NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT HPT

Phần mở đầu.
1. Cơ sở lý luận :
Trong trờng phổ thông ,dạy toán là dạy các hoạt động toán học .Đối với học sinh
việc giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học .Các bài
toán ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế
đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức ,phát triển t duy ,hình thành kỹ
năng kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn .Đồng thời hình thành củng cố các
phẩm chất đạo đức ,óc thẩm mỹ ,phát triển năng lực trí tuệ .Dạy giải bài tập toán
còn là phơng tiện để kiểm tra và tự kiểm tra việc dạy và học của thầy và trò đồng
thời đánh giá khả năng độc lập học toán và sự phát triển trình độ học toán của
học sinh .Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán có vai trò quyết
định đối với chất lợng dạy học toán .
Trong những năm gần đây ,định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã đợc
thống nhất theo hớng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh dới sự tổ chức
hớng dẫn của giáo viên: học sinh tự giác chủ động tìm tòi ,phát hiện ,giải quyết
nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo những kiến thức kỹ
năng đã thu nhận đợc .
Nghị quyết hội nghị lần II-TW Đảng cộng sản Việt Nam khóa VII-1997
đã khẳng định : Cuộc cách mạng về phơng pháp giáo dục phải hớng vào ngời
học ,rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ ,khả năng giải quyết vấn đề một
cách năng động ,độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở trờng phổ thông
áp dụng những phơng pháp giáo dục hiện đại để bồi dỡng cho học sinh năng lực
t duy sáng tạo ,năng lực giải quyết vấn đề.
Hớng đổi mới phơng pháp dạy học toán hiện nay là tích cực hóa hoạt động
học tập của học sinh khơi dậy và phát triển năng lực tự học nhằm hình thành cho
học sinh t duy tích cực ,độc lập sáng tạo ,nâng cao năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề, rèn kỹ năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn tác động
đến tình cảm đem lại niềm tin ,hứng thú học tập cho học sinh.
2. Cơ sở thực tiễn :
Trong chơng trình toán THCS Giải bài toán bằng cách lập phơng trình là
một dạng toán có nội dung phong phú và tơng đối phức tạp đối với học sinh.Do

đặc trng của loại toán này là đề bài đợc diễn giải bằng lời văn và đợc đan xen
nhiều dạng ngôn ngữ :ngôn ngữ thông thờng ,ngôn ngữ toán học ,vật lý,hóa
học Trong bài toán các dữ kiện đa ra đợc ràng buộc lẫn nhau ẩn dới lời văn
buộc học sinh phải biết kết hợp cả kiến thức thực tế và các kiến thức đã học để
suy luận mới tìm đợc mối quan hệ giữa các đại lợng mà thực chất là đa về giải
bài toán bằng cách lập phơng trình hệ phơng trình .
Một đặc thù riêng của loại toán này là nội dung bài toán thờng gắn với
thực tế ,vì vậy ẩn số đợc chọn là các số liệu có liên quan đến thực tế .Học sinh
thờng hay sai lầm trong quá trình giải toán là thoát li thực tế ,không khai thác hết
các điều kiện ,mối liên hệ ràng buộc của thực tế dẫn đến lập luận sai .Từ những
lý do đó có nhiều học sinh rất ngại làm loại toán này .Mặt khác ,cũng có thể
trong quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức độ truyền thụ theo
tinh thần của sách giáo khoa mà cha dạy cho học sinh cách phân loại toán, cha
khái quát đợc cách giải cho mỗi dạng bài tập ,kỹ năng phân tích ,tổng hợp của
học sinh còn yếu nên trong quá trình chọn ẩn ,tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện
còn lúng túng ,không biết cách trình bày bài .
Từ thực trạng trên tôi luôn suy nghĩ tự hỏi :Vậy muốn nâng cao chất lợng
môn toán nói chung Giải bài toán bằng cách lập phơng trình nói riêng thì cần
vận dụng phơng pháp mới và kế thừa phơng pháp dạy học truyền thống nh thế
nào để nâng cao hiệu suất giờ dạy gây đợc hứng thú học tập cho học sinh,
khuyến khích các em tích cực hoạt động đóng vai trò chủ động trong giờ học .
Trong thời gian giảng dạy ở trờng THCS qua học hỏi kinh nghiệm của các
giáo viên đi trớc và tham khảo ý kiến đồng nghiệp tôi mạnh dạn trình bày đề tài:
Nâng cao chất lợng môn Toán,khi dạy: Giải bài toán bằng cách lập phơng
trình hệ phơng trình mong muốn đợc trao đổi cùng đồng nghiệp phơng pháp
giảng dạy nâng cao chất lợng môn toán ở trờng THCS .
3.Mục đích của đề tài :
2
-Trang bị cho học sinh phơng pháp tìm lời giải bài toán qua suy luận phân
tích ,tổng hợp các kiến thức mà học sinh thu nhận đợc ,nâng cao năng lực t duy

