PT BẬC HAI VÀ ÁP DỤNG HỆ THỨC VI ET TRONG GIẢI TOÁN

A: Phần mở đầu
I/ Vai trò của bài tập toán trong tr ờng phổ thông:
- Môn toán là một trong những môn học công cụ. Đặc điểm của toán học quyết
định vị trí của môn toán trong nhà trờng phổ thông. Phân tích ta thấy toán học có tính
trừu tợng cao độ, do đó có tính thực tiễn phổ dụng tri thức và phơng pháp của toán học
xâm nhập đợc nhiều khoa học khác và vào thực tiễn. Ngời ta thờng dùng ngôn ngữ của
toán học để diễn tả nhiều sự kiện ở các lĩnh vực rất khác nhau.
- Trong nhà trờng các tri thức và phơng pháp giúp học sinh học tốt các bộ môn
khác, tính công cụ của môn toán trong việc học các môn khác càng trở nên rõ ràng,
trong đời sống hàng ngày các kỹ năng tính toán, vẽ hình, đọc và vẽ biểu đồ, đo đạc, ớc
lợng, khái niệm sử dụng các dụng cụ toán học, máy tính điện tử là điều kiện cần có để
tiến hành hoạt động của ngời lao động trong đời sống công nghiệp hoá, hiện đại hoá.
- Ngoài ra môn toán còn có tiềm năng phát triển năng lực, trí tuệ và hình thành
các phẩm chất trí tuệ. Là môn học mang sẵn trong nó chẳng những phơng pháp quy
nạp thực nghiệm mà cả phơng pháp suy diễn logic. Môn toán nói chung và bài tập toán
nói riêng tạo cơ hội cho ngời học rèn luyện khả năng suy đoán và tởng tợng. Vị trí
không tách rời ngôn ngữ nên học toán có điều kiện rèn luyện ngôn ngữ chính xác và
trong sáng. Bên cạnh đó bài tập toán còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức
học sinh, tạo điều kiện hình thành và hoàn thiện dần những nét nhân cách.
II/ Căn cứ lý luận:
- Mỗi một chuyên đề của toán học đều có đặc thù riêng. Bên cạnh đó chuyên đề
Phơng trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét trong giải toán là một trong
những chuyên đề trọng tâm của chơng trình đại số lớp 9. Để giảng dạy có hiệu quả
chuyên đề này trớc hết giáo viên phải đặt mục tiêu đề ra là: Học sinh phải nắm vững lí
thuyết, phải hiểu sâu bản chất của bài toán xuất phát từ những kiến thức cơ bản và
trọng tâm là: Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai và định lí viet đối với phơng
trình bậc hai.
- Để đạt đợc mục tiêu đó một cách có hiệu quả nhất thì hơn hết học sinh phải
hiểu đợc lý thuyết một cách sâu sắc và biết vận dụng thành thạo, kết hợp với khả năng
phân tích, tổng hợp bài toán phải có kỹ năng trình bày, xét các khả năng có thể xảy ra
với bài toán. Vì thế học sinh đợc cọ sát với các dạng toán với các bài toán chứa tham

số các bài toán về nghiệm của phơng trình bậc hai. Đồng thời khi đợc tiếp xúc nhiều
với dạng toán này thì khả năng trên càng đợc phát huy tốt hơn, điều này rất tốt trong
phơng pháp học toán và học các môn khoa học khác.
III/ Căn cứ thực tiễn:
- Trong thực tiễn dạy học toán và bài tập toán học đợc sử dụng với những dụng ý
khác nhau. Một bài toán có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát để gợi động cơ, để làm
việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra. Tất nhiên việc dạy giải một bài toán
cụ thể không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn giản nào đó mà thờng bao hàm nhiều ý đồ.
Do đó khi học các em thờng hay chủ quan với các bài toán, với kiến thức cơ bản, khả
năng lập luận logic, cha hiểu sâu sắc bản chất của vấn đề.
- Do đó khi dạy chuyên đề Phơng trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét
trong giải toán giáo viên cần giúp học sinh nắm chắc lí thuyết, giải thành thạo ph-
1
ơng trình bậc hai cơ bản làm tốt các bài toán có chứa tham số để củng cố lý thuyết và
phát huy t duy logic khả năng biện luận các trờng hợp xảy ra đối với bài tập có chứa
tham số. Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của
phơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi- ét để tính toán . Hệ thức còn
giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà không biết cụ thể mỗi nghiệm là
bao nhiêu .
- Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục
bài toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm ,
các phép tính trên 2 nghiệm của phơng trình . Việc tính mỗi nghiệm của phơng trình
theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng trình đang chứa tham số . Trong
trờng hợp đó hệ thức Vi- ét là một phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này
.
- Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối
cấp . Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi- ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan
trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trờng chuyên lớp chọn
Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm một số kinh nghiệm hớng dẫn học
sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét

B: Nội dung
Phơng trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét trong giải toán
- Các bài toán về phơng trình bậc hai rất phong phú và đa dạng. Để giải đợc các
bài toán đó phải khéo léo kết hợp giữa việc vận dụng lý thuyết và các kết quả đã biết
về phơng trình bậc hai đặc biệt là định lí viet với đặc thù riêng của phơng trình đã cho
mà biến đổi cho phù hợp. Cách giải phơng trình bậc hai.
- Nếu phơng trình bậc hai có dạng: ax
2
+ bx = 0 (1) thì ta nên đa phơng trình
trên về dạng tích: (1)

x (ax + b) = 0


0
0
0
x
x
b
ax b
x
a
=

=

+ =
=



- Nếu phơng trình bậc hai có dạng: ax
2
+ c = 0 (2) thì cũng không nên sử dụng
công thức nghiệm để giải. (2)

ax
2
= -c



2
c
x
a

=
+ Nếu
a
c
< 0

phơng trình vô nghiệm
+ Nếu

a
c
> 0

phơng trình có nghiệm x =
a
c

.
2
- Nếu phơng trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0 (3) (a

0) thì sử dụng công thức
nghiệm để giải.
Công thức tổng quát
Tính:

