Bài giảng Toán cao cấp A2, C2 ĐH - Nguyễn Đức Phương

Toán cao cấp
A2, C2 ĐH
Nguyễn Đức Phương
TP. HCM, Ngày 21 tháng 5 năm 2014
Bài giảng
Họ và tên:
Mssv:

Mục lục
Chương 1
Ma trận, định thức
1.1 Ma trận
Định nghĩa 1.1 (Ma trận). Một bảng số thực hình chữ nhậ t có m dòng
và n cột
A D
0
B
B
B
@
a
11
a
12
 a
1n
a
21
a
22
 a

2n
:
:
:
:
:
: 
:
:
:
a
m1
a
m2
 a
mn
1
C
C
C
A
được gọi là ma trận cấp m  n: Tậ p hợp tất cả ma trận cấp m  n trên R
được ký hiệu M
mn
.R/:
Chú ý.
 A D

a
ij


mn
 a
ij
là phần tử dòng i cột j .
Ví dụ 1.1. Ma trận
A D

2 1 8
0 6 5

 Số dòng? số cột?
 a
ij
?
Định nghĩa 1.2 (Ma trận vuông). Ma trận có số dòng bằng với số cột
(m D n) được gọi là ma trận vuông cấp n.
Trang 2 Chương 1. Ma t rận, định thức
Ví dụ 1.2. Ma trận
A D
0
@
2 0 1
1 4 8
9 4 3
1
A
là ma trận vuông cấp 3.
Định nghĩa 1.3 (Đường chéo của ma trận vuông).
 Đường chéo chứa a

11
; a
22
; : : : ; a
nn
là đường chéo chính
A D
0
B
B
B
@
a
11
a
12
 a
1n
a
21
a
22
 a
2n
:
:
:
:
:
: 

:
:
:
a
n1
a
n2
 a
nn
1
C
C
C
A
 Đường chéo ngược lại là đường chéo phụ.
A D
0
B
B
B
@
a
11
a
12
 a
1n
a
21
a

22
 a
2n
:
:
:
:
:
: 
:
:
:
a
n1
a
n2
 a
nn
1
C
C
C
A
Định nghĩa 1.4 (Các ma trận vuông đặc biệt).
 Ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính
bằng 0 được gọi là ma trận chéo cấp n.
 Ma trận chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo chính là 1 được
gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là I
n
:

Ví dụ 1.3.
A D
0
@
2 0 0
0 0 0
0 0 4
1
A
gọi là ma trận đường chéo.
I
3
D
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A
là ma trận đơn vị cấp 3.
1.2 Các phép t oán trên ma trận Trang 3
Định nghĩa 1.5. Ma trận vuông có tất cả các phần tử trên (dưới) đường
chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác dưới (trên).
Ví dụ 1.4.
A D
0
@
2 0 0
4 3 0

3 0 0
1
A
B D
0
@
2 3 0
0 3 6
0 0 1
1
A
 A gọi là ma trận tam giác dưới.
 B gọi là ma trận tam giác trên.
Định nghĩa 1.6. Ma trậ n vuông có các phần tử đối xứng qua đường
chéo chính bằng nhau (a
ij
D a
j i
) gọi là ma trận đối xứng
Ví dụ 1.5.
A D
0
@
3 4 1
4 1 0
1 0 2
1
A
là ma trận đối xứng.
1.2 Các phép toán trên ma trận

Định nghĩa 1.7 ( Phép chuyển vị). Ma trận A
T
có được từ việc chuyển
tất cả các dòng của A thành cột được gọi là ma trận chuyển vị của A:
Ví dụ 1.6. Ma trận
A D

2 1 4
5 3 6

Tìm A
T
Tính chất 1.8. Cho A; B 2 M
mn
.R/: Khi đó
i.

