Chương VI: Công thức lượng giác

CHƯƠNG IV: CUNG VÀ GÓC LƯNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CẦN NHỚ:
1) Dấu hàm số lượng giác:
Cung phần tư I II III IV
Hàm lượng
giác
0
2
π
α
< <
2
π
α π
< <
3
2
π
π α
< <
3
2
2
π
α π
< <
sinx + + _ _
cosx + _ _ +
tanx + _ + _
cotx + _ + _

2) Hệ thức lượng giác cơ bản:
a) tan
α
=
sin
cos
α
α
b) cot
α
=
cos
sin
α
α
c)
2 2
sin os 1c
α α
+ =
d) 1 + tan
2
α
=
2
1
osc
α
e) 1 + cot
2

α
=
2
1
sin
α
f)
tan .cot 1x x =
3) Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
α
0
6
π
4
π
3
π
2
π
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1
osc

α
1
3
2
2
2
1
2
0
tan x
0
1
3
1
3
Khơng
xđ
cot x
Khơng
xđ
3
1
1
3
0
4) Cung liên kết:
Qhệ Đối Phụ Hơn
kém
2
π

Bù Hơn
kém
π
Hs


2



2


+



+
sin
sin


osc

osc

sin

sin

cos
osc

sin

sin


osc


osc


tan
tan


cot

cot


tan


tan

cot

cot


tan

tan


cot


cot

5) Cụng thc cng:
a)
( )
os cos cos sin sinc a b a b a b = m
b)
( )
sin sin cos cos sina b a b a b =
c)
( )
tan tan
tan
1 tan tan
a b
a b
a b

=

m
6) Cụng thc nhõn ụi
a)
sin 2 2sin cosa a a
=
b)
2 2 2 2
os2 os sin 2 os 1 1 2sinc a c a a c a a= = =
c)
2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=

7) Coõng thửực haù baọc:
a)
2
1 os2a
os
2
c
c a
+
=
,
b)

2
1 os 2a
sin
2
c
a

=
8) Cụng thc bin tớch thnh tng
a)
( ) ( )
1
cos cos os os
2
a b c a b c a b= + +

b)
( ) ( )
1
sin sin os os
2
a b c a b c a b= +

c)
( ) ( )
1
sin cos sin sin
2
a b a b a b= + +

9) Cụng thc bin tng thnh tớch:
a)
cos cos 2 os os
2 2
u v u v
u v c c
+ −
+ =
b)
cos cos 2sin sin
2 2
u v u v
u v
+ −
− = −
c)
sin sin 2sin os
2 2
u v u v
u v c
+ −
+ =
d)
sin sin 2 os sin
2 2
u v u v
u v c
+ −
− =
Đặc biệt:

sin os 2 sin
4
x c x x
π
 
± = ±
 ÷
 

os sin 2 sin
4
c x x x
π
 
± = ±
 ÷
 
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Loại1: Chứng minh một đẳng thức, đơn giản một biểu thức.
Để chứng minh A = B (A, B là các biểu thức lượng giác) ta thường chọn một trong các cách
sau:
1. Biến đổi A thành B (hay B thành A), thông thường biến đổi vế nào phức tạp hơn.
2. Biến đổi A thành C, B thành C.
3. Biến đổi A = B tương đương với một đẳng thức đúng.
BÀI TẬP: về các hệ thức lựợng giác cơ bản
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau:
2 2 2 2 2
2 2
4 4 2 2 4 4 2 2
2 2 2

1)cos sin 1 2sin 2)2cos 1 1 2sin
3)3 4sin 4cos 1 4)sin cot cos tan sin cos
5)sin cos 1 2sin cos 6)cos sin cos sin
7)4cos 3 (1 2sin )(1 2sin ) 8)(1 cos )(sin cos cos ) s
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
− = − − = −
− = − + = +
+ = − − = −
− = − + + − + =
2
4 4 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
in
9)sin cos 1 2cos 2sin 1 10)sin cos sin cos sin cos
11) tan sin tan sin 12)cot cos cot cos
x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
− = − = − + =
− = − =
13)
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin

x x x
x
x x x
− +
=
− +
14)
( )
2 2 2 4
os 2sin os 1 sin
+ = −
x
c x c x x
15)
cos 1
t anx
1 sinx cos
x
x
+ =
+

Baøi 2: Thu goïn:
A = (1+sinx).tan
2
x. (1 – sinx) B = (1 – sin
2
x).cot
2
x + 1 – cot

2
x.
C = 1 – sin
2
x – cos
2
x. D =
2 2
1 1
tan tan
tan tan
x x
x x
   
+ − −
 ÷  ÷
   
E = tanx – (1 + sinx.cotx).tanx F =
2 2
(1 tan )cos (1 cot )sinx x x x+ + +
G =
2
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
x x
x x
 
