Tuyển tập 45 đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 30/3/2013
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề


Câu 1. (4,0 điểm)
1) Rút gọn:
3 2 1 3 2 1
:
2 5 10 2 3 12
A
   
= − + − +
   
   
.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2012 2013
P x x= − + − với
x
là số tự nhiên.
Câu 2. (5,0 điểm)
1) Tìm

x
biết
2 1
2 .3 .5 10800
x x x+ +
= .
2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An
và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5. Tính số
viên bi của mỗi bạn.
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Cho
p
là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng
2
2012
p + là hợp số.
2) Cho
n
là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm
n
biết
4
n
+
và
2
n
đều là các số chính
phương.
Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn.
1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm
của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho
AI BC
=
. Chứng minh hai tam
giác ABI và BEC bằng nhau và
BI CE
⊥
.
2) Phân giác của các góc


,
ABC BDC
cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác của
góc

BDA
cắt BC tại N. Chứng minh rằng:
1
.
2
BD MN
=
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho
1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 2011 2012 2013

S = − + − + + − + và
1 1 1 1

1007 1008 2012 2013
P = + + + + .
Tính
( )
2013
S P− .
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký)
Giám thị 2 (Họ tên và ký)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 30/3/2013
Bản hướng dẫn có 03 trang

Câu
Phương pháp-Kết quả
Điểm
Câu 1

( 4 điểm)
15 4 1 18 8 1
:
10 10 10 12 12 12
A
   
= − + − +
   
   



0.5đ
12 11
:
10 12
=
0.5đ
6 12 72
.
5 11 55
= =

0.5đ
1
(2điểm)
Vậy
72
55
A = .
0.5
2012 2013
P x x= − + −
+ Nếu
2012
x
=
hoặc
2013
x
=
thì
1
P
=


0.5 đ

+ Nếu
2013
x
>

thì
2012 2013 1 2013 1
P x x x
= − + − > + − >


0.5đ
+ Nếu
2012
x
<
thì
2012 2013 2012 1 1
P x x x
= − + − > − + >

0.5

2
(2điểm)
+ Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi
2012
x
=
hoặc
2013
x
=
.
0.5 đ

Câu 2

(4điểm)
Ta có
2 1 2
2 .3 .5 10800 2 .2 .3 .3.5 10800
x x x x x x+ +
= ⇔ =
1.0 đ

( )
2.3.5 900
x
⇔ =

0.5 đ

2
30 30 2
x
x
⇔ = ⇔ =

0.5

1
(2.5điểm)

Vậy
2
x
=
là kết quả cần tìm.
0.5 đ
+ Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là
, ,
a b c
. Vì tổng số viên bi
của ba bạn là 74 nên
74
a b c
+ + =

0.5 đ

+ Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên
5 6 10 12
a b a b
= ⇒ =



0.5 đ
+ Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên
4 5 12 15
b c b c
= ⇒ =

0.5

2
(2.5điểm)
+ Từ đó ta có
74
2
10 12 15 10 12 15 37
a b c a b c
+ +
= = = = =
+ +



0.5đ

+ Suy ra
20; 24; 30
a b c
= = =

0.5đ
Câu 3

(4điểm)
+ Vì
p
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng
(

)
3 1 , 1
p k k k
= ± ∈ ≥

0.5
+Với
3 1
p k
= +

suy ra
( )
(
)
2
2 2 2
2012 3 1 2012 9 6 2013 2012 3
p k k k p+ = + + = + + ⇒ +
M

0.5

+Với
3 1
p k
= −

suy ra
( )

(
)
2
2 2 2
2012 3 1 2012 9 6 2013 2012 3
p k k k p+ = − + = − + ⇒ +
M

0.5
1
(2điểm)



Vậy
2
2012
p + là hợp số.
0.5


+ Vì
n
là số có hai chữ số nên
9 100 18 2 200
n n
< < ⇒ < <

0.5đ
+ Mặt khác
2
n
là số chính phương chẵn nên
2
n
có thể nhận các giá trị:
36; 64; 100; 144; 196.
0.5đ
+ Với
2 36 18 4 22
n n n
= ⇒ = ⇒ + =
không là số chính phương

