Tìm hiểu một số nhóm quay trong không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
Nguyễn Thị Tuyến
TÌM HIỂU MỘT SỐ NHÓM QUAY
TRONG KHÔNG GIAN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Vật lý lý thuyết
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Huy Thảo
Hà Nội - 2015
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các th ầy cô giáo trong khoa Vật lý, thầy cô trong tổ Vật lý lý
thuyết đã giúp đỡ và tạo điều kiện để hoàn thành khóa luận này.
Đặc biệ t xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS.Nguyễn Huy Thảo trực tiếp
hướng dẫn và định hướng cho tôi trong suốt quá trình làm khóa luận.
Mặc dù đã cố gắng song thời gian có hạn và kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên
khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn.
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Nguyễn Thị Tuyến
2
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu trên cơ sở
hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của khóa luận không trùng lặp với kết quả của các đề tài
khác.
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Nguyễn Thị Tuyến
3

Mục lục
Lời giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Chương 1. Đại cương về nhóm và biểu diễn nhóm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Đại cương về nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Khái niệm về nhóm và một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Nhó m con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. Bổ đề sắp xếp và nhóm đối xứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Biểu biễn nhóm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Khái niệm về biểu biễn nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Biểu biễn bất khả quy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 2. Một số nhóm quay trong kh ông gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Nhóm SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1. Nhó m quay SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2. Hàm của SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3. Biểu diễn bất khả quy của SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4. Phép đo tích phân bất biến, hệ trực chuẩn đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.5. Nhó m tịnh tiến liên tục một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.6. Véc tơ liên hợp cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Nhóm SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1. Sự mô tả nhóm SO(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2. Nhó m con một tham số, hàm, và đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3. Biểu diễn bất khả quy đại số Lie của SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.4. Tính chất của ma trận quay D
J
(α, β, γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.5. Ứng dụng vào một hạt trong trường thế năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.6. Sự biến đổi tính chất của hàm sóng và các toán tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4
2.2.7. Biểu diễn tích trực tiếp và tối giản của chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.8. Tenso bất khả quy và định lý Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
i
LỜI GIỚI THIỆU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là ngành khoa học phục vụ hữu ích cho sự phát triển của tất cả các
ngành khoa học, trong đó có vật lý học. Để phản ánh được bản chất của các hiện
tượng vật lý, tìm ra các quy luật mới, tổng quát hơn các quy luật đã biết và những
định luật định lượng ta cần phải sử dụng các p hương pháp toán học.
Hiện nay, với sự phát triển của vật lý lý thuyết hiện đại, các phép biến đổi không
gian rất thường gặp trong nhiều lĩnh vực vật lý lượng tử, vật lý hạt nhân, vật lý
nguyên tử, vật lý hạt sơ cấp. Bên cạnh đó là sự xuất hiện của các thuật ngữ phép
quay, nhóm quay khi tìm hiểu các phép quay trong không gian quanh trục tọa
độ tạo thành các nhóm quay. Lý thuyết nhóm sẽ cung cấp ngôn ngữ toán học khi
nghiên cứu vấn đề này.
Để tìm hiểu vai trò quan trọng của nhóm quay trong vật lý, đặ c biệt là vật lý hạt
nhân và vật lý phân tử khi xét đến phần tử vật chất cũng như bước đầ u làm quen
với một số vấn đề cơ bản của lý thuyết nhóm tôi chọn đề tài " Một số nhóm quay
trong không gian".
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các vấn đề cơ bản của lý thuyết nhóm.
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số nhóm quay trong không gian.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đưa ra cơ sở lý thuyết của biểu d iễn nhóm.
Nêu một số bài toán ứng dụng của nhóm quay trong không gian.
5. Phươn g pháp nghiên cứu
Phương pháp vật lý lý tuyết và vật lý toán.
iii
Chương 1

Đại cương về nhóm và biểu diễn nhóm
1.1. Đại cương về nhóm
1.1.1. Khái niệm về nhóm và một số ví dụ
Định nghĩa nhóm
Một tập hợp {G : a, b, c . . . } được gọi là tạo thành một nhóm nếu có một toán tử là
phép nhân nhóm thỏa mãn những điều kiện sau:
• Nếu a, b ∈ G thì a.b ∈ G;
• Quan hệ kết hợp: a.(b.c) = (a.b).c với mọi a,b,c∈ G;
• Trong các phần tử của G, có một phần tử e gọi là phần tử đơn vị a.e = a với mọi
a∈ G;
• Với mỗi a∈ G có một phần tử a
−1
∈ G, gọi là nghịch đảo của a, sao cho a.a
−1
= e.
Ví dụ 1: Nhóm đơn giản nhất chỉ gồm một phần tử, phần tử đơn vị e. Phần tử nghịch
đảo của e là e và quy tắc nhân nhóm là e.e = e. Dễ thấy tất cả những điều kiện là một
nhóm đều thỏa mãn. Số 1 với phép nhân thông thường tạo thành một nhóm mà ta biểu
thị bằng C
1
.
Ví dụ 2: Nhóm đơn giản tiếp theo có hai phần tử, trong đó phải có một phần tử đơn vị;
ta kí hiệu {e, a}. Ta phải có e.e = e và e.a = a.e = a. Vậy chỉ còn a.a phải theo lý thuyết,
a.a = e hay a.a = a? Khả năng thứ ha i là không thể vì sẽ dẫn đến a = e, điều này là
sai. Quy tắc nhân có thể được tổng kết ngắn gọn trong một bả ng nhân nhóm 1.1. Nhóm
này được kí hiệu là C
2
. Nhóm C
2
xuất hiện trong tất cả các ngành nghiên cứu của vật lý

