BỘ GIÁO án ôn THI vào lớp 10 môn TOÁN

Ôn thi vào lớp 10

UBND TỈNH THANH HÓA
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Số : 864 /TB-SGDĐT
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập- Tự do- Hạnh phúc
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2014
THÔNG BÁO
Về cấu trúc đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm 2014
I. MÔN TOÁN
1. Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.
2. Cấu trúc đề thi: tổng 10,0 điểm
a - Biểu thức đại số (2 điểm)
- Rút gọn biểu thức
- Toán về giá trị của biểu thức hoặc biến
b – Hàm số, đồ thị và hệ phương trình (2 điểm)
- Đường thẳng y = ax + b hoặc parbol y = ax
2
- Hệ phương trình
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
c – Phương trình bậc hai hoặc phương trình quy về bậc hai (2 điểm)
- Phương trình bậc hai
- Hệ thức Viét và ứng dụng
- Phương trình quy về bậc hai
d – Hình học: (3 điểm)
- Tứ giác nội tiếp
- Hệ thức trong tam giác
- Đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau
- Ba điểm thẳng hàng .
- Độ dài đoạn thẳng

- Số đo góc.
- Diện tích, thể tích
- Quan hệ giữa đường thẳng.
- Cực trị hình học
e - Phần dành cho học sinh khá, giỏi (1điểm)
- Bất đẳng thức
- Cực trị
1
Ôn thi vào lớp 10

UBND TỈNH THANH HÓA
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Số : 863 /TB-SGDĐT
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập- Tự do- Hạnh phúc
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2014
THÔNG BÁO
Về cấu trúc đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn
năm 2014
I. MÔN TOÁN
A. Môn Toán dành cho chuyên Toán và chuyên Tin
a. Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
b. Cấu trúc đề thi: tổng 10,0 điểm; loại câu hỏi: tự luận.
1 - Biểu thức đại số: (2 điểm)
- Biến đổi biểu thức
- Giá trị của biểu thức
2 – Phương trình và hệ phương trình: (2 điểm)
- Phương trình bậc hai, phương trình quy về bậc hai
- Hệ phương trình
3– Số học: (2 điểm)

- Phương trình nghiệm nguyên
- Toán chia hết.
4 – Hình học: (3 điểm)
- Tứ giác nội tiếp
- Hệ thức trong tam giác
- Đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau
- Ba điểm thẳng hàng .
- Độ dài đoạn thẳng
- Số đo góc.
- Diện tích, thể tích
- Quan hệ giữa đường thẳng.
- Cực trị hình học.
- Tìm tập hợp điểm
5 - Các bài toán khác: (1điểm)
- Bất đẳng thức.
- Cực trị.
- Toán suy luận logic.
2
Ôn thi vào lớp 10

B. Môn toán chung
a. Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.
b. Cấu trúc đề thi: tổng 10,0 điểm; loại câu hỏi: tự luận.
1 - Biểu thức đại số (2 điểm)
- Rút gọn biểu thức
- Toán về giá trị của biểu thức hoặc biến
2 – Hàm số, đồ thị và hệ phương trình (2 điểm)
- Đường thẳng y = ax + b hoặc parbol y = ax
2
- Hệ phương trình

- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
3 – Phương trình bậc hai hoặc phương trình quy về bậc hai (2 điểm)
- Phương trình bậc hai
- Hệ thức Viét và ứng dụng
- Phương trình quy về bậc hai
4 – Hình học: (3 điểm)
- Tứ giác nội tiếp
- Hệ thức trong tam giác
- Đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau
- Ba điểm thẳng hàng .
- Độ dài đoạn thẳng
- Số đo góc.
- Diện tích, thể tích
- Quan hệ giữa đường thẳng.
- Cực trị hình học
5 - Phần dành cho học sinh khá, giỏi (1điểm)
- Bất đẳng thức
- Cực trị
- Phương trình, hệ phương trình không mẫu mực.
- Phương trình nghiệm nguyên…
3
ễn thi vo lp 10

PHN 1: CC DNG TON
CHUYấN 1: rút gọn biểu thức
Ph ơng pháp:
- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
- Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:

+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị
biểu thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị
nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất. Do vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng
ứng, thích hợp cho từng loại bài.
*Tính giá trị của A tại x=?
* Tìm giá trị của x

z
* Tìm giá trị nhỏ nhất, giá tri lớn nhất của A
* Tìm giá trị của x để A.f(x) =g(x)
* Tìm giá trị của x để A=k; A
k;A
k
* Tìm x để
A A>
.
*Tìm x để
A A>
.
Dạng 1
Bài 1 Cho biểu thức
x 2 1
A ( ):
x 1 x x x 1
= +

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b)Tính giá trị của A khi x=3-2
2
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x

1.
Rút gọn
x 2 1 x 2 1
A ( ): ( ):
x 1 x x x 1 x 1 x 1
x( x 1)
= + = +


2
( x) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2
A .
1
x( x 1) x( x 1) x
+ + +
= = =

b. Khi x= 3-2
2
=
2
( 2 1)
4
( ) ( )