= b
2
4ac.
- Nếu

< 0

Pt vô nghiệm
- Nếu

= 0

Pt có nghiệm kép
x
1
= x
2
=
a
b
2

- Nếu

> 0

Pt có 2 nghiệm phân biệt
x
1
=
;
2a
b +
x
2
=
a
b
2

Công thức nghiệm thu gọn

Tính:
2
' , ,
( 2 )b ac b b = =
Nếu
,

< 0

Pt vô nghiệm
Nếu
,

= 0

Pt có nghiệm kép
x
1
= x
2
=
a
b
'

- Nếu
,

> 0

Pt có 2 nghiệm phân biệt
x
1
=
;
''
a
b +
x
2
=
a
b
''

.
- Ngoài ra việc ứng dụng định lí vi-ét để nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai cũng
là một cách ngắn gọn và hay mà học sinh thờng hay không chú ý tới.
- Định lí vi-ét: Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) (3) có nghiệm
x
1
; x
2
thì: x
1
+ x

2
=
a
b
và x
1
x
2
=
a
c
Nếu pt (3) a + b + c = 0 thì pt có hai nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
Nếu pt (3) a - b + c = 0 thì pt có hai nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c
- Muốn tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P ta chỉ
cần giải pt: x
2
- Sx + P = 0. Nếu pt có nghiệm thì hai số cần tìm là 2 nghiệm của phơng
trình này. Nếu pt vô nghiệm thì bài toán không có lời giải.

I/ Dạng 1 : Giải và biện luận ph ơng trình bậc hai.
1) Bài tập 1: Giải các phơng trình bậc hai sau:
a) ( 1 -
2
) x
2
2x +
2
+ 1 = 0 (1)
b) x
2
5x + 6 = 0 (4)
*Phân tích tìm lời giải:
- Khi giải phơng trình bậc hai học sinh thờng ít khi chú ý đến ứng dụng của
định lí viet vì thế hay sử dụng công thức nghiệm để giải. Phơng trình (1). Rõ ràng nếu
sử dụng công thức nghiệm để giải phơng trình (1) thì rất dài. Nếu ta chú ý ứng dụng
của định lí vi-ét thì việc giải pt (2) rất đơn giản:
Lời giải: a) ( 1-
2
)x
2
- 2x +
2
+ 1 = 0
Ta có a + b + c = 1 -
2
- 2 +
2
+ 1 = 0
Vậy pt có hai nghiệm x

1
= 1; x
2
=
)21()21(
)12(
21
12
2
+
+
=

+
=
2
2
)12(
1
)12(
+=

+
- Có thể sử dụng công thức nghiệm để giải hoặc biến đổi về phơng trình tích.
2) Bài tập 2: Giải phơng trình sau:
94
699
95
599
96

499
97
399
98
299
99
199
222222

+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ xxxxxxxxxxx
3
*Phân tích tìm lời giải:
- Hạng tử cao nhất của phơng trình có bậc bằng 2. Nếu quy đồng để biến đổi ph-
ơng trình về dạng chính tắc thì phép tính sẽ rất cồng kềnh. Để ý đến đặc thù của phơng
trình ta có thể biến đổi nh sau:
1
94
699
1
95
599

1
96
499
1
97
399
1
98
299
1
99
199
222222

+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ xxxxxxxxxxxx
94
10099
95
10099
96

10099
97
10099
98
10099
99
10099
222222
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ xxxxxxxxxxxx
(x
2
+ 99x 100) (
94
1
95
1
96
1
97
1

98
1
99
1
++
) = 0
x
2
+ 99x 100 = 0
Vì a + b + c = 1 + 99 - 100 = 0

Phơng trình có 2 nghiệm x
1
= 1; x
2
= -100.
* Khai thác bài toán:
* Từ lời giải bài toán trên ta có thể đa ra giải các bài toán tơng tự nh giải phơng
trình sau:
Bài tập:
14
7
13
8
12
9
11
10
2222
++

+
++
=
++
+
++ axxaxxaxxaxx
Với đặc điểm của phơng trình này ta cộng mỗi phân thức ở cả hai vế với 1 và
làm tơng tự nh ở bài toán trên ta sẽ đợc phơng trình x
2
+ ax + 21 = 0.
3) Bài tập 3: Giải và biện luận phơng trình sau:
a) x
2
mx 3(m + 3) = 0 (1)
b) mx
2
2(m + 2)x + m + 5 = 0 (2)
* Phân tích tìm lời giải:
- Trớc hết xét phơng trình (1) là phơng trình bậc hai vì (a

0).


= (-m)
2
+ 4.3 (m + 3) = m
2
+ 12m + 36 = (m + 6)
2
;

=
2
)6( +m
=
6+m
- Nếu

= 0

(m+ 6)
2
= 0

m+ 6 = 0

m = - 6 thì phơng trình có
nghiệm kép x
1
= x
2
=
2
m
= -3.
- Nếu

> 0 hay m > -6 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
x
1

=
2
6
;
2
6
2
+
=
++ mm
x
mm
- Ta xét phơng trình (2). Vì hệ số a của x
2
có chứa tham số. Vì vậy ta xét các tr-
ờng hợp xảy ra đối với phơng trình (2). Nếu m = 0 thì phơng trình (2) là phơng trình
bậc nhất. Nếu m

0 thì phơng trình (2) là phơng trình bậc hai. Vậy ta xét các trờng
hợp xảy ra nh sau:
- Nếu m = 0 Phơng trình (2)

- 4x + 5 = 0

x =
4
5
Vậy m =0 thì pt có nghiệm là

x =

4
5
- Nếu m

0 . Ta có

= (m+2)
2
m(m+5)
= m
2
+ 4m + 4 m
2
- 5m = 4 m
- Nừu

< 0

4 m < 0 thì pt vô nghiệm
- Nếu

= 0

4 m = 0 . Vậy pt có nghiệm kép x
1
= x
2
=
2m
m

+
=
4
24 +
=
2
3
- Nếu

> 0

4 a > 0

a < 4 thì pt có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
2 4m m
m
+ +
x
2
=
2 4m m
m
+
4
*Khai thác bài toán :
Qua việc giải bài tập trên ta thấy khi giải và biện luận phơng trình dạng ax
2