và toán. Ví dụ sự đổi chỗ của hai vật với nhau cùng với phần tử đơn vị tạo thành nhóm
hoán vị phần tử. Ngoài ra phép nghịch đảo không gian biến x → −x cùng với phần tử
đơn vị cũng tạo thành một nhóm.
e a
e e a
a a e
Bảng 1.1: Bảng nhân của nhóm C
2
Ví dụ 3: Có một và chỉ một nhóm ba phần tử gọi là C
3
. Bảng phân nhóm được đưa ra
ở bảng 1.2. Vì a
−1
= b, ta có thể kí hiệu ba phần tử bởi {e, a, a
−1
} với điều kiện a
3
= e.
Những ví dụ cụ thể của nhóm C
3
:
(i) Các số (1, e
i2π/3
, e
−i2π/3
) với quy tắc nhân thông thường.
(ii) Toán tử đối xứng của tam giác đều trong mặt phẳng quay những góc 0, 2π/3 và
4π/3.
e a b
a b e

b e a
Bảng 1.2: Bảng nhân của nhóm C
3
Nhóm abelian
Một nhóm G được gọi là nhóm abelian nếu phép nhân nhóm l à giao hoán a.b =
b.a∀a, b ∈ G.
Bậc của nhóm
Bậc của một nhóm là số các phần tử của nhóm ( nếu nó là hữu hạn).
Ví dụ 4: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất có bậc là bốn thường gọi là nhóm bốn
2
hay nhóm nhị diện và được kí hiệu D
2
. Nếu kí hiệu bốn phần tử bởi {e, a, b, c} thì bảng
nhân nhóm được đưa ra ở bảng 1.3.
e a b c
a e c b
b c e a
c b a e
Bảng 1.3: Bảng nhân nhóm của D
2
1.1.2. Nhóm con
Một tập hợp con H của một nhóm G cũng làm thành một nhóm (t heo định nghĩa)
cùng với quy tắc nhân với nhóm G gọi là nhóm con của G.
Ví dụ 1: Nhóm D
2
có ba nhóm con riêng biệt {e, a}, {e, b} ,{e, c}. Bình phương của a
trong trường hợp này bằng e. Do đó{e, a} ≡ C
2
và hai tập hợp còn lại cũng vậy.
Ví dụ 2: Nhóm S

3
có bốn nhóm con riêng biệt bao gồm:{e, (12)},{e, (23)},{e, (31)} và
{ e, (123), (321)}. Ba nhóm đầu giống hệt nhóm C
2
, nhóm còn lại giống với nhóm C
3
.
1.1.3. Bổ đề sắp xếp và nhóm đối xứng
Bổ đề: Nếu p, b, c ∈ G, và pb = bc, thì b = c.
Chứng minh:
Nhân cả hai vế của phương trình với p
−1
, ta thu được kết quả b = c. Kết quả này có
ý nghĩa: nếu b và c là các p hần tử khác nhau của G thì pb và pc cũng khác nhau. Do đó,
nếu tất cả các phần tử của G được sắp xếp trong một dãy và được nhân vào bên trái bởi
một phần tử p, thì dãy thu đư ợc chỉ là sự sắp xếp lại của dãy gốc. Tấ t nhiên, áp dụng
được phép nhân vào vế phải.
Xét trường hợp của nhóm hữu hạn bậc n, kí hiệu các phần tử của nhóm {g
1
, g
2
, . . . , g
n
}.
Phép nhân từng phần tử với một phần tử cố định h ta có kết quả:
{ hg
1
, hg
2
, . . . , hg

n
} = {g
h
1
, g
h
2
, . . . , g
h
n
}
3
trong đó (h
1
, h
2
, . . . , h
n
) là sự hoán vị các số (1, 2, . . . , n) được xác định bởi h. Do đó,
ta tìm mối liên hệ hiển nhiên giữa một nhóm phần tử h ∈ G, nhóm hoán vị biểu diễn
(h
1
, h
2
, . . . , h
n
). Nói cách khác, các phần của G được kí hiệu bởi {g
h
i
, i = 1, 2, . . . , n},

h
g
i
là một phần tử của G được xác định từ quy tắc nhân nhóm. Đặt h
i
là chỉ số nguyên
của phần tử đặc biệt này thì g
h
i
= h
g
i
. Điều này xác định dãy số (h
1
, h
2
, . . . , h
n
). Theo
bổ đề sự sắp xếp, g
h
i
, h
g
i
là riêng biệt nếu i, j riêng biệt. Theo đó, tất cả các số trong
(h
1
, h
2

