Đề thi học sinh giỏi 11(mới)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CỔ LOA

Kì thi Olympic Toán học
Môn Toán 11
(Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao bài)
Bài 1(4 điểm)
a) Cho dãy số (u
n
) có
1
( 1) 1
n
u
n n n n
=
+ + +
, n ≥1. Đặt S
n
= u
1
+ u
2
+ …+ u
n
.
Tính
lim
n
n
S

→+∞
b) Dãy số (u
n
) được xác định như sau: u
1
= 1; u
2
= 5 và
1 2
1
( ), 3
2
n n n
u u u n
− −
= + ≥
.
Chứng minh rằng tồn tại
lim
n
n
u
→+∞
và tính giới hạn đó.
Bài 2 ( 4 điểm)
Cho ΔABC đều. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong ΔABC và thỏa mãn đẳng thức
MA
2
= MB
2

+ MC
2
.
Bài 3 ( 4 điểm)
Tìm tất cả các cặp số
, (0; )
2
x y
π
∈
thỏa mãn hệ phương trình sau:
2
2
2
cos
2cos
cos
sin
sin
sin
x
y
y
x
y
y

=





=


Bài 4 (4 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA’
và CC’. Các điểm E, F lần lượt nằm trên các đoạn thẳng CM và AB’ sao cho EF // BN.
Xác định vị trí của E, F và tính tỉ số
EF
BN

Bài 5 (4 điểm)
Trong khai triển của nhị thức
50
(8 3 8)−
tìm số hạng có trị tuyệt đối lớn nhất.
-------Hết------