A
T

T
D AI
ii. A
T
D B
T
khi và chỉ khi A D B:
Trang 4 Chương 1. Ma t rận, định thức
Định nghĩa 1.9 (Nhân vô hướng). Cho ma trận A D


a
ij

mn
và k 2 R,
ta định nghĩa
kA D

ka
ij

mn
Ví dụ 1.7.
2

2 1 2
2 4 2

D

4 2 4
4 8 4

Tính chất 1.10. Cho A; B 2 M
mn
.R/ và ˛; ˇ 2 R Khi đó
i. .˛ˇ/A D ˛.ˇA/I
ii. .˛A/
T
D ˛A

T
:
Định nghĩa 1.11 (Phép cộ ng, trừ). Cho hai ma trận A D

a
ij

mn
và
B D

b
ij

mn
cùng cấp, ta định nghĩa
A ˙ B D

a
ij
˙ b
ij

mn
Ví dụ 1.8.

1 2 3
2 0 1

C


3 1 3
2 3 6

D

4 3 6
4 3 7


1 2 3
2 0 1



3 1 3
2 3 6

D

2 1 0
0 3 5

Tính chất 1.12. Cho A; B 2 M
mn
.R/ và ˛; ˇ 2 R: Khi đó
i. A C B D B C AI
ii. ˛.A C B/ D ˛A C ˛BI
iii. .˛ Cˇ/A D ˛A C ˇA:
Định nghĩa 1.13 (Nhân hai ma trận). Cho hai ma trận A D


a
ij

mp
và
B D

b
ij

pn
(số cột của A bằng với số dòng của B), ta định nghĩa
AB D .c
ij
/
mn
trong đó c
ij
D (dòng i của A/  (cột j của B/
Ví dụ 1.9. Cho A D

1 2 4
2 1 5

; B D
0
@
1 2
3 1

2 2
1
A
Tính AB:
1.2 Các phép t oán trên ma trận Trang 5
Ví dụ 1.10. Cho hai ma trận
A D
0
@
0 1 1
2 2 0
3 0 3
1
A
; B D
0
@
1 2 1
0 3 1
2 1 0
1
A
Tính AB; BA và so sánh kết quả.
Ví dụ 1.11. Cho ma trận A D
0
@
1 2 3
0 5 2
2 4 6
1

A
Tính AI
3
và I
3
A và so sánh
kết quả.
Nhận xét. Tổng quát, phép nhân không có tính giao hoán nghĩa là
AB ¤ BA:
Tính chất 1.14. Cho A; B; C thỏa điều kiện nhân được
i. .AB/C D A.BC/I
ii. A.B C C/ D AB C ACI
iii. .AB/
T
D B
T
A
T
I
Trang 6 Chương 1. Ma t rận, định thức
iv. AI
n
D I
n
A D A:
1.3 Ma trận bậc thang
Định nghĩa 1.15.
 Trong một ma trận, một dòng có tất cả các phần tử bằng 0 gọi là
dòng không.
 Trong một ma trận, phần tử khác không đầu tiên (trái sang phải)

của dòng được gọi là phần tử cơ sở của dòng.
Ví dụ 1.12. Ma trận
A D
0
@
1 3 2
0 0 0
3 1 5
1
A
! dòng không
Xác định phần tử cơ sở của
A D
0
B
B
@
1 3 2
0 0 3
0 0 0
0 2 5
1
C
C
A
Định nghĩa 1.16 (Ma trận bậc thang). M a trận thỏa hai điều sau được
gọi là ma trận bậc thang:
 Các dòng 0 nằm bên dưới các dòng khác.
 Phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ phài nằm bên phải phần tử cơ
sở các dòng trên nó.

Ví dụ 1.13. Các ma trận sau là bậc thang:
A D
0
@
7 0 2
0 0 3
0 0 0
1
A
IB D
0
@
0
3 1 2
0 0 3 5
0 0 0 4
1
A
Ví dụ 1.14. Các ma trận sau không là ma trận bậc thang
A D
0
@
0 2 3
0 3 5
0 0 6
1
A
IB D
0
@

0 0 0
0 2 3
0 0 5
1
A
1.4 Phép biển đổi sơ cấp trên dòng Trang 7
Định nghĩa 1.17. Ma trận bậc thang rút gọn (đơn giản) là ma trận bậc
thang có phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là phần tử
khác 0 duy nhất của cột chứa phần tử đó.
Ví dụ 1.15. Ma trận nào sau đây là ma trận bậc thang rút gọn:
A D
0
@
1 2 0 3
0 0 1 1
0 0 0 0
1
A
IB D