2
5 2 2 2 1
3 2 2 2 5 2 2
A 1 3 2
1
2 1
( 2 1)
+
+
= = = = +


ễn thi vo lp 10

Bài 2: Cho biểu thức
1 1 3
A :
x 3 x 3 x 3

=
ữ
+

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của xthì A >
1
3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất
Bài giải:
a) ĐKXĐ x

0;x 9

( )
( ) ( )
x 3 x 3
1 1 3
A :
x 3 x 3 x 3
x 3 x 3
+

= =
ữ
+

+
.
x 3
3

=
( ) ( )
6
x 3 x 3 +
.
x 3
3

A =
2

x 3+
b) A >
( )
1 2 1 2 1 3 x
0 0
3 3 3
x 3 x 3
3 x 3

> > >
+ +
+
3 x 0 >
( vì 3(
( x 3) 0)+ >

x 9 x 9 < <
Kết quả hợp với ĐKXĐ:
0 x 9
thì A > 1/3.
c)
2
A
x 3
=
+
đạt giá trị lớn nhất khi
x 3+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà

( )
min
x 3 3 x 3 3 x 0 x 0+ + = = =
lúc đó A
Max
=
2
x 0.
3
=
Bài 3: Cho biểu thức
3 1 1
P :
x 1
x 1 x 1

= +
ữ

+ +

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P =
5
4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M
x 12 1
.
P
x 1

+
=

Bài giải:
a) ĐKXĐ x
0;x 1
5
ễn thi vo lp 10

P =
( ) ( ) ( )
3 1 3 x 1 x 1
.
1
x 1
x 1 x 1 ( x 1) x 1

+ +

+ =

+
+ +

=
( ) ( )
( ) ( )
x 2 x 1
x 2
x 1

x 1 x 1
+ +
+
=

+
b)
( ) ( )
5 x 2 5
P 4 x 2 5 x 1 4 x 8 5 x 5.
4 4
x 1
+
= = + = + =

x 13 x 168 = =
(TMĐK)
c)
x 12 1 x 12 x 1 x 12 x 4 16
M . .
P
x 1 x 1 x 2 x 2 x 2
+ + + +
= = = =
+ + +
=
16 16
x 2 x 2 4
x 2 x 2
+ = + +

+ +
ta có
16
x 2 2 16 2.4 8
x 2
+ + = =
+
min
16
M 8 4 4 M 4 x 2
x 2
= = + =
+

( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
x 2 16 x 2 4 x 2 4 0
x 6 x 2 0 x 2 0 x 4(TMDK)
+ = + + + =
+ = = =
Vậy M
min
= 4
x 4 =
.
Bài 4: Cho biểu thức:
2 x x 3x 3 2 x 2
D : 1
x 9

x 3 x 3 x 3

+
= +
ữ ữ

+

a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức
b) Tìm x để D < -
1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Dạng 2
Bài 1 :Cho biểu thức:
a 2 a a a
P 1 : 1
a 2 a 1

+
= +
ữ ữ
+

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm a
z
để P nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
a) ĐKXĐ: a

0;a 1
( ) ( )
( ) ( )
a a 2 a a 1
a 1
P 1 1 a 1 : a 1
a 2 a 1 a 1

+


= + = + =

+ +

6
ễn thi vo lp 10

b)
a 1 2
P 1
a 1 a 1

= =
+ +

để P nhận giá trị nguyên thì
2
a 1+
nhận giá trị nguyên dơng.

a 1 +
thuộc ớc dơng của 2.
a 1 1 a 0
a 1
a 1 2

+ = =




=
+ =



a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện)
Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0
Bài 2: Cho biểu thức
( ) ( )
1 1
B
2 x 3 1 2 x 3 1
=
+ + +
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
a) ĐKXĐ
x 3;x 2

B =
( ) ( )
( )
( ) ( )
x 3 1 x 3 1
1 1 2 1
2 x 3 1 2 x 2 x 2
2 x 3 1 2 x 3 1
+ + +
= = =
+ + +
+ + +
b) B nhận giá trị nguyên khi
1
x 2+
nhận giá trị nguyên.
x 2 +


Ư(1)
x 2 1 x 1
x 2 1 x 3
+ = =



+ = =

thoả mãn điều kiện
Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên

Bài 3: Cho biểu thức:
( )
2
2 x 1
x x 2x x
P
x x 1 x x 1

+
= +
+ +
a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức
2 x
Q
P
=
nhận giá trị nguyên.
Dạng 3
Bài 1: Cho biểu thức:
( )
2
1 1 x 1
P :
x x 1 x
1 x
+

= +

ữ



a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P > 0
Bài giải
a) ĐKXĐ x>0; x
1
7
ễn thi vo lp 10

( )
( )
( )
( )
2
2
1 x
1 1 x 1 1 x 1 x
P : .
1 x x 1 x
x 1 x x 1 x
1 x


+ +

= + = =

+



b) P > 0
1 x
0 1 x 0
x

> >
( vì
x 0)>

x 1 x 1. < <
Kết hợp với ĐKXĐ:
0 x 1< <
thì P > 0
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1 a 1 a 2
P :
a 1 a a 2 a 1