sáng tạo trong giải bài tập toán .
-Qua việc hớng dẫn giải bài tập học sinh thấy đợc mối quan hệ giữa toán
học với thực tiễn ,với các môn học khác ,gây tính tò mò ,tạo hứng thú học tập
cho học sinh trong học toán ,hớng các em đến sự say mê ,yêu thích khám phá
kiến thức .
-Cung cấp cho học sinh phơng pháp tìm tòi lời giải bài toán ,tháo gỡ đợc
những khó khăn sai lầm thờng mắc phải trong quá trình học tập .
-Trao đổi với đồng nghiệp một số ý kiến trong việc đổi mới phơng pháp
dạy học theo hớng tích cực hóa hoạt động học của học sinh .
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
A.Quá trình nghiên cứu :
I. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán :
Để khai thác tốt các chức năng của bài tập toán học ,thầy và trò cần nắm
vững các yêu cầu của một lời giải :
1)Lời giải không có sai lầm :
2)Lập luận phải có căn cứ chính xác :
3)Lời giải phải đầy đủ :
II.Phân loại bài toán giải bằng ph ơng pháp lập ph ơng trình (Hệ ph ơng
trình) và ph ơng pháp tìm lời giải :
Trong số 67 bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập lớp 8 và 9 về giải bài
toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình có thể phân loại nh sau :
1.Loại toán về chuyển động .
2.Loại toán có nội dung số học : cấu tạo số ,bài toán tỷ lệ ,bài toán có liên quan
đến thêm ,bớt, tăng ,giảm,tổng ,hiệu ,tỷ số
3.Loại toán có liên quan đến tỷ số phần trăm :Tăng năng suất lao động ,tăng dân
số ,thuế VAT,lãi suất tiết kiệm
4.Loại toán về công việc làm chung làm riêng (toán quy về đơn vị ).
5.Loại toán có liên quan đến hình học .
6.Loại toán có nội dung vật lý ,hóa học .
3

Để đảm bảo các yêu cầu về lời giải một bài toán nh tôi đã trình bày ở phần
I thì ta có thể chia thành 4 giai đoạn tìm lời giải bài toán nh sau :
Giai đoạn 1: Tìm hiểu nội dung bài toán gồm :
- Đọc kỹ đề bài ,tóm tắt nội dung bài xem bài toán cho biết những dữ kiện gì,yêu
cầu tìm gì ?Có cần thiết vẽ hình hay sơ đồ minh họa hay không ?
- Bài toán đã cho thuộc loại toán nào ?
- Các kiến thức cơ bản có liên quan đến bai toán là gì ?(Các khái niệm ,các điều
kiện ,phơng pháp giải ).
Giai đoạn 2: Xây dựng chơng trình giải.
Chơng trình giải theo các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình (Hệ phơng
trình ) gồm 3 bớc :
*Bớc 1 :Lập phơng trình gồm các công việc:
- Chọn ẩn số ,ghi rõ đơn vị và điều kiện của ẩn .
- Biểu diễn các đại lợng cha biết qua ẩn và các đại lợng đã biết .
- Lập phơng trình (hệ phơng trình )biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng .
*Bớc 2 : Giải phơng trình (hệ phơng trình ).
*Bớc 3 :Trả lời : kiểm tra xem trong các nghiệm của phơng trình ,hệ phơng trình
nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi kết luận .
Giai đoạn 3 : thực hiện chơng trình giải : trình bày lời giải theo ba bớc đã
nêu trên .
Giai đoạn 4 : Kiểm tra và nghiên cu lời giải.
*Kiểm tra:
- Xét xem lời giải có sai lầm gì không ?
- Kết quả tìm đợc có phù hợp thực tiễn không?
*Nghiên cứu lời giaỉ:
- Phân tích biện luận cách giải sau khi học sinh hoàn thành bài toán .
- Giữ nguyên nội dung và thay đổi dữ kiện của bài toán.
- Giữ nguyên dữ kiện , thay đổi nội dung ,yêu cầu của bài toán để hình thành các
bài toán mới .
- Tìm cách giải khác cho bài toán.