1 3 2
0 0 0

1.4 Phép biển đổi s ơ cấp trên dòng
Định nghĩa 1.18 (Phép biến đổi sơ cấp trên dòng). Cho A D

a
ij

mn

:
Ta gọi các phép biến đổi sau là phép biến đổi sơ cấp trên dòng
i) Đổi vị trí hai dòng i và k: A
d
i
$d
k
! B:
ii) Nhân dòng i với số thực  ¤ 0: A
d
i
!d
i
! B:
iii) Thay dòng i bằng dòng i cộng  lần dòng k khác: A
d
i
!d
i
Cd
k
! B:
Chú ý.
 Phép biến đổi ii) và iii) có thể được thay bằng
A
d
i
!d
i
Cd

k
! B:
trong đó  ¤ 0:
 Ma trận B nhận được từ A qua phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta
nói A tương đương dòng với B; ký hiệu A  B:
Định lý 1.19. Mọi ma trận đều có thể được đưa về ma trận bậc thang
bằng một số hữu hạn các phép biến đổ i sớ cấp.
Trang 8 Chương 1. Ma t rận, định thức
Ví dụ 1.16. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận sau
về dạng ma trận bậc thang
A D
0
@
1 1 2 4
2 3 3 3
5 7 4 10
1
A
IB D
0
@
1 2 4
2 4 7
3 2 5
1
A
1.5 Hạng của ma trận
Định nghĩa 1.20 (H ạng của ma trận). Dùng phép biến đổ i sơ cấp trên
dòng biến A thành ma trận bậc thang
Q

A: Hạng của A, ký hiệu r.A/ là số
dòng khác không của
Q
A
Ví dụ 1.17. Tìm hạng của
A D
0
@
1 2 3
0 0 1
0 0 0
1
A
có r.A/ D : : :
1.5 Hạng của ma trận Trang 9
Ví dụ 1.18. Cho
A D
0
@
1 2 1
2 0 3
4 4 1
1
A
Tìm r.A/
Tính chất 1.21.
i. r.A/ D r.A
T
/I
ii. Nếu A D .a

ij
/
mn
thì r.A /  minfmIngI
iii. Nếu A là ma trận vuông có jAj ¤ 0 khi và chỉ khi r.A/ D n:
Ví dụ 1.19. Cho ma trận
A D
0
@
m C 1 1 3
2 m C 2 0
2m 1 3
1
A
Tìm m để r. A/ D 2
Trang 10 Chương 1. Ma t rận, định thức
Chú ý. Ta nê n chuyển các cột không chứa tham số lên đầu.
Ví dụ 1.20. Biện luận theo m số hạng của
A D
0
B
B
@
1 2 1 1 1
m 1 1 1 1
1 m 0 1 1
0 4 3 2 2
1
C
C

A
1.6 Định thức Trang 11
1.6 Định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n: Ký hiệu M
ij
là ma trận có được từ A
bằng các xóa bỏ dòng i cột j cùa A:
Ví dụ 1.21. Nếu
A D
0
@
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
A
thì
M
23
D
0
@
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
A
D

1 2

7 8

Định nghĩa 1.22 (Định thức). Định thức của ma trận vuô ng A cấp n;
ký hiệu detA hay jAj được định nghĩa quy nạp như sau:
 Nếu n D 1 thì jAj D ja
11
j D a
11
:
 Nếu n D 2 thì jAj D
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
11
a
12
a
21
a
22
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
D a
11
a
22

 a
12
a
21
:
 Nếu 3  n thì
jAj D a
i1
A
i1
C a
i2
A
i2
C  C a
i n
A
i n
D a
1j
A
1j
C a
2j
A
2j
C  C a
nj
A
nj

trong đó A
ij
D .1/
iCj
jM
ij
j:
Ví dụ 1.22. Tính định thức của các ma trận
A D

3 2
1 4

I B D
0
@
1 2 2
2 3 1
2 1 2
1
A
Trang 12 Chương 1. Ma t rận, định thức
Chú ý. Quy tắc sáu đường chéo tí nh định thức ma trận cấp 3
jAj D
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ

a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
11
a
12
a
21

a
22
a
31
a
32
D.a
11
a
22
a
33
C a
12
a
23
a
31
C a
13
a
21
a
32
/
.a
11
a
22
a

33
C a
12
a
23
a
31
C a
13
a
21
a
32
/
Ví dụ 1.23. Tính định thức của ma trận B D
0
@
1 2 2
2 3 1
2 1 2
1
A
Ví dụ 1.24. Tính định thức của ma trận A D
0
B
B
@
0 0 3 2
3 4 2 1
1 1 0 2

