GIẢI BÀI TOÁN UỐN VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM KIRCHHOFF SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

ĐỀ TÀI

GIẢI BÀI TOÁN UỐN VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO
CỦA TẤM KIRCHHOFF
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN

NGƯỜI THỰC HIỆN: NGUYỄN MINH NHÂN
GVHD: T.S. TRỊNH ANH NGỌC

Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh
Khoa Toán – Tin Học, Năm học 2012 – 2013


LỜI NÓI ĐẦU
Tấm nói chung và tấm Kirchhoff nói riêng có vai trò to lớn trong kĩ thuật. Chúng ta có thể bắt
gặp chúng trong cuộc sống hàng ngày. Ví dụ như mặt của chiếc bàn mà chúng ta vẫn sử dụng để
đặt mọi thứ lên đó cũng là một dạng tấm, hay cái trần nhà bê tông của chúng ta cũng là một thể
hiện khác của tấm. Ngoài ra tấm còn được sử dụng rộng rãi trong kết cấu kiến trúc, như sàn cầu,
kết cấu nước, mặt lát (pavement), containers, máy bay, tên lửa (missles), tàu, nhạc cụ, chi tiết
máy… Tấm được sử dụng rộng rãi nhờ khả năng chịu lực của nó. Nhưng các loại tấm khác nhau
thì khả năng đó cũng khác nhau. Do đó nghiên cứu về sự biến dạng của tấm dưới tác dụng của tải
là rất quan trọng. Bên cạnh đó nếu đã từng nghe đến câu chuyện một đoàn quân đi đều qua một
chiếc cầu và bỗng nhiên chiếc cầu dao động dữ dội dẫn đến chiếc cầu bị sập cùng với cả đoàn
quân bị rơi xuống sông thì hẵn các bạn cũng biết mỗi một vật đều có một tần số dao động riêng
và khi nó bị tác dụng bởi một lực có tần số bằng với tần số riêng này thì hiện tượng cộng hưởng
xảy ra, biên độ dao động của vật tăng mạnh và vật bị phá hủy nhanh chóng. Về khía cạnh này,
tấm cũng không ngoại lệ.
Nội dung của đề tài này tập trung nghiên cứu về tấm Kirchhoff (một loại tấm mỏng tuân theo
những giả thiết của Kirchhoff) mà cụ thể là về sự biến dạng uốn cũng như tần số dao động riêng
của nó. Một số kết quả bước đầu cả về mặt lý thuyết cũng như tính toán về sự uốn, dao động của

tấm Kirchhoff đã đạt được. Vì đề tài được thực hiện trong thời gian ngắn, cũng như việc người
thực hiện chưa có kinh nghiệm trong việc vận dụng phương pháp phần tử hữu hạn nên sai sót có
thể xảy ra. Do đó mọi ý kiến đánh giả của thầy và các bạn là hết sực quý giá để đề tài được hoàn
thiện. Các ý kiến đóng góp nếu có xin gửi về địa chỉ .

Equation Section 1

1


Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU ...........................................................................................................................1
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TẤM KIRCHHOFF .............................................................3
1.1.

Giới thiệu về tấm Kirchhoff ..........................................................................................3

1.2.

Giả thiết Kirchhoff cho tấm mỏng .................................................................................4

1.3.

Các thiết lập cho tấm Kirchhoff hình chữ nhật...............................................................5

1.3.1.

Trường chuyển vị và các biến dạng của tấm Kirchhoff ...........................................5

1.3.2.

Các ứng suất của tấm Kirchhoff .............................................................................7

1.3.3.

Các hàm năng lượng của tấm Kirchhoff .................................................................7

1.3.4.

Xấp xỉ phần tử hữu hạn ..........................................................................................9

1.3.5.