*Ví dụ minh họa ph ơng pháp tìm lời giải .
4
Tổng của 2 số bằng 90. Số này gấp đôi số kia. Tìm hai số đó.
Hớng dẫn giải;
Giai đoạn 1:
Tìm hiểu đề bài tóm tắt:
Giả thiết: Số thứ nhất cộng số thứ 2 = 90
Số thứ nhất = 2 lần số thứ 2
Kết luận: Tìm hai số?
Loại toán có nội dung số học: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ của chúng.
Phơng pháp giải: Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình, phơng trình.
Giai đoạn 2 :
Hai đại lợng cần tìm là hai số, mối liên hệ giữa chúng là tổng và tỉ số đã
biết. Nếu ta chọn một đại lợng cha biết làm ẩn, chẳng hạn: Gọi số thứ nhất là x ta
có thể biểu diễn số thứ 2 theo x là 90 x.
Vì số thứ nhất gấp đôi số thứ 2 nên ta có:
x = 2(90 x).
Đó chính là phơng trình cần tìm.
Giải phơng trình ta đợc x= 60
Đối chiếu với điều kiện đề bài ta thấy x = 60 thỏa mãn
Giai đoạn 3: Trình bày lời giải
Gọi số thứ nhất là x thì số thứ 2 là 90 x
Vì số thứ nhất gấp đôi số thứ 2 nên ta có phơng trình
x = 2(90 x) x = 180 2x
3x = 180
x = 60
x = 60 thỏa mãn điều kiện đề bài
Vậy số thứ nhất là 60. Số thứ 2 là 30
Giai đoạn 4:
- Hớng dẫn học sinh cách tìm lời giải khác.

Gọi số thứ nhất là x, số thứ nhất gấp đôi số thứ 2, suy ra số thứ 2 là x/2. Vì tổng
2 số bằng 90 nên ta có phơng trình x + x/2 = 90.
Hoặc gọi 2 số cần tìm lần lợt là x và y. Vì tổng hai số là 90 nên ta có
5
x + y = 90.
Số thứ nhất gấp đôi số thứ 2 nên ta có x = 2y.
Ta có hệ phơng trình



=
=+
yx
yx
2
90
-Từ bài này xây dựng cách giải các bài toán khác:
Ví dụ: Giữ nguyên dữ kiện và thay đổi lời văn ta có bài toán: Một phân số
có tổng của tử số và mẫu số bằng 90. Biết mẫu số gấp đôi tử số. Tìm phân số
đó.?
Thay đổi dữ kiện bài toán ta đợc bài toán tơng tự: Tuổi cha gấp 3 lần tuổi
con. Biết tổng số tuổi của cha và con là 48. Tìm tuổi của mỗi ngời ?
Có thể thay đổi dữ kiện để đợc bài toán phức tạp hơn nhằm nâng cao t duy: Năm
nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Năm năm nữa tổng số tuổi của 2 mẹ con là 54.
Hỏi năm nay con bao nhiêu tuổi ?
Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh thói quen tập hợp các bài toán
tơng tự, hay có cách giải tơng tự. Từ đó biết cách tìm lời giải các bài toán có nội
dung phức tạp hơn.
III.Ph ơng pháp h ớng dẫn học sinh giải theo dạng toán :
1.Dạng toán chuyển động:

*Bài toán :
Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h. Sau đó 24
phút, trên cùng tuyến đờng đó một ô tô xuất phát từ Nam Định đi Hà nội với vận
tốc 45km/h. Biết quãng đờng Nam Đinh Hà nội dài 90km. Hỏi sau bao lâu kể
từ khi xe máy khởi hành hai xe gặp nhau?
Hớng dẫn phân tích bài toán:
- Có những chuyển động nào tham gia vào trong bài toán?
(hai chuyển động: ô tô và xe máy)
- Với mỗi chuyển động có những đại lợng nào liên quan đến nó? (quãng đờng,
vận tốc và thời gian)
- Các đại lợng này có mối quan hệ nh thế nào? (quãng đờng = vận tốc x thời
gian).
6
-Theo bài toán cho thì những đại lợng nào đã biết, đại lợng nào cha biết? (vận
tốc đã biết, thời gian và quãng đờng cha biết)
- Nếu chọn một đại lợng cha biết làm ẩn theo em nên chọn đại lợng nào? (gọi
thời gian xe máy đi từ lúc khởi hành đến khi 2 xe gặp nhau là x (h) (x>2/5)
- Em hãy điền vào bảng phân tích các đại lợng:
Vận tốc (km/h) Thời gian đi (h) Quãng đờng (km)
Xe máy 35 x 35.x
Ô tô 45 x-2/5 45(x-2/5)
Giáo viên minh họa qua hình vẽ: Giả sử quãng đờng Hà nội Nam Định đợc
biểu thị bằng đoạn AB và 2 xe gặp nhau tại C.
A< 90km >B
Xe máy > < Ô tô
Trong x giờ xe máy đi đợc đoạn đờng nào? (AC bằng 35x (km)).
Ô tô đi đợc đoạn đờng nào? ( BC = 45(x-2/5 (km)).
Quãng đờng đờng 2 xe đi đợc là bao nhiêu? Em hãy biểu thị mối quan hệ đó?
(35x + 45(x-2/5) = 90).
Đó chính là phơng trình cần tìm.

