Bài giảng Toán cao cấp: Chương 1 GV. Ngô Quang Minh

10/13/2012
1
Toán Cao Cấp
Thời lượng: 45 tiết
N
ội dung
Chương 1: Ma trận, định thức.
Chương 2: Hệ Phương trình tuến tính.
Chương 3: Hàm số và giới hạn.
Chương 4: Phép tính vi phân hàm một biến.
Chương 5: Tích phân.
Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến.
Chương 7: Lý thuyết chuỗi.
Chương 8. Phương trình vi phân.

ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
§1.
MA TRẬN

§1. Ma trận

§2. Định thức
§3. Hệ phương trình tuyến tính

…………………………………………………

1.1.
Các đ
ịnh nghĩa


a)

Định nghĩa ma trận

•
Ma trận
A
cấp
mn

trên
¡

là 1 hệ thống gồm
mn

số
ij
a

¡

(1,; 1,)
imjn


và
được sắp
thành bảng gồm
m
dòng và
n
cột:
11121
21222
12


.


n
n
mmmn
aaa
aaa
A
aaa




























• Các số
ij
a
được gọi là các phần tử của
A
ở dòng thứ
i

và cột thứ
j

.
• Cặp số
(,)
mn
được gọi là kích thước của
A
.
• Khi
1
m

, ta gọi:
11121
( )
n
Aaaa

là ma trận dòng.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
• Khi
1
n

, ta gọi

11
1

m
a
A
a




















là ma trận cột.
•
Khi

1
mn

, ta gọi
:

11
()
Aa

là ma trận gồm 1 phần tử.
• Ma trận
(0)
ijmn
O


có
tất cả các phần tử đều bằng 0
được gọi là ma trận không.
• Tập hợp các ma trận
A
được ký hiệu là
,
()
mn
M
¡
, để

cho gọn ta viết là
()
ijmn
Aa


.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
• Ma trận vuông
§

Khi
mn

, ta gọi
A
là ma trận vuông cấp
n
.

Ký hiệu là
()
ijn
Aa


.
§
Đường chéo chứa các phần
tử
1122
,, ,
nn
aaa
được gọi
là đường chéo chính của
()
ijn
Aa

,
đường chéo còn lại được gọi
là đường chéo phụ.
23
58
74
2
4
6
6 5
7
3
1
1
0



























ØØ
Chương 5. Đại số tuyến tínhChương 5. Đại số tuyến tính
• Các ma trận vuông đặc biệt
§

Ma trận vuông có tất cả các
phần tử nằm ngoài đường
chéo chính đều bằng 0 được
gọi là ma trận chéo.
100
050
000




















§
Ma trận chéo cấp

n
gồm tất
cả các phần tử trên đường
chéo chính đều bằng 1 được
gọi là ma trận đơn vị cấp
n
.
Ký hiệu là
n
I
.
3
100
010
001
I





















ØØ
Chương 5. Đại số tuyến tínhChương 5. Đại số tuyến tính
10/13/2012
2
§ Ma trận ma trận vuông cấp
n
có tất cả các
phần tử
nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều
bằng
0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới).
102
011
000
A






















300
410
152
B






















§

Ma trận vuông cấp
n
có tất cả
các cặp phần tử đối xứng
nhau qua đường chéo chính
bằng nhau (
ijji
aa

) được
gọi là ma trận đối xứng.
0
0
3
1
2
4
4
1
1






















ØØ
Chương 5. Đại số tuyến tínhChương 5. Đại số tuyến tính
b) Ma trận bằng nhau
Hai ma trận
()
ij
Aa

và
()

ij
Bb

được gọi là
bằng
nhau, ký hiệu
AB

, khi và c
hỉ khi chúng cùng
kích thước và
,,
ijij
abij

.
VD 1. Cho
1
2
xy
A
zt













và
101
23
B
u













.
Ta có:
0;1;2;2;3
ABxyzut

.
ØØ
ChươngChương

1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

1.2. Các phép toán trên ma trận


a) Phép cộng và trừ
hai ma trận

Cho hai ma trận
()
ijmn
Aa


và
()
ijmn
Bb


, ta có:


().
ijijmn
ABab




VD 2.
102202104
234531703














;