+ +

=
ữ
ữ

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
b) Tìm giá trị của a để P > 0
Bài 3 : Cho biểu thức:
( )
2
1 x
x 2 x 2
P .
2
x 1 x 2 x 1


+
=
ữ
+ +

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm x để P <
1
2
Bài 4: Cho biểu thức:
x 3 6 x 4
P
x 1
x 1 x 1

= +

+

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
b) Tìm x để P <
1
2
Bài 5: Cho biểu thức:
1 a a 1 a a
B a a
1 a 1 a

+
= +
ữ ữ
+

a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B
b)Tìm a để B < 7- 4
3
Bài 6: Cho biểu thức:
a 1 1 2
K :
a 1
a 1 a a a 1


=
ữ
ữ

+

a) Rút gọn biểu thức K
b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2
2
c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0
Dạng 4
Bài 1 : Cho biểu thức:
x 1 1
A :
x 1 x x x 1

=
ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
8
ễn thi vo lp 10

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A.
x m x=
có
nghiệm.
Bài giải
a) ĐKXĐ: x > 0; x
1
( )
( )
( )

2
x 1 1 x 1 1
A : :
x 1 x x x 1 x 1 x 1
x x 1
x 1
x 1 x 1
.
1
x
x 1 x



= =
ữ







= =

b) A < 0
x 1
0 x 1 0
x

< <
(vì
x 0
<
)
x 1 <
kết hợp với ĐKXĐ 0 <x
< 1 thì
A < 0
c) P.t: A.
x 1
x m x . x m x x 1 m x(1)
x

= = =
( )
x 1 m x x x m 1 0(*) = + + =
Đặt
x t=
>0 ta có phơng trình
( ) ( )
2
t t m 1 0 *+ + =
để phơng trình (1) có
nghiệm thì phơng trình (*) phải có nghiệm dơng.
Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì:
( )
( )
1 4 m 1 0
m 1 0

= + +



+ <


5
4m 5 0
m
m 1
4
m 1 0
m 1


+



>

+ >


>

Vậy m>-1 và m
1

thì pt A
x m x=
có nghiệm.
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1
P 1 .
x 1 x x

= +
ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trị của P khi x = 25
c) Tìm x để P.
( )
2
5 2 6. x 1 x 2005 2 3.+ = + +
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x
1

( )
1 1 x 1
P 1 .
x 1 x x x 1
x x 1


ữ

= + =
ữ
ữ





( )
2
1
P
x 1
=

9
ễn thi vo lp 10

b) Khi x= 25
( )
2
1 1
P
16
25 1
= =

c)
( )
( )

( ) ( )
2
2 2
2
P. 5 2 6. x 1
1
x 2005 2 3 . 2 3 . x 1 x 2005 2 3
x 1
+
= + + + = + +


2 3 x 2005 2 3 + = + +

x 2005 =
TMĐK
Vậy x = 2005 thì P.
( )
2
5 2 6 x 1 x 2005 2 3+ = + +
Dạng 5
Bài 1: Cho biểu thức
1 1 1
A . 1
x 1 x 1 x

= + +
ữ ữ
+

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.
b)Tính giá trị của A khi x=
1
4
.
c)Tìm giá trị của x để
A A.>
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x
1

.
( ) ( )
1 1 1 x 1 x 1 x 1
A . 1 .
x 1 x 1 x x
x 1 x 1
+ + +

= + + =
ữ ữ
+

+
=
( )
( ) ( )
2 x x 1
2
A

x 1
x 1 x 1 x
+
=

+
b) Khi x =
1 2 2
A 4
1
4
1
1
1
2
4
= = =


c)
2
A 0 0 A 1 0 1.
x 1
> < < < <

( )
2
0 x 1 0 x 1 1
x 1
2 2 x 3

1 1 0 0
x 1 x 1 x 1
+ < > >


+ < > >

x 3 0
x 9
x 1 0

>

>

>


Vậy x > 9 thì
A A>
10
ễn thi vo lp 10

Bài 2: Cho biểu thức:
( )
x 2 x 1
A
x 1
x x 1

=


a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì
A A>
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x
1

.
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
x 2 x 1 x 1
x 2 x 1 x 1
A
x 1 x
x x 1 x x 1 x x 1
+

= = = =


b) Khi x=36
36 1 5

A
6
36

= =
c)
x 1
A A A 0 0 x 1 0
x

> < < <
(vì
x 0>
)
x 1 x 1 < <
Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì
A A>
BI 2: căn bậc hai
1.
AA =
2
; 2.
BABA =
(với A

0 và B

0).
3.
B

A
B
A
=
(với A

0 và B > 0); 4.
BABA =
2
(với
0B
).
5. a)
BABA
2
=
(với
0B và 0A
) b)
BABA
2
=
(với A < 0 và
0B
).
6.
AB
BB
A 1
=