Lời giải:
Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến khi gặp nhau là x (giờ), điều kiện
x> 2/5.
Trong thời gian đó xe máy đi đợc quãng đờng là 35x (km).
Vì ô tô xuất phát sau xe máy 24 (=2/5h) nên ô tô đi trong x 2/5 (giờ) và đi đ-
ợc quãng đờng là 45( x - 2/5) km.
Khi 2 xe gặp nhau tổng quãng đờng chúng đi đợc bằng quãng đờng Hà nội
Nam định (90km) nên ta có phơng trình :
35x + 45(x - 2/5) = 90
Giải phơng trình:
35x + 45x 18 = 90
80x = 108
7
x = 27/20
Giá trị của x phù hợp với điều kiện của ẩn.
Vậy thời gian từ khi xe máy khởi hành đến khi 2 xe gặp nhau là :
27/20 giờ = 1giờ 21.
Khai thác bài toán :
-Trong bài toán trên em hãy thử chọn ẩn theo cách khác. Chẳng hạn gọi s (km) là
quãng đờng từ Hà nội đến điểm gặp nhau của 2 xe. Em có thể điền vào bảng và
lập phơng trình với ẩn s.
Vận tốc (km/h) Quãng đờng(km) Thời gian đi (h)
Xe máy 35 s s/35
Ô tô 45 90 s (90 s)/45
Phơng trình : s/35 = (90-s)/45 +2/5
Giải phơng trình ta đợc s = 47,25(km)
Nếu ta giữ nguyên nội dung bài toán và thay đổi dữ kiện ta sẽ đợc những bài toán
tơng tự.
Nếu thay đổi một nội dung nào đó : chẳng hạn Ô tô cũng xuất phát từ Hà nội đi
Nam định trên cùng quãng đờng đó và bỏ đi giả thiết Quãng đờng Hà nội

Nam Định bằng 90 km ta sẽ đợc một bài toán mới:
Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h. Sau
đó 24 phút, trên cùng tuyến đờng đó một ô tô xuất phát từ Nam Định đi Hà nội
với vận tốc 45km/h. Hỏi sau bao lâu kể từ khi xe máy khởi hành hai xe gặp
nhau?
Trong bài toán mới mối quan hệ quãng đờng 2 xe đi đợc sẽ thay đổi : Từ
lúc xuất phát cho đến khi gặp nhau quãng đờng 2 xe đi đợc là bằng nhau, cũng
với các dữ kiện của bài toán đã cho phơng trình của bài toán mới sẽ là :
35x = 45(x-2/5)
hoặc có thể thay đổi nội dung: cho biết thời gian xe máy đi hoặc ô tô đi , yêu cầu
tính quãng đờng mỗi xe đi đợc ta có bài toán:
Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h. Sau
đó 24 phút, trên cùng tuyến đờng đó một ô tô xuất phát từ Nam Định đi Hà nội
8
với vận tốc 45km/h và 57 sau thì gặp xe máy. Hỏi đến lúc gặp nhau mỗi xe đi đ-
ợc quãng là bao nhiêu, biết quãng đờng Hà nội Nam Định bằng 90 km?
Nh vậy từ một bài toán giáo viên có thể hớng dẫn học sinh đề xuất những bài
toán tơng tự hay mở rộng để bồi dỡng cho học sinh những phẩm chất t duy, đặc
biệt tính độc lập sáng tạo trong quá trình giải toán .
*Tóm lại: ở dạng toán chuyển động giáo viên cần cung cấp cho học sinh một số
kiến thức về dạng toán này để từ đó học sinh một số kiến thức về dạng toán này
để từ đó học sinh có thể vận dụng giải đợc các bài toán về chuyển động
1.Với mỗi chuyển động đều có 3 đại lợng liên quan đến nó: Quãng đ-
ờng, vận tốc , thời gian: Ba đại lợng này đợc liên hệ với nhau bởi công thức s=
v.t. Bài toán thờng cho biết một đại lợng không đổi còn hai đại lợng khác cha
biết hoặc thay đổi phụ thuộc vào nhau. Nếu chọn một đại lợng cha biết là ẩn thì
có thể biểu diễn đại lợng còn lại theo ẩn.
2.Trong bài toán chuyển động cũng cần chú ý chia ra các dạng và có
chú ý riêng cho các dạng:
- Nếu một chuyển động đi trên một quãng đờng không đổi thì thời gian và vận

tốc là 2 đại lợng tỉ lệ nghịch
-Nếu vật chuyển động trên 1 đoạn đờng không đổi từ A đến B và từ B về A với
vận tốc thay đổi thì thời gian cả đi lẫn về = Thời gian đi + thời gian về.
-Nếu 2 chuyển động cùng xuất từ một điểm đi cùng chiều trên một tuyến đờng
thì quãng đờng mỗi chuyển động đi đợc cho đến khi gặp nhau là bằng nhau:
s
1
= s
2
.
- Nếu chuyển động ngợc chiều trên cùng một tuyến đờng thì chiều dài của quãng
đờng bằng tổng quãng đờng 2 xe đi đợc s = s
1
+ s
2
.
2.Dạng toán có nội dung số học:
* Bài toán 1 : Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số lơn cho 5 và số nhỏ
cho 7 thì thơng thứ nhất lớn hơn thơng thứ 2 là 4. Tìm hai số đó.
*Hớng dẫn giải :
Tóm tắt nội dung:
Số lớn - số nhỏ = 12
Số lớn: 5 - số nhỏ = 14
9
Tìm 2 số .
ở bài toán này giáo viên có thể hớng dẫn học sinh cách chọn ẩn và lập phơng
trình theo 4 cách trong bảng sau:
Cách Quá trình Số lớn Số nhỏ Phơng trình
1
Cha tính thơng x x-12

