một số bài toán trong hệ oxyz

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán 1: Cho hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
) có phương trình:
(P
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 và (P
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Với A
1
: B
1

: C
1
≠

A
2
: B
2
: C
2
và điểm M
O
(xo; yo; zo) không thuộc (P
1
) và (P
2
). Lập phương trình mặt phẳng
phân giác của góc tạo bởi (P
1
), (P
2
) chứa điểm M
O
hoặc góc đối đỉnh của nó.
Phương pháp thực hiện: Gọi P là mặt phẳng thỏa mãn điều kiện bài toán khi đó M (x; y; z) ∈ (P)
 M và M
O
cùng phía với (P
1
)

M và M
O
cùng phía với (P
2
)
d (M, (P
1
) = d (M
1
, (P
2
))
(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) (A
1
x
O
+ B
1
y
O
+ C
1

z
O
+ D
1
) >O
 (A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) (A
2
x
O
+ B
2
y
O
+ C
2
z
O
+ D
2
) >O
Từ hệ trên ta có được phương trình mặt phẳng (P) cần tìm.
Bài toán 2 : Lập phương trình mặt phẳng phân giác của góc nhò diện (A,BC,D)

Phương pháp thực hiện: Gọi (P) là mặt phẳng phân giác cần tìm. Khi đó, điểm M (x; y; z) ∈ (P): 
M và A cùng phía với (BCA)
M và D cùng phía với (ABC)
d (M, (ABC) = d (M, (BCD))
Từ hệ đó ta có được phương trình mặt phẳng cần tìm.
Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng (d
1
)
và (d
2
) cho trước.
Chú ý: Bài toán còn có thể phát hiểu dưới dạng khác “Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm
A song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d
1
)”.
Phương pháp thực hiện:
Cách 1: - Bước 1: Xác đònh các VTCP của (d
1
), (d
2
)
- Bước 2: Gọi
u
r
là một VTCP của đường thẳng (d), ta có:
1 2
&u u u u⊥ ⊥
ur r uur r

1 2

[ ; ]u u u⇒ =
r ur uur
Qua A
Và có VTCP
u
r
Cách 2: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P
1
) thỏa:
Qua A
(P
1
) ⊥ (d
1
)
- Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P
2
) thỏa: Qua A và
(P
2
) ⊥ (d
2
)
1
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
A x B y C z D A x B y C z D
A B C B CA
+ + + + + +

=
+ + + +
- Bước 3: Khi đó (d) chính là giao tuyến của (P
1
) và (P
2
)
Chú ý: Nếu ta chọn cách 2 thì lập phương trình tổng quát,rồi từ đó đưa về phương trình tham số và chính tắc
, còn cách 1 thì lập phương trình tham số và chính tắc.
Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với đường thẳng (d
1
) và cắt đường thẳng
(d
2
).
Chú ý: Bài toán còn có thể phát biểu dưới dạng: “Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A vuông
góc với 1 vectơ (hoặc song song với một mặt phẳng) và cắt đường thẳng (d
1
)”.
Phương pháp thực hiện: Ta có thể thực hiện một trong ba cách sau:
Qua A và
(d
1
) ⊥ (P
1
)
Qua A và
(d
2
) ⊥ (P

2
)
- Bước 3: Kết luận.
* Nếu (P
1
) ≡ (P
2
): Bài toán có vô số nghiệm.
* Nếu (P
1
) ≠ (P
2
): Gọi (d) là giao tuyến của (P
1
) và (P
2
):
+ d // d
2
thì bài toán vô nghiệm.
+ Còn lại, ta kết luận d là đường thẳng cần dựng.
Qua A và
(d
1
) ⊥ (P)
- Bước 2: Xác đònh giao điểm B của (d
2
) và (P)
* Nếu không tồn tại giao điểm. Kết luận vô nghiệm.
* Nếu có vô số giao điểm (d