2 64 32 4 36
n n n
= ⇒ = ⇒ + =
là số chính phương

2 100 50 4 54
n n n
= ⇒ = ⇒ + =
không là số chính phương

2 144 72 4 76
n n n
= ⇒ = ⇒ + =
không là số chính phương

2 196 98 4 102
n n n
= ⇒ = ⇒ + =
không là số chính phương


0.5 đ


2
(2điểm)
+ Vậy số cần tìm là
32
n
=
.
0.5đ
Câu 4

(6 điểm)

+ Xét hai tam giác AIB và BCE
Có AI=BC (gt)
BE=BA( gt)
0.5

+ Góc

IAB
là góc ngoài của tam giác ABH nên




0
90
IAB ABH AHB ABH= + = +
0.5
+ Ta có


 
0
90
EBC EBA ABC ABC= + = + . Do đó


IAB EBC
= .

+ Do đó
( )
ABI BEC c g c
= − −
 
0.5 đ
1
(3điểm)


+ Do
( )
ABI BEC c g c
= − −
  nên


AIB BCE
= .
0.5 đ
+ Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có


0
90
AIB IBH+ = .
Do đó


0

90
BCE IBH+ = .


0.5đ
KL: CE vuông góc với BI.
0.5đ


+ Do tính chất của đường phân giác, ta có
DM DN
⊥
.
0.5 đ
+ Gọi F là trung điểm của MN. Ta có
FM FD FN
= =
.
0.5 đ
+ Tam giác FDM cân tại F nên


FMD MDF
=
.



( óc ngoài tam giác)
FMD MBD BDM g= +



MBD CDM
= +
0.5 đ

Suy ra


MBD CDF
= (1)
0.5 đ

Ta có



MCD CDF CFD
= + (2)
Do tam giác ABC cân tại A nên


2
MCD MBD
= (3)
0.5 đ
2
(3điểm)
Từ (1), (2), (3) suy ra



MBD DFC
= hay tam giác DBF cân tại D. Do đó
1
2
BD DF MN
= =
0.5 đ

Cho
1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 2011 2012 2013
S = − + − + + − + và

1 1 1 1

1007 1008 2012 2013
P = + + + + . Tính
( )
2013
S P− .

(1 điểm)
+ Ta có:
1 1 1 1

1007 1008 2012 2013
P = + + + +

1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
 
= + + + + + + + + +
 
 
1 1 1
1
2 3 1006
 
− + + + +
 
 




0.5 đ

Câu 5
(1 điểm)
1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
 
= + + + + + + + + +
 
 
1 1 1 1

2
2 4 6 2012
 
− + + + +
 
 

1 1 1 1 1
1
2 3 4 2012 2013
= − + − + − + =S.
Do đó
( )
2013
S P− =0





0.5 đ
Điểm toàn bài (20điểm)

Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm
của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và
cho điểm từng phần tương ứng.

PHÒNG GD & ĐT HOÀ AN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán - Lớp 7
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian chép đề)


Câu 1: (4 điểm)
a, Tìm x biết:
11 5 15 11
( ) ( )
13 42 28 13
x− − = −

b, Cho
1
2
x
M
−
=
Tìm
x
∈
Z và x < 50 để M có giá trị nguyên
Câu 2:(4 điểm)
Một đội thuỷ lợi có 10 người làm trong 8 ngày đào đắp được 200m

3
đất. Một
đội khác có 12 người làm trong 7 ngày thì đào đắp được bao nhiêu mét khối đất
(giả thiết năng suất của mỗi người đều như nhau).
Câu 3: (2 điểm)
Cho hàm số
( )
3
x
f
x
=

Tìm
1
x
biết
( )
1
1
2
x
f
=

Câu 4: (4 điểm)
Tính giá trị của biểu thức

2 3
2 6

a a b
A
b b
− −
= −
+ +
với a - b = 4
2; 6
b b
≠ − ≠ −

Câu 5: (6 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A (AB > BC). Trên tia BC lấy điểm M sao cho
MA = MB vẽ tia Bx // AM (Bx và AM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB). Trên
tia Bx lấy điểm N sao cho BN = CM. Chứng minh rằng:
a,
ABN ACM
∠ = ∠

b,
AMN

cân

*****************Hết******************

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN - LỚP 7 (2011-2012)

