Một số bài toán trong mặt phẳng oxy trọng anh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (572.92 KB, 11 trang )
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
1
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: HOÀNG TRỌNG ANH
Trong các kì thi ĐH-CĐ của các năm gần đây thì dạng toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng luôn
có trong đề thi, nó thường rơi vào câu điểm 7 – 8 (thang 10 điểm). Để giải được dạng toán này, các em phải có
vốn kiến thức cơ bản liên quan đến tọa độ trong mặt phẳng và biết phân chia các dạng toán và nắm được phương
pháp giải. Trong chuyên đề, tôi sẽ đưa ra một số dạng toán chủ yếu liên quan đến phương trình đường thẳng
trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
1 – KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Toạ độ điểm và vectơ.
a) Toạ độ điểm:
;OM xi y j M x y
.
Cho
( ; ), ( ; ), ( ; )
A A B B C C
A x y B x y C x y
. Khi đó:
+
;
B A B A
AB x x y y
;
22
; ; ;
A A B B B A B A
A x y B x y AB x x y y
+ Công thức tọa độ trung điểm: I là trung điểm của AB thì
;
22
A B A B
x x y y
I
;
+ Công thức tọa độ trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABCthì:
;
33
A B C A B C
x x x y y y
G
;
b) Toạ độ vectơ: :
;u xi y j u x y
Cho
; ; ' '; 'u x y u x y
. Ta có:
+ Hai vecto bằng nhau :
'
'
'
xx
uu
yy
;
+ Hai vecto cùng phương:
,'uu
cùng phương
'
''
'
x kx
xy x y
y ky
.
+ Các phép toán vecto:
' '; 'u u x x y y
;
;ku kx ky
;
+ Tích vô hướng 2 vecto :
. ' . ' . 'uu x x y y
, chú ý :
' ' ' 0u u xx yy
+ Độ dài vectơ :
22
;u x y u x y
.
+ Góc giữa hai vectơ:
2 2 2 2
. ' . ' . '
cos ; '
.'
. ' '
u u x x y y
uu
uu
x y x y
.
2. Phƣơng trình đƣờng thẳng.
a) Phương trình tổng quát.
Đường thẳng
qua
00
( ; )M x y
và có vectơ pháp tuyến
( ; )n a b
thì
:
00
( ) ( ) 0a x x b y y
b) Phương trình tham số.
Đường thẳng
qua
00
( ; )M x y
và có vectơ chỉ phương
( ; )u a b
thì
:
0
0
x x at
y y bt
Điểm M thuộc
:
0
0
x x at
y y bt
thì M(x
0
+ at; y
0
+ bt).(Tham số hóa tọa độ điểm thuộc đthẳng).
c) Phương trình chính tắc.
Đường thẳng
qua
00
( ; )M x y
và vectơ chỉ phương
( ; )u a b
, với
0ab
, thì
:
00
x x y y
ab
d) Phương trình đoạn chắn.
GV biên soạn: Hồng Trọng Anh
2
Đường thẳng
qua A(a; 0) và B(b; 0), với
0ab
, thì
:
1
xy
ab
Chú ý: 1) Đường thẳng
có hệ góc k thì
có dạng: y = kx + b. Do đó phương trình đường thẳng đi qua (x
0
;
y
0
) và có hệ số góc k: y = k(x - x
0
) + y
0
2) Mối liên hệ giữa vec tơ chỉ phương và hệ số góc:
2
1
u
k
u
, với
12
;u u u
là vec tơ chỉ phương.
3) Hai đường thẳng
và
’ có hệ số góc là k và k’. Khi đó:
/ / ' '; ' . ' 1k k k k
.
3. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng.
Cho
: ax + by + c = 0 và
’ : a’x + b’y +c’ = 0. Xét hệ phương trình:
0
' ' ' 0
ax by c
a x b y c
- TH1: hệ có duy nhất một cặp nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau;
- TH2: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng song song;
- TH3: hệ có vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau.
Chú ý: Có thể xét các trường hợp sau: Nếu a’, b’, c’ khác 0 thì:
+
1:
''
ab
TH
ab
thì hai đường thẳng cắt nhau;
+
2:
' ' '
a b c
TH
a b c
thì hai đường thẳng song song;
+
3:
' ' '
abc
TH
abc
thì hai đường thẳng trùng nhau.
4. Khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng.
Cho
: ax + by + c = 0 và M(x
0
; y
0
). Ta có:
00
22
( , )
ax by c
dM
ab
.