(với AB
0)B và 0
); 7.
B
BA
B
A
=
(với B > 0).
8.
2
BA
BAC
BA
C

=

)(
(với A

0 và
AB
2
).
9.
BA
BAC
BA
C

=

)(
(với A
BA và 0B 0,
).
11
ễn thi vo lp 10

Các dạng bài toán thờng gặp trong CĐ I
Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức rồi thu gọn biểu thức đó.
Dạng 2: Tính giá trị của biẻu thức sau khi đã thu gọn.
Dạng 3: Tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức bằng hoặc lớn hơn một số thực
cho trớc.
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN, của biểu thức sau khi đã thu gọn.
Để làm tốt các dạng bài tập trên đề nghị HS tập trung vào các vấn đề sau:
1) Việc tìm ĐKXĐ là vô cùng quan trọng
2) Để thu gọn đợc biểu thức HS phải tìm đợc MTC và qui đồng mẫu số
(Trong quá trình tìm MTC cần chú ý đến hằng đẳng thức
( )( )
BABABA +=
22
và
qui tắc đổi dấu )
I. Tìm điều kiện xác định
Chú ý: +
)(xf
xác định khi và chỉ khi
0)( xf

+
)(
1
xf
xác định khi và chỉ khi f(x) > 0
+
)()(
)(
xhxf
xg

xác định khi và chỉ khi







0)()(
0)(
xhxf
xf
+
xx
x
+
3
xác định
0

0
0
0
0
>









+

x
x
x
xx
x
+
xx
x

3
xác định
01
1
0

0
0
>











x
x
x
xx
x
Ví dụ 1.1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau
a)
14 x
; b)
14 x
; c)
2
2
+x
d)
1

32


x
x
; e)
xx
x

; g)
5
2


x
m)
4
2
x
; n)
1
12
2
+
+
x
x
l)
xxx
x

+
1
1
II. Biểu thức liên hợp và trục căn thức
Ví dụ 1.2: Tính giá trị các biểu thức sau:
( )
131313324
2
====A
( )
131313324
2
+=+=+=+=B
( )
121212223
2
====C
Chú ý: Khi cần thu gọn các biểu thức trong căn ta cần liên tởng đến hai hằng đẳng thức
quen thuộc
( )
22
2
2 BABABA +=
. Trong khi viết nên viết số lớn đứng trớc để khi bỏ
dấu giá trị tuyệt đối ta không phải đổi dấu.
Ví dụ 1.3: Khi thu gọn biểu thức
549 =K
ta có thể biến đổi theo 2 cách sau:

Cách 1:
( )
252525549
2
====K
12
ễn thi vo lp 10

Cách 2:
( ) ( )
25525252549
2
=====K
vì
052 <
Rõ ràng là làm theo cách 1 thuận lợi hơn rất nhiều và không bị nhầm dấu.
Vận dụng:
1. Tính:
249C ;625B ;625A ==+=
2. Tính
A
biết
2411A g) ;347A e) ;30413A d)
15312A c) ;5646A b) ;42213A )
===
=+==a
Khi các biểu thức cần tính hay thu gọn mà ở MT đang chứa căn thì ta cần nghỉ đến
việc trục căn thức - nhân với biểu thức liên hợp.
Chú ý:
+

( )
( )( )
2
.11
ax
ax
axax
ax
ax

+
=
+
+
=

+
(
)
( )
(
)
(
)
3
2
3
3
2
2

3
3
2
3
2
3
3
2
3

ax
axaxk
axaxax
axaxk
ax
k

++
=
++
++
=

+
(
)
( )
(
)
(

)
3
2
3
3
2
2
3
3
2
3
2
3
3
2
3

ax
axaxk
axaxax
axaxk
ax
k
+
+
=
++
+
=
+

Ví dụ 1.4: Trục các căn thức sau:
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
7
9234
923432
9234.1
32
1
35
3
353
2525
353
25
3
12
1
12
1212
12.1
12
1
33
333

33
3
++
=
++
++
=

=
+=
+
=
+
+
=

=
+=
+
=
+
+
=

=
C
B
A
Vận dụng: Làm mất căn ở mẫu trong mỗi biểu thức sau:
a)

35
1

b)
28
1
+
c)
33
37
4

d)
33
411
5
+
e)
33
3
964
1
++
Ví dụ 1.5: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
;347324 +
B =
738
2
27

6
+
+
+
.
324324 +=C
Lời giải
A =
22
3213347324 )()( +=+

.132133213 =+=+=
B =
))((
)(
))((
)(
738738
7382
2727
276
738
2
27
6
+

+
+

=
+
+
+


1
7616
3
276
+

=
)(

=
.)( 17734727347273472
2
=+=+=+
13
ễn thi vo lp 10

( ) ( )
213131313324324
22
=++=+=+=C
Ví dụ 1.6: Rút gọn các biểu thức sau:
( )
( )
5x11x43xC ;1x1x2xB ;21x2xA

222222
<<+=>+=++=
0yxyx2yxE ;
4
1
x
4
1
x
2
1
xxD
222
>>+=++++=
Lời giải
(
)
2
222
11212 +=++= xxxA
1111
22
+=+= xx
(vì
Rxx ,11
2
)
(
)
( )

1111112
2
2
222
>+=+=+= xxxxxB
(
)
{ }
51/,1212143
2
2
222
<<==+= xRxxxxC
4
1
,
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1

