Dao động tự do của màng

Dao động tự do của màng
1) bài toán tổng quát: dao động của màng hình vuông cạnh b bài toán trở thành
tìm nghiệm của phương trình
'' 2 '' ''
( ) 0
tt xx yy
u a u u− + =
(1)
thỏa mãn các điều kiện đầu
0
( , )
t
u f x y
=
=
(2)
'
0
( , )
t
u F x y
=
=
(3)
và các điều kiện biên là
0
0
x x b
u u
= =
= =

(4)
0
0
y y b
u u
= =
= =
(5)
sử dụng phương pháp tách biến furie
( ) ( ) ( )
" . . "
x y t
tt
u X Y T=

( ) ( ) ( )
" " . .
x y t
xx
u X Y T=

( ) ( ) ( )
" . " .
x y t
yy
u X Y T=
thay vào phương trình (1) ta được
2 2
( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( )
" . " . " 0

t x y x y t x y t
T X Y a X Y T a X Y T− − =
chia cả hai vế cho
2
( ) ( ). ( )t x y
a T X Y
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
" " "
t x y
t x y
T X Y
a T X Y
λ
= + =
(6)
(7)
Từ (7) ta có
{
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
"
" 0
( ) ( )
" " ( ) 0
( ) ( )
" "

x
x x x
y y y
y
X
X X X
x y
Y Y Y
x y
Y
X Y
X Y
β
β
λ β
λ β
λ
=
− =
− − =
− =


 
= − ⇔
 





( ) ( )
( ) ( )
" "
x y
x y
X Y
X Y
λ β
= − =
( )
( )
( )
( )
"
"
x
x
y
y
X
X
Y
Y
β
λ β
=
− =






{
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
"
" 0
" " ( ) 0
x
x x x
y y y
y
X
X X X
Y Y Y
Y
β
β
λ β
λ β
=
− =
− − =
− =


⇔




2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
"
" "
t t
x y
x y
T a T
X Y
X Y
λ
λ

=


+ =


Giải phương trình
( ) ( )
" 0
x x
X X
β
− =

Ngiệm của phương trình có dạn: X
(x)
=Acoscx + Bsincx từ điều kiện biên
0
0
x x b
u u
= =
= =
ta có
{
A cos c.0 Bsinc.0 0
cos . sin . 0A c b B c b
+ =
+ =
{
A cos c.0 Bsinc.0 0
cos . sin . 0A c b B c b
+ =
+ =

0 0
sin . 0
A A
c b k
c
b
π
= =
=

=



→ ↔
 



X
k(x)
=Bsinlπx/b
( ) ( )
" ( ) 0
y y
Y Y
λ β
− − =
Giải phương trình
( ) ( )
" ( ) 0
y y
Y Y
λ β
− − =
với β= -c
2
Đặt λ-β=γ với γ=-δ
2
nghiệm của phương trình có dạng Y

(y)
=A
1
cosδy + A
2
sinδy
Với các điều kiện ban đầu
0
0
y y b
u u
= =
= =
ta tính được δ=lπ/b vậy ta có
y
l(y)
=A
2
sinlπy/b
Giải phương trình
2
( ) ( )
"
t t
T a T
λ
=
2 2 2 2
2
2 2

" 0
l k
T a T
b b
π π
 
+ + =
 ÷
 
Phương trình có nghiệm
2 2 2 2
, ( ) 3 4
os sin
k l t
a a
T A c l k t A l k t
b b
π π
= + + +
, ( , , ) ( ) ( )k l x y t k x l y
u x y t=
=
2 2 2 2
, ,
os sin sin sin
k l k l
a a k x k y
a c l k t b l k t
b b b b
π π π π

 
+ + +
 
 
2 2 2 2
, ( , , ) , ,
0, 0
os sin sin sin
k l x y t k l k l
k l
a a k x k y
u a c l k t b l k t
b b b b
π π π π
∞
= =
 
= + + +
 
 
∑
từ điều kiện ban đầu ta có
( )
,
x,y,t
0
0 0
u ( , ) ( , ) sin sin
k l
t

k l
k x k y
f x y f x y a
b b
π π
∞ ∞
=
= =
= ⇔ =
∑∑
Trong đó a
k,l
là hệ số khai triển của chuỗi furie
,
0 0
2 2
( , )sin sin
b b
k l
k x k y
a f x y dxdy
b b b b
π π
=
∫∫