, . . . , h
n
) là riêng biệt. Do đó các số này chỉ là hoán vị của (1, 2, . . . , n).
Với sự hoán vị của n phần tử kí hiệu bởi:
p =

1 2 3 . . . n
p
1
p
2
p
3
. . . p
n

trong đó mỗi phần tử trong hàng thứ nhất được thay thế bởi một ph ầ n tử tương ứng
trong hàng thứ hai. Tập hợp n! phép hoán vị của n phần tử tạo thành một nhóm S
n
gọi
là nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng. Phần tử đơn vị :
e =

1 2 . . . n
1 2 . . . n

Phần tử nghịch đảo:
g
−1
=


p
1
p
2
. . . p
n
1 2 . . . n

Bậc của nhóm là n!
Định nghĩa đẳng cấu
Hai nhóm G và G
′
được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại sự tương ứng một - một giữa
các phần tử của chúng mà ở đó bảo toàn quy tắc nhân nhóm. Hay nói cách khác, nếu
g
i
∈ G ↔ g
′
i
∈ G
′
và g
1
g
2
= g
3
∈ G thì g
′

1
g
′
2
= g
′
3
∈ G
′
.
1.2. Biểu b iễn nhóm
1.2.1. Khái niệm về biểu biễn nhóm
Biểu biễn
4
Nếu có một đồng cấu từ nhóm G tới một nhóm của toán tử U(G) trên không gian
tuyến tính V, ta nói rằng U(G) tạo thành một biểu biễn của nhóm G. Số chiều của biểu
biễn là số chiều của không gian vector. Một biểu biễn được gọi là khớp nếu đẳng cấu
cũng là đồng cấu. Một biểu biễn suy biến là biểu biễn mà không khớp.
Xét một cách rõ ràng hơn, biểu biễn là một ánh xạ:
g ∈ G
U
−→ U(g)
trong đó U(g) là một toán tử trên V, sao cho:
U(g
1
)U(g
2
) = U(g
1
g

2
)
tức là các toán tử thỏa mãn các q uy tắc nhân giống như các phần tử của nhóm.
Xét trường hợp của một nhóm hữ u hạn chiều. Chọn một tập hợp các vector cơ sở
{

e
i
, i = 1, 2, . . . , n} trên V. C ác toán tử U(g) sau đó được hiểu như là các ma trận
D(g)n × n như sau:
U(g)|e
i
>= |e
j
> D(g)
j
i
, g ∈ G.
Nhắc nhở:
(i) Chỉ số j được lấy từ 1→ n;
(ii) Đối với ma trận D(g), chỉ số đầu tiên (j) là chỉ số hàng và chỉ số thứ hai (i) là chỉ số
cột. Chúng ta hãy kiểm tra đặc điểm cơ bả n của các toán tử biểu biễn, phương trình có
thể được trình bày trong hệ ma trận {D(g); g ∈ G}.
Cho các toán tử ở cả 2 vế phương trình tác dụng lên các vector cơ sở, ta thu được:
U(g
1
)U(g
2
)|e
i

> = U(g
1
)|e
j
> D(g
2
)
j
i
= |e
k
> D(g
1
)
k
j
D(g
2
)
j
i
= U(g
1
g
2
)|e
i
>= |e
k
> D(g

1
g
2
)
k
i
Vì {e
i
}tạo thành một cơ sơ, ta kết luận:
D(g
1
)D(g
2
) = D(g
1
g
2
)
trong đó ứng dụng phép nhân ma trận, vì D(G) = {D(g), g ∈ G} thỏa mãn cùng một
biểu thức đại số như đối với U(G), nhóm ma trận D(G) tạo thành một ma trận biểu
5
diễn của G.
Ví dụ: Có một biểu diễn tầm thường một chiều đối với mọi nhóm G:
Cho V = C (trường số phức) và U(g) = 1∀g ∈ G. Rõ ràng U(g
1
)U(g
2
) = 1.1 = 1 =
U(g
1