2 1 1 5
1
C
C
A
1.6 Định thức Trang 13
Tính chất 1.23. Nếu A
d
i
$d
k
! B thì jBj D jAj
Ví dụ 1.25. Tính các định thức:
jAj D
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1 2 0
2 1 1
3 3 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
I jBj D

ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
2 1 1
1 2 0
3 3 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Tính chất 1.24. Nếu A
d
i
!d
i
!
¤0
B thì jBj D jAj:
Ví dụ 1.26. Tính các định thức:
jAj D
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ

ˇ
2 1 0
2 0 1
3 3 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
I jBj D
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
6 3 0
2 0 1
3 3 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
và suy ra giá trị j3Aj:
Trang 14 Chương 1. Ma t rận, định thức
Tính chất 1.25. Nếu A
d

i
!d
i
C
k
! B thì jBj D jAj:
Ví dụ 1.27. Tính định thức: jAj D
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1 1 3
2 2 1
2 3 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
và định thức của ma trận
B có được bằng phép biến đổi d
2
D d
2
 2d
1
từ ma trận A

Nhận xét. Phép biến đổi trong tính chất ?? và ?? còn được viết chung
dưới dạng
d
i
!d
i
Cd
k
!
¤0
Tính chất 1.26.
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
11
C a
=
11
a
12
 a
1n
a

21
C a
=
21
a
22
 a
2n
:
:
:
:
:
: 
:
:
:
a
n1
C a
=
n1
a
n2
 a
nn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ

ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
D
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
11
a
12
 a
1n
a
21
a
22
 a
2n
:
:
:

:
:
: 
:
:
:
a
n1
a
n2
 a
nn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
C
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ

ˇ
a
=
11
a
12
 a
1n
a
=
21
a
22
 a
2n
:
:
:
:
:
: 
:
:
:
a
=
n1
a
n2
 a

nn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Ví dụ 1.28. Tính định thức
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
x a x
y b y C 3
z c z
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1.7 Ma trận khả n gh ịch Trang 15
Chú ý. Các tính chất của định thức ở trên được phát biểu cho biế n đổi
trên dòng, và các tính chất này cũng đúng cho biến đổi trên cột.
Chú ý. Một số kết quả đặc biệt

 Dạng chia khối: nếu A; C là hai ma trận vuông và O là ma trận
không
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
A B
O C
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
D
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
A 0
B C
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
D jAjjCj
 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường
chéo chính.
 jABj D jAjjBj:
1.7 Ma trận khả nghịch
Định nghĩa 1.27. Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu
tồn tại ma trận vuông cùng cấp A

1
sao cho AA
1
D A
1
A D I
n
: Ma trận
A
1
là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A:
Ví d ụ 1.29. Ma trận A D

2 5
1 3

và A
1
D

3 5
1 2

là hai ma trận
nghịch đảo của nhau.
Trang 16 Chương 1. Ma t rận, định thức
1.7.1 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo
Cho ma trận A vuông cấp n; ta tìm A
1
nếu có như sau:

Bước 1. Lập ma trận .AjI
n
/:
Bước 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa .AjI
n
/ về dạng
.A
0
jB/; vớ i A
0
là ma trận bậc thang rút gọn.
Bước 3. Nếu A
0
D I
n
thì A khả nghịch và A
1
D B; ngược lại ta kết
luận A không khả nghịch.
Ví dụ 1.30. Tìm A
1
nếu có của A D