( )
,
x,y,t
0

0 0
u' ( , ) ( , ) sin sin
k l
t
k l
k x k y
F x y F x y b
b b
π π
∞ ∞
=
= =
= ⇔ =
∑∑
,
0 0
2 2
( , )sin sin
b b
k l
k x k y
b f x y dxdy
l b k b b b
π π
π π
=
∫∫
Ví dụ:
Tìm nghiệm
'' 2 '' ''

( ) 0
tt xx yy
u a u u− + =
(1) thỏa mãn các điều kiện đầu
(2)
'
0
( , )
t
u F x y By
=
= =
(3) và các điều kiện biên là
0
0
x x b
u u
= =
= =
(4)
(5)
sử dụng phương pháp tách biến furie
( ) ( ) ( )
" . . "
x y t
tt
u X Y T=

( ) ( ) ( )
" " . .

x y t
xx
u X Y T=

( ) ( ) ( )
" . " .
x y t
yy
u X Y T=
thay vào phương trình (1) ta được
2 2
( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( )
" . " . " 0
t x y x y t x y t
T X Y a X Y T a X Y T− − =
chia cả hai vế cho
2
( ) ( ). ( )t x y
a T X Y
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
" " "
t x y
t x y
T X Y
a T X Y
λ
= + =
(6)

(7)
Từ (7) ta có
{
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
"
" 0
( ) ( )
" " ( ) 0
( ) ( )
" "
x
x x x
y y y
y
X
X X X
x y
Y Y Y
x y
Y
X Y
X Y
β
β
λ β
λ β
λ

=
− =
− − =
− =


 
= − ⇔
 




( ) ( )
( ) ( )
" "
x y
x y
X Y
X Y
λ β
= − =
0
( , ) Ax
t
u f x y
=
= =
0
0

y y b
u u
= =
= =
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
"
" "
t t
x y
x y
T a T
X Y
X Y
λ
λ

=


+ =


( )
( )
( )
( )
"

"
x
x
y
y
X
X
Y
Y
β
λ β
=
− =





{
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
"
" 0
" " ( ) 0
x
x x x
y y y
y

X
X X X
Y Y Y
Y
β
β
λ β
λ β
=
− =
− − =
− =


⇔



Giải phương trình
( ) ( )
" 0
x x
X X
β
− =
Ngiệm của phương trình có dạn: X
(x)
=Acoscx + Bsincx từ điều kiện biên
0
0

x x b
u u
= =
= =
ta có
{
A cos c.0 Bsinc.0 0
cos . sin . 0A c b B c b
+ =
+ =
{
A cos c.0 Bsinc.0 0
cos . sin . 0A c b B c b
+ =
+ =

0 0
sin . 0
A A
c b k
c
b
π
= =
=
=



→ ↔

 



x
k(x)
=Bsinlπx/b
Giải phương trình
( ) ( )
" ( ) 0
y y
Y Y
λ β
− − =
( ) ( )
" ( ) 0
y y
Y Y
λ β
− − =
với β= -c
2
Đặt λ-β=γ với γ=-δ
2
nghiệm của phương trình có dạng Y
(y)
=A
1
cosδy + A
2

sinδy
Với các điều kiện ban đầu
0
0
y y b
u u
= =
= =
ta tính được δ=lπ/b vậy ta có
y
l(y)
=A
2
sinlπy/b
Giải phương trình
2
( ) ( )
"
t t
T a T
λ
=
2 2 2 2
2
2 2
" 0
l k
T a T
b b
π π

 
+ + =
 ÷
 
Phương trình có nghiệm
2 2 2 2
, ( ) 3 4
os sin
k l t
a a
T A c l k t A l k t
b b
π π
= + + +
, ( , , ) ( ) ( )k l x y t k x l y
u x y t=
=
2 2 2 2
, ,
os sin sin sin
k l k l
a a k x k y
a c l k t b l k t
b b b b
π π π π
 