Thao tác đánh số phần tử, nút và các bậc tự do ..................................................... 14

CHƯƠNG II: GIẢI BÀI TOÁN UỐN TẤM KIRCHHOFF ................................................. 16
2.1. Nguyên lý năng lượng thế năng cực tiểu ......................................................................... 16
2.2. Lập trình chương trình tính toán và các kết quả thu được ................................................ 16
CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM KIRCHHOFF .......................................... 22
3.1. Nguyên lý Hamilton và bài toán dao động tự do của tấm ................................................ 22
3.2. Kết quả tính toán và minh họa ........................................................................................ 24
ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI ................................................................................................................ 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................................... 38

2


CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TẤM KIRCHHOFF
1.1.

Giới thiệu về tấm Kirchhoff

Tấm Kirchhoff là các thành phần kết cấu được bao bởi hai mặt phẳng song song và một mặt trụ
vuông góc với các mặt phẳng tấm. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng tấm được gọi là độ dày ( h )
của tấm. Chúng ta giả sử độ dày của tấm mỏng là nhỏ so với các kích thước đặc trưng khác của
mặt phẳng tấm. (độ dài, độ rộng, đường kính, vv.). Dựa vào hình dạng của mặt phẳng tấm thì
người ta phân ra các loại tấm vuông, tròn, elip, đa giác, tam giác, tứ giác.v.v. Các tải tĩnh hoặc
động tác dụng lên tấm phần lớn vuông góc với mặt phẳng tấm.

Tấm Kirchhoff thường được chia thành hai nửa bằng nhau về độ dày bởi một mặt phẳng song
song với các mặt của tấm. Mặt phẳng này gọi là mặt trung hòa (middle plane, hay midplane) của
tấm. Dưới tác dụng của tải ngang (transverse loads) một tấm ban đầu phẳng sẽ biến dạng và mặt
trung hòa chuyển thành mặt cong. Ta chỉ quan tâm tới tấm có độ dày không đổi, khi đó hình
dạng của tấm được tương ứng với dạng hình học của mặt trung hòa của nó.
Một tấm chống lại các tải ngang bằng cách uốn. Các tính chất uốn của tấm phụ thuộc phần lớn
vào độ dày của nó khi so với các kích thước khác. Cụ thể, tấm được phân thành ba nhóm theo tỉ
số a / h , với a là kích thước đặc trưng của tấm trong một mặt và h là độ dày của tấm. Những
nhóm này là
- Tấm dày với tỉ số a / h  8,9,10 . Loại tấm này được đưa tất cả các thành phần ứng suất, biến
dạng và chuyển vị như đối với vật thể rắn sử dụng các phương trình tổng quát của lý thuyết đàn
hồi ba chiều vào phân tích.
- Màng với tỉ số a / h  80,81,...,100 .

3


- Tấm mỏng (thin plate) với 8,9,10  a / h  80,...,100 . Nhóm này lại được phân thành hai lớp
khác nhau.
+ Tấm cứng (stiff plates): với tỷ số giữa độ võng cực đại và độ dày của tấm w / h  0.2 .
+ Tấm dẻo (flexible plates): với w / h  0.3 .

1.2.

Giả thiết Kirchhoff cho tấm mỏng

Trong thực hành kĩ thuật, khái niệm tấm mỏng thường được hiểu là tấm cứng. Xét một tấm loadfree (không tải), trong đó mặt xy trùng với mặt trung hòa của tấm và trục z vuông góc với nó,
hướng xuống.

