Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (451.87 KB, 6 trang )
Bài tập Toán 12
1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Tìm
m
để phương trình:
1 3 1 3x x x x m
(1) có nghiệm.
Giải. Điều kiện:
10
13
30
x
x
x
Đặt:
13t x x
Trên khoảng
1;3
ta có:
1 1 3 1
'
2 1 2 3
2 1 3
xx
t
xx
xx
' 0 3 1 2t x x x
Bảng biến thiên:
Do đó:
1;3 2;2xt
2
1 3 2 2 1 3t x x t x x
Phương trình (1) thành:
2
2
2
2 2 2
2
t
t m t t m
Xét hàm số:
2
22g t t t
, với
2;2t
' 2 2g t t
;
' 0 2 2 0 1g t t t
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm
2 2 2 2 1 2mm
Bài 2. Tìm
m
để phương trình:
2 2 2 2x x x x m
(1) có nghiệm.
Giải. Điều kiện:
20
22
20
x
x
x
Đặt:
22t x x
Trên khoảng
2;2
ta có:
1 1 2 2
'
2 2 2 2
2 2 2
xx
t
xx
xx
' 0 2 2 0t x x x
Bảng biến thiên:
Do đó:
2;2 2;2 2xt
2
2 2 4 2 2 2t x x t x x
Phương trình (1) thành:
2
2
4
2 4 2
2
t
t m t t m
Xét hàm số:
2
24g t t t
, với
2;2 2t
' 2 2g t t
;
' 0 2 2 0 1g t t t
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm
4| 4 2 2 4 2 2 2 2mm
2
1
2
3
0
x
't
t
2
2
1
2
2
0
x
'( )gt
()gt
22
2
2
2
0
2
0
x
't
t
22
2
1
4 4 2
22
0
x
'( )gt
()gt
4
2
Bài tập Toán 12
2
Bài 3. Tìm
m
để phương trình:
3 6 3 6x x x x m
(1) có nghiệm.
Giải. Điều kiện:
30
36
60
x
x
x
Đặt:
36t x x
Trên khoảng
3;6
ta có:
1 1 6 3
'
2 3 2 6
2 3 6
xx
t
xx
xx
3
' 0 6 3
2
t x x x
Bảng biến thiên:
Do đó:
3;6 3;3 2xt
2
3 6 9 2 3 6t x x t x x
Phương trình (1) thành:
2
2
9
2 9 2
2
t
t m t t m
Xét hàm số:
2
29g t t t
, với
3;3 2t
' 2 2g t t
;
' 0 2 2 0 1g t t t
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm
9 6 2
9 6 2 2 6 3
2
mm
Bài 4. Tìm
m
để phương trình:
2 7 2 7x x x x m
(1) có nghiệm.
Giải. Điều kiện:
20
27
70
x
x
x
Đặt:
27t x x
Trên khoảng
2;7
ta có:
1 1 7 2
'
2 2 2 7
2 2 7
xx
t
xx
xx
5
' 0 7 2
2
t x x x
Bảng biến thiên:
Do đó:
2;7 3;3 2xt
2
2 7 9 2 2 7t x x t x x
Phương trình (1) thành:
2
2
9
2 9 2
2
t
t m t t m
Xét hàm số:
2
29g t t t
, với
3;3 2t
' 2 2g t t
;
' 0 2 2 0 1g t t t
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm
9 6 2
9 6 2 2 6 3
2
mm
3
3
3
2
6
0
x
't
t
32
3
1
9 6 2
32
0
x
'( )gt
()gt
6
3
3
2
3
2
7
0
x
't
t
32
3
1
9 6 2
32
0
x
'( )gt
()gt
6
3
Bài tập Toán 12
3
Bài 5. Tìm
m
để phương trình:
1 8 1 8x x x x m
(1) có nghiệm.
Giải. Điều kiện:
10
18
80
x
x
x
Đặt:
18t x x
Trên khoảng
1;8
ta có:
1 1 8 1
'
2 1 2 8
2 1 8
xx
t
xx
xx
7
' 0 8 1
2
t x x x
Bảng biến thiên:
Do đó:
1;8 3;3 2xt
2
1 8 9 2 1 8t x x t x x
Phương trình (1) thành:
2
2
9
2 9 2
2
t
t m t t m
Xét hàm số:
2
29g t t t
, với
3;3 2t
' 2 2g t t
;
' 0 2 2 0 1g t t t
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm
9 6 2
6 2 9 6 2 3
2
mm
Bài 6. Tìm
m
để phương trình:
1 5 1 5x x x x m
(1) có nghiệm.
Giải. Điều kiện:
10
15
50
x
x
x
Đặt:
15t x x
Trên khoảng
1;5
ta có:
1 1 5 1
'
2 1 2 5
2 1 5
xx
t
xx
xx
' 0 5 1 3t x x x
Bảng biến thiên:
Do đó:
1;5 2;2 2xt
2
1 5 4 2 1 5t x x t x x
Phương trình (1) thành:
2
2
4
2 4 2
2
t
t m t t m
Xét hàm số:
2
24g t t t
, với
2;2 2t
' 2 2g t t
;
' 0 2 2 0 1g t t t
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm
4 2 4 4 2 2 2 2 2mm
3
1
7
2
8
0
x
't
t
32
3
1
9 6 2
32
0
x
'( )gt
()gt
6
3
_
2
1
3
5
0
x
't
t
22
2
1
4 4 2
22
0
x
'( )gt
()gt
4
2
_
Bài tập Toán 12
4
Bài 7. Tìm
m
để phương trình:
2
99x x x x m
(1) có nghiệm.