2
⊂ (P
2
)). Kết luận có vô số đường thẳng trong (P) đi qua A cắt (d
2
).
* Nếu có nghiệm duy nhất, ta thực hiện bước 3.
Qua A và có
VTCP
AB
uuur
Cách 3: Được thực hiện khi (d
2
) cho dưới dạng tham số.
- Bước 1: Giả sử (d) cắt (d
2
) tại B, khi đó tọa độ B thỏa phương trình tham số của (d
2
), từ đó suy ra
AB. Xác đònh tọa độ
1
u
ur
là VTCP của (d
1
).
- Bước 2: Vì (d) ⊥ (d
1
) 
1

. 0AB u =
uuur ur
=> tọa độ điểm B.
Qua A và có
VTCP
AB
uuur
Chú ý: Cách 1 dẫn đến lập phương trình tổng quát của đường thẳng (d), sau đó đưa về chính tắc hay tham
số , còn ta sử dụng cách 2 và 3 thì đưa về lập phương trình chính tắc và tham số.
Bài toán 5 : Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt hai đường thẳng (d
1
và (d
2
).
Bài toán còn được mở rộng khi ta thay điều kiện điểm A bằng điều kiện:
- (d) // (d
3
) và cắt (d
1
) và (d
2
) hoặc là:
- (d) ⊥ (P) và cắt (d
1
) và (d
2
) (trong đó d
3
là đường thằng, (P) là mặt phẳng cho trước).
Phương pháp thực hiện:

Qua A và
(d
1
) ⊂ (P
1
)
Qua A và
(d
2
) ⊂ (P
2
)
- Bước 3: Kết luận d là giao của (P
1
) và (P
2
)
+ Nếu (P
1
) song song hoặc trùng (P
2
) thì vô nghiệm
2
+ Nếu d // d
1
hoặc d // d
2
thì vô nghiệm.
+ Còn lại ta kết luận d chính là đường thẳng cần tìm.
Cách 2: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa d

1
.
- Bước 2: Xác đònh giao điểm B của (d
2
) và (P)
+ Nếu không tồn tại giao điểm, kết luận vô nghiệm.
+ Nếu có vô số nghiệm, kết luận bài toán có vô số nghiệm đó chính là chùm đường thẳng trong (P)
đi qua A.
+ Nếu có nghiệm duy nhất, ta thực hiện được tiếp theo bước 3:
- Bước 3: Lập phương trình (d) qua A và có VTCP
AB
uuur
.
Lưu ý: là ta cân kiểm chứng (d) không song song với (d
1
).
Cách 3: - Bước 1: Giả sử (d) cắt (d
1
) và (d
2
) theo thứ tự B và C. Khi đó tọa độ B, C theo thứ tự thỏa mãn các
phương trình tham số của (d
1
) và (d
2
).
- Bước 2: Từ điều kiện A, B, C thẳng hàng ta xác đònh tọa độ B, C.
- Bước 3: Lập phương trình (d) qua A và B.
Bài toán 6: Lập phương trình đường thẳng (d) qua A, vuông góc với (d
1

)và nằm trong mặt phẳng (P).
- Bước 1: Lập phương trình (đường thẳng) mặt phẳng (Q) thỏa:
(Q) : qua A
(Q) ⊥ (d
1
) 
(Q) : qua A
có VTCP
u
r

- Bước 2: Khi đó (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài toán 7 : Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Cách 1: - Bước 1: Gọi d là đường vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
), khi đó một VTCP
a
r
của (d) thỏa mãn:
1 2 1 2
& [ ; ]a a a a a a a⊥ ⊥ ⇒ =
ur r uur r r ur uur
- Bước 2: Gọi P
1
là mặt phẳng chứa (d) và (d
1
) khi đó:
(P

1
) qua M
1
∈ (d
1
)  (P
1
): qua M
1
∈ (d
1
) => (P
1
)
có cặp VTCP
1
&a a
ur r
ø VTPT
1 1
[ ; ]n a a=
ur ur r
- Bước 3: Gọi (P
2
) là mặt phẳng chứa (d) và (d
2
), khi đó:
(P
2
) qua M

2
∈ (d
2
)  (P
2
): qua M
2
∈ (d
2
) => (P
2
)
có cặp VTCP
2
&a a
uur r
VTPT
2 2
[ ; ]n a a=
uur uur r
- Bước 4: Phương trình (d) chính là giao tuyến của (P
1
) và (P
2
)
Cách 2: - Bước 1: Gọi A, B theo thứ tự là chân đường vuông góc chung với (d
1
) và (d
2
).