+ bx + c = 0 nếu hệ số a có chứa tham số thì chú ý xét hai trờng hợp xảy ra đối với a
đó là a = 0 và a

0 trong quá trình biện luận. Ta có thể đa ra các bài tập tơng tự
Bài tập : Giải và biện luận các pt sau ( với m là tham số)
a/ x
2
+ 2(1 + 3m)x m
2
b/ 2m
2
x
2
3x 1 = 0
c/ mx
2
2(m + 1)x 2m = 0
d/ (m-1)x
2
+ 2(m+1)x + m-3 = 0
II> Dạng II : Chứng minh ( tìm điều kiện) để pt bậc hai có nghiệm
- Một bài toán có thể nhìn ở nhiều góc độ khác nhau, mỗi cách nhìn cho ta một
cách giải khác nhau. Việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán giúp cho học sinh tái
hiện đợc nhiều kiến thức, mỗi cách giải ứng với kiến thức ở nhiều mục khác nhau. Cần
nhiều cách giải cho một bài toán giúp học sinh khắc sâu kiến thức, hệ thống kiến thức,
nhớ bài tập đó lâu hơn và là tiền đề giúp cho ta giải các bài toán khác. Dựa vào công
thức nghiệm tổng quát và thu gọn muốn chứng minh pt bậc hai có nghiệm ta có hai
cách:
- Cách 1: CM

0 hoặc



0
- Cách 2 : có thể CM tích a.c < 0 ( Vì khi a.c < 0 thì chắc chắn

> 0 hoặc

> 0). Chú ý khi a.c > 0 thì cha kết luận đợc điều gì về dấu của

và


- Cách 3 : ứng dụng định lí Viét:
Nếu : a + b + c = 0 thì pt luôn có 2 nghiệm

x
1
= 1 ; x
2
=
a
c
Nếu a b + c = 0 thì pt luôn có 2 nghiệm

x
1

= -1 ; x
2
=
a
c
1)Bài tập 1 : CMR các pt sau luôn có nghiệm với mọi m
a/ x
2
+ (m+1) + m = 0 (1)
b/ m
2
x
2
+ 10x 1 = 0 (2)
Phân tích tìm lời giải:
- Ta nhận thấy pt (1) là pt bậc hai ( vì a
0

). Vậy để chứng minh pt (1) luôn có
nghiệm ta phải chứng minh


0 với mọi giá trị của m
Ta có

= (m+1)
2
4m = m
2
+ 2m +1 4m = m

2
+ 2m + 1 = (m-1)
2


0
với mọi m
Vậy


0 với mọi giá trị của m. Chứng tỏ pt luôn có nghiệm với mọi m
- Tuy nhiên ở pt (2) có chứa tham số m ở hệ số a của x
2
. Vì thế để CM pt luôn có
nghiệm với mọi m ta cũng phải xét hai trờng hợp với m = 0 và m
0

Nếu m
2
= 0

m= 0 thì pt

10x 1 = 0

x =
10
1
Vậy m = 0 thì pt có nghiệm là x =
10

1
Nếu m
2

0



m
0

ta có

= 5
2
m
2
(-1) = 5 + m
2
> 0 với mọi m
Vậy với m
0
pt cũng luôn có nghiệm
KL : Vậy với pt trên luôn có nghiệm với mọi m
*Khai thác bài toán:
- Qua bài toán trên ta thấy học sinh thờng quên không xét trờng hợp m = 0.
Vì vậy khi dậy giáo viên cần phải nhấn mạnh, khắc sâu cho học sinh chú ý đối với pt
có tham số m ở hệ số a của x
2
ta phải xét các trờng hợp xảy ra. Từ đó có thể đa thêm

bài toán tơng tự cho học sinh tự giải rèn kỹ năng.
Bài tập 1 : CMR các pt sau luôn có no với mọi m
a/ x
2
mx + m 1= 0
b/ x
2
2mx + 2m 1= 0
5
c/ 2m
2
x
2
3x 1= 0
d/ mx
2
2(m+1)x 2m = 0
Bài tập 2: CMR pt x
2
+ (a + b)x 2 (a
2
ab + b
2
) = 0 luôn có nghiệm
* Phân tích tìm lời giải:
- Đôi khi để CM pt luôn có nghiệm ta nên sử dụng cách 2 thì việc CM đơn giản
mà không dài dòng.
Ta xét tích a.c = 1
[
2

(a
2
ab - + b
2
)
]
= -2
[
a(
2
ab +
4
2
b
) +
4
3
2
b
]
= -2
[
a(
2
b
)
2
+
]
2

3
4
b

0.
Do đó


0 với mọi a,b. Vậy phơng trình luôn có nghiệm.
* Khai thác bài toán :
- Từ lời giải bài toán trên ta có thể đa ra các bài toán tơng tự để học sinh vận
dụng.
Bài tập: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi m.
a) x
2
2 (10 m)x (m
2
+ 1) = 0.
b) -2x
2
+ (m 1)x + m
2
+ 3 = 0.
c) x
2
(m + 1) 2 (m
2
+ m + 1 ) = 0.
III/ Dạng III : So sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với một số cho tr ớc.
1) So sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với số 0.

Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số
cho trớc mà không giải phơng trình đó. Theo định lí viet ta biết rằng nếu phơng trình
bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có nghiệm x
1
; x
2
thì:
x
1
+ x
2
=
a
b
x
1
.x
2
=
a
c
Do đó điều kiện để phơng trình bậc hai:
+ Có hai nghiệm trái dấu

a.c < 0
+ Có hai nghiệm dơng:

1 2
1 2
0
. 0
0
x x
x x



>


+ >




+ Có hai nghiệm âm :


1 2
1 2
0
. 0
0
x x
x x

>


+ <



- Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc hai (a

0) có ít nhất một
nghiệm không âm. Thờng ta có hai cách giải:
Cách 1: Xét biểu thức P =
a
c
phơng trình có ít nhất một nghiệm không âm nếu:
+ Có P < 0 (trờng hợp này có một nghiệm dơng, một nghiệm âm).
+ Hoặc P = 0 (trờng hợp này có một nghiệm bằng 0).
6
+ Hoặc:
1 2
1 2
0
. 0
0
x x
x x