4
1
4
1
2
1
2
2
++=








++=+++=








+++=++++=
xxxxx
xxxxxD
(

)
0,2
22
2
22222
>>+=+=+= yxyyxyyxyxyxE
Xét một số ví dụ tổng hợp sau
Ví dụ 1.7
Cho biểu thức: K =
)(:)(
1
2
1
11
1

+
+

+
a
aaaa
a
.
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn K.
b) Tính giá trị của K khi
223 +=a
.
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
Lời giải

a) ĐKXĐ:
.01
1
0
>




>
a
a
a
K =
)
1
2
1
1
(:)
1
1
(

+
+


a
aaaa

a
K
)
)1)(1(
2
1
1
(:)
)1(
1
1
(
+
+
+


=
aaaaaa
a
K =
a
a
a
a
aa
a
aa
a
aa

a 1
1
1
.
)1(
1
)1)(1(
21
:
)1(
1
=
+



=
+
+


b) Ta có:
2121223
2
+=+=+= aa )(
Do đó: K =
.
)(
2
21

212
21
12231
=
+
+
=
+
+
=

a
a
14
ễn thi vo lp 10

c) Với a > 0
.0> a
Do đó
1010
1
<<<

= aa
a
a
K
.
Kết hợp với ĐK, ta có
100 <<< aK

.
Ví dụ 1.8: Cho biểu thức:
)
2
2
1
(:)
4
8
2
4
(
xxx
x
x
x
x
x
P



+
+
=
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P = -1.
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:
13 +> xPxm ).(

.
Lời giải
a)
)(:)(
xxx
x
x
x
x
x
P
2
2
1
4
8
2
4




+
+
=
, ĐK:
014 > xxx ,,
.
P = [
))((

)(
xx
xxx
+
+
22
824
]:[
)(
)(
2
221


xx
xx
]
P =
3
4
3
2
22
24
2
3
22
48

=

+
+
=


+
+
x
x
x
xx
xx
xx
xx
x
xx
xx )(
.
))((
)(
)(
:
))((
.
b) P =
03344034341
3
4

=+=+==

xxxxxxx
x
x

.))(( 0341 =+ xx
Vì x > 0
16
9
= x
.
c) Ta có:
141
3
4
313 +>+>

+> xxmx
x
x
xmxPxm .)().(

114 > )( mx
. Vì x > 9 > 0 nên 4m - 1 > 0
4
1
> m
và
14

1

>
m
x
(1)
Do đó:
18
5
9
14
1


m
m
thỏa mãn (1)
Vậy với
18
5
m
thì với mọi x > 9 ta có:
13 +> xPxm ).(
.
Ví dụ 1.9: Cho biểu thức:
)(:)(
xx
x
x
x

x
xP
+

+

=
111
.
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của biểu thức khi
32
2
+
=x
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn:
436 = xxxP
.
Lời giải
a)
)(:)(
xx
x
x
x
x
xP
+

+

=
111
, ĐK:
01 > x
.
P =
x
x
xx
xx
x
xx
xx
xxx
x
x
2
1
1
111
1
1111 )(
)(
)(
.
))((
]
)(
))((

[:
+
=

++
=
+
++
.
15
ễn thi vo lp 10

b) Ta có:
1313324
3232
322
32
2
2
===
+

=
+
= xx )(
))((
)(
Do đó:
2
133

13
3
13
113
2
)()( +
=

=

+
=P
.
c)
436 = xxxP
, ĐK:
4x
.

40
0420444
43612436
1
2
2
===
=+=++
=++=
+

xx
xxxxx
xxxxxxx
x
x
4x và 02
)(
)(
Ví dụ 1.10: (TN.THCS: 2002): Cho biểu thức:
)( 1
12
1



=
xx
x
x
x
A
.
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36.
c) Tìm các giá trị của x để
AA >
.
d) Tìm x để A = -3
Lời giải
a) ĐKXĐ:

01 > x
.
Ta có:
x
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
x
A
1
1
1
1
12
1
12
1
22

=


=

+

=




=
)(
)(
)()(
.
b) Khi x = 36, ta có
6
5
36
1361
=

=

=
x
x
A
.
c) Ta có:
1010
1
0 <<<

<> xx

x
x
AAA
(vì x >0).
Đối chiếu với ĐK, ta có
10 <<> xAA
.
d) A = -3
16
1
4
1
14.313
1
=====

xxxxx
x
x
(TMĐK)
(Chú ý rằng nếu yêu cầu bài toán là tìm x để
AA >
thì nó tơng đơng với việc ta tìm
x để A < 0)
Ví dụ 1.11: (TN.THCS 2005): Cho biểu thức:
xxx
P

+=
1
1
1
1 .
.
a) Tìm TXĐ và rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x = 25.
c) Tìm x để
2
. 5 2 6 ( 1) 2008 2 3P x x+ = + +
Lời giải
a) ĐKXĐ:
01 > x
.
xxx
P

+=
1
1
1
1 .
2
1
1
1
1
11
1
1
11
)()(
.
)(
.