5. Góc giữa hai đƣờng thẳng.
Cho
: ax + by + c = 0 và
’ : a’x + b’y +c’ = 0. Với
,'nn
là các vectơ pháp tuyến của
và
’, gọi
là góc giữa hai đường thẳng đó, ta có:
2 2 2 2
. ' . '
| . '|
cos
| |.| '|
''
a a b b
nn
nn
a b a b
.
Chú ý: Có thể sử dụng cơng thức trên một cách tương tự với cặp vectơ chỉ phương của
và
’.
6. Đƣờng phân giác của hai đƣờng thẳng.
+ Cho
: ax + by + c = 0 và
’ : a’x + b’y +c’ = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo
bởi 2 đường thẳng đó là:
2 2 2 '2
' ' '
'
ax by c a x b y c
a b a b
* Lƣu ý: Xét
( ; )
AA
A x y
và
( ; )
BB
B x y
0ax by c
.
+ Nếu
0
A A B B
ax by c ax by c
thì A và B cùng một phía so với d;
+ Nếu
0
A A B B
ax by c ax by c
thì A và B khác phía so với d.
2 - MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Dạng 1: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG DẠNG CƠ BẢN
* Trƣờng hợp 1:
1 1 1
( ; )M x y
và
2 2 2
( ; )M x y
Phƣơng pháp: + VTCP
1 2 2 1 2 1
( ; )
d
u M M x x y y
. Suy ra VTPT
1 2 2 1
( ; )
d
n y y x x
1 1 1
( ; )M x y
d
u
là:
1 2 1
1 2 1
()
()
x x x x t
y y y y t
(
tR
)
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
3
1 1 1
( ; )M x y
d
n
là:
1 2 1 2 1 1
( )( ) ( )( ) 0y y x x x x y y
.
Ví dụ 1: -2), B(5;1)
Giải: qua A(3;-
(2;3)
d
u AB
làm VTCP, suy ra d
32
23
xt
yt
VTCP
(2;3)
d
u AB
(3; 2)
d
VTPTn
.
-2) là: 3(x-3)-2(y+2)=0
3x-2y-13=0
* Trƣờng hợp 2:
0 0 0
( ; )M x y
Phƣơng pháp:
0 0 0 0
( ) 0y y k x x kx y y kx
Ví dụ 2: -4) v
2
5
k
Giải:
2
4 ( 3) 2 5 26 0
5
y x x y
* Trường hợp 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua
0 0 0
( ; )M x y
và song song với
:ax 0by c
Phƣơng pháp:
có VTPT
( ; )n a b
0 0 0
( ; )M x y
và song song
( ; )n a b
00
( ) ( ) 0a x x b y y
.
Lưu ý: Hai đường thẳng song song có cùng vecto pháp tuyến và vecto chỉ phương.
Ví dụ 3:
:2x- 3 0y
.
Giải: . Vì
(1;3) 2 3 0 5M d c c
.
-5=0
* Trường hợp 4: Viết phương trình tổng quát của d qua
0 0 0
( ; )M x y
và vuông góc với
:ax 0by c
.
Phƣơng pháp:
có VTPT
( ; )n a b
0 0 0
( ; )M x y
và vuông góc
( ; )n a b
, suy ra
( ; )
d
n b a
.
0 0 0
( ; )M x y
là:
00
( ) ( ) 0b x x a y y
.
Ví dụ 4:
:2x-5 1 0y
.
Giải:
có VTPT
(2; 5)n
(2; 5)n
(5;2)n
.
5 2 77 0xy
Bài 1:
3 1 0xy
-2).
c
Hai
Bài 2:
-3);
k = 2;
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
4
1
1
:
2
xt
d
yt
;
-
2
:2 3 1 0d x y
;
1
1
:
2
xt
d
yt
và
2
:2 3 1 0d x y
: 5 4d y x
.
Bài 3:
a)
10xy
; b)
2 5 0xy
; c)
3 4 1 0xy
; d)
2 3 4 0xy
.
Bài 4: -
Bài 5:
22
94
OA OB
Hướng dẫn: Giả sử A(a; 0) và B(0; b). Câu a, sử dụng BĐT Cauchy.
Câu b, sử dụng 2 lần BĐT Cauchy.
Câu c, rút b theo a và sử dụng BĐT Cauchy.
Câu d, sử dụng BĐT Bunhiakopxki.