>


+ >

(trờng hợp này có hai nghiệm đều dơng).
Cách 2: Xét biểu thức s =
a
b
. Trớc hết ta có



0. Khi đó phơng trình có ít
nhất 1 nghiệm không âm nếu:
+ S > 0 (trờng hợp này tồn tại một nghiệm dơng)
+ S = 0 (trờng hợp này tồn tại một nghiệm không âm).
+ S < 0; P

0 (trờng hợp này có một nghiệm không âm, một nghiệm âm).
Tuỳ theo đầu bài mà ta chọn cách xét biểu thức nào trớc.
Bài tập 1: Cho phơng trình x
2
2 (m + 2)x + m + 1 = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
Phân tích tìm lời giải:
a) Từ điều kiện trên. Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt dơng

'

> 0 (m + 2)
2
(m + 1) > 0


x
1
.x
2
> 0

m + 1 > 0
x
1
+ x
2
> 0 2 (m + 2) > 0
m
2
+ 4m + 4 m 1 > 0 m
2
+ 3m + 3 > 0 (m +
2
3
)
2
+

4
3
>0
m > -1

m > -1

m > -1

m > -1
m > -2 m > -2 m > -2
Vậy m > -1 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt dơng.
b) Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu

a.c < 0

m +1 < 0

m < -1
Vậy m > -1 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
Khai thác bài toán:
Từ kết quả bài toán trên ta có thể khai thác triệt để tìm thêm kết quả mới để
giúp học sinh hiểu sâu hơn bài toán và nắm chắc hơn bài toán.
Bài tập 1: Cho phơng trình: x
2
2 (m 1)x m = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm.
Bài tập 2: Cho phơng trình x
2

+ 2(m + 1)x + 2m -11 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm.
Bài tập 3: Tìm k để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt.
x
4
2kx
2
+ 2k 3 = 0 (1)
Phân tích tìm lời giải:
- Phơng trình (1) ta có thể đặt ẩn phụ để đa về phơng trình bậc hai.
Đặt x
2
= t(t

0) ta có t
2
2k.t + 2k 3 = 0 (2)
Vậy để phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) có hai nghiệm
phân biệt dơng. Do đó ta có:
2
2
1 2
1 2
( 1) 2 0
0 2 3 0
3 3
. 0 2 3 0

2 2
2 0
0
0
k
k k
t t k k k
k
t t
k

+ >

> + + >




> > > >


>
+ >


>


Vậy k >
2

3
thì pt (1) có 4 nghiệm
phân biệt dơng.
Khai thác bài toán :
7
- Từ lời giải trên ta có thể ra bài toán tơng tự : Tìm m để pt sau có 4 nghiệm phân
biệt : x
4
4x
3
+ 8x m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
-Ta có thể thay đổi một số yếu tổ của bài toán, có thể thay đổi một số dữ kiên,
cũng có thể thay đổi một vài điều phải tìm, phải chứng minh để tìm ra bài toán ban
đầu, để sử dụng hoặc bồi dỡng học sinh giỏi. Ta có bài toán sau:
Bài tập 4 : Cho pt (x
2
1)( x + 3)(x + 5) = m (1)
Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt thoả mãn
1
1
x
+
432
111
xxx
++
= -1
Phân tích tìm lời giải:
Trớc hết ta biến đổi pt trên rồi đặt ẩn phụ để đợc pt bậc hai

(x - 1)(x+1)(x+3)(x+) = m


(x
2
+ 4x 5)(x
2
+ 4x + 3) = m
Đặt x
2
+ 4x + 4 = t (t

0)
Ta có pt : ( t 9)(t 1) = m


t
2
10t + 9 m = 0 (2)
Để pt (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm phân biệt dơng.
Do đó ta có :
,
1 2
1 2
0 16 0
16
. 0 9 0 16 9
9
10 0

0
m
m
t t m m
m
t t

> + >

>



> > < <

<


>
+ >


Khi đó ta có pt x
2
+ 4x + 4 t
1
= 0 có hai nghiệm x
1
, x
2

Pt x
2
+ 4x + 4 t
2
= 0 có hai nghiệm x
3
, x
4
Theo vi-ét ta có:
1 2
1. 2 1
4
4
x x
x x t
+ =


=

và
3 4
3. 4 2
4
4
x x
x x t
+ =

=


Mặt khác:
4321
1111
xxxx
+++
= m


43
43
21
21
xx
xx
xx
xx
+
+
+
= m


21
4
4
4
4

tt

+


= m


-4 (4 t
2
) 4 = m (4 t
1
)(4 t
2
)


-16 + 4t
2
16 + 4t
1
= m(16 4t
2
4t
1
+ t
1
t
2
)

4 (t
1
+ t
2
) 32 = m [ t
1
t
2
4 (t
1
+ t
2
) + 16 ]
Mà t
1
+ t
2
= 10 thay vào ta giải tiếp đợc m = -7 (t/m)
t
1
t
2
= 9m
Khai thác bài toán:
- Từ lời giải bài toán trên ta có thể đa ra các bài toán tơng tự.
Bài tập 1: Tìm m để phơng trình: (x
2
+ 2x + 1)

2
+ x
2
+ 2x + m = 0 có 4 nghiệm phân
biệt thoả mãn:
4321
1111
xxxx
+++
= 1.
Bài tập 2 : Tìm m để pt :x
4
10mx
2
+ m + 8 = 0 có 4 nghiệm phân biệt thoả mãn
x
4
x
3
= x
3
x
2
= x
2
x
1
với x
1
< x

2
< x
3
< x
4
.
Bài tập 3 : Tìm m để pt (x 7)(x 6)(x + 2)(x + 3) = m có 4 nghiệm phân biệt x
1
,
x
2
, x
3
, x
4
thoả mãn
4321
1111
xxxx
+++
= 4.
2- So sánh nghiệm của các pt bậc hai với một số bất kỳ khác 0.
8
- Để so sánh nghiệm của pt bậc hai với một số bất kỳ cho trớc ta có thể dùng
định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai hoặc sử dụng công thức nghiệm để tìm ra
nghiệm rồi so sánh.
Bài tập 1 : Tìm m để pt x
2
+ 2 (m + 1)x + 2m 11 = 0.
a) Có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1.