=

=

+
=
xxxx
x
xxx
x
16

ễn thi vo lp 10

b) Thay x = 25, ta đợc:
16
1
125
1
2
=

=
)(
P
c)
2
. 5 2 6 ( 1) 2008 2 3P x x+ = + +
=
322008132
1
1
22
2
++=+

xx
x
).()(.
)(

20080200832200832 ==++=+ xxx
Ví dụ 1.12: (Đề thi vào lớp 10 THPT Nghệ An 2009 - 2010)
Cho biểu thức:
1
1
1
1
+



+
=
x
x
x
xx
A
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x =
4
9
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
Lời giải
a) Điều kiện xác định
01
01
0

x
x
x
( )( )
( )
( )
( )( )
111
111
1
1
11
1
1
1
1
1

=
+
+
=
+

+
+
=
+



+
=
x
x
xx
xxxx
x
x
xx
xx
x
x
x
xx
A
b) Thay x =
4
9
vào biểu thức A ta đợc:
3
1
2
3

2
3
1
4
9
4
9
=

=

=A
c)
10
1
1
01
1
1
1
1 <<

<

<

< x
xx
x
x

x
A
.
Đối chiếu với điều kiện, ta đợc
101
<<
xA
.
Ví dụ1.13: (Đề thi vào lớp 10 THPT - Nghệ An 2010-2011).
Cho biểu thức
1
2
1
2
1


+


=
x
xx
x
A
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
c) Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm GTNN của B = A(x 1).
Lời giải
a) ĐKXĐ

01

x
( )( )
11
2
1
2
1
1
2
1
2
1 +

+


=


+


=
xxxx
x
x
xx
x

A
( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
111
1
11
222
11
2121
2
+
=
+

=
+
++
=
+
+
=
x
x
xx
xx
xx

xxx
xx
xxx
.
b) Thay x = 9 vào biểu thức A ta đợc:
4
3
19
9
=
+
=A
.
c)
( )
( )( ) ( )







==+
+
== xxxxxx
x
x
xAB
4

1
4
1
2
1
11
1
1
2
2
ĐKXĐ
17
ễn thi vo lp 10

Vậy MinB =
4
1

khi và chỉ khi
4
1
=x
.
Ví dụ 1.14: Cho
1
1
1
1
1
2

++
+
+

+
=
xxx
x
xx
x
A
a) Rút gọn A
b) Tính A với
324 =x
Lời giải
a) ĐKXĐ:
01

x
Ta có
( )( )
1
1
1
1
11
2
1

1
1
1
1
2


++
+
+
++
+
=


++
+
+

+
=
xxx
x
xxx
x
xxx
x
xx
x
A

=
( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
11
112
11
1.1112
++
+++
=
++
+++++
xxx
xxxxxxx
xxx
xxxxx
=
( )
( )( )
111
1
++
=
++

xx
x
xxx
xx

b)
( )
1313324
2
=== xx
13
3410
34
324
113324
324
=


=
++

= A
.
Bài tập tự làm
1.1. Thu gọn các biểu thức:
).( 2632 +=A
; B =
21
2
2
232
23
228

+
+


+
C =
22
5235 )()( +
; D =
53526210 ++ ))((
.
(ĐS: A = 2; B = -1; C = 1; d = 16).
1.2. a) Tính A =
2
1333332 )()( ++
.
b) Rút gọn biểu thức: B =
))(( abba
bab
a
aba
b




(ĐS: A = 34; B = b - a với ĐK: a > 0, b > 0 và
ba
).
1.3. Rút gọn các biểu thức:

( )( )
154610154 +=A
.
1.4. Giải phơng trình:
.1
1
1
12
1
23
1
=
++
+
+++
+
+++ xxxxxx
1.5. CMR:
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10A = + + + + = +
1.6. Cho biểu thức:
)()(
1
1
1
1
2
1
2
2

+

+

=
x
x
x
x
x
x
B
a) Rút gọn B.
b) Tìm các giá trị của x để B > 0.
c) Tìm các giá trị của x để B = -2.
(ĐS:
2
)x(1x c/ 1;x0 b/ ;
x
x1
B a/ +=<<

=
)
1.7. Cho
1
12211

+
+

+



=
x
xx
xx
xx
xx
xx
A
)(
:)(
18
ễn thi vo lp 10

a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
(ĐS: a/
94
1
1
==

+
= xxb
x
x
A ,/;

)
1.8. Cho biểu thức:
x
xx
xx
xx
y
+
+
+
+
=
2
1
1
2
a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b) Giả sử x > 1, Chứng minh rằng
0= yy
c) Tìm GTNN của y.
(ĐS:
4
1
x khi
4
1
y c/ 1);x(xy /
Min
=

==a
)
1.9. Cho biểu thức:
),(:)( 10
2
1
1
1
11
2
>


+
+
+

+
= xx
x
xxx
x
xx
x
A
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
(ĐS: a/
1
2

++
=
xx
A
)
1.10. Cho biểu thức:
x
x
x
xx
x
x
x
x
K
2003
1
14
1
1
1
1
2
2
+


+
+

+
= ).(
a) Tìm ĐK của x để K xác định & rút gọn K
b) Với những giá trị nguyên nào của x thì K có giá trị nguyên.
( ĐS: a/
2003x b/ ;
x
2003x
K 0;x 1,x =
+
=
)
1.11. Biết
( )( )
555
22
=++++ yyxx
(1) Tính x + y.
(HD: Nhân cả hai vế của (1) với
( )
xx + 5
2
và
( )
yy + 5
2
)
1.12. Cho biểu thức:

+

++
+
+

+
=
1
1
1
1
1
2
1
x
x
xx
x
xx
x

T :
a) Rút gọn T.
b) Chứng minh rằng:
0x và 1 x 3T
>>
(
3211
1
>>++
+
= Txxb
x
x
Ta /;/
)
1.13. Cho biểu thức:
1
21
1 +









++
=

x
x
xx
xx
A :
. CMR A < 0 với 0 < x < 1.
1.14. Cho biểu thức:








+
+
+

+








=
xx

xxx
x
xx
xx
P
1
12
1
121
1
1
:
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi
347 =x
.
c) Tìm GTLN của a khi P > a.
19
ễn thi vo lp 10

(
11
1
21
1
3
1
=+==
+
= x

x
x
x
PcPb
x
xx
Pa ./;/;/
- đẳng thức không
xảy ra. Vậy P > 1. Do đó GTLN của a là a = 1).
1.15. Cho











++
+
+

+
=
1
1
1

1
1
2
x
x
xx
x
xx
x
M
a) Rút gọn M.
b) CMR: 1 > 3M với mọi ĐK thích hợp của x.
(
M
x
x
x
x
M
bx
xx
x
Ma 313
2
1
1
1
1
01
1

>=+>
+
+=>
++
= /);(/
)
1.16. Cho biểu thức:






++
+










+
=
1
4
1

1
1
1
12
xx
x
xxx
x
A :
.
a) Rút gọn A.
b) Tìm các số nguyên x sao cho A cũng nhận giá trị nguyên.
(
36 16, 4,x
3x
3
1A b/ ;
3x
x
A =

+=

=/a
)
1.17. Cho:

+
+











=
1
2
1
11
1
x
xxxx
x
M :
.
a) Rút gọn M.
b) Tìm x sao cho M > 0 (
1

1
>

= xb
x
x
Ma /;/
)
1.18. Cho:















+
+



+

=
x
xx
x
x
x
x
M
1
4
1
1
1
1
.
a) Rút gọn M.
b) Tính M khi x = 2.
1.19. Cho: A=
a
x
xa
a
x
xa
22
22
+
+
+
+

a) Rút gọn A.
b) Tìm ĐK của x và a để
AA >
2
.
c) Tìm các ĐK của x và a để
4
1
A
.
1.20. Cho biểu thức:
1
2
1
3
1
1
+
+
+

+
=
xxxxx
A
.
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng:
1A
.

(
01A:CM Hãy /
+
= b
xx
x
Aa ;/
1
)
1.21. Cho biểu thức:
0).x(1 với >









+

+

=
112
1
2
x
xx
x
xx
x
x
A .
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A > -6.
20
ễn thi vo lp 10

(
9x1 hoặc1x0 b/ ;x2A <<<<=/a
).
1.22. Đề thị vào lớp 10 năm học 2006 - 2007.
Cho biểu thức:
2
1
1
1
11
)(
:

x
x
xxx
P

+







+

=
.
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Tìm x để P > 0.
(
10
1
01 <<

=> xb
x
x
Pxa /;,/
)
1.23. Cho biểu thức:

xxx
x
x
A
+








+
+

+
=
3
1
2
1
2
:
.
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A.
b) Tính giá trị của A khi x = 9.
c) Cho x > 1. Tìm GTNN của A.
(
2

9
1
01 /;,/ b
x
x
Axa

=>
)
1.24. Cho







+
+

=
1
2
1
11
1
x
xxxx
x
P :
.
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P > 0.
( a/
1
1
01 >

=> xb
x
x
Px /;,
).
1.25.Cho biểu thức

+


+








=
1
2
2
11
1
1
x
x
x
x
xx
P :
.
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P.

b) Tìm x để
4
1
=P
.
(
64
3
2
014 =

=> xb
x
x
Pxxa /;,,/
)
1.26. Cho biểu thức
2
1
12
2
1
2
2
)(
.
x
xx
x
x

x
P









++
+



=
a) Rút gọn P.
b) Tính P với
347 =x
c) Tìm GTLN của P.
(
4
1
4
1
533 ==== xMaxPcPbxxPa /;/;/
).
1.27. Cho biểu thức

+
+











=
1
2
1
11
1
x
xxxx
x
P :
a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị của x để P < 0.
21
ễn thi vo lp 10

c) Tìm các số m để có các giá trị của x thỏa mãn:
xmxP =.
(
1110
1
01 ><<

=> mcxb
x
x
Pxa /;/;,/
)
1.28. Cho biểu thức:







+
+

=
1
2
1
11
1
x
xxxx
x
P :
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P < 0.
c) Tìm các số m để có các giá trị của x thỏa mãn:
xmxP =.
1.29. Cho biểu thức:

+
+
+

+








=
xx
xxxx
x
xx
xx
P
1
2
1
121
1
1
:
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với

347 =x
c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a.
1.30. Cho biểu thức:
3 1 1
:
1
1 1
P
x
x x