Các giả thiết cơ bản về lý thuyết biến dạng nhỏ, đàn hồi, tuyến tính của bài toán uốn tấm mỏng
có thể được phát biểu như sau:
1. Vật liệu tấm là đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng.
2. Tấm ban đầu là phẳng.
3. Độ võng (thành phần pháp tuyến của vector chuyển vị) của mặt trung hòa là nhỏ so
với độ dày của tấm. Độ dốc (slope) của mặt phẳng bị lệch do đó rất nhỏ và bình
phương của nó là không đáng kể khi so với đơn vị.
4. Các đường thẳng, ban đầu vuông góc với mặt trung hòa trước biến dạng thì vẫn thẳng
và vuông góc với mặt trung hòa sau khi bị lệch, và độ dài của những đoạn thẳng đó
không bị thay đổi. Điều đó có nghĩa là các biến dạng cắt  xz ,  yz là không đáng kể và
biến dạng pháp  z cũng có thể được bỏ qua. Giả thiết này được nhắc đến như là “giả
thiết về các pháp tuyến thẳng” (hypothesis of straight normal).
5. Ứng suất pháp đối với mặt trung hòa,  z , là nhỏ so với các thành phần ứng suất khác
và có thể được bỏ qua trong các quan hệ ứng suất-biến dạng.
6. Bởi vì các chuyển vị của một tấm là nhỏ, nên giả thiết rằng mặt phẳng trung hòa vẫn
không bị kéo căng sau khi uốn.
4


Nhiều trong số các giả thiết này, được biết như là giả thiết của Kirchhoff, là tương tự với những
giả thiết trong lý thuyết uốn đơn của dầm (simple bending theory of beams). Những giả thiết này
có tác dụng hạn chế bài toàn tấm 3d sang bài toán 2d. Lý thuyết uốn tấm dựa trên các giả thiết

trên gọi là lý thuyết tấm Kirrchhoff hay lý thuyết tấm cổ điển.

1.3.

Các thiết lập cho tấm Kirchhoff hình chữ nhật

Xét một tấm mỏng hình chữ nhật có chiều dài a , chiều rộng b , và dộ dày h . Gắn hệ trục tọa độ
Oxyz vào tấm như hình , Mặt xy trùng với mặt trung hòa, trục z hướng xuống.

Chúng ta có thể suy ra trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất và các phiếm hàm năng lượng cho
lý thuyết uốn Kirchhoff cho tấm cứng.
1.3.1. Trường chuyển vị và các biến dạng của tấm Kirchhoff
Đặt u , v, w là các thành phần của vector chuyển vị của các điểm trên mặt trung hòa của tấm
tương ứng theo các hướng x, y , z . Thành phần pháp tuyến của vector chuyển vị w (còn gọi là độ
võng) và tải phân bố bên (lateral distributed load) p là dương theo hướng xuống dưới. Theo giả
thiết (4) về sự không đáng kể của biến dạng cắt ta có:
 z   xz   yz  0

(1.1)

Mà

z 

w
w u
w v
,  xz 

,  yz 


z
x z
y z

(1.2)

suy ra
w  x, y , z   w0  x, y  ; u ( x, y , z )   z

w0
w
 u 0  x , y  ; v ( x , y , z )   z 0  v0 ( x , y )
x
y

(1.3)

5


Dựa vào giả thiết (6) – “chuyển vị của tấm là nhỏ nên giả sử mặt trung hòa không bị kéo căng
sau khi bị biến dạng” ta suy ra u0  v0  0 . Do đó các phương trình trên trở thành
w0

u ( x, y, z )   z x  x, y 

w0

 x, y 

v ( x, y , z )   z

y

 w( x, y, z )  w0 ( x, y )



(1.4)

Như vậy các thành phần chuyển vị u , v trên một lớp nằm ngang bất kì biến thiên tuyến tính theo
độ dày của tấm trong khi độ võng, w thì không phụ thuộc vào z .
Hình bên dưới cho thấy một mặt cắt của tấm tạo bởi mặt phẳng song song với Oxz, y  const
trước và sau biến dạng.