x/5-(x-12)/7 = 4
Tính thơng x/5 (x-12)/7
2
Cha tính thơng x + 12 x
(x + 12)/5- x/7 = 4
Tính thơng (x + 12)/5 x/7
3
Cha tính thơng x y





=
=
4
75
12
yx
yx
Tính thơng x/5 y/5
4
Cha tính thơng y x





=
=

4
75
12
xy
xy
Tính thơng y/5 x/7
Từ 4 cách chọn ẩn khác nhau, học sinh có 4 cách giải khác nhau. Cả 4 cách đều
cho một kết quả:
Số lớn là 40, số nhỏ là 28
Bài toán 2:
Một số tự nhiên có 2 chữ số, chứ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục. Nếu
thêm chữ số 1 xen vào giữa 2 chữ số ấy thì đợc số mới lớn hơn số ban đầu là
370. Tìm số đã cho?
Hớng dẫn giải:
Giáo viên bổ xung - ôn lại kiến thức về cấu tạo số:
Số tự nhiên có 2 chữ số đơc viết nh thế nào?
baab += 10
Số tự nhiên có 3 chữ số đợc viết nh thế nào?
cbaabc ++= 10100
Nếu số có 2 chữ số viết xen chữ số 1 vào giữa ta đợc số nào?
caca ++= 101001
Từ cách phân tích cấu tạo số giáo viên hớng dẫn học sinh chọn ẩn và lập phơng
trình theo bảng:
Cách C.số
hàng
C.số
hàng
Số đã cho Số mới (viết
xen chữ số 1
Phơng trình (Hệ phơng trình

10
chục đ.vị vào giữa 2cs)
1 x 2x 10x + 2x
=12x
100x+10 +2x
= 102x+10
(102x+10) 12x = 370
2 x/2 x 10.x/2+x
= 6x
100.x/2+10+x
=51x+10
(51x+10)-6x=370
3 x y 10x+y 100x+10+y



=
=+++
yx
yxyx
2
37010()10100(
4 y x 10y+x 100y+10+x



=+=++
=
370)10()10100(
2

xyxy
xy
Tóm lại: Với dạng toán có nội dung số học giáo viên cũng có thể phân ra các
dạng:
-Dạng toán có cấu tạo số: Học sinh biết biểu diễn một số tự nhiên, phân tích một
số tự nhiên, quan hệ giữa các chữ số khi thêm, bớt, tăng, giảm, đổi chỗ vị trí của
các chữ số
-Quan hệ giữa 2 số: Tìm hai số biết hai trong các quan hệ sau: Tổng- hiệu, tích
thơng, thêm bớt, tăng giảm.
-Thay đổi quan hệ giữa hai số để đa ra các bài toán mới đa dạng phong phú hơn.
3. Dạng toán có liên quan đến tỉ số phần trăm.
a) Bài toán :
Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến
kỹ thuật năng xuất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy chỉ trong 18 ngày
không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm đợc 24
tấm nữa. Tính số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng?
Hớng dẫn phân tích:
-Em hiểu năng xuất tăng 20% nghĩa là nh thế nào?
-Trong bài toán có những đại lợng nào?
-Đại lợng nào đã biết, đại lợng nào cần tìm.
Các đại lợng có quan hệ với nhau nh thế nào?
(Năng xuất dệt một ngày = số thảm : số ngày dệt)
Từ cách phân tích, hớng dẫn học sinh lập bảng biểu diễn các đại lợng:``
Số thảm Số ngày dệt Năng xuất 1 ngày
Hợp đồng x 20 x/20
Thực tế dệt x+24 18 (x+24)/18
11
Vì năng xuất dệt của xí nghiệp tăng 20% nên ta có:
x/20 + 20%.x/20 = (x+24)/18
Đó chính là phơng trình của bài toán. Từ đó học sinh lập đợc phơng trình theo