= +
ữ

+ +

a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để
5
4
p =
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12 1
.
1
x
M
P
x
+

=

1.31. Rút gọn biểu thức sau:
1 1
3 2 3 2
P = +
+
( ĐS:
2 3
)
1.32. Rút gọn biểu thức:
2
1 1
:
x
A
x x x x x x
+
=
+ +
(ĐS: x 1 )
1.33. Rút gọn biểu thức sau:
2
( ) 4 9 6
:
1 1
1 3
( ):
a b b a b ab
B

a b
a b
b a
+ + +
=

+
+
ữ

( ĐS:
1
ab
)
1.34. Cho biểu thức :
2 1 9 6
1 : 3
9 1
3 1 3 1
x x x
P
x
x x

+ +
= +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn P
b) Tìm x để
6
5
P =
c) Cho m > 1. Chứng minh rằng luôn có hai giá trị của x thoả mãn P = m.
(ĐS: a/ P =
( 0, 9
3 1
x x
x x
x
+


); b/
9
4;
25
x x= =
; c/ Đặt
1x t m= >
phơng trình ẩn t
luôn có hai nghiệm dơng
1
3
t
)
1.35. Cho biểu thức:

1 6 1
2 :
2 3 2 3 1
x x x
P
x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn P
22
ễn thi vo lp 10

b) Tính giá trị của P khi x =
3 2 2
4

c) So sánh P với
3
2
1.36. Cho biểu thức:
10 2 3 1
3 4 4 1
x x x
P
x x x x

+
= +
+ +
a) Rút gọn P
b) Chứng minh: P > -3 với mọi x thuộc TXĐ.
c) Tìm GTLN của P
1.37. Cho biểu thức:
2 2
:
1
1
x x x
P
x x
x x x x



= +
ữ
ữ
ữ

+


a) Rút gọn P
b) Tìm x để P > 2
c) Tìm GTNN của
P

(ĐS: a/
( 0, 1); / 1 / min 2
1
x
P x x b x c P
x
= > > =

)
1.38. Cho biểu thức:
1 2 1
:
1
1 1 1
x x x
P
x
x x x x x x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ
+
+ + + +

a) Rút gọn P
b) Tìm x để
2P x=
c) Tìm GTNN của P

d) Tìm m để có x thoả mãn
( 1)x P m x+ =
(ĐS: a/

x -1
P = ,1 0, b/ x = 3+ 2 2
x +1
)
1.39. Cho biểu thức
1
1
:
1
1











=
xxxx
x
A
a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi
223 +=x
c) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
d) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình
xmxA =
có nghiệm.
e) Tìm x để
AA >
g) Tìm x để
32=A
23
Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10
Chuyên đề tam thức bậc hai
A.lý thuyết
I. áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để xét số
nghiêm phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+bx+c=0(a

0)
2
b 4ac
=
.Nếu b =2b
'
thì
'

= b

'
2
- ac
1. Phơng trình có nghiệm khi .
Ta có thể xét hai trờng hợp:
+Trờng hợp 1:
- Nếu a = 0,phơng trình có nghiệm x=
c
b

.
+Trờng hợp 2 :

{
a 0
0


hoặc
{
'
a 0
0


2.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi .

{
a 0
0

>
hoặc
{
'
a 0
0

>
3.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{
a 0
0

=
hoặc
{
'
a 0
0

=
4. Phơng trình vô nghiệm khi.

{
a 0
0

<

hoặc
{
'
a 0
0

<
Ví dụ1:
Cho phơng trình 2x
2
-(4m+3)x+2m
2
-1=0.Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng
trình.
a.Phơng trình có nghiệm
b.Phơng trình có2nghiệm phân biệt
c.Phơng trình có nghiệm kép
d. Phơng trình vô nghiệm
Giải:

=(4m+3)
2
-4.2(2m
2
-1)=24m+17.
a.Phơng trình có nghiệm khi .
24
Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10

{

a 0
0



{
2 0
24m 17 0

+

m

17
24


b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi.

{
a 0
0

>


{
2 0
24m 17 0
17

m
24

+ >

>
c.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{
a 0
0

=

2 0
24m 17 0
17
m
24

+ =


=


d. Phơng trình vô nghiệm khi.

{
a 0

0

<
{
2 0
24m 17 0
17
m
24

+ <

<
Ví du 2 :
Cho phơng trình mx
2
-2(m-1)x+(m-4)=0 .Với m là tham số,tìm giá trị m để
phơng trình.
a.Phơng trình có nghiệm
b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
c.Phơng trình có nghiệm kép
d. Phơng trình vô nghiệm
Giải:
Ta có :a

0

m
0
,

'

= b
'2
-ac=
( )
2
(m 1)
-m(m-4)=m
2
-2m+1-m
2
+4m=2m+1
a.Phơng trình có nghiệm khi .
+Trờng hợp 1:
- Nếu a=0

m=0 ,phơng trình có nghiệm x=
c
b

m 4
2(m 1)


=2.
+Trờng hợp 2 :

{
a 0

0



{
m 0
2m 1 0

+

m 0
1
m
2






b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi.

{
a 0
0

>


{

m 0 m o
2m 1 0 1
m
2

+ >





25