Tìm max, min của biểu thức ba biến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (138.96 KB, 7 trang )
TM GI TR LN NHT , NH NHT P=f(x,y,z) vi x,y,z thuc D
B#i 1
yz zx xy
P
x y z
= + +
− − −
HD
cyc cyc cyc
xy x y x y
z x y
+ +
≤ = =
− +
∑ ∑ ∑
P P x y z= = = = =
B#i 2
yz zx xy
P
x yz y zx z xy
= + +
+ + +
HD
cyc cyc cyc cyc
xy xy xy x y
z xy x y xy x y y x
= = ≤ + =
÷
+ − − + − − − −
∑ ∑ ∑ ∑
P P x y z= = = = =
B#i 3
P
x y y z z x
= + +
+ + + + + + + + +
HD
b c a
x y z
a b c
= = =
cyc cyc cyc cyc
a
x y x y x xy x a b c
= ≤ = =
+ + + + + + + + + +
∑ ∑ ∑ ∑
P P x y z= = = = =
B#i 4
P
x y z
= + +
HD
a b c
x y z
= = =
+ + +
!
a b c
P
x y z b c c a a b
= + + = + + ≥
+ + +
P P x y z= = = = =
B#i 5
x y z
P
y z z x x y
= + +
+ + +
HD
y z a z y b x y c+ = + = + =
!
cyc cyc cyc
a
a
a a a
−
= + − = −
÷
∑ ∑ ∑
" "
a b c a b c
+ + ≥ =
+ +
x y z
P
y z z x x y
= + + ≥
+ + +
P P x y z= = = = =
B#i 6
P
x y z
= + + +
HD
P
x y z
= + + +
x y z
x y z
+ + +
x x x y z x yz+ = + + + ≥
!"##$#!%!&'()$*+,
y x y y z xy z+ = + + + ≥
z x y z z xyz+ = + + + ≥
#
#
xyz
P
xyz
≥ =
#
P P x y z= = = = =
B#i 7
x y z
P
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
HD
cyc cyc cyc cyc
x x
P
x y z x x x
= = = − = −
÷
+ + + + +
∑ ∑ ∑ ∑
" "
x y z x y z
+ + ≥ =
+ + + + + +
x y z
P
x y z x y z x y z
= + + ≤
+ + + + + +
P P x y z= = = = =
B#i 8
x y z+ + =
P x y y z z x= + + + + +
HD
#
cyc cyc
x y x y z
x y
+ + + + +
+ ≤ = =
∑ ∑
P P x y z= = = = =
B#i 9
x y z
P = + + + + +
HD:
# #
x x y z
x x
cyc cyc cyc
P
+ +
= + ≥ = ≥ =
∑ ∑ ∑
#P P x y z= = = = =
B#i 10
P
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
HD
x y z
+ + =
#
cyc cyc
P
x y z x y z x y z
= ≤ + + = + + =
÷ ÷
+ +
∑ ∑
P P x y z= = = = =
B#i 11
P
x y y z z x
= + +
+ + + + + +
HD
x y x y x xy y x y xy xy xy x y+ = + − + ≥ + − = +
x y xy x y xyz xy x y z+ + ≥ + + = + +
z
x y xy x y z x y z
≤ =
+ + + + + +
cyc cyc
z
P
x y x y z
= ≤ ≤
+ + + +
∑ ∑
P P x y z= = = = =
B#i 12:
x y z y x z
P
x y y x y z y z x z z x
= + + + + + + + +
HD
( )
$
cyc cyc cyc
x y xy
P
xy xy
xy
xyz
+ +
= ≥ = ≥ =
∑ ∑ ∑
!"##$#!%!&'()$*+,
MinP P x y z= = = = =
B#i 13%
x y y z z x
P
x y y z z x
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
HD
x y xy x y+ + ≥ + +
( )
x y x y xy x y x y+ + ≥ + + + + + = + +
x y
x y x y
+ +
≤
+ + + +
( ) ( )
cyc cyc
P
x y
x y
≤ =
+ +
+ +
∑ ∑
&'() *!+
P
≤
P P x y z= = = = =
B#i 14
x y y z z x
+ + =
+ + + + + +
P xy yz zx= + +
HD
( ) ( )
z
x y z x y z
x y x y z
+
+ + ≤ + + + + => ≤
+ + + +
#
x y z
x y y z z x x y z
+ + +
= + + ≤
+ + + + + + + +
#x y z x y z+ + ≤ + + +
P xy yz zx= + + ≤
P P x y z= = = = =
B#i 15
x y z x y z xyz≥ + + =
P
x yz x y z xy z x y z xyz x y z
= − + − + −
HD,- .