Giải. Điều kiện:
0
09
90
x
x
x
Bình phương 2 vế phương trình (1), ta được:
2
9 2 9 9x x x x m
Đặt:
2
99t x x x x
Trên khoảng
0;9
ta có:
2
29
'
29
x
t
xx
9
' 0 2 9 0
2
t x x
Bảng biến thiên:
Do đó:
9
0;9 0;
2
xt
2 2 2
99t x x t x x
Phương trình (1) thành:
22
9 2 2 9t t m t t m
Xét hàm số:
2
29g t t t
, với
9
0;
2
t
' 2 2g t t
;
' 0 2 2 0 1g t t t
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm
9
10
4
m
Bài 8. Tìm
m
để phương trình:
2
21x x m
(1) có nghiệm.
Giải. Ta có:
2
2 1 0,xx ¡
Đặt:
2
21y x x
,
x¡
2
22
2 2 1 2
'1
2 1 2 1
x x x
y
xx
2
22
0
' 0 2 1 2
2 1 4
x
y x x
xx
2
2
x
Phương trình thành:
ym
Bảng biến thiên:
2
lim lim 2 1
xx
y x x
( dạng:
)
2
2
2
24
1
1
1
lim lim
2 1 1
21
xx
x
x
xx
x x x
Phương trình (1) có nghiệm
2
2
m
0
0
9
2
9
0
x
't
t
0
0
9
4
9
0
x
'( )gt
()gt
10
1
9
2
9
2
2
0
x
'y
y
2
2
Bài tập Toán 12
5
Bài 9. Tìm
m
để phương trình:
2
12 3x x m
(1) có nghiệm.
Giải. Điều kiện:
2
12 3 0 2 2xx
Đặt:
2
12 3y x x
, với
2;2x
Trên khoảng
2;2
ta có:
2
22
3 12 3 3
'1
12 3 12 3
x x x
y
xx
2
22
02
' 0 12 3 3
12 3 9
x
y x x
xx
1x
Phương trình thành:
ym
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm
24m
Bài 10. Tìm
m
để phương trình:
22
2 2 1 2 2 1x x x x m
(1) có nghiệm.
Giải. Ta có:
2
2 1 0,xx ¡
Đặt:
2
21y x x
,
x¡
2
22
2 2 1 2
'1
2 1 2 1
x x x
y
xx
2
22
0
' 0 2 1 2
2 1 4
x
y x x
xx
2
2
x
Phương trình thành:
ym
Bảng biến thiên:
2
lim lim 2 1
xx
y x x
( dạng:
)
2
2
2
24
1
1
1
lim lim
2 1 1
21
xx
x
x
xx
x x x
Phương trình (1) có nghiệm
2
2
m
Bài 11. Tìm
m
để phương trình:
2
4
3 1 1 1x m x x
(1) có nghiệm.
Giải. Điều kiện :
10
1
10
x
x
x
2
2
1
2
0
x
'y
y
4
2
0
x
'y
y
2
2
Bài tập Toán 12
6
Chia hai vế cho
1x
, ta được:
2
4
4
3 1 1 1 1
3
11
11
x x x x
mm
xx
xx
Đặt:
4
1
1
x
t
x
,
1;x
3
4
2
1 1 2
' 0 1;
41
1
x
tx
x
x
Bảng biến thiên:
4
1
lim lim 1
1
xx
x
t
x
Do đó:
1; 0;1xt
2
4
11
11
xx
tt
xx
Phương trình thành:
2
3t t m
Xét hàm số:
2
3y t t
0;1t
' 6 1yt
1
' 0 6 1 0
6
y t t
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm
1
2
12
m
Bài 12. Tìm
m
để phương trình:
2
4
3 1 1 2 1x m x x
(1) có nghiệm.
Giải. Điều kiện :
10
1
10
x
x
x
Chia hai vế cho
1x
, ta được:
2
4
4
3 1 2 1 1 1
32
11
11
x x x x
mm
xx
xx
Đặt:
4
1
1
x
t
x
,
1;x
3
4
2
1 1 2
' 0 1;
41
1
x
tx
x
x
Bảng biến thiên:
4
1
lim lim 1
1
xx
x
t
x
Do đó:
1; 0;1xt
2
4
11
11
xx
tt
xx
Phương trình thành:
2
32t t m
Xét hàm số:
2
32y t t
0;1t
' 6 2yt
1
' 0 6 2 0
3
y t t
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm
1
1
3
m
x
't
t
0
1
0
x
'y
y
2
2
1
0
x
'y
y
1
12
1
6
2
0
1
0
x
't
t
0
1
0
x
'y
y
2
2
1
0
x
'y
y
1
3
1
3
1
0
1
0