các bớc giải bài toán bằng cách lập lập phơng trình.
Giải phơng trình ta đợc x= 300.
Vậy số tấm thảm xí nghiệp phải làm theo hợp đồng là 300tấm
Tóm lại:
Với dạng toán có liên quan đến tỉ số phần trăm, giáo viên cần hớng dẫn
cho học sinh hiểu rõ tỉ lệ phần trăm đó là so với đại lợng nào.
Chẳng hạn làm tăng năng xuất 5% nghĩa là nếu năng xuất là A thì thực tế đã
làm đợc A + 5%A.
Hoặc thuế VAT với một mặt hàng là 10% nghĩa là giá bán một mặt hàng
là a đồng thì ngời mua hàng phải trả với giá a + 10%a (đồng).
Dân số tỉnh A tăng 1,1% so với năm trớc nghĩa là nếu năm trớc dân số tỉnh A là
x thì năm nay dân số tỉnh A là x + 1,1%x (ngời)
4)Dạng toán công việc làm chung, làm riêng:
* Bài toán 1:
Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16h thì xong. Nếu ngời thứ
nhất làm trong 3 h và ngời thứ 2 làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành 25% công
việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời hoàn thành công việc đó trong bao nhiêu
lâu?
*Phân tích bài toán:
Coi toàn bộ công việc cần làm là một đơn vị công việc thì thời gian hoàn
thành công việc và năng xuất làm việc trong một đơn vị thời gian đó là hai đại
lợng tỉ lệ nghịch.
Nếu thời gian hoàn thành công việc là a ngày thì 1 ngày thì một ngày làm
đợc 1/a công việc. Ngợc lại nếu một ngày làm đợc a phần công việc thì thời gian
hoàn thành là 1/a ngày.
Từ mối quan hệ đó có thể hớng dẫn học sinh lập bảng biểu thị các đại lợng
của bài toán nh sau:
Số giờ hoàn Năng suất 1h 3h 6h
12
thành c.việc

Ngời thứ 1 x 1/x 3/x
Ngời thứ 2 y 1/y 6/y
Cả 2 ngời 16 1/16
Từ đó năng suất làm việc của hai ngời có liên hệ bằng hệ phơng trình:







=+
=+
100
2563
16
111
yx
yx
Giải hệ phơng trình ta đợc x = 24, y = 48
Vậy làm riêng thì ngời thứ nhất hoàn thành công việc trong 24h, ngời thứ 2 hoàn
thành trong 48h.
*Bài toán 2:
Nếu 2 vòi nớc cùng chảy vào một bể nớc cạn (không có nớc) thì bể sẽ đầy
trong 1h 20. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 và vòi thứ 2trong 12 thì chỉ đợc 2/5
bể nớc. Nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?
* Hớng dẫn:
ở bài toán này nếu ta coi việc chảy đầy bể nớc là một công việc thì bài
toán có dạng tơng tự nh bài toán 1.
Nếu một trong các dữ liệu của bài toán thay đổi trong quá trình làm công

việc thì học sinh chỉ việc bổ xung vào dữ kiện đó .
*Tóm lại : Từ một bài toán có nội dung công việc giáo viên có thể rút ra phơng
pháp giải chung với loại toán này :
-Coi việc hoàn thành một công việc nào đó là một đơn vị công việc :chảy đầy
một bể nớc ,đắp xong một đoạn đờng ,đào xong một con mơng ,cày xong thửa
ruộng .
-Biểu thị năng suất làm việc và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lợng tỷ
lệ nghịch .Xét mối quan hệ của hai đại lợng này để lập phơng trình .
5.Loại toán có nội dung hình học :
*Bài toán 1:
Hai vật chuyển động đều trên một đờng tròn đờng kính 20cmxuất phát
cùng một lúc, từ cùng một điểm .Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20giây
13
chúng lại gặp nhau .Nếu chuyển động ngợc chiều thì cứ 4giây chúng lại gặp
nhau .Tính vận tốc của mỗi vật ?
+Phân tích bài toán : giáo viên vẽ hình minh họa
Gọi S
1
quãng đờng vật chuyển
động nhanh đi đợc đến khi gặp nhau,
S
2
là quãng đờng vật chuyển động
chậm đi đợc đến khi gặp nhau ,C là
chu vi đờng tròn .
-Khi hai vật chuyển động cùng chiều
cứ 20 giây chúng lại gặp nhau ,nghĩa x(cm/s)
là quãng đờng hai vật đi đợc liên 20cm
hệ với nhau thế nào ?( quãng đờng Hình 1a
vật đi nhanh đi đợc trong 20 giây hơn

quãng đờng vật đi chậm đi trong 20 y(cm/s)
giây một vòng S
1
S
2
=C)
-Khi chuyển động ngợc chiều 4 giây 20cm
chúng gặp nhau nghĩa là quãng đờng hai Hình 1b
vật đi đợc liên hệ nh thế nào ?(Tổng
quãng đờng hai chuyển động đi trong
4 giây bằng độ dài đờng tròn S
1
+ S
2
=C
+Lời giải :
Gọi vận tốc của chuyển động nhanh là x(cm/s)
vận tốc của chuyển động chậm là y(cm/s) x>y>0.
Khi chuyển động cùng chiều sau 20 giây chúng lại gặp nhau nên ta có ph-
ơng trình :
20x 20y = 20 II x y = II (1).
Khi chuyển động ngợc chiều sau 4 giây chúng lại gặp nhau nên ta có ph-
ơng trình :
4x + 4y = 20II x +y = 5II(2).
Ta có hệ phơng trình :