+ + +
 
 
2 2 2 2

, ( , , ) , ,
0, 0
os sin sin sin
k l x y t k l k l
k l
a a k x k y
u a c l k t b l k t
b b b b
π π π π
∞
= =
 
= + + +
 
 
∑
từ điều kiện ban đầu ta có
( )
,
x,y,t
0
0 0
u ( , ) ( , ) sin sin
k l
t
k l
k x k y
f x y f x y a
b b
π π

∞ ∞
=
= =
= ⇔ =
∑∑
Trong đó a
k,l
, là hệ số khai triển của chuỗi furie
,
0 0
2 2
( , )sin sin
b b
k l
k x k y
a f x y dxdy
b b b b
π π
=
∫∫

,
0 0
2 2
Axsin sin
b b
k l
k x k y
a dxdy
b b b b

π π
=
∫∫
,
0 0
2 2
Axsin sin
b b
k l
k x k y
a dxdy
b b b b
π π
=
∫∫
tính
1
0
sin
b
k y
I dy
b
π
=
∫
1
0
os ( 1) 1
b

l
b l y b
I c
l b l
π
π π
− −
 
= = − −
 
2
0
sin
b
k x
I x dx
b
π
=
∫
2
2
0
0
os os ( 1)
b
b
k
xb k x b k x b
I c c dx

k b k b k
π π
π π π
− −
= + = −
∫
1 2
k,l
2 2
4AI I 4
a ( 1) [( 1) 1]
b
k l
Ab
kl
π
= = − − −
( )
,
x,y,t
0
0 0
u' ( , ) ( , ) sin sin
k l
t
k l
k x k y
F x y F x y b
b b
π π

∞ ∞
=
= =
= ⇔ =
∑∑

Trong đó b
k,l
là hệ số khai triển của chuỗi
,
0 0
2 2
( , )sin sin
b b
k l
k x k y
b F x y dxdy
l b k b b b
π π
π π
=
∫∫
3
0
sin
b
k x
I dx
b
π

=
∫
3
0
os ( 1) 1
b
k
b l x b
I c
k b k
π
π π
− −
 
= = − −
 
4
0
sin
b
l y
I y dy
b
π
=
∫
2
4
0
0

os os ( 1)
b
b
l
yb l y b l x b
I c c dx
l b l b l
π π
π π π
− −
= + = −
∫
, 3 4
2 2 2 2 4
4 4
( 1) [( 1) 1]
l k
k l
B Bb
b I I
kl b k l
π π
= = − − −
vậy
2 2 2 2
( , , )
2 2 2 4
0 0
4 ( 1) 4
[( 1) 1] os ( 1) [( 1) 1]sin sin sin

k
l l k
x y t
k l
Ab l k at Bb l k at k x l y
u c
lk b k l b b b
π π π π
π π
∞ ∞
= =
 
− + +
= − − + − − −
 
 
 
∑∑
Bài toán mở rộng
Dao động tự do của màng hình chữ nhật
Dao động cưỡng bức của màng hình chữ nhật
'' 2 '' ''
( , , )
( )
tt xx yy x y t
u a u u g− + =
Bổ sung tần số
2 2
,
2

l k
l k
a
b
ω π
+
=
được gọi là tần số riêng của màng hình chữ nhật
Dao động
2 2 2 2
, ( , , ) , ,
2 2
( os sin )sin sin
k l x y t k l k l
l k l k k x k y
u a c at b at
b b b b
π π
π π
+ +
= +
còn được gọi là
dao động riêng của màng mỗi điểm của màng thực hiện một dao đông điều hòa với
tần số ω
l,k
khi màng dao động ta có hình ảnh của màng
+ các đường thẳng song song với các trục tọa độ được gọi là các đường nút (l-1;k-1
đường nút)
+ điểm mà các màng lệch cực đại so với trạng thái đứng yên là điểm bụng(l.k>=1)
thì có l.k điểm bụng

+tần suất âm cơ bản của màng (l,k=1) đây là tần số riêng thấp nhất các tần số còn
lại được gọi là các họa âm
Hình ảnh các đường nút tương ứng với họa âm thấp nhất dao động của màng hình
vuông có thể có tất cả các đường nút đều đi qua tâm của màng