g
2
), do đó g ∈ G → 1 tạo thành một biểu diễn.
Phép biểu diễn nhóm
Cho một không gian tuyến tính n chều V
n
và một nhóm D các phép biến đổi nào đó
trong không gian đó. Lại cho một nhóm G nào đó. Phép đồng cấu:
G → D
gọi là một p hép biểu diễn của nhóm G trong không gian V
n
. Ta gọi V
n
là không gian
biểu diễn, n là chiều biểu diễn; gọi là phép biểu diễn tuyến tính, nếu D là nhóm biến
đổi tuyến tính (hay nhóm ma trận). Trái lại, biểu diễn gọi là phi tuyến tính.
Theo định nghĩa, ta có:
D(gh) = D(g)D(h), g, h ∈ G, D(g), D(h), ∈ D,
D(e) = 1,
D(g
−1
) = [D(g)]
−1
.
Phép biểu diễn đơn vị
Phép biểu diễn đơn vị là phép biểu diễn đặc biệt khi:D(g) ≡ 1∀g ∈ G.
1.2.2. Biểu biễn bất khả quy
Biểu diễn tương đ ương
Hai biểu diễn của một nhóm G đ ược liên hệ với nhau bởi một biểu diễn đồng dạng,
được gọi là biểu diễn tương đương.

Các biểu diễn tương đương hợp thành một lớp tương đương.Trong sự liệt kê các biểu
diễn khả dĩ của một nhóm ta chỉ cần đề cập đến những biểu diễn tương đương với
chính biểu diễn đó.
Với một phép biến đổi đồng dạng theo trạng thái, biến đổi là khả nghịch (trạng thái
mới giống như trạng thái cũ) ta luôn luôn có thể tạo ra một biểu diễn mới có dạng:
D(g) → D
′
= S
−1
D(g)S
S là ma trận khả nghịch
Vì S là biểu diễn đồng dạng, tập hợp toán tử mới có quy tắc nhân giống tập hợp toán
6
tử cũ, vì vậy D
′
là biểu diễn nếu D là biểu diễn. D
′
và D là hai biểu diễn tương đương
vì chúng chỉ khác nhau ở cách chọn cơ sở tầm thường.
Đặc biểu của một biểu biễn
Đặc biểu χ(g) của g ∈ G trong một biểu diễn U(G) được xác định là χ(g) = TrU(G)
(Tr = Trace); nghĩa là lấy tổng của các phần tử trên đường chéo chính của ma trận. Nếu
D(g) là một ma trận biểu biễn biểu biễn của U(g), thì χ(g) =
∑
i
D(g)
j
i
.
Tất cả các phần tử của trong một lớp cho trước của nhóm G có cùng đặc biểu, bởi vì

TrD(p)D(g)D(p
−1
) = TrD(g).
Định nghĩa không gian con bất biến
Cho U(G) là một biểu biễn của G trên không gian vector V, V
1
là một không gian
con của V sao cho U(g)x| >∈ V
1
với mọi x ∈ V
1
và g ∈ G thì V
1
là không gian con bất
biến của V đối với U(g).
Một không gian con bất biến là riêng nếu nó không chứa bất kì một không gian con bất
biến không tầm thường nào đối với U(g).
Ví dụ không gian con bất biến tầm thường của V đối với U(g) là:
(i) chính không gian V,
(ii) không gian con chỉ chứa vector không.
Định nghĩa tổng trực tiếp
Cho U(G) là một biểu diễn của nhóm G trên không gian vecto V
n
. Với một sự chọn
vecto cơ sở trên V
n
nào đó sao cho ma trận biểu diễn của U(G) có dạng:
D(g) =

D

1
(g) 0
0 D
2
(g)

với mọi g ∈ G, trong đó D
1
(g) là ma trận vuông m × m; D
(
g) là ma trận vuông
(n − m) × (n − m) và hai
′′
O
′′
là ma trận chữ nhật cấp m × (n − m) và (n − m) × n,
thì D(g) là tổng trực tiếp của D
1
(g) và D
2
(g). Kí hiệu:
D(g) = D
1
(g) ⊕ D
2
(g)
Do đó:
D(g)D(g
′
) =


D
1
(g)D(g
′
) 0
0 D
2
(g)D
2
(g
′
)

với mọi g, g
′
∈ G. D(G) không bao hàm
một phần tử mới nào khác ngoài D
1
(g) và D
2
(g). Trong thực hành, tổng trự c tiếp có thể
7
không nhận dạng được ngay lập tức như trên, vì dạng chéo khối của ma trận biểu diễn
có thể bị che khuất bởi biến đ ổi đồng dạng như kết quả từ việc sử dụng một cơ sở khác.
Định nghĩa biểu biễn bất khả quy
Cho U(G) là một biểu diễn của G trên không gian vector V. U(G) là bất khả quy
nếu V không chứa một không gian con bất biến tầm thường nào với U(G). Ngược lại
là biểu diễn khả quy.
Trong trường hợp thứ hai, nếu phần bù trực giao của V

1
bao gồm các vector trực giao
với mọi vector trong V
1
. Đối với không gian vector hữu hạn chiều, nhỏ nhất, phần bù
trực giao của V
1
cũng tạo thành một không gian con gọi là V
2
và ta có: V = V
1
⊕V
2
Một biểu diễn là hoàn toàn khả quy nếu nó tương đương với một biểu diễn mà các
ma trận phân tử có dạng:




D(g) 0 . . .
0 D(g) . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.