b) Có 2 nghiệm lớn hơn 2.
Phân tích tìm lời giải:
Xét
,

= (m + 1)
2
(2m 11) = m
2
+ 12 > 0 với mọi m.
Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
.
a) Giả sử phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
sao cho:
1
2
1
1
x
x
<


>

hoặc
1
2
1
1
x
x
>


<

1
2
1 0
1 0
x
x
<


>

hoặc
1
2
1 0
1 0
x

x
>


<



(x
1
1) (x
2
1) < 0


x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) + 1 < 0.
Theo viet
1 2
1 2
2 2
. 2 11
x x m

x x m
+ =


=

thay vào ta có:


2m 11 (-2m 2) + 1 < 0


2m 11 + 2m +2 + 1 < 0


m < 2.
Vậy m < 2 thì phơng trình có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
b) Giả sử pt có 2 nghiệm x
1
; x
2
sao cho






<
>

>
>




>
>+




>+
>++




>+
>




>
>

>
>
3
2
1
062
036
0422
04)22(2112
04
04)(2
022
0)2)(2(
02
02
2
2
21
212.1
21
21
2
1
2
1
m

m
m
m
m
mm
xx
xxxx
xx
xx
x
x
x
x

Hệ vô nghiệm. Vậy không có giá trị nào của m để pt có 2 nghiệm lớn
hơn 2.
Khai thác bài toán:
Với cách giải trên học sinh có thể làm đợc nhiều bài tập tơng tự.
Bài tập 1: Tìm m để pt x
2
+ x + m = 0 có hai nghiệm đều lớn hơn m.
Bài tập 2: Tìm m để pt x
2
+ mx 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài tập 3: Tìm m để pt (m 1)x
2
(m 5)x + m 1 = 0 có 2 nghiệm phân
biệt lớn hơn -1.
Bài tập 4: Tìm m để pt x
2

+ mx 1 có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.
Bài tập 5: Tìm m để pt x -
2
1 x
= m có một nghiệm duy nhất.
IV/ Dạng IV: Quan hệ giữa các nghiệm của hai pt bậc hai.
Bài tập 1: Tìm các giá trị của a để hai pt sau có ít nhất 1 nghiệm chung:
x
2
+ ax + 1 = 0 (1)
x
2
+ x + a = 0 (2)
Phân tích tìm lời giải:
Để giải bài toán trên ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1: Giả sử x = x
0
là một nghiệm chung nào đó của hai pt. Khi đó ta có:
x
2
0
+ ax
0
+ 1 = 0 và x
0
2
+ x
0
+ a = 0.
9

x
0
(a 1) = a 1 (*)
- Nếu a = 1 thì thay vào 2 pt đã cho ta có x
2
+ x + 1 = 0; và x
2
+ x + 1 = 0 là hai
pt vô nghiệm.
- Nếu a

1 thì (*)

x =
1
1


a
a
= 1. Thay x = 1 vào (1) ta có a = -2.
Cách 2: Hai pt có nghiệm chung

hệ sau có nghiệm:
x
2
+ ax + 1 = 0

x (a 1) = a 1
x
2
+ x + a = 0 x
2
+ x + a = 0.
đến đây ta giải nh cách 1.
Cách 3: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của mỗi phơng trình. Vậy xét x

0 ta có:
x
2
+ ax + 1 = 0

a =
x
x 1
2



-x
2
x =
x
x 1
2

x
2

+ x + a = 0 a = -x
2
x


x
2
+ 1 = x
3
+ x
2
.


x
3
= 1


x = 1.
. Thay x = 1 ta có a = -2.
Khai thác bài toán:
- Qua bài tập này có thể giáo viên cho học sinh tìm giả thiết của a để hai pt trên
tơng đơng. Dễ dàng ta thấy a = 1 thì hai pt tơng đơng vì a = 1 thì hai pt cùng vô
nghiệm nên hai pt tơng đơng. Còn hai pt có nghiệm mà tơng đơng thì trớc hết chúng
phải có nghiệm chung, khi đó a = -2. Tuy nhiên a = -2 thì hai pt chỉ có một nghiệm
chung nên không tơng đơng. Từ đó ta có thể đa ra và giải các bài toán tơng tự.
Bài tập: Tìm m để hai pt sau tơng đơng.
a) x
2

(m + 4)x + m + 5 = 0 và x
2
(m + 2)x + m + 1 = 0
b) x
2
+ mx + 2 = 0 và x
2
+ 2x + m = 0
c) 2x
2
(3m + 2) x + 12 = 0 và 4x
2
(9m 2)x + 36 = 0.
d) x
2
mx + 2m + 1 = 0 và mx
2
(2m + 1)x 1 = 0
e) x
2
+ (m 2)x + 3 = 0 và 2x
2
+ mx + m + 2 = 0.
* Trong một số trờng hợp để tạo ra bài toán mới bằng phơng pháp tơng tự ta có
thể giữ nguyên các giữ kiện giả thiết của bài toán và chỉ thay đổi kết luận (hay câu hỏi)
của bài toán đó. Chỉ có thể làm đợc điều này nếu ta khai thác kết quả mới của bài toán
đã cho hoặc nghiên cứu bài toán theo một hớng khác. Bài toán mới cùng với bài toán
ban đầu giúp học sinh xem xét một vấn đề toán học dới những góc độ khác nhau biết
cách khai thác các kết quả khác nhau giúp học sinh nắm vững kiến thức sâu hơn và
phát huy t duy phân tích, tổng hợp cho học sinh.

