 7/1, \ P \ đủ bé.
—

Bài tốn Cauchy với V trên trở thành việc tìm một hàm V ' của phương

trình
—

L'[V'\ = 1

(1.33)
nó triệt tiêu với tất cả các đạo hàm cấp < M — 1 trên siêu phẳng cố định

—

x' .r] = 0.
—

Theo Định lý Cauchy-Kowalewski tồn tại số £ = E { R Ì ) < I và nghiệm

V ' = V ' ( X ' , £ , P ) của bài toán Cauchy được cho bởi chuỗi luỹ thừa hội tụ

theo X Ị , C I - T Ị I , P với
—

—

w\ < e,

lí — »íl < e> IH
(1.3

và như vậy nó là hàm giải tích của X£, p trong miền đó. Sự biến đổi

trước chúng ta thấy tồn tại nghiệm V = V ( X , ^ , P ) , là hàm giải tích của các
đối số của nó với
p c

—

—

< £ , If - v \ < £ ,X -----< £
\p\

ler

nên V — V ( X , £ , P ) cũng là hàm giải tích của các đối số của nó với