- Bước 2: Từ đó suy ra tọa độ A, B theo phương trình tham số của (d
1
) và (d
2
).
- Bước 3: Từ điều kiện:
(d) ⊥ (d
1
)

1
AB a⊥
uuur ur

1
. 0AB a =
uuur ur
=>
t => tọa độ A, B
(d) ⊥ (d
2
)
2
AB a⊥
uuur uur
2
. 0AB a =
uuur uur
u
Bước 4: Khi đó phương trình đường vuông góc chung (d) được cho bởi qua A và có VTCP

AB
uuur
.
Chú ý: Nếu (d
1
), (d
2
) chéo nhau và vuông góc, ta còn có thể thực hiện như sau:
(d
1
) ⊂ (P
1
)
(d
2
) ⊥ (P
1
)
(d
2
) ⊂ (P
2
)
(d
1
) ⊥ (P
2
)
- Bước 3: Phương trình (d) chính là giao tuyến của (P
1

) và (P
2
).
3
Bài toán 8: Lập phương trình đường thẳng (d
1
) là hình chiếu của (d) trên mặt phẳng (P).
a) Nếu (d) ⊥ (P) ta có hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P).
b) Nếu (d) // (P) ta thực hiện như sau:
- Bước 1: Lấy điểm A ∈ (d), từ đó xác đònh tọa độ điểm H
A
là hình chiếu vuông góc của A lên (P).
- Bước 2: Phương trình đường thẳng (d
1
) được cho bởi : (d
1
)// (d) & qua H
A
c) Nếu (d) cắt (P) ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh tọa độ giao điểm I của (d) và (P)
+ Bước 2: Lấy điểm A ∈ (d), từ đó xác đònh tọa độ điểm H
A
là hình chiếu vuông góc của A lên (P).
+ Bước 3: Phương trình (d
1
) được cho bởi: qua H
A
và VTCP
A
IH

uuuur
là hình chiếu vuông góc của A lên (P).
Bài toán 9 : Xác đònh tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P).
Cách 1: - Xác đònh VTPT n của mặt phẳng (P)
- Lập phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với (P).
- Hình chiếu vuông góc H của A lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P).
Cách 2 : - Xác đònh VTPT
n
r
của mặt phẳng (P) Giả sử H (x; y; z) là hình chiếu vuông góc của A lên (P),
suy ra:
( )
( )
( )
//
H P H P
AH P
AH n

∈ ∈


⇔ ⇒
 
⊥



uuur r
Tọa độ của H.

Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng d
2
đối xứng với đường thẳng d
1
cho trước qua mặt phẳng (P)
cho trước .
Phương pháp thực hiện:
a.Nếu
( )
1
d P⊥
, ta có ngay
1 2
d d≡
b.Nếu d
1
// (P), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1:Lấy điểm A
∈
(d
1
), từ đó xác đònh tọa độ điểm B đối xứng với A qua (P).
Bước 2:Phương trình d
2
được xác đònh: qua B và d
2
//d
1
.
c.Nếu d

1
cắt (P), ta thực hiện các bước sau:
Bước1: Xác đònh tọa độ giao điểm I của d
1
với (P).
Bước 2: Lấy điểm A
∈
(d
1
), từ đó xác đònh tọa độ giao điểm A
1
đối xứng với A qua (P).
Bước 3: Phương trình d
2
lập bởi VTCP
1
IA
uur
và qua A
1
.
Bài toán 11: Xác đònh tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d.
Phương pháp thực hiện:
Cách 1:
Bước 1: Xác đònh VTCP
a
r
của đường thẳng d.
Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d, suy ra tọa độ H thỏa mãn phương trình
tham số của d.

Bước 3: Ta có điều kiện:
( ) . 0AH d AH a AH a⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇒
uuur r uuur r
tọa độ H
Cách 2:
Bước 1: Xác đònh VTCP
a
r
của đường thẳng d.
Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P)thỏa mãn : qua A và vuông góc với d.
Bước 3: Hình chiếu vuông góc của A chính là giao điểm của d và mặt phẳng P.
4




5