Câu

Lời giải Điểm
1
a,
11
13
- (
5
42
-
x
) = - (
15
28
-
11
13
)

11
13
-
5

42
+
x
= -
15
28
+
11
13


x
= -
15
28
+
5
42


x
= -
35
84


x
= -
5
12

b, M có giá trị nguyên =>
x
- 1
M
2
hay
x
- 1 là số chẵn khi đó
x
là số lẻ và là số chính phương
=>
x
∈

{
}
1;9;25;49

Với
x
= 1 ta có: M =
1 1
0
2
−
=


x

= 9 ta có: M=
3 1
1
2
−
=


x
= 25 ta có: M=
5 1
2
2
−
=


x
= 49 ta có: M=
7 1
3
2
−
=



0,5đ

0,5đ

0,25đ

0,25đ

0,75đ
0,75đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

2
Số công đào được 200 m
3
đất của 10 người đào trong 8 ngày là:
10 x 8 = 80 (ngày công)
Số công đào được
x
m
3
đất của 12 người đào trong 7 ngày là:
12 x 7 = 84 (ngày công)
Vì năng suất của mỗi người đều như nhau, thì số đất đào được tỉ lệ
thuận với số ngày công nên ta có:
80 84 200 84

210
200 80
x
x
×
= ⇒ = =

Vậy đội 12 người làm trong 7 ngày thì đào đắp được 210 m
3
đất


1đ

1đ

1,5đ


0,5đ
3
Vì
( )
3
x
f
x
=
=>
( )

1
1
3
x
f
x
=

Mà
( )
1
1
2
x
f
=
=>
1
3 1
2
x
=

=>
1
x
= 6
0,5đ

1đ

0,5đ


4



Với a - b = 4 => a = b + 4
Thay a = b + 4 vào biểu thức A ta có
4 2 3 ( 4) 2 2 12
2 6 2 6
b b b b b
A
b b b b
+ − × + − + +
= − = −
+ + + +

= 1 - 2 = -1
Với a - b = 4 thì A = -1
0,5đ

2,5đ

0,5đ
0,5đ
5

Vẽ hình, ghi GT-KL
a,

MAB cân tại M nên
∠
BAM =
∠
ABM (1)

ABC cân tại A nên
∠
ACB =
∠
ABM (2)
Từ (1) và (2) =>
∠
BAM =
∠
ACB (3)
Mặt khác Bx // AM nên
∠
ABN +
∠
BAM =
0
180
(4) (góc trong
cùng phía)
Có
∠

ACM +
∠
ACB =
0
180
(kề bù) (5)
Từ (3);(4);(5) =>
∠
ABN =
∠
ACM
b,

ABN =

ACM (c. g. c)
vì có AB = AC;
∠
ABN =
∠
ACM; BN = CM
=> AM = AN
=>

AMN cân

0,5đ
0,5đ
0.5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
1đ

1đ
0,5đ
0,5đ

* Lưu ý: GV linh hoạt trong khi chấm, nếu HS có cách giải khác nhưng kết
quả đúng vẫn cho điểm tối đa





Phòng gd & đt sơn dơng đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 7
Trờng thcs HồNG THáI Năm học 2011 -
2012
Môn thi : TON
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao nhận đề )

Câu 1:(3điểm):
a) So sánh hai số : 3
30
và 5
20

b) Tính : A =
3 10 9
6 12 11
16 .3 120.6
4 .3 6
+
+

Câu 2:(2điểm):
Cho x, y, z là các số khác 0 và x
2
= yz , y
2
= xz , z
2
= xy.
Chứng minh rằng: x = y = z
Câu 3:(4điểm)
a) Tìm x biết :
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x

+ = +

b) Cho hai đại lợng tỉ lệ nghịch x và y ; x
1
, x
2
là hai giá trị bất kì của x;
y
1
, y
2
là hai giá trị tơng ứng của y.
Tính y
1
, y
2
biết y
1
2
+ y
2
2
= 52 và x
1
=2 , x
2
= 3.
Câu 4:(2điểm)
Cho hàm số : f(x) = a.x
2
+ b.x + c với a, b, c, d Z
Biết