Ta có bài toán mới sau:
Bài tập 2: Tìm giá trị của a để hai pt sau tơng đơng:
x
2
+ x + a = 0 (1)
x
2
+ ax + 1 = 0 (2)
Phân tích tìm lời giải:
Từ khái niệm hai pt tơng đơng là hai pt có cùng tập nghiệm. Vì vậy gọi
N
1
là tập hợp nghiệm của pt (1)
N
2
là tập hợp nghiệm của pt (2). Vậy ta cần tìm a để N
1
= N
2
. Do đó cần
phải xét các trờng hợp xảy ra.
Hai pt trên cùng vô nghiệm.
TH
1
:

N
1
= N
2

=







<
<
04
041
2
a
a





<+
>
0)2)(2(
4/1
aa
a

<<
>
22
4/1
a
a


4
1
< a < 2
TH
2
: N
1
= N
2



Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của pt (1); x
3
; x
4

là hai nghiệm của pt (2). Vậy để hai pt trên t-
ơng đơng
10


1 2 3 4
1 2 3 4
1 1
. . 1 1
x x x x
a a
x x x x a a
+ = +
= =




= = =


Hệ vô nghiệm
KL: Vậy
4
1
< a < 2 thì hai pt trên tơng đơng.
Khai thác bài toán :
Qua đó giáo viên cho học sinh giải các bài tập tơng tự để rèn kĩ năng vận
dụng cho học sinh làm dạng toán này:
Bài tập 1: Tìm a để hai pt sau tơng đơng:

x
2
+ ax+ 8 = 0 (1)
x
2
+ x + a = 0 (2)
Bài tập 2: Tìm a; b để hai pt sau tơng đơng:
x
2
(a + 2b)x 6 = 0
x
2
(2a + b)x 3a = 0
Bài tập 3: Tìm m; n để hai pt sau tơng đơng:
x
2
+ (3m + 2n)x 4 = 0
x
2
+ (2m + 3n)x + 2n = 0.
Bài tập 4: Tìm các giá trị của cheath để 1 nghiệm của pt 2x
2
13x + 2m = 0 (1) gấp
đôi nghiệm của pt x
2
4x + m = 0 (2).
Phân tích tìm lời giải:
Giả sử pt (2) có nghiệm là x = a thì khi đó pt (1) phải có nghiệm x = 2a.
Vậy x = a; x = 2a lần lợt là nghiệm của pt (1) và pt (2) nên thay vào ta có:
2 2

2
2 2
2(2 ) 13.2 2 0 4 13 0
3 9 0 3 ( 3) 0
4 0 4 0
a a m a a m
a a a a
a a m a a m

+ = + =

= =

+ = + =



0a
=
hoặc
3a
=
Lần lợt thử lại với a = 0; a = 3 để chọn kết quả đúng.
Khai thác bài toán:
Qua bài tập này học sinh có thể làm bài tập tơng tự. Với nghiệm của pt này
gấp k lần nghiệm của pt kia.
Bài tập 1: Cho các pt x
3
5x + k = 0 (1)
x

2
7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của pt (2) lớn gấp hai lần một trong
các nghiệm của pt (1).
Bài tập 2: Cho các pt ax
2
+ bx + c = 0 (1)
cx
2
+ bx + a = 0 (2).
Biết pt (1) có một nghiệm dơng là x = m. Chứng minh pt (2) có một nghiệm là n sao
cho n + m

2.
V/ Dạng V : Ph ơng trình bậc hai với tính chất các nghiệm:
ở dạng này kiến thức trọng tâm là ứng dụng định lí viet cùng với điều kiện để
pt bậc hai có nghiệm. Các dạng toán về định lí viét.
+ Biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm.
+ Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào cheath.
+ Tìm điều kiện để pt có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức cho trớc.
+ Tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức liên quan tới hai nghiệm.
Bài tập 1: Cho pt: x
2
2 (m 1)x + m 3 = 0
a) Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tuỳ theo giá trị của m hãy tính A = x
1
2
+ x
2

2
.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
d) Tìm m để pt có 2 nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
e) Tìm giá trị m của A = x
1
2
+ x
2
2
.
Phân tích tìm lời giải:
a) Ta có:

= (m 1)
2
(m 3) = m
2
2m + 1 m + 3 = m
2
3m + 4.
11


= (m -
2
3
)
2
+

4
7
> 0 với mọi m.
Chứng tỏ pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Để tính biểu thức A = x
1
2
+ x
2
2
theo m. Trớc hết hãy biến đổi biểu thức A về tổng hai
nghiệm và tích hai nghiệm. Từ đó sử dụng hệ thức viét để tính.
Ta có: A = x
1
2
+ x
2
2
= x
1
2
+ 2 x
1
. x
2
+ x
2
2
2x
1

x
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
.
Theo viét :
1 2
1 2
2( 1)
. 3
x x m
x x m
+ =


=

thay vào ta có:

A = 2(m 1)
2
2 ( m 3) = 4(m

2
2m + 1) 2m + b = 4m
2
8m + 4
2m + 6.
= 4m
2
- 10m + 10
c) Để tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Từ hệ thức Vi ét ta
rút m theo x
1
, x
2
. từ đó tìm đợc hệ thức.
Ta có
1 2
1 2
2( 1)
. 3
x x m
x x m
+ =


=


( )
( )
1

2

Từ (2) => m = x
1
.x
2
+ 3 thay vào (1) ta có
x
1
.x
2
= 2(x
1
.x
2
+ 3 1)


x
1
+ x
2
= 2(x
1
.x
2
+ 2)
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là : x
1
+ x

2
= 2(x
1
.x
2
+ 2)
d) Để có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia


x
1
= 2x
2
hoặc x
2
= 2x
1


x
1
2x
2
= 0 hoặc x
2
- 2x
1
= 0

(x
1
2x
2
)( x
2
- 2x
1
) = 0


x
1
.x
2
- 2x
1
2
2x
2
2
+4x
1
x
2
= 0


5x
1

.x
2
- 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 0


5x
1
.x
2
- 2
[
)(
21
xx +
2
- 2x
1
.x
2

]
= 0

9x
1
.x
2
- 2(x
1
+ x
2
)
2
= 0
Thay
1 2
1 2
2( 1)
. 3
x x m
x x m
+ =


=

vào ta có:



9(m 3) - 2
[
)1(2 m

]
2
= 0


9m 27 8(m
2
2m + 1) = 0


9m 27 8m
2
+ 16m 8 = 0


8m
2
25m + 35 = 0
Ta có :

= ( -25)
2
4.8.35 = 625 1200 = - 495 < 0
Vậy pt vô nghiệm

không có giả thiết nào của m để pt có nghiệm này gấp 2 lần
nghiệm kia.
e) Ta có A = x
1
2