Xét đoạn AB có độ dài z như hình vẽ. Sau khi bị biến dạng, điểm A dịch chuyển một khoảng
w theo phương z tới điểm A1 . Vì các biến dạng cắt ngang không đáng kể (giả thiết 4) nên vị trí
sau khi biến dạng  B1  của điểm B phải nằm trên pháp tuyến của mặt trung hòa tại điểm A . Do
giả thiết (4) và (5) khoảng cách z giữa hai điểm A và B không thay đổi sau khi biến dạng.
Thế (1.4) vào (1.2) ta được

x

 z

 2 w0
,
x 2

y

 z

 2 w0
 2 w0
,



2
z
xy
y 2
xy

(1.5)

6


1.3.2. Các ứng suất của tấm Kirchhoff
Với các giả thiết 4, 5 ta có  z   xz   yz  0 . Quan hệ ứng suất biến dạng cho trường hợp ứng
suất phẳng cho bởi:
 x 
E
 
 y   1   2
 xy 
 



1 
x 
0  x 

 
 
0    y    D   y 
 1

 xy 
1     xy 
 
0 0


2 

(1.6)

với


1 
0 

E 
 1
0 

 D 
2 
1  
1  
0 0


2 

(1.7)

  2 w0 


2
 x 
 x 
  2 w0 
 



z
D



   z  DLw 0 
 y
y 2 


 xy 
 
 2 w 
0
2

 xy 

(1.8)

 2 

2 
 x 
 2 
L   2 
 y 
 2 
2

 xy 

(1.9)

Thế (1.5) vào (1.6) ta được

với toán tử

1.3.3. Các hàm năng lượng của tấm Kirchhoff

Năng lượng biến dạng của tấm là

7


U

1
 x x   y y   xy xy  dV
2 V

(1.10)

Thế (1.6) vào (1.10) ta được
T

x 
x 
1  
 
U     y   D   y  dV
2V
 xy 
 xy 
 
 

(1.11)

Thế (1.5) vào (1.11) ta có

U

1 2
1 h3
T
T
z
L
w
D
L
w
dV

 0    0 
Lw 0   DLw 0  dA


2V
2 12 

(1.12)

với  là mặt trung hòa của tấm.
Công của tải phân bố đều p tác dụng trên một mặt của tấm là
W   pw0  x, y  dA

(1.13)



với  là mặt phẳng tấm.
Động năng của tấm là
K

1
  u 2  v 2  w2  dV
2 V

(1.14)

với  là khối lượng riêng của tấm được cho là hằng số.
Thế (1.4) vào (1.14) ta được
1
K 
2

h
2

2
 2  w  2

2  w0 
2
0

z


z

w

0  dzdA


h   x 
y 





(1.15)

2

hay

8




w 
 0 
1
 w 
K   0

2
x


 w0 
 y 

T


h 0

3
0 h

12

0 0




0   w0 



w
1
T



0
0 
dA    Τw0  m Τw0  dA
 x 
2


3 
h   w0 
12   y 

(1.16)

Trong đó toán tử
 
1
 

T   
x
 

 y 

(1.17)

và ma trận

h 0


h3
m    0
12

0 0



0

0

3 
h 
12 

(1.18)

Năng lượng thế năng của tấm là
  U W

(1.19)

1 h3
T

Lw 0   DLw 0  dA   pw0  x, y  dA

2 12 



(1.20)

Thế (1.12) và (1.13) vào (1.19) ta có

1.3.4. Xấp xỉ phần tử hữu hạn
Miền bài toán khá đơn giản là miền hình chữ nhật nên sử dụng phần tử tứ giác sẽ đơn giản hơn
so với các phần tử khác.  

Ne

 e , với  e là các hình chữ nhật có dạng

e1

9


Ta nhận thấy đạo hàm cấp cao nhất xuất hiện trong các biểu ở trên là cấp 2. Để đảm bảo tính hội
w w
,
tụ, ta cần đảm bảo w , và các đạo hàm
cũng phải liên tục giữa các phần tử. Do đó cả ba
x y
đại lượng này đều được lấy làm các bậc tự do tại nút. Hơn nữa, đa thức xấp xỉ phải có bậc tối
thiểu là 2. Với việc sử dụng phần tử tứ giác thì mỗi phần tử sẽ có 12 bậc tự do. Để đơn giản trong
việc lập trình tính toán ta sử dụng phần tử tham chiếu  r như sau