102202300
234531365















.
Nhận xét
Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
b) Phép nhân vô hướng
Cho ma trận
()
ijmn
Aa


và


¡
, ta có:

().
ijmn
Aa




VD 3.
110330
3
2046012














;

264132
2

408204













.
Chú ý
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép
cộng ma trận.
• Ma trận
1.
AA

được gọi là ma trận đối của
A
.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,

ĐịnhĐịnh
ThứcThức

c)
Phép n
hân hai ma trận

Cho hai ma trận
()
j
im
n
Aa


và
()
k
jn
p
Bb


, ta có:

().
ikmp
ABc



Trong đó,


1
1,; 1,
n
ikijjk
j
cabimkp



.
VD 4. Thực hiện phép nhân


1
1232
5






















.
Giải.


1
1232(1415)(12).
5
























ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
VD 5. Thực hiện phép nhân


110
12
103














.
Giải.

  
110
12116
103














.
ØØ

ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
10/13/2012
3
VD 6. Tính
20
111
11
203
13



































.
Giải.
20
11144
11
20379
13



































.

ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
Tính chất

1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC;

3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);

5)
nm
AIAIA

, với
,
()
mn
AM

¡
.
VD 7. Cho
101
220
303
A























và
121
031
210
B























.

Thực hiện phép tính: a)
AB
; b)
BA
.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận

, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
Giải

a)
101121311
220031220
303210933
AB























.

b)
121101242
031220363
210303022
BA























.

ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
Chú ý

• Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.

• Đặc biệt, khi
()
ijn
Aa

và
*
p

¥
, ta có:
p
nn
II


và
011
,()()
ppp
n
AIAAAAA



(lũy thừa ma trận).
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

d) P
hép chuyển vị

Cho ma trận
()
ijmn
Aa


.
Khi đó,
()

T
jinm
Aa


được gọi là ma trận
chuyển vị
của
A
(nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).
VD 13. Cho
123
456
A













.
T
A





















1
2
3
{
4
5
6
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma

TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
Tính chất

1) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
; 2) (λA)
T
= λA
T
;
3) (A
T
)
T
= A; 4) (AB)
T
= B
T
A
T
;
5)
T

AA

A đối xứng.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
10/13/2012
4
VD 14. Cho
11
012
02,
103
32
AB




































.
a) Tính
()
T
AB
.

b) Tính
TT
BA
và so sánh kết quả với
()
T
AB
.
Giải. a)
11
012
()02
103
32
T
T
AB












































ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

111122
206103
23121612
T






























.
b) Sinh viên tự làm.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận

(Gauss – Jordan)
Cho ma trận
()
ijmn
Aa



(2)
m

. Các phép biến đổi
sơ cấp (PBĐSC) dòng
e
trên
A
là:
1)
1
():
e
Hoán vị hai dòng cho nhau
ik
dd
AA



.
2)
2
():
e
Nhân 1 dòng với số
0



,
ii
dd
AA




.
3)
3
():
e
Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần
dòng khác,
iik
ddd
AA




.
Chú ý
1) Trong thực hành ta thường làm
iik
ddd
AB




.

2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên
cột của ma trận.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

VD 1
5
.
Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận
211
123
312
A























về
123
017/5
000
B






















.
Giải.
12
123
211
312
dd
A

























221
331
2
3
123
057
057
ddd
ddd

























ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
332
22
1
5
123
017/5
000
ddd
dd

B























.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,

ĐịnhĐịnh
ThứcThức

1.4. Ma trận bậc thang

• Một dòng của ma trận
có tất cả các phần tử đều bằng
0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không).
• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1
dòng
trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.

•
Ma trận bậc thang là ma trận

khác

không
cấp
mn

(, 2)
mn

thỏa hai điều kiện:
1)
Các
dòng
bằng 0
(

nếu có
)

ở
phí
a
dưới các
dòng

khác 0;
2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm
bên phải

phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
10/13/2012
5

VD 1
6
.
Các ma trận bậc thang:
102
003,

000



















0123
0045,
0001




















10 0
01 0
.