+ x
2
2
= 4m
2
10m + 10
= ( 2m -
2
5
)
2
+
4
15
với mọi m
Vậy giả trị nhỏ nhất của A là
4
15
khi 2m -
2
15
= 0

m =
4
15
Khai thác bài toán :
Qua lời giải bài toán trên ta có thể đa ra một loạt các bài toán có tính chất t-
ơng tự nh :
Bài tập 1 : Gọi x

1
và x
2
là các nghiệm của phơng trình x
2
+ 5x + 2 = 0. Tính giá trị các
biểu thức:
a) A = x
1
2
+ x
2
2
b) B = x
1
3
+ x
2
3
c) C = x
1
4
+ x
2
4

12
d) D = x
1
2

.x
2
3
+ x
1
3
.x
2
2
e) E =
21
xx
VI Dạng VI : Lập ph ơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm
Nếu x; y thỏa mãn x + y = S và x.y = P thì x, y là hai nghiệm cuả phơng trình :
X
2
- S X + P = 0
Bài toán 1: Lập một phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là: x
1
=
3 2+
và x
2
=
1
3 2+
Phân tích tìm lời giải :
Ta sử dụng tìm hai số khi biết tổng và tích vì thế ta có thể lập đợc phơng trình
bậc hai nhận hai số đó là nghiệm.
Ta có x

1
+ x
2
=
3 2+
+
1
3 2+
=
3 2+
+
3 2
= 2
3
x
1
.x
2
= (
3 2+
).
1
3 2+
= 1
Vậy x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2

- 2
3
x + 1 = 0
Khai thác bài toán :
Để phát huy tính tích cực của học sinh, giáo viên thay đổi hoặc thêm một số yếu
tố khác để làm cho bài toán dễ hay khó đi, phù hợp với mức độ từng học sinh. Vì vậy
ta có bài toán sau:
Bài toán 2: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) ( a; c

0) có nghiệm x
1
; x
2

a, Lập phơng trình bậc hai nhận
1
1
x
và
2
1
x
là nghiệm
b, Tìm các hệ thức giữa a, b, c để x
1
2
+ x
2

2
+ x
3
2
+ x
4
2
= 4 ( x
3
, x
4
là hai nghiệm
của phơng trình vừa lập đợc )
Phân tích tìm lời giải :
a, Ta thấy mức độ bài toán đã khó hơn. Vì vậy đòi hỏi học sinh phải có sự đào
sâu suy nghĩ để giải quyết bài toán trên.
Ta có : x
1
+ x
2
= -
b
a
; x
1
.x
2
=
c
a

( vì x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1)
Mặt khác
1
1
x
+
2
1
x
=
1 2
1 2
.
.
x x b a b
x x a c c
+
= =
Vậy
1
1
x
;
2
1
x

là nghiệm của phơng trình :
2
0
b a
x x
c c
+ + =
b, Ta có x
1
2
+ x
2
2
+ x
3
2
+ x
4
2
=
2 2
1 2
2 2
1 2
1 1
( ) ( ) 2 2 4x x
x x
+ + + + =
Dấu = xảy ra

x
1
2
= 1 và x
2
2
= 1

x
1
=x
2
= 1 hoặc x
1
=x
2
= -1 hoặc x
1
+ x
2
= 0
và x
1
.x
2
= - 1
13
+ Nếu x
1
=x

2
= 1 khi đó phơng trình (1) có nghiệm kép
1 2
1 2
1
2
2
. 1
b
x x
b a
a
c c a
x x
a


= = =

=




=


= =

+ Nếu x
1
+ x
2
= 0 hay b = 0 ; x
1
.x
2
= -1 hay c = 0
Khai thác bài toán :
Từ bài toán trên giáo viên có thể khai thác các dạng toán sau:
Bài tập 1: Tìm m và n để các phơng trình sau: x
2
mx + n + 1 = 0 và
( n+ 1)x
2
mx + 1= 0 đều có hai nghiệm phân biệt thoả mãn tổng bình phơng
các nghiệm của hai phơng trình đều bằng 4
Bài tập 2 : Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình: x
2
(2m + 1)x + m = 0 . Hãy
lập một phơng trinh bậc hai nhận
1 2
1 2
1 1
,

x x
x x
+ +
làm nghiệm.
VII Dạng VII : ứng dụng của ph ơng trình bậc hai vào quan hệ giữa parabol và đ -
ờng thẳng
Hoành độ giao điểm của parabol y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng y = mx + n (m

0)
là nghiệm của phơng trình : ax
2
= mx + n (1)
- Nếu phơng trình (1) vô nghiệm thì đờng thẳng và parabol không cắt nhau
- Nếu phơng trình (1) có nghiệm kép thì đờng thẳng và parabol tiếp xúc nhau
- Nếu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì đờng thẳng và parabol cắt nhau
tại hai điểm phân biệt
Bài toán 1: Lập phơng trình tiếp tuyến của (P) y = 0,5x
2
biết nó đi qua điểm A (1;0)
Phân tích tìm lời giải :
Gọi phơng trình đờng thẳng cần lập y = ax + b (d) Vậy (d) đi qua A và tiếp xúc
với (P), nên sử dụng điều kiện (d) tiếp xúc với (P) ta sẽ lập đợc phơng trình đờng thẳng
thoả mãn đầu bài
Vì (d) đi qua điểm A(1;0) nên ta có : a + b = 0
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
0,5x

2
= a x + b

x
2
- 2a x 2b = 0 (1)
Vì (d) và (P) tiếp xúc nhau nên phơng trình (1) có nghiệm kép
hay

=0

a
2
+ 2b = 0 Do đó ta có
2
0
2 0
a b
a b
+ =


+ =


0
0
2
2
a

b
a
b

=



=



=



=



Vậy phơng trình đờng
thẳng cần lập y = 0 và y = 2x- 2
Khai thác bài toán :
Qua lời giải bài toán trên ta có thể đa ra các bài toàn tơng tự nhng mức độ cao
hơn, khó hơn. Vì thế ta có bài toán sau:
Bài toán 2: Cho (P) y =x
2
. CMR với mọi điểm M thuộc đờng thẳng y = - 0,5 thì các
tiếp tuyến kẻ từ M đến (P) vuông góc với nhau.
Phân tích tìm lời giải :