(1) 3; (0) 3; ( 1) 3
f f f
M M M
.Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3
Câu 5:(3điểm)
Cho đa thức A(x) = x + x
2
+ x
3
+ + x
99
+ x
100
.
a) Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm của A(x)
b)Tính giá trị của đa thức A(x) tại x =
1
2

Câu 6:(6điểm)
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lợt lấy hai điểm M và N
sao cho BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC .
a) Chứng minh AM = AN và AH BC
b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm
c) Chứng minh MAN > BAM = CAN
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Hớng dẫn chấm toán 7
Câu

Nội dung Điểm

1

( )
(
)
( )
(
)
10 10
3 2
30 10 20 10 10 30 20
)3 3 27 ;5 5 25 27 3 5
a = = = = < >

( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
4 9
10 2
12 10

12 10 10 12
6
12 12 11 11 11 11
2 11
12
12 10 11 11
11 11 11 11
2 .3 3.2.5.2 . 2.3
2 .3 1 5
2 .3 3 .2 .5
)
2 .3 2 .3 2 3 2.3 1
2 .3 2.3
6.2 .3 4.2 .3 4
7.2 .3 7.2 .3 7
b A
+
+
+
= = =
+ +
+
= = =

1.5đ


1.5đ
2
Vì x, y, z là các số khác 0 và x

2
= yz , y
2
= xz , z
2
= xy
; ;
x z y x z y x y z
y x z y x z y z x
= = = = =
.áp dụng tính chất dy tỉ số bằng nhau
1
x y z x y z
x y z
y z x y z x
+ +
= = = = = =
+ +

1đ


1đ
3

a
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x

+ = +
1 2 3 4
1 1 1 1
2009 2008 2007 2006
x x x x

+ = +

2010 2010 2010 2010
2009 2008 2007 2006
x x x x

+ = +
2010 2010 2010 2010
0
2009 2008 2007 2006
x x x x

+ =

( )
1 1 1 1
2010 0
2009 2008 2007 2006
x

+ =


2010 0 2010

x x
= =


1đ



1đ
b
Vì x, y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch nên:
2 2
2 2 2 2
1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2
2 1 1
2
1 1
2 52
4
3 2 3 2 3 9 4 9 4 13
) 36 6
x y y y y y y y y y y
x y y
y y
+

= = = = = = = =

+

+ = =

Với y
1
= - 6 thì y
2
= - 4 ;
Với y
1
= 6 thì y
2
= 4 .

1đ


1đ
4
Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c

( )
( )
) (0) 3 3
) (1) 3 3 3 1
) ( 1) 3 3 3 2
f c
f a b c a b
f a b c a b
+
+ + + +

+ +
M M
M M M
M M M

Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b)
3 2 3 3
a a

M M M
vì ( 2; 3) = 1
3
b

M

Vậy a , b , c đều chia hết cho 3
1đ




1đ
5

a
A(-1) = (-1)+ (-1)
2
+ (-1)
3

+ + (-1)
99
+ (-1)
100

= - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) + (-1) + 1 = 0 ( vì có 50 số -1 và 50 số 1)
Suy ra x = -1 là nghiệm của đa thức A(x)

b
Với x=
1
2
thì giá trị của đa thức A =
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2
+ + + + + +
2. 2
A
=
(
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2
+ + + + + + ) =
2 3 98 99
1 1 1 1 1
1

2 2 2 2 2
+ + + + + +

2 A =(
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2
+ + + + + + ) +1 -
100
1
2
100
1
2 1
2
A A = +
100
1
1
2
A =
1.5đ
6

a
Chứng minh ABM = ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AN
Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 90
0
AH BC
2đ
b
Tính AH: AH
2
= AB
2
- BH
2
= 5
2
- 3
2
= 16 AH = 4cm
Tính AM : AM
2
= AH
2
+ MH
2
= 4

2
+ 1
2
= 17 AM =
17
cm
2đ
c
Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = MK ,suy ra AMN= KMB ( c-
g- c) MAN = BKM và AN = AM =BK .Do BA > AM BA > BK
BKA > BAK MAN >BAM=CAN
2đ
Duyệt BGH Ngời ra đề
P. Hiệu trởng


Thân thị thuý hoàn TĂNG Bá DũNG
A






B M H N C




K

TRƯỜNG THCS HƯNG MỸ
TỔ TOÁN – LÝ
(Đề chính thức)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG
NĂM HỌC :2013 – 2014
MÔN THI:TOÁN – KHỐI 7
Thời gian : 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1 : ( 4 điểm )
Tìm x biết :

2 5 3 4 7
a) x
5 3 2 15 6
− −
 
+ − =
 
 


1 2 5
b) x 1 x 2 x 1 5
4 3 8
     
− + − − + =
     
     

Bài 2 : ( 4 điểm )
Tìm số đo các góc của tam giác ABC , biết rằng số đo các góc này tỷ lệ
với 2 , 3 và 4.