1 2
2 4

:
Ví dụ 1.31. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D
0
@

1 1 1
1 0 1
2 1 1
1
A
:
1.7 Ma trận khả n gh ịch Trang 17
Định lý 1.28. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi jAj ¤ 0
Ví dụ 1.32. Tìm m để A D
0
@
m C 1 1 3
2 m C 2 0
2m 1 3
1
A
khả nghịch
1.7.2 Công thức tìm ma trận nghịch đảo
Cho ma trận khả nghịch A; ma trận nghịch đảo của A được tính như
sau:
A
1
D
1
jAj
0
B
B
B
@

A
11
A
12
 A
1n
A
21
A
22
 A
2n
:
:
:
:
:
: 
:
:
:
A
n1
A
n2
 A
nn
1
C
C

C
A
T
(1.1)
Ví dụ 1.33. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D

2 3
1 4

:
Trang 18 Chương 1. Ma t rận, định thức
Ví dụ 1.34. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D
0
@
1 2 1
2 0 1
3 2 2
1
A
:
Chương 2
Hệ phương tr ình tuyến tính
2.1 Hệ phương trình tổng quát
Định nghĩa 2.1. Một hệ phương trình bậc nhất có n ẩn x
j
; j D 1; : : : ; n:
8
ˆ
ˆ
ˆ

ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:
a
11
x
1
C a
12
x
2
C  C a
1n
x
n
D b
1
a
21
x
1
C a
22
x
2
C  C a

2n
x
n
D b
1
:
:
:
:
:
: 
:
:
:
:
:
:
a
m1
x
1
C a
m2
x
2
C  C a
mn
x
n
D b

1
(2.1)
trong đó a
ij
; b
i
là các hằng số thực, được gọi hệ phương trình tuyến tính.
Nếu ta đặt:
A D
0
B
B
B
@
a
11
a
12
 a
1n
a
21
a
22
 a
2n
:
:
:
:

:
: 
:
:
:
a
m1
a
m2
 a
mn
1
C
C
C
A
IB D
0
B
B
B
@
b
1
b
2
:
:
:
b

m
1
C
C
C
A
IX D
0
B
B
B
@
x
1
x
2
:
:
:
x
n
1
C
C
C
A
Khi đó hệ ?? được viết dưới dạng ma trận AX D B:
Ví dụ 2.1. Viết dạng ma trận
8
ˆ

<
ˆ
:
x
1
 x
2
C 2x
3
C 4x
4
D 4
2x
1
C x
2
C 4x
3
D 3
2x
2
 7x
3
D 5
Trang 20 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
2.2 Hệ Cramer
Định nghĩa 2.2. H ệ phương trình tuyến tính có số p hương trình bằng
số ẩn và định thức ma trận hệ số khác không.
Ví dụ 2.2. Kiểm xem hệ phương trình tuyến tính sau có phải là hệ
Cramer:

8
ˆ
<
ˆ
:
x C 2y C z D 4
x  3y C 6z D 4
5x  y C z D 5
2.2.1 Quy tắc Cramer
Định lý 2.3. Hệ Cramer có nghiệm duy nhất là
x
j
D
jA
j
j
jAj
; j D 1; 2; : : : ; n (2.2)
trong đó A
j
nhận được bằng cách thay cột j của A bằng B:
Ví dụ 2.3. Giải hệ phương trình
8
ˆ
<
ˆ
:
x
1
 2x

2
C x
3
D 5
2x
1
C 3x
2
 2x
3
D 1
x
1
C x
2
C 2x
3
D 1
2.2 Hệ Cramer Trang 21
2.2.2 Biện số nghiệm hệ n phương trình n ẩn
Cho AX D B là hệ n phương trình n ẩn có chứa tham số m: Khi đó:
Trường hợp 1. Nếu jAj ¤ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất.
Trường hợp 2. Nếu jAj D 0 và tồn tại jA
j
j ¤ 0 thì hệ vô nghiệm.
Trường hợp 3. Nếu jAj D 0 và mọi jA
j
j D 0 thì hệ vô nghiệm hoặc có
vô số nghiệm.
Ví dụ 2.4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình

(
.m C 1/x C y D m C 2
x C .m C 1/y D 0
có nghiệm.
Trang 22 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ 2.5. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
8
ˆ
<
ˆ
:
2x C 3y  z D 1
4x C .m C 5/y C .m  3/z D m C 1
8x C 12y C .m  4/z D m C 4