− +
−
 ÷

 ÷
+ −
 
H =
( )
2
2
tan cot (tan cot )x x x x+ − −
K =
2
cos .tan
cot .cos
sin
x x
x x
x
−
Bài 3: Chứng minh các đẳng thức sau độc lập với biến x:
Loại 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC – GIÁ TRỊ CÁC GIÁ TRỊ
LƯỢNG GIÁC
1. Xác định dấu của các GTLG cần thiết còn lại dựa vào GTLG của đề ra.Đơi
khi có thể dùng thêm biến đổi sơ cấp để biến đổi biểu thức về dạng thu gọn
hay dạng hợp lý.
2. Sau đó thực hiện phép tính số trị của biểu thức như trong đại số.
Bài tập:
Bài 1:Tính giá trị của các biểu thức:
( )
0 0
0 0 0
0 0

0
2sin 3cos tan
6 3 4
cot tan 2 tan 2cos
4 3 4 4
3sin 90 2cos0 3sin 60
cot 44 tan 226 .cos 406
cot 72 .cot18
cos316
o
A
B
C
D
π π π
π π π π
= + +
= + + +
= + −
+
= −
Bài 2: Tính giá trị các giá trị lượng giác còn lại khi biết:
24 3
) sin - ; ( 2 )
25 2
40
) cos - ; ( )
41 2
3
) tan - ; (- 0)

3 2
) tan 2 3 ; (- 0)
2
9
) tan - ; (- 0)
40 2
2
) cos ; (- 0)
3 2
13 3
) sin - ; ( )
14 2
a x x
b x x
c x x
d x x
e x x
f x x
g x x
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
= < <

= < <
= < <
= + < <
= < <
= < <
= < <
Bài 3: Biết sinα =
4
3
và
πα
π
<<
2
. Hãy tính:
a) A =
αα
αα
tancos
cot3tan2
+
−
b) B =
αα
αα
cottan
cotcos
22
−
+

Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau:
2 2
2 2
2 2 2
4 2 4 2
(tan cot ) (cot tan )
(1 tan ) 1
4 tan 4sin .cos
sin 4cos cos 4sin
F x x x x
x
G
x x x
I x x x x
= + − −
−
= −
= + + +
6 6 4 4
4 2 2 2
6 6 2 2
4 4 2 2 2 8 8
2(sin cos ) 3(sin cos ).
cos sin .cos sin .
sin cos 3sin .cos .
2(sin cos sin .cos ) (sin cos ).
A x x x x
B x x x x
C x x x x

D x x x x x x
= + − +
= + +
= + +
= + + − +
0 0
2 2
2
1 3
sin cos .tan , cos , 2
2 2
(sin cos )(sin cos ),tan 2.
cot 3
,sin ,0 90 .
cot tan 5
1 tan 3 3
,sin , .
1 tan 5 2
1 1
,tan
sin sin cos cos 4
1 1
,cot
1 cos 2
2sin cos
cos 3
A x x x x x
B x x x x x
x
C x x

x x
x
D x x
x
E x
x x x x
F x
x
x x
G
x
π
π
π
π
= + = < <
= + − =
= = < <
−
+
= = − < <
−
= =
− +
= = −
−
+
=
+
2 2

2 2
, tan 2
sin
4sin 3cos
, tan 4
sin cos
x
x
x x
I x
x x
= −
−
= =
−
BÀI TẬP: về công thức cộng
Bài 1: a) Cho sin a = 0,6 và
π
0 < a <
2
. T ính sin 2a và cos 2a.
b) Cho sin(x - π) =
5
13
, với
x ;0
2
π
−
 

∈
 ÷
 
. Tính cos
3
2x -
2
π
 
 ÷
 
c) Cho
24 3 40
sin - ; ( 2 ), cos - ; ( ), sin( ), tan( )?
25 2 41 2
x x y y Tinh x y x y
π π
π π
= < < = < < ± ±
d) Cho
24
sin ; ( ), sin( ), cos( )?
25 2 4 3
x x tinh x x
π π π
π
= < < − +
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cosx.cos(
x−

3
π
)cos(
x+
3
π
) =
4
1
cos3x b) sin5x - 2sinx(cos4x + cos2x) = sinx
c) sin
2
8
π
α
 
+
 ÷
 
- sin
2
8
π
α
 
−
 ÷
 
=
2

2
sin2α d)
( ) ( )
( ) ( )
sin 45 os 45
tan
sin 45 os 45
c
c
α α
α
α α
+ − +
=
+ + +
o o
o o
d)
tan 2 .t anx
sin 2
tan2x-tanx
x
x
=
Bài 3. Chứng minh rằng các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc
α
,
β
:
a) sin6α.cot3α - cos6α

b) [tan(90
0
- α) - cot(90
0
+ α)]
2
- [cot(180
0
+ α) + cot(270
0
+ α)]
2
c) (tanα - tanβ).cot(α - β) - tanα.tanβ
d) (cot
3
α
- tan
3
α
)tan
3
2
α
Bài 4. Hãy rút gọn các biểu thức sau:
a)
αα
αα
cos2cos1
sin2sin
++

+
b)
2
cos1
sin.4
2
2
α
α
−
c)
αα
αα
sincos1
sincos1
−−
−+
d)
2
cos.4
)
2
45(sin.2sin1
02
α
α
α
−−+