*******************************************************************************************
Dạng 2: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG VÀ GÓC GIỮA ĐƢỜNG THẲNG.
PP:
Bài 6:
a) d:
2 1 0xy
5 4 1 0xy
; b) d:
30xy
1
2
xt
yt
;
c) d:
12
23
xt
yt
5
1
xt
yt
; d) d:
2
xt
yt
20xy
.
Bài 7: -4; 1); B(0; 2) và C(3; -1).
c) Tính cosin góc
ABC
Hướng dẫn:
c)
.
cos cos ;
.
AB AC
BAC AB AC
AB AC
;
e) Đường trung trực của BC là đường qua trung điểm BC và nhận BC là vecto pháp tuyến.
Bài 8: x + 3y 7 = 0, BC: 4x + 5y 7 = 0, CA:
3x + 2y (CĐ-2011).
Bình luận: Trong một số đề thi, việc viết một phương trình đường thẳng d biết đường thẳng d qua một điểm và
tạo với một đường thẳng
một góc
(hoặc biết cos
) là bài toán phụ rất quan trọng. Muốn giải được các bài
toán phức tạp hơn, các em phải nắm chắc phương pháp dạng này.
PP: - Gọi vecto pháp tuyến của
là
( ; )n a b
.
- Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng thông qua
cos cos , 'nn
.
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
5
- Từ đó suy ra phương trình đẳng cấp bậc hai theo a, b. Do đó ta được nghiệm a/b nên ta có thể chọn
được
( ; )n a b
và viết được phương trình d.
Bài 9: x – y (2; -1)
sao cho
1
cos
10
.
Giải: Gọi vecto pháp tuyến của d’ là
( ; )n a b
. Do d có vecto pháp tuyến
'n
(2;-1) và tạo với d’ một góc
nên
2 2 2 2 2
22
1
1 | 2 |
cos cos , ' 5( ) 10(2 ) 35 5 40 0
1
10
5.
7
a
ab
b
n n a b a b a b ab
a
ab
b
.
- Với
1
a
b
, chọn a = b = 1. Suy ra d’: 1.(x – 2) + 1.(y + 1) = 0
x + y – 1 = 0.
- Với
1
7
a
b
, chọn a = 1 và b = 7. Suy ra d’:
1.( 2) 7( 1) 0 7 5 0x y x y
.
Bài 10: x + 3y +
0
.
Bài 11: x + y -
45
0
. (CĐ KA – 2011). ĐS: y + 4 = 0 và x – 2 = 0.
Bài 12: Cho tam giác ABC
7 31 0xy
5
1;
2
N
2; 3M
Hướng dẫn: Cho tam giác ABC vuông cân thì ta tính được
2
cos
2
ABC
, do đó ta viết được phương trình
đường thẳng AB. Từ đó suy ra tọa độ A, lưu ý A có hoành độ âm.
Bài 13: -x y M là trung
Bài 14:
30xy
, AD:
40xy
1
;1
3
M
ĐH KD 2012)
Bài 15: 2y + 1 =
Hướng dẫn:
- Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ :
2 1 0
21 13
;
7 14 0
55
xy
B
xy
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:
21
5
1; 2 2;1 :
13
2
5
BC
xt
u n BC
yt
.
+ Mặt khác :
22
2 7 2
1
os BD;BC os AC;BC
5.5 2 10
5
ab
cc
ab
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
6
2
2 2 2 2
22
2
1
2 2 7 8 0
7
10
5
ab
ab
a b a b a ab b
ba
ab
+ Do đó
; / / ' 1;1 : 2 1 0 1 0
; 7 / / ' 1; 7 : 2 7 1 0 7 5 0
AC
AC
n b b n AC x y x y
n a a n AC x y x y
+ Có AC, tìm tọa độ A (lưu ý hoành độ A dương).
+ Tìm tọa độ điểm C.
+ Gọi I là tâm, tìm tọa độ I, có A và I suy ra điểm D.
Lưu ý: Nếu biết tọa độ hai trong ba điểm và biết tỉ lệ vecto giữa các điểm (kể cả tỉ lệ độ dài đoạn trong trường
hợp thẳng hàng) thì ta sẽ tìm được tọa độ của điểm còn lại. Chẳng hạn:
Bài 16: Cho A(2; -5) và M(-
a)
3MB MA
; b)
3AB MA
; c) MA = 3MB .
Bài 17:
10xy
2 1 0xy
-1) và
ho
2MB MA
.
