De thi hoc sinh gioi 11, 2011

Sở GD & ĐT thanh hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 11
Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2010 - 2011
***
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
***
Câu I (6 điểm)
1. Tính đạo hàm của hàm số
)12(cos
22
1
2
2
+
++
+
= x
xx
x
y
2. Cho đồ thị (C)
23
23
+= xxy
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) song song với đờng thẳng
y = 9x - 25.
3. Tính giới hạn:
x
xx
x
sin

31211
lim
3
0
++

Câu II (4 điểm)
1. Giải phơng trình:
xxx tan1)2sin1)(tan1( +=+
2. Giải hệ phơng trình:





+=+
+=+
22
22
121
121
xxy
yyx
Câu III (4 điểm)
1. Tìm số tự nhiên n biết rằng
65536
12
12
12
12

3
12
1
12
=+++++
+
+
+
+++
n
n
k
nnn
CCCC

2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt
đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
Câu IV (4 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn (C)
0442
22
=++ yxyx
. Viết phơng trình
ảnh của (C) qua phép đối xứng qua đờng thẳng
01: =+ yx
.
2. Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a, chiều cao bằng 2a. Tính diện tích thiết diện
của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
)(

chứa CD và vuông góc với mặt phẳng (SAB).
Câu V (2 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn

12
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin2
222
=+++






++
CBACBA
Chứng minh tam giác ABC đều.
Hết
Họ và tên thí sinh :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh :. . . . . . .
Trờng THPT Đông Sơn 1 kì thi chọn học sinh giỏi lớp 11

Năm học 2010 - 2011
Hớng dẫn chấm môn toán 11
Chú ý :
- Hớng dẫn chấm có 03 trang
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5
- Thí sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
Câu Nội dung Điểm
I.1
Tính đạo hàm
)1x2sin()1x2cos(4
2x2x
2x2x2
2x2
)1x(2x2x
'y
2
2
2
+++
++
++
+
+++
=
1,5
)2x4sin(2
)2x2x(
1
32
++

++
=
0,5
I.2
Viết phơng trình tiếp tuyến
y = 3x
2
6x. Do tiếp tuyến d song song với đờng thẳng y = 9x + 1 nên nó có hệ
số góc k = 9.
0,5
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phơng trình
3x;1x9x6x3
2
===
0,5
+) Với x = - 1 thì d có phơng trình
7x9y +=
+) Với x = 3 thì d có phơng trình
25x9y =
(loại)
0,5
Vậy có tiếp tuyến là
7x9y +=
0,5
I.3
Tính giới hạn
xsin
x31x21x31x311
lim
xsin

x31x211
lim
333
0x
3
0x
+++++
=
++







++
+
+
=

xsin
)x211(x31
xsin
x311
lim
33
0x
0,5
( )

( )








++
+
+
++++

=

x211xsin
)x211(x31
)x31(x311xsin
x311
lim
3
3
2
3
0x
1,0
2
x211
x31

lim
xsin
x
lim2
)x31(x311
1
lim
xsin
x
lim3
3
0x0x
3
2
3
0x0x
=
++
+

++++
=

0,5
II.1
Giải phơng trình lợng giác
Điều kiện
0xcos
xsinxcos)xsinx)(cosxsinx(cosxtan1)x2sin1)(xtan1(
2

+=++=+
0,5



=
+=




=
=+

kx
k4/x
1x2cos
0xsinxcos
(
Zk
) 1,0
Vậy phơng trình có nghiệm
)Zk(kx,k4/x =+=
0,5
II.2
Giải hệ phơng trình
Điều kiện:
1y,x
.
Từ hệ ta suy ra

2222
y1y21yx1x21x +++=+++
(*)
0,25
+) Nếu x > y thì (*) có VT > VP, nên (*) vô nghiệm 0,25
+) Nếu x < y thì (*) có VT < VP, nên (*) vô nghiệm 0,25
2
+) Nếu x = y thì (*) thỏa mãn, do đó (*)
yx
=
Thế vào (1) ta đợc
22
x1x21x +=+
(3)
0,25
Đặt
21xy
2
+=
thì (3) trở thành
21yy1x
2
++=
4
85
2
1
y1x
2
+

=
(4)
0,25
- Nếu x > 2 thì y > 5, khi đó (4) có VT > 1,
1
4
85
2
1
5VP
2
=+






<
Do đó (4) vô nghiệm.
0,25
- Nếu x < 2 thì y < 5, khi đó (4) có VT < 1,
1
4

85
2
1
5VP
2
=+






>
Do đó (4) vô nghiệm.
0,25
- Nếu x = 2 thì x là nghiệm của (4), do đó (4) có nghiệm duy nhất x = 2.
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 2)
0,25
III.1
Tìm số tự nhiên n
Ta có
1n2
1n2
n2
1n2
2
1n2
1
1n2
0