Bài 3 : ( 6 điểm )
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( )
2
4
C
2x 3 5
−
=
− +

b) Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức
a b c a
a b c a
+ +
=
− −
suy ra hệ thức a
2
= b.c
Bài 4 : ( 6 điểm )
Cho ∆ABC có AB < AC . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB
Hai đường trung trực của BD và AC cắt nhau tại E. Chứng minh rằng :
a ) ∆AEB = ∆CED

b ) AE là tia phân giác trong tại đỉnh A của ∆ ABC.

BGH duyệt Tổ trưởng







Thang điểm
Câu Nội dung Điểm
1a)
Ta có :
2 5 3 5 4 7
. . x
5 3 2 3 15 6
− −
+ − =
0.5

2 5 4 7
x
5 2 9 6
− −
+ − =
0.25

4 7 2 5
x

9 6 5 2
− − −
 
= − +
 
 

0.25

4 49
x
9 15
− −
=
0.25

49 4
x :
15 9
− −
=
0.25

49 9
x .
15 4
−
=
−

0.25

147
x
20
=
0.25
1b)
Ta có :
1 2 5
x 1 x 2 x 1 5
4 3 8
− + − − − =

0.5

( )
1 2 5
x 5 1 2 1
4 3 8
 
+ − = − − − −
 
 

0.5

4
x 9
27

=

0.25

7
x 9:
24
=
0.25

24
x 9.
7
=
0.25

216
x
7
=
0.25
2
Trong ∆ABC ta có :

 
0
A B C 180
+ + =

0.75

Theo giả thiết ta có :

 
A B C
2 3 4
= =

0.75
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:


 

 
0
0
A B C A B C 180
20
2 3 4 2 3 4 9
+ +
= = = = =
+ +

1

Suy ra :







0 0
0 0
0 0
A
20 A 40
2
B
20 B 60
3
C
20 C 80
4
= − > =
= − > =
= − > =

0.5


0.5

0.5

Vậy :

 
0 0 0

A 40 ;B 60 ;C 80
= = =

3a)
C nhỏ nhất ⇔ (2x – 3 )
2
+5 lớn nhất
0.5

Mà MS : (2x – 3 )
2
+5 ≥ 5 với mọi x ∈ Q
0.5

Vậy : C nhỏ nhất là
4
5
−
khi (2x – 3 )
2
= 0
0.5

⇔ 2x – 3 = 0 ⇔ 2x = 3⇔
3
x
2
=

0.5

3b)
Đặt
a b c a
k
a b c a
+ +
= =
− −

0.25
Ta có : a + b = k (a - b) 0.25

⇒ a + b = k a - kb
0.25

⇒ a - k a = - kb - b
0.25

⇒ a (1- k ) = b(- k – 1)
0.25

(
)
( )
k 1
a k 1 k 1
b 1 k k 1 k 1
− +
− − +
⇒ = = =

− − − −

0.25

a k 1
b k 1
+
⇒ =
−

0.25
c + a = k (c - a) 0.25

⇒ c + a = k c - k a
0.25

⇒ c -k c = - k a -a
0.25

⇒ c (1- k ) = a(- k – 1)
0.25

(
)
( )
k 1
c k 1 k 1
a 1 k k 1 k 1
− +
− − +

⇒ = = =
− − − −

0.25

c k 1
a k 1
+
⇒ =
−

0.25

a c k 1
b a k 1
+
⇒ = =
−

0.25

a c
b a
⇒ =

0.25

⇒ a
2
= b.c

0.25
4
N
M
A
B
C
D
E





1

a) xét ∆
v
BEM và ∆
v
DEM có:

BM = DM (gt) 0.5
ME cạnh chung 0.5

Vậy : ∆
v
BEM = ∆
v
DEM (cgv-cgv)