,
trong đó D
j
(g) là bất khả quy với ∀j(j = 1, 2, 3, . . . ). Đây gọi là d ạng chéo khối.
Một biểu biễn dưới dạng chéo khối là tổng trực tiếp của các biểu biễn con D(g), kí hiệu:
D
1
⊕ D
2
⊕ . . .
Trong việc biến đổi một biểu biễn dưới dạng chéo khối, ta sẽ phân tích biểu diễn gốc
thành tổng trực tiếp của các thành phần bất khả quy. Vậy có thể định nghĩa khác về
biểu diễn bất khả quy như sau:
"Một biểu biễn hoàn toàn khả quy nếu nó có thể phân tích được thành tổng trực tiếp
của các biểu biễn bất khả quy. Người ta chỉ ra rằng bất kì biểu biễn của một nhóm hữu
hạn nào cũng hoàn toàn khả quy".
8
Chương 2
Một số nhóm quay trong không gian
2.1. Nhóm SO(2)
2.1.1. Nhóm quay SO(2)
Xét phép quay trong mặt phẳng của một hệ đối xứng quanh điểm O cố định với các
vector đơn vị trực giao trong hệ tọa độ Đề - các với góc quay φ kí hiệu R(φ) (hình 1.1),
ta có:
R(φ)
ˆ

e
1
=
ˆ
e
1
cosφ +
ˆ
e
1
sinφ
R(φ)
ˆ
e
2
= −
ˆ
e
1
sinφ +
ˆ
e
2
cosφ
hay
R(φ)
ˆ
e
i
=

ˆ
e
j
R(φ)
j
i
với ma trận R(φ)
j
i
cho bởi:
R(φ) =

cosφ −sinφ
sinφ cosφ

(2.1)
9
Hình 2.1: Phép quay trong mặt phẳ ng
Cho x là một vector tùy ý trong mặt phẳng với các phần tử (x
1
, x
2
) đối với cơ sở {
ˆ
e
i
}
sao cho x =
ˆ
e

i
x
i
. Sau đó x biến đổi dưới phép quay R(φ) theo:
x → x
′
≡ R(φ)x = R(φ)
ˆ
e
i
x
i
=
ˆ
e
j
R(φ)
j
i
x
i
Khi x
′
≡
ˆ
e
j
x
′j
, ta thu được:

x
′j
= R(φ)
j
i
x
i
Về mặt hình học, rõ ràng chiều dà i của các vector không đổi dưới phép quay, tức là
|x|
2
= x
i
x
i
= |x
′
|
2
= x
′
i
x
′i
. Từ phương trình trên suy ra điều kiện của ma trận quay:
R(φ)R
T
(φ) = E
với mọi φ, trong đó, R
T
là ma trận chuyển vị của ma trận R, E là ma trận đơn vị. Các

ma trận thực thỏa mãn điều kiện trên được gọi là các ma trận trực giao. Dễ thấy R(φ)
cho bởi (2.1) thỏa mãn phương trình này và (detR(φ))
2
= 1 hay detR(φ) = ±1. Rõ ràng
công thức R(φ) biểu diễn tất cả các phép quay liên tục trong mặt phẳng nên ta phải có
điều kiện chặt chẽ hơn:
detR(φ) = 1
với mọi φ.
Ma trận thỏa mãn điều kiện định thức này được gọi là đặc biệt. Do đó ma trận quay
là trực giao đặc biệt hạng 2 và kí hiệu là ma trận SO(2).
Định lý 2.1.1:
Có sự tương ứng một - một giữa phép quay trong mặt phẳng và ma trận SO(2).
Áp dụng lần lượt hai toán tử quay cho kết quả tương đương một phép quay. Về mặt
10
hình học, nó rõ ràng l à luật hợp thành:
R(φ
2
)R(φ
1
) = R(φ
2
+ φ
1
)
Nếu φ
1
+ φ
2
nằm ngoài khoảng (0, 2π) t hì,
R(φ) = R(φ ±2π) (2.2)

Định lý 2.1.2 (Nhóm quay ha i chiều):
Với luật nhân và với đ ịnh nghĩa R(φ = 0) = E, R(φ)
−1
= R(−φ) = R(2π − φ), các
phép quay ha i chiều {R(φ)} tạo thành một nhóm gọi là R
2
hay nhóm SO(2).
Các phầ n tử của SO(2) kí hiệu bởi các biến thực liên tục φ nằm trong miền 0 ≤ φ <
2π tương ứng với tất cả các điểm trên vòng tròn đơn vị, xác định không gian tôpô của
tham số nhóm không gian (hình 2.2). Tham số này không phải duy nhất, nên bất kì
hàm đ ơn điệu ξ(φ) của φ với miền xác định trên có thể kí hiệu thay thế cho các phần tử
nhóm. Cấu trúc của nhóm và biểu diễ n của nó không bị ảnh hưởng bởi các kí hiệu này.
Hình 2.2: Nhóm SO(2) đa tạp
11
Lưu ý rằng: R(φ
1
)R(φ
2
) = R(φ
2
)R(φ
1
) với mọi φ
1
, φ
2
. Vì vậy, nhóm SO(2) là
abelian.
2.1.2. Hàm của SO(2)
Mặc dù có vô số phần tử trong nhóm SO(2), cấu trúc của nó hầ u như được xác định

bởi quy tắc nhân nhóm và yêu cầu về tính liên tục. Các phân tích đơn giản sau đây hình
thành nền tảng của lý thuyết nhóm Lie.
Xét phép quay với góc quay dφ vô cùng nhỏ, ta có:
R(dφ) ≡ E − idφJ,
trong đó phần tử (−i) được quy ước để thuận tiện về sau, J độc lập đối với phép quay
góc dφ.
Tiếp theo, xét phép quay R(φ + dφ) có thể biểu thị theo ha i cách:
R(φ + dφ) = R(φ)R(dφ) = R(φ) −idφR(φ)J
R(φ + dφ) = R(φ) + d(φ)
dR(φ)
dφ
So sánh hai phương trình trên, thu được phương trình vi phân:
dR(φ)
dφ
= −iR(φ)J
Tất nhiên cũng có điều kiện biên R(0) = E. Để nghiệm của phương trình này là duy
nhất, nó có dạng như trong trong định lí sau.
Định lý 2.1.3 (Hàm của SO(2)):
Tất cả các phép quay hai chiề u có thể được biểu thị theo toán tử J:
R(φ) = e
−iφJ
J gọi là hàm của nhóm.
Mà
R(dφ) =

1 −dφ
dφ 1

12
Nên,

J =

0 −i
i 0

Vậy J là ma trận Hermite, ta có J
2
= 1, J
3
= J, . . . ,
e
−iφJ
= E − iJφ − Eφ
2
/2! −iJ(−φ/3!) + . . .
= Ecosφ −iJsinφ =

cosφ −sinφ
sinφ cosφ

2.1.3. Biểu diễn bất khả quy của SO(2)
Xét phép biểu diễn bất kì của SO(2) xác định trên không gian vector vô số chiều V.
Cho U(φ) là toán tử trên V tương ứng với R(φ), ta phải có U(φ
2
)U(φ
1
) = U(φ
2
+ φ
1

) =
U(φ
1
)U(φ
2
) với U(φ) = U(φ ±2π). Với phép biế n đổi vô cùng nhỏ, ta xác định toán tử
tương ứng với hàm J:
U(dφ) = E − idφJ
Lặp lại lập luận như trên, ta có:
U(φ) = e
−iφJ
(2.3)
là phương trình toán tử trên V. Nếu U(φ) là toán tử Unita với mọi φ, J phải Hermite.
Vì SO(2) là một nhóm abelian, nên tất cả các biểu diễn bất khả quy của nó là một chiều.
Điều này có nghĩa rằng với bất kì vector |α > trong m ột không gian con bất biến cực
tiểu dưới SO(2), ta có:
J|α >= |α > α
U(φ)| α >= |α > e
−iφα
trong đó α là số thực chọn trùng với trị riêng của toán tử Hermite J. Dễ thấy, phương
trình thứ hai thỏa mãn quy tắc nhân nhóm với α bất kì. Tuy nhiên để thỏa mãn (2.2)
phải có đi ều kiện đặt trên trị riêng α. Thậy vậy, ta phải có e
±i2πα
= 1, điều này kéo theo
α là số nguyên, kí hiệu là m, phép biểu diễn tương ứng là U
m
:
J|m > = |m > m
U
m

(φ)|m > = |m > e
−imφ
13
(i) Khi m = 0, R(φ) → U
0
(φ) = 1. Đây là biểu diễn đơn vị.
(ii) Khi m = 1, R(φ) → U
1
(φ) = e
−iφ
. Đây là một đẳng cấu giữa các phần tử nhóm
SO(2) và các số trên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng số phức. Như miền R(φ) trên
không gian nhóm U
1
(φ) bao phủ một lần vòng tròn đơn vị theo chiều kim đồng hồ.
(iii) Khi m = −1, R(φ) → U
−
1(φ) = e
iφ
, cũng giống như trên, ngoại trừ vòng tròn đơn
vị được bao phủ một lần theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.
(iv) Khi m = ±2, R(φ) → U
∓2
(φ) = e
±i2π
. Đây là ánh xạ của tham số không gian nhóm
trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳn g số phức được phủ theo 2 hướng ngược nhau.
Định lý 2.1.4 (Biểu diễn bất khả quy của SO(2)):
Biểu diễn bất khả quy của SO(2) cho bởi giá trị J = m, trong đ ó m là số nguyên tùy
ý và:

U
m
(φ) = e
−imφ
Phương trình xác định đối với R(φ) là một biểu diễn hai chiều của nhóm, nó phải
khả q uy. Thật vậy, nó tương đương với tổng trực tiếp của các biểu diễn m = ±1. Để
thấy điều này, ta chú ý rằng phương trình (2.3) thỏa mãn đường chéo ma trận tương
ứng hàm.
J =

0 −i
i 0

Rõ ràng, J có hai trị riêng ±1 tương ứng với các vector riêng:
ˆ
e
±
= (∓
ˆ
e
1
−i
ˆ
e
2
)/
√
2.
Vậy đối với cơ sở mới,
J

ˆ
e
±
= ±
ˆ
e
±
R(φ)
ˆ
e
±
=
ˆ
e
±
e
∓iφ
2.1.4. Phép đo tích phân bất biến, hệ trực chuẩn đủ
Công thức của hệ trực chuẩn đủ đối với hàm biểu diễn U
m
(φ) tương tự như nhóm
hữu hạn và nhóm tịnh tiến rời rạc nhưng phải có điều kiện để thay thế φ cho kí hiệu
phần tử, m cho kí hiệu biểu diễn và U
m
(φ) cho nhóm biểu diễn. Tuy nhiên, φ là biến
liên tục nên phép cộng các phần tử của nhóm phải đ ược thay bởi tích phân và p hép đo
14
tích phân phải được xác định. Nhớ lại rằng phép quay góc φ tham số này không phải
là d uy nhất để kí hiệu cho các phần tử của nhóm. Bất kì hàm ξ(φ) đơn điệu trong miền
0 ≤ φ < 2π cũng là kí hiệu thỏa mãn. Nhưng với hàm f tùy ý,


dξ f [R(ξ)] =

dφξ
′
(φ) f [R(φ)] =

dφ f [R(φ)]
Bởi vậy ta định nghĩa một tích phân rõ ràng của f ,

dτ
R
f [R] =

dτ
R
f [S
−1
R] =

dτ
SR
f [R]
trong đó f [R] là hàm các phần tử của nhóm, S là một phần tử tùy ý của nhóm. Nếu các
phần tử kí kiệu bởi tham số ξ, thì
dτ
R
= ρ
R
(ξ)dξ

với ρ
R
(ξ) địn h nghĩa hàm khối lượng.
Định nghĩa (Phép đo tích phân bất biến):
Một tham số R(ξ) trong không gian nhóm kết hợp với một hàm khối lượng ρ
R
(ξ)
cho một tích phân bất biến.
Do dτ
R
= dτ
SR
nên điều kiện trên hàm khối lượng,
ρ
R
(ξ)
ρ
SR
(ξ)
=
dξ
SR
dξ
R
Điều kiện này thỏa mãn nếu định nghĩa:
ρ
R
(ξ) =
dξ
E

dξ
R
trong đó ξ
E
là tham số nhóm của phần tử đơn vị E và ξ
E
= ξ
ER
là tham số tương ứng
R. Trong vế phải của phương trình trên, R coi như cố định; sự phụ thuộc của ξ
ER
vào
ξ
E
được xác định bởi quy tắc nhân nhóm.
Trường hợp đơn giản nhất khi ξ
ER
là tuyến tính trên ξ
E
, tức là ξ = φ. Theo quy tắc nhân
nhóm, ta có:
φ
ER
= φ
E
+ φ
R
ρ
R
=


dφ
E
dφ
ER

R
= 1
15
Định lý 2.1.5 (Phép đo tích p h â n bất biến của SO(2))
Phép quay góc φ và phép đo thể tích dτ
R
= dφ cho phép đo tích phân bất biến trên
không gian nhóm SO(2).
Nếu ξ là tham số tổng quát của phần tử nhóm thì
dτ
R
= ρ
R
(ξ)dξ = ρ
R
(φ)dφ = dφ
Bởi vậy,
dτ
R
=
dφ
dξ
Định lý 2.1.6
Hàm biểu biễn U

n
(φ) đối với nhóm SO(2) thảo mãn hệ thức trực chuẩn, đủ:
1
2π

2π
0
dφU
+
n
(φ)U
m
(φ) = δ
m
n
∑
n
U
n
(φ)U
+
n
(φ
′
) = δ(φ −φ
′
)
2.1.5. Nhóm tịnh tiến liên tục một chiều
Phép quay trong mặt phẳng hai chiều (bởi góc φ) được hiểu như là sự dịch chuyển
của cung có chiều dài φ trên vòng tròn đơn vị. Thực tế sự tương tự này được kể đến

trong dạng của hàm biểu diễn bất khả quy U
n
(φ) = e
−inφ
. Bây giờ ta mở rộng việc xem
xét trên nhóm tịnh tiến liên tục một chiều, kí hiệu T
1
.
Cho trục tọa độ x của không gian một chiều, một phần tử bất kì của nhóm T
1
tuơng
ứng phép tịnh tiến với khoảng cách x, kí hiệu là T(x). Xét trạng thái |x
0
> của một hạt
nằm ở vị trí x
0
, tác động của T(x) lên | x| > là:
T(x)|x
0
>≡ |x + x
0
>
Dễ thấy T(x) có các tính chất:
T(x
1
)T(x
1
) = T(x
1
+ x

2
)
T(0) = E
T(x)
−1
= T(−x)
16
Các tính chất này là điều kiện để {T(x), − ∝< x < + ∝} tạo thành một nhóm.
Xét một d ịch chuyển vô cùng nhỏ dx, ta có:
T(dx) ≡ E −idxP (2.4)
mà ở đó xác định hàm của phép tịnh tiến P. Tiếp theo viết T(x + dx) theo hai cách:
T(x + dx) = T(x) + dx
dT(x)
dx
T(x + dx) = T(dx)T(x)
Thế T(dx) vào phương trình dưới sau đó so sánh với phương trình trên , thu được:
dT(x)
dx
= −iPT(x)
Xét điều kiện biên T(0) = E, phương trình cho nghiệm duy nhất:
T(x) = e
−iPx
Ta thấy, T(x) được viết t heo dạng trên thỏa mãn các tính chất nhóm. Phép lấy đạo hàm
này giống như đã làm đối với nhóm quay SO(2), chỉ khác là tham số x trong T(x) không
còn giới hạn trong một phạm vi hữu hạn như φ trong R(φ).
Như đã biết, tất cả các biểu diễn bất khả quy của nhóm tịnh tiến là một chiều. Đối với
biểu diễn Unita, hàm P tương ứng một toán tử Hecmite với trị riêng thực, kí hiệu là p.
Với phép biểu diễn T(x) → U
p
(x), ta có:

P|p > = |p > p
U
p
(x)|p > = |p > e
−ipx
Thấy rằng, hàm biểu diễn này thỏa mãn các tính chất nhóm với số thực p bất kì nên giá
trị của p hoàn toàn không giới hạn.
So sánh kết quả này với SO(2) ta nhận xét rằng:
(i) Hàm biểu diễn trong các trường hợp có dạng hàm mũ, cùng phản ánh quy tắc nhân
nhóm chung.
(ii) Với SO(2), φ là liên tục và bị chặn, m rời rạc và vô hạn; còn đối với T(1) thì x, p liên
tục và không bị chặn.
17
2.1.6. Véc tơ liên hợp cơ sở
Xét trạng thái một hạt tại vị trí được biểu diễn bởi tọa đ ộ cực (r, φ) trên mặt phẳng
hai chiều. Giá trị của r không bị thay đổi bởi phép quay bất kì, nên:
U(φ)| φ
0
= |φ + φ
0
>
Để
|φ >= U(φ)|O >, 0 ≤ φ < 2π
Trong đó, ”|O>” biểu diễn vector chuẩn phù hợp với trục x chọn trước. Các vector này
liên hệ với vector riêng của J như thế nào?
Nếu khai triển |φ > theo hệ vector {|m >; m = 0; ±1, . . . }, |φ >=
∑
m
|m >< m|φ >
thì:

< m|φ >=< m|U(φ)|O >=< U
+
(φ)m|O >=< m|O > e
−imφ
|m > với các giá trị khác nhau của m không có mối liên hệ với phép quay nên có thể
chọn pha của chúng để < m|O >= 1 cho mọi m, vậy ta có:
|φ >=
∑
m
|m > e
−imφ
Nhân 2 vế của phương trình với e
inφ
và lấy tích phân theo φ:
|m >=
2π

0
|φ > e
imφ
dφ
2π
|φ > bất kì trong không gian vector được biểu thị theo:
|ψ >=
∑
m
|m > ψ
m
=
2π


0
|φ > ψ(φ)
dφ
2π
Hàm sóng ψ
m
và ψ(φ) liên hệ bởi:
ψ(φ) =< ψ|φ >=
∑
m
< φ|m >< m|ψ >=
∑
m
e
imφ
ψ
m
18