1n2
1n2
CC CCC)11(
+
+++++
+
+++++=+
0,5
1n2
1n2
n2
1n2
2
1n2
1
1n2
0
1n2
1n2
CC CCC)11(
+
+++++
+
++=
0,5
1n2
1n2
3
1n2
1

1n2
n21n2
1n2
3
1n2
1
1n2
1n2
C CC2)C CC(22
+
+++
+
+++
+
+++=+++=
0,5
Theo bài ra ta có
8n22
16n2
==
. 0,5
III.2
Tìm số các số tự nhiên
+) Nếu số cần tìm chứa 0, thì có 8 cách chọn vị trí cho 0, có
2
8
C
cách chọn vị trí
cho hai chữ số 2, có
3

6
C
cách chọn vị trí cho ba chữ số 3, và có
3
7
A
cách chọn ba
chữ số cho ba vị trí còn lại. Do đó trờng hợp này có
=
3
7
3
6
2
8
A.C.C.8
940800số.
0,75
+) Nếu số cần tìm không chứa 0, thì có
2
9
C
cách chọn vị trí cho hai chữ số 2, có
3
7
C
cách chọn vị trí cho ba chữ số 3, và có
4
7
A

cách chọn bốn chữ số cho bốn vị
trí còn lại. Do đó trờng hợp này có
4
7
3
7
2
9
AC.C
= 1058400 số
0,75
Vậy có 940800 + 1058400 = 1.999.200 số thỏa mãn yêu cầu 0,5
IV.1
Tìm ảnh của đờng tròn
(C) có tâm I(1; - 2), bán kính R = 3. Gọi (C) là ảnh của (C) qua Đ

, (C) cso bán
kính R= R = 3, có tâm
)I(Đ'I

=
.
0,5
Do
'II
nên II có phơng trình
03yx0)2y()1x( ==+
0,5
Gọi
= 'IIH

, H là trung điểm của II, tọa độ của H là nghiệm của hệ
)0;3('I)1;2(H
1y
2x
01yx
03yx




=
=




=+
=
0,5
Vậy (C) có phơng trình
9y)3x(
22
=+
0,5
IV.2
Tính diện tích thiết diện
3
S
A
B

C
D
O
M
N
E
F
I
Gọi O là tâm của hình vuông. M, N là trung điểm của CD và AB. Khi đó O là
trung điểm của MN và
)SMN(AB
. Kẻ
)CDI()()SAB(NISMNI

0,5
Từ I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt SB, SA tại E, F suy ra EF//AB//CD.
Thiết diện là hình thang CDEF.
0,25
+)
2
17a
OMSOSM
22
=+=
.
17
a4
SM
MN.SO
IN ==

0,5
+)
172
a15
INSNSI
22
==
.
17
a15
SM
AB.SI
EF
SM
SI
AB
EF
===
0,5
Diện tích thiết diện :
1717
a64
IN)EFCD(
2
1
S
2
CDEF
=+=
0,25

V
Chứng minh tam giác đều
Ta có
12
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin2
222
=+++






++
CBACBA
(1)

15
2

B
sin
1
2
B
sin
1
2
A
sin
1
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin2
222
=+++






++
(2)

0,25
* áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
12
2
A
sin
1
2
A
sin8
2
A
sin83
2
A
sin
1
2
A
sin8
2
A
sin8
3
22
=++

12
2
A

sin
1
2
A
sin16
2
+
.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
3
A
2
1
2
A
sin
2
A
sin
1
2
A
sin16
2

===
0,5
Tơng tự ta cũng có.
12
2

B
sin
1
2
B
sin16
2
+
;
12
2
C
sin
1
2
C
sin16
2
+

36
2
B
sin
1
2
B
sin
1
2

A
sin
1
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin16
222
+++






++
(3)
0,25
* Mặt khác ta có
2
BA
cos
4
BA
cos

4
BA
sin2
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
+
+
+
=++
2
3
2
1
4
BA
sin2
2
3
4
BA
sin21
4
BA

sin2
2
2








+
=
+
+
+

Do đó:
2
3
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin ++
(4). Dấu = của (4) xảy ra khi

3

== BA
0,5
Từ (3) và (4) ta có:
2
14.3
36
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin14
2
B
sin
1
2
B
sin
1
2
A
sin
1
2

C
sin
2
B
sin
2
A
sin16
222







+++++






++

15
2
B
sin
1

2
B
sin
1
2
A
sin
1
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin2
222
+++






++
(5)
0,25
4
Dấu = của (5) xảy ra khi và chỉ khi

3/CBA ===
Nh vậy (2) tam giác ABC đều, do đó (1) tam giác ABC đều.
0,25
5