0.25
Suy ra :BE = DE (1) 0.25

xét ∆
v
AEN và ∆
v
CEN có:

AN = CN (gt) 0.5
NE cạnh chung 0.5

Vậy : ∆
v
AEN = ∆
v
CEN (cgv-cgv)
0.25
Suy ra :AE = CE (2) 0.25
AB = CD (gt) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra :∆ AEB = ∆ CED (c-c-c)
0.5

b) Vì ∆
v
AEN = ∆
v
CEN (cmt)

Suy ra :


ECN EAN
=

0.25

Mà


BAE ECN
=
( Do :∆ AEB = ∆ CED)
0.25

Nên


BAE EAN
=

0.5
Mặt khác : AE nằm giữa hai tia AB và AN nên AE là tia
phân giác của góc trong tại đỉnh A của ∆ABC.
0.5

TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

Đề 1



Bài 1. (4 điểm)
a) Chứng minh rằng 7
6
+ 7
5
– 7
4
chia hết cho 55
b) Tính A = 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ . . . + 5
49
+ 5
5 0


Bài 2. (4 điểm)
a) Tìm các số a, b, c biết rằng :
2 3 4
a b c
= =
và a + 2b – 3c = -20
b) Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên
đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?

Bài 3. (4 điểm)
a) Cho hai đa thức f(x) = x
5
– 3x
2
+ 7x
4
– 9x
3
+ x
2
-
1
4
x
g(x) = 5x
4
– x
5
+ x
2
– 2x
3
+ 3x
2
-
1
4

Tính f(x) + g(x) và f(x) – g(x).
b) Tính giá trị của đa thức sau:
A = x
2
+ x
4
+ x
6
+ x
8
+ …+ x
100
tại x = -1.

Bài 4. (4 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A bằng 90
0
, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE =
BA. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
a) So sánh các độ dài DA và DE.
b) Tính số đo góc BED.

Bài 5. (4 điểm)
Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AD. Kẻ đờng trung tuyến BE cắt AD ở
G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng:
a) IK// DE, IK = DE.
b) AG =
2
3
AD.

==============

ĐÁP ÁN - ĐỀ 1

Bài 1. 4đ
a) 7
4
( 7
2
+ 7 – 1) = 7
4
. 55
M
55 (đpcm)
2đ
b) Tính A = 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ . . . + 5
49
+ 5
5 0
(1)
5.A = 5 + 5
2
+ 5
3
+ . . . + 5

49
+ 5
5 0
+ 5
51
(2)
1đ
Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có : 4A = 5
51
– 1 => A =
51
1
4
5
−

1đ
Bài 2. 4đ
a)
2 3 4
a b c
= =
ú
2 3 2 3 20
5
2 6 12 2 6 12 4
a b c a b c
+ − −
= = = = =
+ − −

=> a = 10, b = 15, c =20.
2đ
b) Gọi số tờ giấy bạc 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là x, y, z ( x, y, z
∈
N
*
) 0,5đ
Theo bài ra ta có: x + y + z = 16 và 20 000x = 50 000y = 100 000z
0,5đ
Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z
=>
20 000 50000 100 000 16
2
100 000 100 000 100 000 5 2 1 5 2 1 8
x y z x y z x y z
+ +
= = ⇔ = = = = =
+ +

0,5đ
Suy ra x = 10, y = 4, z = 2.
Vậy số tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là 10; 4; 2.
0,5đ
Bài 3. 4đ
a) f(x) + g(x) = 12x
4
– 11x
3
+2x
2

-
1
4
x -
1
4

1đ
f(x) - g(x) = 2x
5
+2x
4
– 7x
3
– 6x
2
-
1
4
x +
1
4

1đ
b) A = x
2
+ x
4
+ x
6

+ x
8
+ …+ x
100
tại x = - 1
A = (-1)
2
+ (-1)
4
+ (-1)
6
+…+ (-1)
100
= 1 + 1 + 1 +…+ 1 = 50 (có 50 số hạng)
2đ
Bài 4. 4đ: Vẽ hình (0,5đ) – phần a) 1,5đ - phần b) 2đ

a)
∆
ABD =
∆
EBD (c.g.c) => DA = DE
b) Vì
∆
ABD =
∆
EBD nên góc A bằng góc
BED
Do góc A bằng 90
0

nên góc BED bằng 90
0



e
d
c
a
b

Bài 5: 4đ
a) Tam giác ABC và tam giác ABG có:
DE//AB, DE =
1
2
AB, IK//AB, IK=
1
2
AB
Do đó DE // IK và DE = IK
b)
∆
GDE =
∆
GIK (g. c. g) vì có: DE = IK (câu a)
Góc GDE = góc GIK (so le trong, DE//IK)
Góc GED = góc GKI (so le trong, DE//IK)