00 1
n
I




























Các ma trận không phải là bậc thang:
000
314
005




















,
027
034
005




















,
135
004
213



















.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận

, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
1.5. Ma trận khả nghịch
a) Định nghĩa
• Ma trận
()
n
AM

¡
được gọi là khả nghịch
nếu tồn
tại ma trận
()
n
BM

¡
sao cho:
.
n
ABBAI


• Ma trận
B
được gọi là ma trận
nghịch đảo
của

A
.
Ký hiệu
1
BA


. Khi đó:
1111
;().
n
AAAAIAA



Chú ý
Nếu
B
là ma trận nghịch đảo của
A
thì
B
là duy nhất
và
A
cũng là ma trận nghịch đảo của
B
.
ØØ
ChươngChương

1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
VD 17.
25
13
A












và
35
12
B















là
hai ma trận
nghịch đảo của nhau vì
2
ABBAI

.
Chú ý
1) Nếu ma trận
A
có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì
không khả nghịch.
2)
111
()
ABBA


.
3) Nếu
0

acbd

thì:
1
1

abcb
dcda
acbd

















ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận

, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
VD 18. Cho
25
13
A












và
21
32
B













.
Thực hiện phép tính: a)
1
()
AB

; b)
11
BA

.
Giải. a) Ta có:
1912
117
AB













và
19.711.121


1
1
1912712
()
1171119
AB
















.
ØØ

ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
b) Ta có:
11
2135712
32121119
BA















.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma

TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
§2. ĐỊNH THỨC


2.1. Định nghĩa


a) Ma trận con cấp
k

Cho


()
ijn
n
AaM

¡
.
•

M
a trận vuông
cấp
k
đ

ược
lập từ các phần tử nằm
trên giao của
k
dòng và
k
cột của
A
được gọi là
ma
trận con cấp
k
của
A
.
• Ma trận
ij
M
có cấp
1
n

thu được từ
A
bằng cách
bỏ đi dòng thứ
i
và cột thứ
j
được gọi

là ma trận con
của
A
ứng với phần tử
ij
a
.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
10/13/2012
6
VD 1. Ma trận
123
456
789
A





















có các ma trận con
ứng
với các phần tử
ij
a
là:

11
56
89
M













,
12
46
79
M












,
13
45
78
M













,
21
23
89
M












,
22
13
79
M













,
23
12
78
M












,

31
23
56
M












,
32
13
46
M













,
33
12
45
M












.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

b) Định thức

(
Determinant
)

Định thức của ma trận vuông
()
n
AM

¡
,
ký hiệu
det
A
hay
A
, là 1 số thực được định nghĩa:
§
Nếu
11
()
Aa

thì
11
det
Aa

.

§
Nếu
1112
2122
aa
A
aa












thì
11221221
det
Aaaaa

.
§
Nếu
()
ijn
Aa


(cấp
3
n

) thì:
1111121211
det
nn
AaAaAaA


trong đó,
(1)det
ij
ijij
AM


và số thực
ij
A
được
gọi là phần bù đại số của phần tử
ij
a
.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma

TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
1112131112
2122232122
3132333132
aaaaa
aaaaa
aaaaa
(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ
đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt).

2) Tính
111213
212223
313233
aaa
aaa
aaa
.
Chú ý

1)
det1,det0
nn
IO

.
111213

212223
313233
aaa
aaa
aaa
hoặc
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

VD 2
.
Tính định thức của các ma trận sau:
32
14
A














,
121
321
211
B





















.

Giải.
3
3.4d
2
1.(2)
t4
1
e1
4
A 


.
det1.(2).12.1.23.1.(1)
B




2.(2)(1)3.2.11.1.112.




ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh

ThứcThức

VD 3
.
Tính định thức của ma trận:
0031
4121
3102
2335
A






























.

Giải
.
Ta có:

11121314
det0.0.3.(1).
AAAAA



1314
1314
3(1)det(1)det
MM




411412

331231049
235233


.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
2.2. Các tính chất cơ bản của định thức
Cho ma trận vuông


()
ijn
n
AaM

¡
, ta có các
tính chất cơ bản sau:
a)
Tính chất
1




detdet.
T
AA


VD 4.
132121
22132112
111211



.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
10/13/2012
7
b)
Tính chất

2

Nếu hoán vị hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì
định thức đổi dấu.
VD 5.