Hướng dẫn: Tham số hóa tọa độ điểm A, B thuộc d và d’. Suy ra hệ phương trình từ giả thiết
2MB MA
.
Bài 18:
2 1 0xy
-
2IB ID
Hướng dẫn:
- Có phương trình AD và
cosADB
, BD qua I nên ta có thể viết được phương trình BD;
- Có AD và BD, suy ra tọa độ D.
- Có tọa độ I, D và tỉ lệ vecto
2IB ID
nên suy ra B.
- Viết phương trình AB qua B vuông góc với AD, suy ra tọa độ A và từ đó suy ra tọa độ điểm C.
Bài 19:
-1).
(ĐH KA – 2014)
Hướng dẫn: Ta sẽ sử dụng bài toán trên để giải (cách khác đáp án của Bộ)
- Gọi P là giao điểm của MN và CD. Sử dụng tỉ lệ vecto tìm được tọa độ P;
- Vì DN vuông góc với MN nên ta viết được DN;
- Ta tính được
cosNDC
và dựa vào bài toán trên ta sẽ viết được phương trình của CD.
Bài 20:
11
;1
3
G
. Tìm
Bài 21: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(3; ---2; 0).
(ĐH KD – 2010). ĐS:
( 2 65;3)C
.
******************************************************************************************
Dạng 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Phƣơng pháp:
1. Khoảng cách giữa hai điểm.
22
; ; ;
A A B B B A B A
A x y B x y AB x x y y
2. Khoảng cách từ điểm M(x
0
; y
0
) đến đường thẳng.
- Chuyển phương trình đường thẳng về dạng tổng quát
: ax + by + c = 0.
- Áp dụng công thức
00
22
( , )
ax by c
dM
ab
.
Lƣu ý dạng toán: Cho
; ; ;
A A B B
A x y B x y
ho:
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
7
2.1: Độ lớn: h.MA
2
+ k.MB
2
nhỏ nhất (lớn nhất), trong đó h, k là các số cho trƣớc.
PP:
- Tham số hóa điểm M thuộc d bằng cách viết phương trình tham số của d;
- Tính h.MA
2
+ k.MB
2
h.MA
2
+ k.MB
2
= at
2
+ b
GTNN khi t = -b/2a ( a > 0) và GTLN khi t = -
2.2: Độ lớn MA + MB nhỏ nhất.
PP: Xét phía của A và B đối với d, ta có hai trường hợp:
TH1: Nếu A và B khác phía so với d thì M là điểm sao cho A, B, M thẳng hàng là điểm cần tìm.
TH2: Nếu A và B cùng phía với d thì ta sẽ làm các bước sau:
+ Tìm A’ đối xứng với A qua d.
+ Điêm M cần tìm thỏa A’, M, B thẳng hàng.
2.3: Độ lớn: | MA – MB | lớn nhất.
PP: Xét phía của A và B đối với d, ta có hai trường hợp:
TH1: Nếu A và B cùng phía so với d thì M là điểm sao cho A, B, M thẳng hàng là điểm cần tìm.
TH2: Nếu A và B khác phía với d thì ta sẽ làm các bước sau:
+ Tìm A’ đối xứng với A qua d.
+ Điêm M cần tìm thỏa A’, M, B thẳng hàng.
Ví dụ: Cho d:
12
1
xt
yt
và M(1; -3). Tính d(M,d)=?
Giải: 3 = 0. Suy ra:
22
1.1 2.( 3) 3
8 8 5
( , )
5
5
12
d M d
Bài 22:
25
.
Hướng dẫn: Gọi M(x; 0) thuộc Ox. Khi đó
17/ 2
( ; ) 2 5 |2 7 | 10
3/ 2
x
d M d x
x
Bài 23:
22
,
33
) và I(1,-
Giải:
74
(2;4 ), ;
33
IM GM
Gọi A(x
A
; y
A
). Có
2AG GM
A(-4; -2). (Sử dụng tỉ lệ vecto)
Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ
IM
làm vec tơ pháp tuyến nên có PT:
2(x - 3) + 4(y - 2) = 0
x + 2y - 7 = 0 Gọi C(x; y). Có C
BC
x + 2y - 7 = 0.
Mặt khác IC = IA
2 2 2 2
( 1) ( 2) 25 ( 1) ( 2) 25x y x y
.
Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
22
2 7 0
( 1) ( 2) 25
xy
xy
Giải hệ phương trình ta tìm được
5
1
x
y
và
1
3
x
y
.
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3).