⇒

GD = GI. Ta có GD = GI = IA nên AG =
2
3
AD
G
k
i
e
d
c
b
a
- Vẽ hình: 0,5đ
- Phần a) đúng: 2đ
- Phần b) đúng: 1,5đ

THI HC SINH GII TON LP 7
Đề số 1
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu1: (2 điểm)
Cho dy tỉ số bằng nhau:
2 2 2 2
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
= = =
Tìm giá trị biểu thức: M=
a b b c c d d a
c d d a a b b c
+ + + +

+ + +
+ + + +

Câu2: (1 điểm) .
Cho S =
abc bca cab
+ +
.
Chứng minh rằng S không phải là số chính phơng.
Câu3: (2 điểm)
Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B
đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung điểm của
AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ôtô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách
từ xe máy đến M.
Câu4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.
a. Chứng minh rằng:




BOC A ABO ACO
= + +
b. Biết



0
90
2

A
ABO ACO
+ =
và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh
rằng: Tia CO là tia phân giác của góc C.
Câu 5: (1,5điểm).
Cho 9 đờng thẳng trong đó không có 2 đờng thẳng nào song song. CMR ít nhất
cũng có 2 đờng thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20
0
.
Câu 6: (1,5điểm).
Khi chơi cá ngựa, thay vì gieo 1 con súc sắc, ta gieo cả hai con súc sắc cùng một
lúc thì điểm thấp nhất là 2, cao nhất là 12. các điểm khác là 3; 4; 5 ;6 11. Hy lập
bảng tần số về khả năng xuất hiện mỗi loại điểm nói trên? Tính tần xuất của mỗi loại
điểm đó.
Hết

Hớng dẫn giải đề số 1.
Câu 1:
Mỗi tỉ số đ cho đều bớt đi 1 ta đợc:
2 2
1 1
a b c d a b c d
a b
+ + + + + +
=
=
2 2
1 1
a b c d a b c d

c d
+ + + + + +
=
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
= = =
A

M

B

+, Nếu a+b+c+d

0 thì a = b = c = d lúc đó M = 1+1+1+1=4
+, Nếu a+b+c+d = 0 thì a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b);
d+a = -(b+c), lúc đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4.
Câu 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) =
37.3(a+b+c).
Vì 0 < a+b+c

27 nên a+b+c
/
M
37. Mặt khác( 3; 37) =1 nên 3(a+b+c)
M
37 => S
không thể là số chính phơng.
Câu 3:

Qung đờng AB dài 540 Km; nửa quảng
dờng AB dài 270 Km. Gọi qung đờng
ô tô và xe máy đ đi là S
1
, S
2
. Trong cùng
1 thời gian thì qung đờng tỉ lệ thuận với
vận tốc do đó
1 2
1 2
S S
t
V V
= =
(t chính là thời gian cần tìm).
t=
270 270 2 540 2 270 2 (540 2 ) (270 2 ) 270
; 3
65 40 130 40 130 40 90
a a a a a a
t

= = = = = =


Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ xe
máy đến M.
Câu 4:
a, Tia CO cắt AB tại D.