=+
=

yx
yx
14
Vậy vận tốc của 2 chuyển động là 3II (cm/s) và 2II(cm/s).
*Tóm lại : Với bài toán có nội dung liên quan đến hình học ,để học sinh dễ
hiểu giáo viên cần hớng dẫn vẽ hình minh họa các đại lợng đã biết trên hình vẽ
,vận dụng kiến thức hình học có liên quan :chu vi ,diện tích các hình ,độ dài
đoạn thẳng ,số đo góc Sử dụng mối quan hệ của các đại lợng đó để lập phơng
trình .
6. Loại toán có liên quan đến nội dung vật lý ,hóa học .
*Bài toán :
Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g.Thể
tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm
3
nhng khối
lợng riêng của miếng thứ lớn hơn khối lợng riêng của miếng thứ hai là
1g/cm
3
.Tìm khối lợng riêng của mỗi miếng kim loại ?
*Phân tích bài toán :
- Bài toán này có những đại lợng nào tham gia ?(ba đại lợng tham gia vào bài
toán :khối lợng (g),thể tích (cm
3
),khối lợng riêng (g/cm
3
)).
-Mối quan hệ giữa các đại lợng đó nh thế nào ?
(Khối lợng riêng = khối lợng :thể tích ).
-Dựa vào mối quan hệ đó em hãy điền vào bảng :
Khối lợng (g) Khối lợng

riêng(g/cm
3
)
Thể tích (cm
3
)
Kim loại 1 880 x(x>1) 880/x
Kim loại 2 858 x-1 858/x-1
Phơng trình :
10
880
1
858
=

xx
5x
2
+6x 440 =0
Giải phơng trình ta đợc x
1
= 8,8(TMĐK), x
2
=-10(loại )
Vậy khối lợng riêng của hai miếng kim loại là : 8,8g/cm
3
và 7,8g/cm
3
.
ở bài toán này học sinh đã sử dụng công thức vật lý D = m:V(D:khối lợng

riêng , m:khối lợng ,V:thể tích )=>D = m .V hoặc V= m:D .
*Tóm lại :Với các bài toán có nội dung liên quan đến kiến thức vật lý hóa học,
giáo viên cần hớng dẫn học sinh tìm quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán qua
các công thức vật lý hóa học để lập phơng trình .
15
B.Kết quả đối chứng thực nghiệm giữa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm và
ch a áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
Qua quá trình thực nghiệm dạy Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
(Hệ phơng trình )ở lớp 8và lớp 9 tôi thấy với phơng pháp đi sâu nghiên cứu
cách giải từng dạng bài cùng với việc hớng dẫn học sinh học tập theo hớng phát
huy tính chủ động sáng tạo và năng lực tự học của học sinh tôi thấy học sinh đã
có nhiều chuyển biến trong hoạt động nhận thức và rèn luyện kỹ năngViệc vận
dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đã giúp cho các em có hớng đi đúng
trong việc phát hiện kiến thức ,lập chơng trình giải và lựa chọn cách giải bài tập.
Kết quả cụ thể :
Năm học 2010-2011 tôi đợc phân công dạy toán 2 lớp 9A và 9B. Tôi đã tiến
hành thực nghiệm dạy Giải bài toán bằng cách lập phơng trình . Tiết 41, 42 ở
lớp 9A theo hớng đổi mới đã trình bày và đối chứng với phơng pháp dạy truyền
thống ở lớp 9B.
Kết quả kiểm tra sau giờ dạy cho thấy điểm trung bình cộng ở lớp thực
nghiệm cao hơn và tỉ lệ học sinh đạt điểm khá giỏi cũng cao hơn:
Lớp Điểm
Sĩ số
0 >2 3 >4 5 >6 7 >8 9 >10 Trên
TB(%)
9A 25 0 6 9 6 4 76,0
9B 28 4 7 11 4 2 60,7
Nh vậy tỉ lệ học sinh đạt từ trung bình trở lên ở 9A đạt 746,0% trong đó có
40,0% đạt loại khá giỏi ; còn 9B đạt 60,7% trong đó có 21,4% đạt loại khá giỏi.
*.Đánh giá kết quả:

Từ kết quả khảo sát thu đợc sau quá trình thực nghiệm với đối tợng là học
sinh lớp 8, lớp 9 THCS, với năng lực học tập ngang nhau trong cùng một bài học
nh nhau nhng cách hớng dẫn tìm lời giải bài toán khác nhau sẽ thu đợc kết quả
khác nhau. Kết quả cho thấy rằng việc hớng dẫn học sinh học tập theo hớng tích
cực hóa họat động học của học sinh đã phát huy cao độ tính tích cực gây đợc
hứng thú học tập, tạo đợc không khí học tập sôi nổi, nâng cao rõ rệt chất lợng
học tập của học sinh. Đặc biệt là:
16
- Giáo viên đã hớng học sinh vào các hoạt động học tập nâng cao tính tự lực, tính
tích cực trong hoạt động nhận thức của các em vào mọi lĩnh vực học tập vì trong
quá trình giải một bài toán học sinh hiểu biết thêm kiến thức thực tiễn vận dụng
kiến thức thực tiễn, kiến thức Vật lí, Hóa học. vào giải bài toán đại số.
- Bồi dỡng cho học sinh năng lực diễn đạt các vấn đề toán học một cách chính
xác, đầy đủ, chặt chẽ, ngắn gọn.
- Giúp giáo viên thu đợc tín hiệu ngợc từ phía học sinh một cách nhanh gọn, kịp
thời để điều chỉnh hoạt động của mình và của học sinh. Đồng thời giúp học sinh
tự điều chỉnh hoạt động nhận thức của mình.
KếT LUậN
1)Bài học kinh nghiệm:
Qua nghiên cứu vận dụng đề tài vào thực tế giảng dạy tôi rút ra đợc bài
học khi đổi mới phơng pháp dạy Giải bài toán bằng cách lập phơng trình nh
sau:
-Giáo viên cần đầu t thời gian nghiên cứu phân loại bài tập ,tìm hiểu các đơn vị
kiến thức có liên quan đến bài toán ,lựa chọn cách giảng dạy ,tổ chức học sinh
học tập cho phù hợp .
-Chú ý hớng dẫn phơng pháp tìm lời giải bài toán qua 4 giai đoạn (4 bớc )
trong đó chú trọng 2 bớc :Xây dựng chơng trình giải và kiểm tra nghiên cứu lời
giải bài toán để phát huy sự sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải hay cho
mỗi bài toán .
-Rèn luyện cho học sinh cách trình bày lời giải bài theo 3 yêu cầu : lời giải

không có sai lầm ,lập luận phải chính xác ,lời giải phải đầy đủ .
-Với các bài toán có 3 đại lợng liên hệ trong đó có1đại lợng không đổi ,hai
đại lợng còn lại phụ thuộc vào nhau :Bài toán chuyển động ,toán năng suất ,tìm
hai số ,toán công việc . nên hớng dẫnhọc sinh phân tích các đại lợng bằng cách
lập bảng để việc lập phơng trình (hệ phơng trình ) thuận lợi hơn .
2)ý kiến đề xuất :
-Mỗi giáo viên cần thờng xuyên nghiên cứu đổi mới phơng pháp dạy học
trong mọi giờ học để tích cực hóa hoạt động học của học sinh ,xây dựng nề nếp
tự học trong mọi giờ học .
17
-Các tổ nhóm chuyên môn cần thờng xuyên bàn bạc thống nhất nội
dung ,phơng pháp giảng dạy với mỗi đơn vị kiến thức .
-Cần bổ xung thêm tài liệu tham khảo để các giáo viên có điều kiện
nghiên cứu vận dụng đổi mới phơng pháp dạy học .
-Tạo điều kiện để mọi giáo viên đợc tham gia học tập bồi dỡng các chuyên
đề nâng cao chuyên môn .Dự các giờ dạy giỏi của huyện ,của tỉnh để học tập
nâng cao hiệu quả giờ dạy .
3) Kết luận chung.
Qua thực tế giảng dạy , đợc sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp bản thân
tôi đã tiếp thu đợc nhiều điều bổ ích ,thiết thực cho quá trình giảng dạy và công
tác tại trờng THCS .Tôi chọn đề tài này với mong muốn đợc đóng góp một phần
công sức nhỏ bé của mình vào sự nghiệp giáo dục của toàn ngành trong việc đổi
mới phơng pháp dạy học .
Sau khi thực nghiệm tôi thấy đề tài đã có tác dụng tốt trong việc giảng dạy
và học tập của thầy và trò bậc trung học cơ sở với loại toán Giải bài toán bằng
cách lập phơng trình Hệ phơng trình (Đại số lớp 8-lớp 9) nhằm phát huy tính
độc lập sáng tạo trong hoạt động nhận thức của học sinh .Từ đó mà nâng cao
chất lợng học tập của học sinh.
Trong quá trình viết đề tài do điều kiện về thời gian và năng lực có hạn ,đề
tài không tránh khỏi có những sai sót ,hạn chế .Tôi rất mong nhận đợc những ý

kiến đóng góp của bạn bè đồng nghiệp để làm kinh nghiệm cho bản thân trong
quá trình giảng dạy .
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Duy Minh, ngày 02 tháng 04 năm 2011.
Ngời viết sáng kiến
Bùi Thị Nghĩa

18