Khi đó đa thức xấp xỉ w0 trên miền tham chiếu là

w0  r , s   1   2 r   3 s   4 r 2   5 rs   6 s 2   7 r 3   8 r 2 s   9 rs 2  10 s 3  11 r 3 s  12 rs 3
 1 r

s r2

rs

s2

r3

r 2 s rs 2

s3

r 3 s rs 3  α   P  r , s   α

(1.21)

với

α

T

 1  2

3  4 5  6  7 8 9 10 11 12 

(1.22)

10


Phép biến đổi hình học (ở đây x1  x4 , x2  x3 ; y1  y2 , y3  y4 )
x1  x3 x3  x1

 x  r , s   2 + 2 r

 y  r , s   y1  y3 + y3  y1 s

2
2

(1.23)

Ma trận Jacobian của phép biến đổi là
 x

 J    r
 x
 s

y   x3  x1
r   2

y  
0
s  


 a 0

y3  y1   0 b 
2 
0

(1.24)

Ta có
 w0 
 w0 
 x 
 r 


  J 
 w0 
 w0 
 y 
 s 



(1.25)

 w0 
 w0 
 w0   1 w0 
 x 


 1 b 0   r   a r 
1

   J   r  




 w0 
 w0  ab 0 a   w0   1 w0 
 y 
 s 
 s   b s 



(1.26)

 2 w0   1 2 w0 
 2   2
2 
 x   a r 
 2 w0   1 2 w0 
 2  2
2 
 y   b s 
 2 w   1 2 w0 
0


 


x

y

  ab r s 

(1.27)

Suy ra

Suy ra

Đạo hàm (1.21) ta được
 w0
  0 1 0 2r
r

s 0 3r 2

2rs

s2

0 3r 2 s

s 3  α

(1.28)

11


và
 w0
  0 0 1 0 r
s

2s 0 r 2

2rs 3s 2

r3

3rs 2  α

(1.29)

Tính giá trị của (1.21), (1.28), (1.29) tại r  1, s  1 ta được

w0 e   Ae α

(1.30)

với

 w 0 e

T

w1
r


  w1


w
a 1
x


  w1


w1
s

w2
r

w2

w
b 1
y

w2

s

w
a 2
x

w2

w3

w
b 2
y

w3
r

w3
s

w3

w
a 3
x

w4

w4
r

w
b 3
y

w4 
s 

w4

w
a 4
x

w 
b 4
y 

(1.31)

Giải (1.30) ta suy ra

α   Ae we
1

(1.32)

Thế (1.32) vào (1.21) đồng thời dựa vào (1.31) ta suy ra
w0   N1

N2

N3

N4

N5


  w1


w1
x

w1
y

N6

N7

N8

N9

N10

N11

N12  we  N  r , s  w 0 e (1.33)

với

 w 0 e

T

w2

w2
x

w2
y

w3

w3
x

w3
y

w4

w4
x

w4 

y 

(1.34)

và

12


 ((r  1) * ( s  1) * ( r 2  r  s 2  s  2)) / 8 


(a * ( r  1) 2 * ( r  1) * ( s  1)) / 8


2


(b * ( r  1) * ( s  1) * ( s  1)) / 8


2
2
 ((r  1) * ( s  1) * ( r  r  s  s  2)) / 8 


(a * ( r  1) * ( r  1) 2 * ( s  1)) / 8


T

(b * ( r  1) * ( s  1) 2 * ( s  1)) / 8


 N  r , s    
2
2
((r  1) * ( s  1) * (  r  r  s  s  2)) / 8 




(a * ( r  1) * ( r  1) 2 * ( s  1)) / 8


(b * ( r  1) * ( s  1) * ( s  1) 2 ) / 8


 ((r  1) * ( s  1) * ( r 2  r  s 2  s  2)) / 8 


(a * ( r  1) 2 * ( r  1) * ( s  1)) / 8




(b * ( r  1) * ( s  1) * ( s  1) 2 ) / 8

(1.35)