Bài 24: Cho A(0; 6), B(2; 5) và d: x 2y
a) MA
2
+ 5MB
2
c) | MA
Bài 25:
a) M thu -2) và B(3; 1);
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
8
32
:
2
xt
d
yt
sao cho M cách N(1 ; -
-
:3 4 5 0xy
;
c
1
:
2
xt
yt
-
Bài 26: -
Bài 27:
Bài 28:
1
: x 2y 3 = 0 và d
2
: x + y
1
2
là
1
2
. (CĐ– 2009).
Bài 29: -x 2y 1=0 sao cho
(ĐH KB – 2004). ĐS: C(7; 3) hoặc C(-43/11; -27/11).
Bài 30:
1
: x + y + 3 = 0; d
2
: x – y 4 = 0; d
3
: x – 2y
3
1
2
. (ĐH KA – 2006).
Bài 31: Cho A(-1 : x y
(ĐH KB – 2009) ĐS: B(11/2; 3/2), C(3/2; -5/2).
Bài 32:
(ĐH KD – 2010).
Bài 33:
: x y 4 = 0 và d: 2x – y
cho ON c
ĐH KB-2011). ĐS: N(0; -2) hoặc
62
;
55
N
Bài 34:
93
;
22
M
-
à I(-ĐH KD-2013)
***************************************************************************************
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC VUÔNG
Chú ý: Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền.
Bài 35: -
10xy
. Tìm
Hướng dẫn: - Tham số hóa tọa độ điểm B theo t.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có AM = MB, suy ra t.
- Vì M là trung điểm của BC nên suy ra tọa độ C.
Bài 36:
3
1;
2
I
2 1 0xy
Bài 37: Cho tam giác AB-
-
2 3 5 0xy
Bài 38: -
2 5 0xy
-ĐH KA 2013)
******************************************************************************************
Dạng 5: BÀI TOÁN KẾT HỢP PHƢƠNG TRÌNH CÁC ĐƢỜNG CAO, ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN,
ĐƢỜNG TRUNG TRỰC TRONG TAM GIÁC.
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
9
Lƣu ý:
- Nếu giả thiết cho đường cao thì phải khai thác đường trung tuyến.
- Nếu thiết thiết cho đường trung tuyến thì ta sẽ khai thác tính chất trọng tâm, trung điểm thông qua tỉ lệ
vecto. Giao hai đường trung tuyến trong tam giác là trọng tâm của tam giác.
- Nếu giả thiết cho đường trung trực thì ta khai thác tính chất trung điểm (tỉ lệ vecto) và vecto pháp tuyến
của đường trung tuyến đó.
Bài 39:
x 2y 3 = 0 và 6x y (ĐH KD- 2009).
Giải:
7 2 3 0
1;2
6 4 0
xy
A
xy
-2)
-
3 6 2 0 6 9 0x y x y
6 9 0
3
0;
7 2 3 0
2
xy
N
xy
-3;-1)
12
4; 3 // 4;3 : 3 4 5 0
43
xy
AC u AC x y
.
Bài 40: ABC
2;2A
1
: 2 0d x y
và
2
:9 3 4 0d x y
.
Bài 41: ABC
3;1A
1
:2 1 0d x y
và
2
: 1 0dx
Bài 42: x y + 1 = 0 và
2
12
xt
yt
Bài 43: -1; -
3 2 4 0xy
và
-
Bài 44: -4; -
12
:5 3 4 0 và :3 8 13 0d x y d x y
.
Bài 45: -x + 7y 20 = 0 và
x 2y ph
Bài 46: Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có C(-1; -
x + y 9 = 0 và x + 3y (CĐ-2009).
Bài 47: Trong mp Oxy cho tam giác ABC cân t
x + y 4 = 0. -
(ĐH KA-2010). ĐS: B(0; -4), C(-4; 0) hoặc B(-6; 2), C(2; -6).
Bài 48:
3 18 0xy
3 19 279 0xy
,
2 5 0xy
0
135BAC
.
******************************************************************************************
Dạng 6: BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC
Lưu ý:
- Muốn viết phương trình 2 đường phân của góc A trong tam giác ABC thì ta làm các bước sau:
+ Viết phương trình tổng quát của AB và AC.
+ Áp dụng phần kiến thức cơ bản (mục 6).
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
10
- Muốn viết phương trình đường phân trong của góc A trong tam giác ABC thì ta làm các bước sau:
+ Viết phương trình tổng quát của AB và AC.