14
Xét một điểm M thuộc đờng thẳng y = - 0,25. Ta cần chứng minh qua điểm này
có hai đờng thẳng tiếp xúc với (P) và hai đờng thẳng này vuông góc với nhau.
Gọi M(m ; - 0,25) bất kì thuộc đờng thẳng y = - 0,25. Xét đờng thẳng (d) có ph-
ơng trình :y = ax + b đi qua M và tiếp xúc với (P). Ta có: ma + b = - 0,25
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình :
x
2
= a.x 0,25 ma

x
2
ax + ma + 0,25 = 0
Ta có

= a
2
4ma 1 .Để (d) tiếp xúc với (P)


= 0

a
2
4ma 1 = 0
(1)
Dễ thấy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt a
1
; a
2

.Vì 4 m
2
+ 1 > 0 với
mọi m
Vậy luôn có hai tiếp tuyến của (P) qua M là đờng thẳng (d
1
) : y = a
1
x + b
1
và
(d
2
) y= a
2
x + b
2
Lại có a
1
.a
2
= 1 ( theo vi ét) nên (d
1
)

(d
2
) . Vậy chứng tỏ rằng qua điểm M có
thuộc đờng thẳng y = - 0,25 luôn tồn tại hai tiếp tuyến của (P) vuông góc với nhau.
*Dựa vào sự hiểu biết sâu sắc của mình về vị trí tơng đối củađờng thẳng (d) và

(P) thông qua số nghiệm của phơng trình hoành độ giao điểm mà học sinh có thể làm
đợc nhiều dạng bài toán có liên quan đến (P) và đờng thẳng (d)
Bài tập 1: Cho (P) : y = x
2
. Tìm điểm A thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A của (P) song
song với đờng thẳng y = 4x + 5.
Bài tập 2 : Cho (P) y = x
2
. Gọi A, B là giao điểm của đờng thẳng y = mx + 2 với (P).
Tìm m để AB có độ dài nhỏ nhất.
Bài tập 3 : Cho (P) y = - 0,5x
2
và đờng thẳng y = 0,5x + 3 (d)
a, Tìm toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d)
b, Tìm điểm M thuộc
ằ
AB
sao cho diện tích
AMN
lớn nhất.
VIII Dạng VIII . ứng dụng điêù kiện có nghiệm của ph ơng trinh bậc hai vào bài
toán tim cực trị
Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A =
2
2
1
1
x x
x x
+

+ +
Phân tích tìm lời giải
Để tìm GTLN, GTNN của biểu thức A thì ta phải chứng minh đợc m

A

k
( m và k là hằng số ).Muốn vậy ta xét một giá trị bất kì của biểu thức A là a
Khi đó sử dụng điều kiện có nghiệm ta sẽ tìm đợc GTLN,GTNN.
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phơng trình sau có nghiệm.
a =
2
2
1
1
x x
x x
+
+ +
( do x
2
+ x + 1

0 ) (1)

a x
2
+ a x + a = x
2
x + 1

( a 1 )x
2
+ ( a + 1)x + ( a 1 ) = 0 (2)
TH
1
: Nếu a = 1 thì phơng trình (2) có nghiệm x = 0
TH
2
: Nếu a

1 thì phơng trình (2) có nghiệm

0




( a + 1)
2
4( a -1)
2


0

( 3a 1).(a 3)

0
15

1
3

a 3 ( a ? 1)


1
3

A 3
Với a =
1
3

thì x = 1. Với a = 3 thì x = -1
Vậy Min A =
1
3



x =1. MaxA = 3

x = - 1
Khai thác bài toán :
Qua bài toán trên ta có thể đa ra các bài toán tơng tự cho học sinh vận dụng
Bài tập 1: Tìm m ,n để A =
2

2
2 4
x mx n
x x
+ +
+ +
đạt GTLN bằng
1
3
và GTNN bằng 3
Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
A =
2
1
x
x +
B =
2
2
2 2
2 4
x x
x x
+
+ +
C Kết luận
- Quá trình nghiên cứu và tìm tòi việc dạy học toán cho học sinh nói chung và
học sinh THCS nói riêng là vô cùng quan trọng. Sau nhiều lần áp dụng kinh nghiệm tôi
thấy học sinh nắm bắt kiến thức tốt hơn , khả năng xử lí một bài toán của học sinh ở
mọi góc độ , mọi khía cạnh rất chặt chẽ t duy có chiều sâu.Điều này rất lợi cho việc

học toán. Để làm tốt nhiệm vụ này ngời giáo viên phải trang bị cho mình những kiến
thức, kĩ năng khai thác một bài toán . Có đợc những kiến thức kĩ năng này ngời giáo
viên sẽ có điều kiện dạy học tốt tới nhiều đối tợng học sinh trong cùng một bài toán,
có điều kiện giúp học sinh nắm chắc và hiểu sâu kiến thức, biết cách phân biệt các yếu
tố chính cơ bản trong những bài tập. Sau nhiều năm giảng dậy nghiên cứu và tìm tòi
tôi đã thu đợc một số kết quả khi giảng dậy cho học sinh phơng pháp này
- Trong năm học 2010- 2011: Kết quả kiểm tra đối chứng giữa hai lớp 9A áp dụng
phơng pháp trên và 9B không áp dụng phơng pháp trên nh sau :
Xếp loại
Lớp
Giỏi Khá TB Yếu
9A 3(10%) 15(50%) 10(33,3%) 2(6,7%)
9B 2(6,7%) 10(33,3%) 14(46,7%) 4(13,3%)
Nh vậy tỉ lệ học sinh đạt từ khá, giỏi của lớp 9A cao hơn 9B khi sử dụng phơng
pháp dạy học này. Và đề tài này đã có tác dụng tốt trong việc giảng dạy và học tập của
học sinh trung học cơ sở
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi, rất mong các đồng chí tham khảo
và đóng góp ý kiến để tôi có một phơng pháp dạy có hiệu quả nhất với chuyên đề này
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Duy Minh, ngày 5 tháng 4 năm 2011
16
Ngêi viÕt
KiÒu Ngäc Kiªn
17