+, Xét

BOD có

BOC
là góc ngoài nên

BOC
=


1 1
B D
+

+, Xét

ADC có góc D
1
là góc ngoài nên



1 1
D A C
= +

Vậy

BOC

=


1
A C
+
+

1
B

b, Nếu



0
90
2
A
ABO ACO
+ =
thì

BOC
=


0 0
90 90
2 2

A A
A
+ = +

Xét

BOC có:



( )




0 0 0
2 2
0
0 0
2
180 180 90
2 2
180
90 90
2 2 2
A B
C O B
A B C C
C

= + = + +



+
= = =

tia CO là tia phân giác của góc C.
Câu 5:
Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ 9 đờng thẳng lần lợt song song với 9 đờng thẳng đ
cho. 9 đờng thẳng qua O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung, mỗi góc này
tơng ứng bằng góc giữa hai đờng thẳng trong số 9 đơng thẳng đ cho. Tổng số đo
của 18 góc đỉnh O là 360
0
do đó ít nhất có 1 góc không nhỏ hơn 360
0
: 18 = 20
0
, từ đó
suy ra ít nhất cũng có hai đờng thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20
0
.
A

B

C

D

O

Câu 6:
Tổng số điểm ghi ở hai mặt trên của hai con súc sắc có thể là:
2 = 1+1
3 = 1+2 = 2+1
4 = 1+3 =2 +2 = 3+1
5 = 1+4 =2+3=3+2=4+1.
6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1
7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1
8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2
9=3+6=4+5=5+4=6+3
10=4+6=5+5=6+4
11=5+6=6+5
12=6+6.

Điểm số (x)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tần số( n)
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Tần suất (f) 2,8% 5,6% 8,3% 11,1% 13,9% 16,7% 13,9% 11,1% 8,3% 5,6% 2,8%
Nh vậy tổng số 7 điểm có khả năng xảy ra nhất tới 16,7%


TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

Đề 2:
Môn: Toán 7

Bài 1: (3 điểm): Tính

1 1 2 2 3
18 (0,06 :7 3 .0,38) : 19 2 .4
6 2 5 3 4
   
− + −
 
 
   


Bài 2: (4 điểm): Cho
a c
c b
=
chứng minh rằng:
a)
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
b)
2 2
2 2
b a b a
a c a
− −
=

+


Bài 3:(4 điểm) Tìm
x
biết:
a)
1
4 2
5
x
+ − = −
b)
15 3 6 1
12 7 5 2
x x
− + = −


Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật
chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với
vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động
trên bốn cạnh là 59 giây

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có

0
A 20
= , vẽ tam giác đều DBC (D
nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:

a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tìm
,x y
∈

biết:
2 2
25 8( 2009)
y x− = −

==========
Bài 1: 3 điểm
1 1 2 2 3
18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4
6 2 5 3 4
   
− + −
 
 
   
=
=
109 6 15 17 38 8 19
( : . ) : 19 .
6 100 2 5 100 3 4
   
− + −
 

 
   
0.5đ
=
109 3 2 17 19 38
. . : 19
6 50 15 5 50 3
 
   
− + −
   
 
   
 
1đ
=
109 2 323 19
:
6 250 250 3
 
 
− +
 
 
 
 
0.5
=
109 13 3
.

6 10 19
 
−
 
 
= 0.5đ
=
506 3 253
.
30 19 95
=
0.5đ

Bài 2:
a) Từ
a c
c b
=
suy ra
2
.
c a b
= 0.5đ
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b

+ +
=
+ +
0.5đ
=
( )
( )
a a b a
b a b b
+
=
+
0.5đ

b) Theo câu a) ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
a c a b c b
b c b a c a
+ +
= ⇒ =
+ +
0.5đ
từ
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
b c b b c b
a c a a c a
+ +

= ⇒ − = −
+ +
1đ
hay
2 2 2 2
2 2
b c a c b a
a c a
+ − − −
=
+
0.5đ
vậy
2 2
2 2
b a b a
a c a
− −
=
+
0.5đ

Bài 3:
a)
1
4 2
5
x
+ − = −

1
2 4
5
x
+ = − +
0.5đ
1 1
2 2
5 5
x x
+ = ⇒ + =
hoặc
1
2
5
x
+ = −
1đ
Với
1 1
2 2
5 5
x x
+ = ⇒ = −
hay
9
5
x
=
0.25đ

Với
1 1
2 2
5 5
x x
+ = − ⇒ = − −
hay
11
5
x
= −
0.25đ

b)
15 3 6 1
12 7 5 2
x x
− + = −

6 5 3 1
5 4 7 2
x x
+ = +
0.5đ
6 5 13
( )
5 4 14
x
+ =
0.5đ

49 13
20 14
x
=
0.5đ
130
343
x =
0.5đ

Bài 4: