Sử dụng công cụ đạo hàm để tìm max, min của biểu thức nhiều biến

GV. Phạm Trọng Thư_THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp.
- 1 -
BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN ĐẶC SAN SỐ 5 TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ
THÁNG 11 NĂM 2012.

Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức chứa nhiều hơn một biến
số là một phần trong cấu trúc ñề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao ñẳng, ñây là loại toán tương
ñối khó có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải ñược học ở chương trình THPT. Trong bài
viết này tác giả trình bày phương pháp ñưa biểu thức chứa nhiều hơn một biến số về biểu thức
theo một biến số mới giả sử theo t và sau ñó sử dụng công cụ ñạo hàm, thiết lập bảng biến thiên
của hàm số
( )
y f t
=
trên tập xác ñịnh của nó, từ ñó suy ra GTLN và GTNN của biểu thức cần
tìm.

SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM
ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN

PHẠM TRỌNG THƯ
(GV THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp)

Thí dụ 1. Xét hai số thực không âm
,

x y
thỏa mãn ñiều kiện
1.
x y

+ =
Tìm GTLN và GTNN của
biểu thức
2 2
(5 4 )(5 4 ) 40 .
A x y y x xy
= + + +

Lời giải.
Ta có
2 2 3 3
25 20( ) 56
A x y x y xy
= + + +


(
)
2 2 3
2 2
2 2
25 20 ( ) 3 ( ) 56
25 20(1 3 ) 56 1)
25 4 20
(do
x y x y xy x y xy
x y xy xy x y
x y xy
= + + − + +
= + − + + =

= − +

Đặt
xy t
=
thì
1
0
4
t
≤ ≤
2
1
0
2 4
do
x y
xy
 
+
 
 
≤ ≤ =
 
 
 
 
. Ta ñược
2
25 4 20

A t t
= − +

Xét hàm số
2
( ) 25 4 20
f t t t
= − +
với
1
0
4
t
≤ ≤
, có
( ) 50 4,
f t t
′
= −

2
( ) 0
25
f t t
′
= ⇔ = ⋅

Bảng biến thiên của hàm số
( )
f t

trên
1
0; :
4

 
 
 

t
0

2
25

1
4

( )
f t
′


−

0

+

( )

f t

20

329
16



496
25

Từ ñó suy ra
496 329
( ) ,
25 16
f t≤ ≤
với
1
0
4
t
≤ ≤ ⋅

Do ñó GTLN của A bằng
329
16
, ñạt ñược khi và chỉ khi
1
1

1
2
4
x y
x y
xy
+ =


⇔ = =

=




GV. Phạm Trọng Thư_THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp.
- 2 -
và GTNN của A bằng
496
25
, ñạt ñược khi và chỉ khi
1
2
25
x y
xy
+ =




=


5 17
10
5 17
10
x
y

+
=


⇔

−

=


hoặc
5 17
10
5 17
10
x
y


−
=


⋅

+

=



Thí dụ 2. Xét ba số thực dương
, ,
.
x y z
Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
2
( )
2
xyz
B x y z
xyz
 
+
= + + ⋅
 
 

Lời giải.
Viết lại biểu thức B dưới dạng
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y z x y z
B
xyz
+ +
= + + + ⋅

với mọi số
, ,

x y z
ta luôn có bất ñẳng thức
2 2 2
x y z xy yz zx
+ + ≥ + +
.
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi
.
x y z
= =

Do ñó
2 2 2
2 2 2
x y z xy yz zx
B
xyz

+ +
≥ + + +

2 2 2
1 1 1
2 2 2
x y z
B
x y z
     
⇒ ≥ + + + + +
     
     
     
(1)
Đẳng thức trong (1) xảy ra khi và chỉ khi
.
x y z
= =

Xét hàm số
2
1
( )
2
t
f t
t
= +
với

0
t
>
, có
2
2
2 2 2
1 3
( 1)
2 4
1 ( 1)( 1)
( )
t t
t t t
f t t
t t t
 
 
− + +
 
 
 
 
− + +
 
′
= − = =

Ta có
( ) 0 1.

f t t
′
= ⇔ =

Bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
trên
(0; ):
+∞

t
0

1

+∞

( )
f t
′


−

0

+

( )

f t

+∞

+∞


3
2

Từ ñó suy ra
3
( ) , 0
2

f t t
≥ ∀ >
, do ñó
9
2
B
≥ ⋅

Vậy GTNN của B bằng
9
2
, ñạt ñược khi và chỉ khi
1.
x y z
= = =

Thí dụ 3. Xét hai số thực
,

x y
thỏa mãn ñiều kiện
1, 1
y
x
≥ ≥
và
3( ) 4 .
x y xy
+ =
Tìm GTLN và
GTNN của biểu thức
3 3
2 2
1 1
3C x y
x y
 
= + + + ⋅
 
 
 

Lời giải.
Đặt
.

x y a
+ =
Khi ñó
3
,
4
2.
a
xy a
= ≥

Do
2
( ) 4 0
x y xy
+ − ≥
nên
2
3 0 3.
a a a
− ≥ ⇒ ≥

Vì
1, 1
y
x
≥ ≥
nên
( 1)( 1) 0
y

x
− − ≥
3
( ) 1 0 1 0 4
4
y y
a
x x a a
⇔ − + + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤

Vậy
3 4.
a
≤ ≤

Ta có
2
3 3 2
1 1 6 9 8 16
( ) 3 ( ) 3
4 3
C x y xy x y a a
x y xy a
 
= + − + + + − = − − +
 
 

GV. Phạm Trọng Thư_THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp.
- 3 -

Xét hàm số
3 2
9 8 16
( )
4 3
f a a a
a
= − − +
với
3 4,
a
≤ ≤
có
2
3 8
( ) 3 0,
2
f a a a
a
 
′
= − + >
 
 

nên hàm số
( )
f a
ñồng biến trên [3; 4] . Suy ra
113 94

(3) ( ) (4) ( )
12 3
f f a f f a
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⋅

Do ñó GTLN của C bằng
94
3
, ñạt ñược khi và chỉ khi
4 3
3 1
x y x
xy y
+ = =
 
⇔
 
= =
 
hoặc
1
3
x
y
=

⋅

=


và GTNN của C bằng
113
12
, ñạt ñược khi và chỉ khi
3
3
9
2
4
x y
x y
xy
+ =


⇔ = = ⋅

=



Thí dụ 4. Xét hai số thực
,

x y
thỏa mãn ñiều kiện
3
( ) 4 2.

x y xy
+ + ≥

Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2 2
3( ) 2( ) (3 4) 2012.
D x y x y xy xy= + − + − − +

Lời giải.
Với mọi số x, y ta luôn có
2
( ) 0
x y
− ≥
hay
2
( ) 4 ,
x y xy
+ ≥
nên từ ñiều kiện
suy ra
3 2 3
( ) ( ) ( ) 4 2
x y x y x y xy
+ + + ≥ + + ≥

3 2
( ) ( ) 2 0
x y x y
⇒

+ + + − ≥

2
[( ) 1][( ) 2( ) 2] 0
x y x y x y
⇒
+ − + + + + ≥
(1)
Do
[ ]
2
2
( ) 2( ) 2 ( ) 1 1 0 ,
,
x y x y x y x y
+ + + + = + + + > ∀
, nên từ (1) suy ra
1.
x y
+ ≥

Ta biến ñổi D như sau:
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
( ) ( ) 2( 2 ) (3 4) 2012
2 2
D x y x y x y xy xy xy= + + + − + + − − +


2 2 2 4 4 2 2 2 2

3 3
( ) ( 2 ) 2( 2 ) (3 4) 2012
2 2
x y x y x y x y xy xy xy= + + + + − + + − − +


2 2 2 4 4 2 2
3 3
( ) ( ) 2( ) 2012
2 2
x y x y x y= + + + − + +
(2)
Do
2 2 2
4 4
( )
2
x y
x y
+
+ ≥
nên từ (2) suy ra
2 2 2 2 2
9
( ) 2( ) 2012
4
D x y x y≥ + − + +

Đặt
2 2

x y t
+ =
thì
1
2
t
≥

2
2 2
( ) 1
2 2
do
x y
x y
 
+
+ ≥ ≥ ⋅
 
 
 

Xét hàm số
2
9
( ) 2 2012
4
f t t t= − +
với
1

2
t
≥
, có
9 1
( ) 2 0
2 2
f t t t
′
= − > ∀ ≥

nên hàm số f(t) ñồng biến trên
1
;
2

 


 
+∞
.
Suy ra
1
;
2
1 32185
( )
2 16

min
t
f t f
∈ +∞
 


 
 
= = ⋅
 
 

Do ñó GTNN của D bằng
32185
16
, ñạt ñược khi và chỉ khi
1
2
x y
= = ⋅

Thí dụ 5. Xét hai số
,

x y
ñều dương thỏa mãn ñiều kiện
2 2 2 2
1 1
x y x y y x

+ = − + −

Tìm GTNN của biểu thức
2 2
2 2
1 1
E x y
x y
= + + + ⋅

Lời giải.
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 ( ) 2 ( )
x y x y y x x y x y
 
+ = − + − ≤ + − +
 

GV. Phạm Trọng Thư_THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp.
- 4 -
(
)
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 2 ( )
x y x y x y
⇒ + ≤ + − +

2 2 2 2 2 2
2 ( ) 0 1.

x y x y x y
⇔ + ≤ − + ⇔ < + ≤

Do
2 2 2 2 2
( ) 4
x y x y
+ ≥
nên từ (1) suy ra

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 4 4
( ) 1 ( ) 1
( )
E x y x y x y
x y x y x y
   
= + + ≥ + + = + + ⋅
   
   
+ +
   

Đặt
2 2
x y t
+ =
thì
0 1

t
< ≤

Xét hàm số
4
( )f t t
t
= +
với
0 1
t
< ≤
, có
2
4
( ) 1 0, (0; 1].

f t t
t
′
= − < ∀ ∈

nên hàm số f(t) nghịch biến trong (0; 1], suy ra
(0; 1]
( ) (1) 5.

min
t
f t f
∈

= =

Do ñó GTNN của E bằng
5
, ñạt ñược khi và chỉ khi
1
2
x y
= = ⋅

Thí dụ 6. Cho
,

x y
là các số thực thay ñổi.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2 2
( 1) ( 1) 2 .
F x y x y y
= − + + + + + −

Lời giải.
Trên mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy, xét các ñiểm
( 1 ; ); (1 ; ).

M x y N x y
− + − +

Ta có
,
OM ON MN

+ ≥
suy ra
2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 4 4 2 1
x y x y y y
− + + + + ≥ + = +

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0.
x
=

Từ ñó suy ra
2
2 1 2
F y y
≥ + + −

Xét hàm số
2
( ) 2 1 2 .
f y y y
= + + −

i
Với
2
y
<
ta có

2
2
2
( ) 2 1 2 , ( ) 1.
1

y
f y y y f y
y
′
= + + − = −
+

( ) 0
f y
′
= ⇔
1
3
y
= ⋅

Bảng biến thiên của hàm số
( )
f y
như sau:
y

−∞

1
3

2

( )
f y
′


−

0

+

( )
f y

+∞

2 5



2 3
+


Suy ra

2
1
min ( ) 2 3.
3
y
f y f
<
 
= = +
 
 

i
Với
2
y
≥
thì
2
( ) 2 1 2 5 2 3.
f y y≥ + ≥ > +

Vậy GTNN của F bằng
2 3
+
, ñạt ñược khi và chỉ khi
1
( ; ) 0;
3

x y
 
= ⋅
 
 







GV. Phạm Trọng Thư_THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp.
- 5 -
Một số bài tập ñề nghị
1) Xét hai số thực dương
,

x y
thỏa mãn ñiều kiện
5
4
x y
+ = ⋅
Tìm GTNN của biểu thức
4 1
4
A
x y
= + ⋅

Đáp số
min 5.
A
=

2) Xét hai số thực
,

x y
khác 0. Tìm GTNN của biểu thức
2 2
2 2
3 8
x y x y
B
y x
y x
 
 
= + − + ⋅
 
 
 
 
 

Đáp số
min 10.
B

= −

3) Xét ba số thực
, ,

x y z
thỏa mãn ñiều kiện
2 2
1.
x xy y
+ + =
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
2 2
.
C x xy y
= − +

Đáp số
1
max 3; min
3

C C
= = ⋅

4) Xét hai số thực
,

x y
thỏa mãn ñiều kiện

2 2
1
x y xy
+ − = ⋅
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
4 4 2 2
.
D x y x y
= + −

Đáp số
3 1
max ; min
2 9
D D
= = ⋅

5) Xét ba số thực dương
, ,
z
x y
thỏa mãn ñiều kiện
3
2
x y z
+ + ≤ ⋅
Tìm GTNN của biểu thức
1 1 1
E x y z
x y z

= + + + + + ⋅

Đáp số
15
min
2
E
= ⋅


6) Xét hai số thực dương
,

x y
thay ñổi thỏa mãn ñiều kiện
1.
x y
+ =
Tìm GTNN của biểu thức
3 3
1 1
F
xy
x y
= + ⋅
+

Đáp số
min 4 2 3
F = +

7) Xét hai số thực
,

x y
thay ñổi thỏa mãn ñiều kiện
1.
x y
+ =
Tìm GTLN của biểu thức
3 3
( 1)( 1).
G x y
= + +

Đáp số
max 4.
G
=

8) Cho hai số thực
,

x y
khác 0 thay ñổi thỏa mãn ñiều kiện
2 2
( ) .
x y xy x y xy
+ = + −
Tìm GTLN

của biểu thức
3 3
1 1
H
x y
= + ⋅

Đáp số
max 16.
H
=

9) Xét ba số thực không âm
, ,
z
x y
thỏa mãn ñiều kiện
2 2 2
3.
x y z
+ + =
Tìm GTLN của biểu
thức
5
I xy yz zx
x y z
= + + + ⋅
+ +

Đáp số

14
max .
3
I =

10) Xét hai số thực
,

x y
thỏa mãn ñiều kiện
2 2
2.
x y
+ =
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
3 3
2( ) 3 .
J x y xy
= + −

Đáp số
13
max ; min 7.
2

J J
= = −

GV. Phạm Trọng Thư_THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp.
- 6 -

11) Xét hai số thực
,

x y
thỏa mãn ñiều kiện
2 2
2( ) 1.
x y xy
+ = +
Tìm GTLN và GTNN của biểu
thức
4 4
2 1
x y
K
xy
+
= ⋅
+

Đáp số
1 2
max ; min
4 15

K K
= = ⋅

12) Xét ba số thực dương
, ,

x y z
thỏa mãn ñiều kiện
3
2
x y z
+ + ≤ ⋅
Tìm GTNN của biểu thức
4 4 4
1 1 1x y z
L x y z
y yz z zx x xy
   
 
= + + + + + ⋅
   
 
 
   

Đáp số
195
min
16
L
= ⋅