( )
xy yz zx
P
xyz
− + − + −
=
x y z x y z xyz≥ + + =
/
x y z xyz z z xy+ − = − = − ≥
x y z xyz y y xz− + = − = − ≥
x y z xyz x x zy− + + = − = − ≥
( ) ( ) ( )
x y z x y x y z x z x y z y z
xyz x y z
+ − + + − + + + − + + + +
= + + = + +
cyc cyc
xyz x y z x y z xy xyz xy= + + ≥ + − = −
∑ ∑
( )
xy yz zx
P
xyz
− + − + −
= ≤
P P x y z= = = = =
B#i 16
P x y z
y z x
= + + + + +
÷
÷ ÷
HD,- .
x y z
P x y z
x y z y z x
= + + + + + + + +
÷
+
x y z
y z x
+ + ≥
!"##$#!%!&'()$*+,
" " "
x y z
x y z
+ ≥ + ≥ + ≥
01
2 2 2
2 2 2 #
" "
P
x y z xy yz zx xy yz zx
≥ + + + ≥ + + + ≥ + =
÷ ÷
+ +
#
MinP P x y z= = = = =
B#i 17
x y z
P
x y y z z x
= + +
+ + + + + +
HD
cyc cyc cyc cyc
x x x
P
y
x y x y x y
x
= = ≤ =
+ + + + + +
+
∑ ∑ ∑ ∑
"
#
P
y x z
x z x
≤ ≤
+ + +
P P x y z= = = =
B#i 18
xy yz zx
P
x y y z z x
= + +
+ + + + + +
HD
" "
cyc cyc cyc
xy xy xy xy xy
P xy
x y x y x y
= ≤ + + = +
÷ ÷
+ + + +
∑ ∑ ∑
+
( ) ( )
xy yz zx x y z xy yz zx+ + ≤ + + = => + + ≤
( ) ( )
"
"
xy x y
x y x y xy
x y
+
+ + ≥ => ≤
+
01
" " "
x y y z z x
P
+ + + + +
≤ + =
÷
"
P P x y z= = = = =
B#i 19:
x y y z z x
P
z x y x y z y z x
+ + +
= + +
+ + + + + +
HD :
x y x y xy x y x y x y x y+ = + − + ≥ + − + = +
z x y z x y+ + ≥ + +
cyc cyc
x y x y
P
x y z
z x y
+ +
= ≤ =
+ +
+ +
∑ ∑
P P x y z= = = =
B#i 20 : cho x,y,z
≥
0 , Tim minP ,
x y z
P
y z z x x y
= + +
+ + +
HD
x x
x y z x y z
y z x y z
+ + ≥ + => ≥
+ + +
cyc cyc
x x
P
y z x y z
= ≥ =
+ + +
∑ ∑
MinP P x y z= = = = =
!"##$#!%!&'()$*+,
B#i 21
≥
34 %
( )
( )
P x y y z z x xy x y z= + + + + + + + +
HD
5
⇒
6
78+
t≤ ≤
( )
x y y z z x xy yz zx t+ + ≥ + + =
⇒6
t t t f t+ + − =
9:
t
t
+ −
−
9::
t
−
−
;∀∈
⇒9:<++*=
> >
f t f≥ = −
⇒9? *⇒969∀∈
MinP P x y z= = = = =
B#i 22
x y z
P
y z yz z x zx x y xy
= + +
+ + + + + + + + +
HD
x y z
P
y z z x x y
= + +
+ + + + + +
2 2
x y z
x
y z
+ +
+ + ≥
+ +
2 2
y z x
y
z x
+ +
+ + ≥
+ +
2 2
z x y
z
x y
+ +
+ + ≥
+ +
( )
P x y z xyz≥ + + − ≥ − =
MinP P x y z= = = = =
B#i 23
P xy yz zx= + + + + +
HD
@
( )
P xy yz zx xy yz yz zx zx xy= + + + + + + + + + + + +
( )
cyc
P xy yz≤ + + + =
∑
P xy yz zx= + + + + + ≤
P P x y z= = = = =
B#i 24
P x y z
y z x
= + + + + +
HD
( )
( )
( )
P a b c a b c x y z xyz
x y z
xyz
= + + ≥ + + = + + + + + ≥ +
÷
r r r r r r
5
( )
"
x y z
t xyz t
+ +
= < ≤ =
÷
> P f t f t t f t
t t
≥ = + = − <
!"##$#!%!&'()$*+,A
" 2
"
P f t≥ ≥ + =
2
MinP P x y z= = = = =
B#i 25
yz
x y z
x
+ + =
x y x z x xy xz yz
P
y z y z y z
+ + + + +
= + +
÷ ÷
+ + +
HD
( )
x y z xy+ + =
5
x y x z
a b
y z y z
+ +
= =
+ +
x y x z x y x z
a b ab
y z y z y z y z
+ + + +
+ − = + − =
÷ ÷ ÷ ÷
+ + + +
a b ab a b a b+ = + ≤ + + => + ≤
B
A
P a b ab a b ab a b a b= + + = + + ≤ + + + ≤
AP P x y z= = = = =
B#i 26CDEF
P x y z x y y z z x= + + − + +
HD
[ ]
x y z x y y z z x∈ => − − + − − + − − ≥
x x x y y y z z z≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
x y z x y z x y y z z x=> + + + + + − + + ≤
x y z x y y z z x=> + + − + + ≤
M P P x y z=> = = = = =
B#i 27
x y z
∈
8+
<* <* <*P x y z= + +
HD
x y z
∈
[ ]
<* <* <* x y z ∈ −
B
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
<* <* <* <* <* <* x x y y z z+ − + + − + + − ≤
( ) ( ) ( ) ( )
<* <* <* <* <* <* # x y z x y z+ + − + + − ≤
+ 1
<* <* <* <* x y z xyz+ + = =
<* <* <* #P x y z= + + ≤
#
P P x y z= = = = =
B#i 28
x y z+ + ≤
xy yz zx
P
y z x
+ + +
= + +
HD
( )
"
P x y z x y z
x y z x y z
= + + + + + ≥ + + +
÷
+ +
5
t x y z t= + + < ≤
" "
> P f t t f t
t t
≥ = + = − <
A
#
P ≥ + =
A
MinP P x y z= = = = =
B#i 29#
x y z
P
y z x
= + +
− − −
!"##$#!%!&'()$*+,#
HD5
a x b y c z= − = − = −
!
B
a b c
P
b c a
+ + +
= + +
a b c
b c a a b c
= + + + + +
"
#
a b c
≥ + =
+ +
#MinP P x y z= = = = =
B#i 30
P
x y y z z x
= + +
+ + +
HD
y
x y
x
÷
− − ≥
÷
÷
+
÷
+
xyz y
x y z x x y
+ ≥ +
+ + + +
y
x y z x x y
+ ≥ +
+ + + +
B
P
x y y z z x
= + + ≥
+ + +
P ≥
MinP P x y z= = = = =
B#i 31CDG
x y z
P
x y z
= + +
− − −
HD5
x y z
a b c
x y z
= = =
− − −
B!H!HH!H!!
P a b c a b c ab bc ca a b c a b c= + + = + + − + + = + + − + + −
P a b c= + + − + ≥
!"##$#!%!&'()$*+,$