 1 2 

 2 2 
 a r 
 1 2 
L   2 2 
b s


2
2  
 ab r s 



(1.36)



 1 


1 

T  
a r 
1  


 b s 

(1.37)

Ta viết lại

và

Khi đó các biểu thức tích phân trở thành
1
T
U   w 0 e
2



h3
 12 ab L  N  r , s 
r

1
T
  w 0 e
2

  D  L N  r , s   d 
T

r

 w 0 e

h3

1
T
T
r
r 12 ab B   DB  d  w 0 e  2 w 0 e k e w 0 e


(1.38)

với
13


 1  2  N  r , s   
 2

r 2
a

 1  2 N  r , s  
 B   L  N  r , s     2  2  
s
b

  2 N r, s  
   
2
 ab

r s




(1.39)

và

h3

k e   ab B  DB  d r
12


W   w 0 e

T

T

 pab  N  r , s  



(1.40)

r

T

d  r  w 0 e f e

T

(1.41)

r

với

f e



 pab  N  r , s  



K

1
T
 w 0 e
2



T

d r

(1.42)

r

 ab  T  N  r , s    m   T  N  r , s    d  r w 0 e
T

r

(1.43)

1
T
 w 0 e m e w 0 e
2

với

m e



  ab  T N  r , s   m   T N  r , s   d 
T



r

(1.44)

r



1
T
T
w 0 e k e w 0 e  w 0 e f e
2

(1.45)

1.3.5. Thao tác đánh số phần tử, nút và các bậc tự do
Miền của bài toán sẽ được phân hoạch thành các phần tử hình chữ nhật bằng nhau. Cụ thể, các
cạnh trên trục Ox, Oy lần lượt được chia đều bởi nx , ny nút. Việc đánh số nút toàn cục cũng như
phần tử được tiến hành từ dưới lên và từ trái sang phải. Trên một phần tử, thứ tự nút cục bộ được
đánh ngược chiều kim đồng hồ từ dưới lên. Các bậc tự do được xắp xếp thành từng bộ ba như đã
đề cập ở trên và các bộ ba này được xắp xếp theo thứ tự nút cục bộ.

14


Equation Section 2

15


CHƯƠNG II: GIẢI BÀI TOÁN UỐN TẤM KIRCHHOFF
2.1. Nguyên lý năng lượng thế năng cực tiểu
Nguyên lý về năng lượng thế năng cực tiểu phát biểu như sau: Trong tất cả các chuyển dịch thõa

các điều kiện biên của một vật rắn đàn hồi, những chuyển dịch thõa phương trình cân bằng làm
cho năng lượng thế năng đạt cực tiểu địa phương. Tức là chuyển dịch cần tìm là chuyển dịch
thõa mãn phương trình

   U  W   0

(2.1)

Thay (1.45) vào (2.1) ta được

 w 0 e

T

k  w   f    0
e

0 e

(2.2)

e

Do biến phân  w 0 e là bất kì nên từ (2.2) ta suy ra
T

k e w0 e  f e

(2.3)

Thực hiện tổng lắp ghép trên các phần tử ta được hệ phương trình

K u  F

(2.4)

Trong đó u là vector chứa tất cả các bậc tự do tại nút được sắp xếp theo bộ ba bậc tự do tại các
nút và theo số thứ tự toàn cục của nút đó

u

T


  w1


w1
x

w1
y

w2

w2
x

w2
y

... wnn

wnn
x

wnn 
y 

(2.5)

2.2. Lập trình chương trình tính toán và các kết quả thu được
Từ những kết quả thu được trong lý thuyết ta có thể sử dụng phần mềm Matlab để giải bài toán
này. Các bước tiến hành
1.