132
221
111



111
221
132


111
221.
312



Hệ quả
.

Nếu đ
ịnh
thức có ít nhất 2 d
òng (
hoặc 2
cột)
giống nhau thì bằng 0.
VD 6.
1
1

33
22
11
0
7

;
25
2
5
3
2
1
0
1
yy
y
x
y
xx

.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
c)

Tính chất
3

Nếu nhân 1 dòng (hoặc 1 cột) với số thực λ thì
định thức tăng lên λ lần.
VD 7.
3.103.(1)101
2123212
317317


;

33
33
33
11
1(1)1
11
xxxxx
xyyxyy
xzzzz



.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận

, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

Hệ quả


1) Nếu định thức có ít nhất 1 dòng (hoặc 1 cột)
bằng 0 thì bằng 0.

2) Nếu định thức có 2 dòng (hoặc 2 cột) tỉ lệ với
nhau thì bằng 0.
VD 8.
2
32
01
00
0
x
xy
xy

;
669
2230
8312



.

ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

VD 9.

333
333
11110
;
111
xxxxxx
xyyxyyxyy
zzzzzz


22
22
22
cos23sin23
123
sin56cos56156.
189
sin89cos89
xx
xx

xx


d
)
Tính chất
4

Nếu định thức có 1 dòng (hoặc 1 cột) mà mỗi phần
tử là tổng của 2 số hạng thì ta có thể
tách thành tổng
2 định thức.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

e)
Tính chất
5

Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng
(hoặc 1 cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác.

Giải.



221
ddd

123
042
234
331
2
ddd

123
042
012


VD 10
.
Sử dụng tính chất 5 để đưa định thức sau về
dạng bậc thang:
123
121
234

.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,

ĐịnhĐịnh
ThứcThức
123
042.
003/2

123
042
012

332
1
4
ddd

Chú ý
Phép biến đổi
332
4
123123
042042
012006
ddd


là sai
vì dòng 3 (trước khi thay đổi) đã nhân với số 4.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma

TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
10/13/2012
8

2.3. Định lý
(
khai triển Laplace
)

Cho ma trận vuông


()
ijn
n
AaM

¡
, ta có các
khai triển Laplace của định thức
A
:

a)
Khai triển theo dòng thứ
i
1122

1
det
n
iiiiininijij
j
AaAaAaAaA




Trong đó,
(1)det()
ij
ijij
AM


.

b) Khai triển theo cột thứ
j

1122
1
det
n
jjjjnjnjijij
i
AaAaAaAaA





ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
VD 12. Tính định thức
1002
2012
1323
3021
bằng hai cách
khai triển theo dòng 1 và khai triển theo cột 2.


Giải
.
Khai triển theo dòng 1:
1002
012201
2012
1.1.323(1).2.1323
1323
021302
3021


.

11
(1)


14
(1)


ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
• Khai triển theo cột 2:

1002
102
2012
(1).3.2123
1323
321
3021

.
32
(1)



ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

VD 1
3
.
Áp dụng tính chất và định lý Laplace, hãy
tính
định thức
1112
2113
1212
3321


.
Giải.
221
331
441
2
3
11121112

21130311
12120120
33210015
ddd
ddd
ddd








ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

311
12034
015



khai trieån coät 1
.

ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
Các kết quả đặc biệt
cần nhớ

1) Dạng tam giác
1112111
2222122
1122
12
0 0
0 0


00
n
n
nn
nnnnnn
aaaa
aaaa
aaa
aaaa

2) Dạng tích:

det()det.det.
ABAB



3
)
Dạng chia khối

det.det
n
AB
AC
OC

M
KKK
M
, với
,,()
n
ABCM

¡
.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,

ĐịnhĐịnh
ThứcThức
10/13/2012
9
VD 14. Tính
1234
02719
det
0030
0001
A



.

Giải.
Ta có:
det1.(2).3.(1)6
A

.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
VD 15. Tính

0034
32719
det
1237
0081
B



.

Giải
.
Ta có:

31
1237
32719
det
0034
0081
dd
B





1234
3281



280.

ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
VD 16. Tính
111214
det203213
123121
C























.
Giải. Ta có:
111214
det2032133
123121
C



.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

VD 1
7
.

Tính

111214314
det203213012.
123121121
T
D























Giải
.
Ta có:
111214314
det20321301221
123121121
D



.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

Giải
.
Chuyển vị định thức, ta được:
Phương trình
12
0
12
xx
xx



VD 18. Phương trình
100
100
0
22
382
x
x
xx
x


có nghiệm
là: A.
1
x

; B.
1
x

; C.
1
x

; D.
1
2
x

x







.


22
(1)(4)0
xxA

.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo

a) Định lý

Ma trận vuông
A
khả nghịch khi và chỉ khi:

det0.
A



VD 1
9
.
Giá trị của tham số
m
để ma trận
2
10
10
011
1
T
m
mm
A
mm
m



























khả nghịch là:

A.
0
1
m
m








; B.
0
1
m
m









; C.
0
m

; D.
1
m

.

ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận

, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
10/13/2012
10

Giải
.
Ta có:
52
2
10
10
det(1).
011
1
m
mm
Amm
mm
m



Vậy
A
khả nghịch
0
det0
1

m
AB
m










.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
b) Thuật toán tìm
A
–
1

•

Bước
1

.
Tính
det
A
. Nếu
det0
A

thì kết luận
A

không khả nghịch. Ngược lại, ta làm tiếp bước 2.

• Bước 2. Lập ma trận


,(1)det
ij
ijijij
n
AAM


.
Suy ra ma trận phụ hợp (adjunct matrix) của
A
là:


.

T
ij
n
adjAA





•

Bước
3
.
Ma trận nghịch đảo của
A
là:
1
1

det
AadjA
A



ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận

, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức

VD
20
.
Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của:
121
112
354
A





















.

Giải
.

Ta có:
det0
AA

không khả nghịch.

VD 21. Cho ma trận
121
011
123
A





















. Tìm
1
A

.

Giải
.

Ta có
:

det20
AA

khả nghịch.

ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,

ĐịnhĐịnh
ThứcThức
111213
110101
1,1,1,
231312
AAA

212223
211112
4,2,0,
231312
AAA

313233
211112
1,1,1.
110101
AAA

141
121
101
adjA























1
141
1
121.
2
101
A
























ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
2.5. Hạng của ma trận
a) Định thức con cấp k
Cho ma trận


ij
mn

Aa


. Định thức của ma trận con

cấp
k
của
A
được gọi là định thức con cấp
k
của
A
.

Định lý
Nếu ma trận
A
có tất cả các định thức con cấp
k
đều
bằng 0 thì các định thức con cấp
1
k

cũng bằng 0.
b) Hạng của ma trận
Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận
A

được gọi là hạng của ma trận
A
. Ký hiệu là
()
rA
.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
Chú ý
• Nếu


ij
mn
Aa


khác 0 thì
1()min{,}.
rAmn


• Nếu
A
là ma trận không thì ta quy ước

()0
rA

.
c) Thuật toán tìm hạng của ma trận
• Bước 1.
Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang.
•
Bước 2.

S
ố dòng khác 0
của

ma trận bậc thang
chính
là hạng của ma trận đã cho.
•

Đặc biệ
t

Nếu
A
là ma vuông cấp
n
thì:
()det0.
rAnA


ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
10/13/2012
11

VD
22
.
Điều kiện của tham số
m
để ma trận
12
032
011
m
A






















có hạng bằng 3 là:
A.
1
m

; B.
1
m

; C.
1
m

; D.
0
m


.

Giải
.
Ta có:
32
()3det00
11
rAAmD
.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức
VD 23. Cho
1342
2514
3856
A























. Tìm
()
rA
.
Giải. Biến đổi
221
331
2
3
1342
0170
0170
ddd
ddd
A



























332
1342
0170()2
0000
ddd

rA






















.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh

ThứcThức
VD 24. Cho
2113
0100
0120
0114
A































. Tìm
()
rA
.

Giải
.

Biến đổi
:

2113
0100
0020
0014
A































2113
0100
.
0020
0008































Vậy
()4

rA

.
ØØ
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
TrậnTrận
, ,
ĐịnhĐịnh
ThứcThức