+ Áp dụng phần kiến thức cơ bản (mục 6), ta được 2 đường phân giác góc A là d
1
và d
2
.
+ Xét phía điểm B và C so với d
1
và d
2
và kết luận. (Đường cần tìm là B và C phả nằm khác phía).
- Tính chất đường phân giác góc A: Cho d là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC, giả sử M
là điểm bất kì thuộc AB, M’ là điểm đối xứng với M qua d. Khi đó M’ sẽ thuộc AC.
Bài 49: -
y ĐH KD–2011).
Giải: Gọi M là trung điểm của AC và E là điểm đối xứng với B qua phân giác (AD). Với G là trọng tâm
2BG GM
(1)
+ Ta có : M(x;y)
1; 1 . 5;0GM x y BG
suy ra (1) ta có hệ :
7
5 2 1
7
;1
2
2
0 2 1
1
x
x
M
y
y
+ Gọi E(x;y)
41
; ; 4; 1
22
xy
I BE x y
( I là trung điểm của BE ). Với
1;1u
. Nếu E đối xứng
với B qua (AD): x-y-1=0 thì :
4 1 1 1 0
3 0 2
0
2; 5
41
7 0 5
10
22
xy
x y x
BEu
E
xy
x y y
Id
+ (AC) qua E(2;-5) có véc tơ chỉ phương
2
3
; 6 // ' 1;4 :
54
2
xt
ME u AC t R
yt
+ (AC) cắt d tại A :
22
5 4 5 4 4;3
1 0 2
x t x t
y t y t A
x y t
+ C đối xứng với A qua M cho nên C :
7
2. 4 3
3; 1
2
2.1 3 1
C
C
x
C
y
Bài 50: -
x + y
(ĐH KB-2010).
Giải: + Gọi C' là điểm đối xớng của C qua phân giác d thì C' phải nằm trên AB và tam giác AC'C vuông cân tại
A. Gọi d' là đường thẳng qua C(-4;1) và vuông góc với d : d'
4
50
1
xt
xy
yt
. d' cắt d tại H thì tọa độ
H là nghiệm của hệ :
44
1 1 0;5
5 0 4
x t x t
y t y t H
x y t
C' đói xứng với C qua H suy ra C'=(4;9). Vì A nằm trên d suy ra A(t;5-t ). Do hoành đọ A dương cho nên t>0.
Ta có :
22
2 2 2
4 4 32; 4 4 2 16CH AC t t t
Xét tam giác vuông cân AHC :
2 2 2
2 2 16 2 32 16 32 16 4AC HC t t t t
( vì t>0)
Với t=4 suy ra A(4;1). .
Đường thẳng (BC') qua A(4;1) có
4
' 0;8 // 0;1 ' :
1
x
AC u AC
yt
.
B thuộc (AC') suy ra B(4;1+t)
22
0AB t t
. Và
22
8 0 8AC
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
11
+ Từ giả thiết :
6 (4; 5)
1
24 . 48 8 6
6 4;7
2
ABC
tB
S AB AC t t
tB
Do
,AB AC
cùng hướng suy ra : với B(4;-5) thì
0; 6 , ' 0;5AB AC
. Hai véc tơ ngược hướng cho nên
B(4;-5) loại . Vậy B(4;7) và phương trình (BC) qua B(4;7) có véc tơ chỉ phương
47
8; 6 // 4;3 : 3 4 16 0
43
xy
BC u BC x y
.
Bài 51: x 3y -2).
Bài 52: x – 4y + 6 = 0, AC: 5x + 12y – 25 = 0
và BC: y = 0.
ABC;
Bài 53: -6; -3), B(-
Bài 54:
x + 2y 5 = 0 và 4x + 13y 10 = 0.
Bài 55:
t:
3 4 1 0xy
và
2 3 0xy
Bài 56: Cho tam giác ABC có x y = 0, x + y
AC qua M(0; -ng trình các
Bài 57:
2 1 0 xy
CD:
10 xy
Bài 58: -
3 4 27 0xy
2 5 0xy
.
Bài 59: Cho tam giác ABC có A(2,-
B
d
:
2 1 0xy
và
: 3 0
C
d x y
Bài 60:
trong góc A là x
85
5
BC
Bài 61:
-1; -
- 1 = 0. (ĐH KB- 2008). ĐS: C(-10/3; 3/4).
Bài 62:
17 1
;
55
H
(ĐH KB – 2013).
******************************************************************************************