Nhập các thông số của bài toán:
 Các kích thước của tấm: chiều dài (a), chiều rộng (b), độ dày (ha).
 Các hằng số vật liệu: E, 

 Các kích thước lưới: nx, ny lần lượt là số nút trên ox, oy.
2. Lập các ma trận, vector dùng để tham chiếu
 Đánh số thứ tự các nút, từ trái sang phải, từ dưới lên trên.
 Tính ma trận tọa độ các nút (coord)
 Tính ma trận nút phần tử (enodes)
16


3.
4.

5.
6.

 Tính ma trận điều kiện biên (dcond)
 Tính ma trận lắp ghép (la)
Tính ma trận độ cứng phần tử là lắp ghép
Khử điều kiện biên.
Tìm nghiệm.
Xuất độ võng ra màn hình, đưa ra đồ thị minh họa.

Cụ thể, các kết quả thu được với thông số đầu vào của bài toán
E = 10920.0; poisson = 0.30;a=1.0; b=1.0; h=0.1;p=1
như sau
Đánh số nút (ví dụ với lưới 10x10)

Ta có kết quả về độ võng cực đại trong trường hợp tấm bị ngàm bốn cạnh tương ứng với các số
phần tử như sau
Số phần tử
4x4
10x10
20x20
30x30
40x40

Độ võng cực đại
0.001407687756216
0.001290429561852
0.001271653730119
0.001268139058715
0.001266906217623

17


Giá trị chính xác được trích từ “The Finite Element Method – Fifth edition – Volumn 2 – Solid
Mechanics – O.C. Zienkiewicz, CBE, FRS, FREng – trang 136”

Độ võng cực đại
0.00145
0.0014
0.00135
0.0013

Độ võng cực đại

0.00125

0.0012
0.00115
4x4

10x10

20x20

30x30

40x40

Đồ thị cho thấy sự hội tụ nghiệm
Đồ thị tương ứng với một số kích thước lưới

Lưới 10x10

18


Lưới 40x40

Một số đồ thị cho các trường hợp khác
19


1. Ngàm cạnh Ox

2. Ngàm cạnh Ox, Oy

20


3. Ngàm 2 cạnh Ox và cạnh song song với Ox

4. Ngàm 3 cạnh Ox, Oy và cạnh song song Ox

Equation Section 3
21


CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM KIRCHHOFF
Ngoài tải trọng tĩnh, tấm cũng như các kết cấu khác còn có thể chịu tải trọng động với một tần số
dao động nào đó. Nếu tần số dao động này bằng với một trong số các tần số riêng của các kết cấu
này thì hiện tượng cộng hưởng sẽ xảy ra, kết cấu sẽ bị khuếch đại dao động và có thể bỉ phá hủy

nhanh chóng. Vì vậy, Việc biết trước các tần số riêng của các kết cấu trước khi đem vào sử dụng
là rất quan trọng. Ở chương này, chúng ta sẽ đi tìm các tần số riêng đó đối với tấm hình chữ nhật
ở trên bằng việc áp dụng nguyên lý Hamilton.

3.1. Nguyên lý Hamilton và bài toán dao động tự do của tấm
Phát biểu toán học của nguyên lý Hamilton cho trường hợp vật rắn biến dạng là

   K  U    W  dt  0
t2

(3.1)

e

t1

Trong đó K là động năng, U là năng lượng biến dạng, We là công do các ngoại lực gây ra và
t1 , t2 lần lượt là thời điểm đầu và thời điểm cuối.

Ở đây chúng ta đang xét về dao động tự do của tấm nên  We  0 . Do đó (3.1) trở thành

   K  U  dt     K  U  dt  0
t2

t2

t1

t1

(3.2)

Thế (1.43) và (1.38) vào (3.2) ta được
1

1



   w 0 e m e w 0 e  w 0 e k e w 0 e  dt  0
t
2
2

t2

T

T

(3.3)

1

Sau khi đưa dấu biến phân vào trong dấu tích phân ta được

t  w0 e me w0 e dt  t  w0 e k e w0 e dt  0

(3.4)

t2
d
T
T
 w 0 e m e w 0 e  t1  w 0 e k e w 0 e dt  0
dt

(3.5)

t2

t2

T

1



t2

t1

T

1

Thực hiện tích phân từng phần đối với tích phân thứ nhất trong (3.5) ta được
t  t2

 w 0  T m w 0    2  w 0  T
t1
e
e  t t
e
e

1
t

m w   k  w   dt  0
0 e

e

e

0 e

(3.6)

Do

 w  t    w  t 
0

1

e

0

2

e

0

(3.7)

22


nên phương trình (3.6) trở thành

  w  m w   k  w   dt  0

(3.8)

  w  m w   k  w   dt  0

(3.9)

t2

t1

T

0 e

t2

t1

0 e

e

e

0 e

T

0 e

0 e

e

e

0 e

Các biến phân  w0 e là tùy ý nên ta suy ra

me w0 e  k e w0 e  0

(3.10)

Thực hiện tổng lắp ghép giữa các phần tử cho ta hệ phương trình vi phân cấp hai tổng thể như
sau

Mu  K u  0

(3.11)

với vector u cho bởi (2.5).
Ta giả sử là nghiệm của bài toán có dạng

u  q eit

(3.12)

với q là vector hằng (biên độ).
Thay (3.12) vào (3.11) và giãn ước eit ta được

K    Mq  0
2

(3.13)

Ta nhận thấy ngay phương trình (3.13) có một nghiệm q  0 ứng với trường hợp tấm đứng
yên không dao động. Để có nghiệm khác 0 định thức sau phải bằng 0
det K    2 M   K    2 M   K    M   0

(3.14)

  2

(3.15)

với

Phương trình (3.14) là một phương trình đa thức bậc N n theo  . Giải phương trình này ta được
N n nghiệm 1 , 2 ,..., N . Các nghiệm này được gọi là các tần số dao động tự do. Với mỗi tần số
n

i tìm được ta thay vào phương trình (3.13) để được một hệ phương trình.

23


K    Mq  0
i

(3.16)

Giải phương trình trên ta tìm được một vector riêng qi được gọi là dạng dao động (mode) thứ
i của tấm tương ứng với tần số riêng i . Trong thực tế, thì dao động tự do với tần số bé nhất

được quan tâm nhiều nhất.

3.2. Kết quả tính toán và minh họa
Kế thừa code lập trình đã dùng cho bài toán uốn tấm, ta có thể chỉnh sửa để sử dụng cho bài toán
này. Các bước tiến hành
1. Nhập các thông số của bài toán:
 Các kích thước của tấm: chiều dài a , chiều rộng b , độ dày h .
 Các hằng số vật liệu: modun Young E , hằng số poisson, khối lượng riêng rho

 Các kích thước lưới: nx, ny lần lượt là số nút trên ox, oy .
2. Lập các ma trận, vector dùng để tham chiếu
 Đánh số thứ tự các nút, từ trái sang phải, từ dưới lên trên.
 Tính ma trận tọa độ các nút (coord)
 Tính ma trận nút phần tử (enodes)
 Tính vector các bậc tự do biên (bactudobien)
 Tính ma trận lắp ghép (la)
3. Tính ma trận me , k e và lắp ghép
4. Viết hàm giải bài toán trị riêng vector riêng
5. Xuất 13 tần số dao động bé nhất và đồ thị dạng dao động tương ứng.
Cụ thể với các thông số đầu vào là
E = 10920.0; poisson = 0.30;a=1.0; b=1.0; h=0.01;rho=1
Các tần số không thứ nguyên được tính bởi công thức bên dưới

  a


G

(3.17)

với modun cắt G được cho bởi
G

E
2 1   

(3.18)

1. Trường hợp tấm bị ngàm bốn cạnh

Bảng các 12 tần số riêng nhỏ nhất ứng với các mode và kích thước lưới
24