Mô hình ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




Nguyễn Thị Kim Oanh



MÔ HÌNH ISING VÀ ỨNG DỤNG CHO
CÁC CHẤT SẮT TỪ




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC





Hà Nội – Năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




Nguyễn Thị Kim Oanh

MÔ HÌNH ISING VÀ ỨNG DỤNG CHO
CÁC CHẤT SẮT TỪ

Chuyên ngành: Vật lý chất rắn
Mã số:
60440104

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. TS. Bạch Hương Giang
2. GS.TS Bạch Thành Công


Hà Nội – Năm 2014
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1: SẮT TỪ VÀ MÔ HÌNH ISING 5
1.1: Đặc điểm của chất sắt từ. 5
1.2:Hiện tượng chuyển pha vật liệu sắt từ. 6
1.2.1.Pha và chuyển pha. 6
1.2.2.Phân loại chuyển pha 6
1.2.3: Chuyển pha sắt từ-thuận từ. 7
1.3 : Mô hình Ising cho chất sắt từ. 9

1.3.2: Lời giải chính xác cho mô hình hai chiều. 13
1.3.3. Mô hình Ising ba chiều. 15
1.3.4. Năng lượng tự do , mô men từ , độ từ hóa trong mô hình Ising 19
1.3.5 : Kết luận 21
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH ISING MẤT TRẬT TỰ VỚI TÍCH PHÂN TRAO
ĐỔI THĂNG GIÁNG VÀ ỨNG DỤNG 22
2.1: H
ệ thức Callen cho mô hình Ising mất trật tự. 22
2.1.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising trật tự. 22
2.1.2. Mô hình Ising mất trật tự với tích phân trao đổi thăng giáng và hệ thức
Callen. 24
2.1.3: Phương trình đại số cho mô men từ trên một nút mạng nhận bằng phương
pháp biến đổi tích phân. 26
2.2: Phương pháp Monte Carlo [5] 34
2.2.1: Thuật toán Metropolis 34
2.2.2: Áp dụng cho mô hình Ising hai chiều 37
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 

CHƯƠNG 3 : KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 40
3.1: Đường cong từ nhiệt m(t) khi có và không có từ trường ngoài. 41
3.1.1: Mạng hai chiều 41
3.1.2: Mạng ba chiều (z=6) 45
3.2. Đường biểu diễn phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha Curie vào xác suất p 47
3.2.1 : Mạng hai chiều 47
3.2.2: Mạng ba chiều 48
3.3 : Sự phụ thuộc mô men từ vào từ trường ngoài h ở nhiệt độ thấp. 49
3.3.1: Mạng hai chiều 49
3.3.2: Mạ

ng ba chiều 51
3.3.3:Áp dụng mô hình Ising có tích phân trao đổi thăng giáng cho chuyển phameta
từ 54
KẾT LUẬN 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO 57










Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Bạch Hương Giang và GS.TS
Bạch Thành Công đã tận tình hướng dẫn và động viên trong suốt quá trình thực
hiện luận văn để em có thể hoàn thành tốt đề tài “ Mô hình Ising và ứng dụng với
các chất sắt từ” .
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Th.S Nguyễn Văn Chinh –bộ môn Lý
Sinh –Học viện Quân Y đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình em thực hiện nhữ
ng
tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn PTN tính toán trong KHVL, các thầy cô trong bộ

môn Vật lý chất rắn và các thầy cô trong Khoa Vật lý – Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, các thầy cô công tác tại trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã trang bị kiến
thức chuyên môn cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp em hoàn thành
luận văn này.
Cám ơn đề tài NAFOSTED 103.02.2012.73 đ
ã giúp đỡ tính toán trên máy tính
để thực hiện thành công luận văn này.
Cuối cùng em xin gửi những lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh,
động viên trong suốt quá trình em học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.


Hà Nội ngày 01 tháng 08 năm 2014
Người thực hiện
Nguyễn Thị Kim Oanh
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ


Luận văn tốt nghiệp 

1
MỞ ĐẦU
Vật liệu từ được phát hiện cách đây hàng nghìn năm và ứng dụng tiêu biểu
nhất trong thời kì đó là kim la bàn. Chính la bàn đã tạo điều kiện cho ngành hàng
hải phát triển, góp phần tìm ra các lục địa mới. Việc phát hiện ra loại vật liệu này
với những tính chất đặc biệt của nó đã tạo bước ngoặt lớn trong tiến bộ của loài
người. Ngày nay, các vật li
ệu từ được ứng dụng rộng rãi trong các thiết bị hiện đại
của cuộc sống xung quanh chúng ta như điện thoại, la bàn, ổ cứng, ti vi… Song
song với sự phát triển của các loại vật liệu từ là sự phát triển của ngành từ học
nghiên cứu các tính chất và các hiện tượng của vật liệu đó. Một hiện tượng quen

thuộc và nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học chính là hiện tượng
chuyển pha của vật liệu từ. Các mô hình lý thuyết giải thích hiện tượng từ một cách
hiện tượng luận đã được đưa ra như mô hình lý thuyết trường phân tử Weiss (1907)
giải thích hiện tượng sắt từ, mô hình Neel (1904-2000) giải thích hiện tượng phản
sắt từ và feri từ ….Tuy nhiên việc phát triển các mô hình vi mô để giải thích được
bản chất lượng tử của các hi
ện tượng từ luôn là nhiệm vụ cần thiết.
Hiện nay, quá trình từ hóa trong vật liệu có cạnh tranh tương tác như quá trình
cạnh tranh giữa phản sắt từ và sắt từ trong hợp chất, hợp kim perovskite pha tạp, sắt
từ pha tạp …đang được nhiều phòng thí nghiệm trên thế giới nghiên cứu. Đặc biệt
là quá trình từ hóa ở nhiệt độ thấp với ảnh hưởng của từ trường ngoài trong vậ
t liệu
đa tinh thể. Ví dụ như công trình nghiên cứu của R. Mahendiran [15] khảo sát sự
phụ thuộc của mô men từ vào trường ngoài của vật liệucho kết quả khá lý thú là tồn
tại của bước nhảy của mô men từ ở nhiệt độ thấp gần 0 độ Kelvin.Các nhảy bậc
trong đường cong từ hóa ở nhiệt độ thấp trong môi trường có tồn tại cạnh tranh
tương tác đã được khảo sát trong mô hình Ising hai chi
ều [7].
Mô hình Ising (1920) là mô hình toán học đơn giản cho hiện tượng từ trong cơ
học thống kê. Mô hình này bao gồm các biến độc lập được gọi là spin có thể nhận
một trong hai giá trị là 1 hoặc -1. Các biến spin được sắp xếp trong mạng tinh thể tại
các nút mạng và chỉ tương tác với những lân cận của nó do nhà khoa học Ersnt
Ising (1900-1998) xây dựng cùng với một số lý thuyết được nêu trong các công
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 

2
trình khoa học ở trên là cơ sở để giải thích cho quá trình chuyển pha từ trong các hệ
từ pha tạp mạnh và có cạnh tranh tương tác.

Trong luận văn này, tôi tiếp tục phát triển lý thuyết trên khảo sát quá trình từ
hóa của vật liệu sắt từ dưới tác dụng của trường ngoài khác nhau và cho các hệ thực
(hệ hai chiều, hệ ba chiều) mất trật tự và so sánh kết quả giữa lý thuyết với thực
nghiệm. Các tính toán đượ
c thực hiện trong gần đúng phương pháp trường trung
bình dựa trên đẳng thức Callen và khảo sát kết quả dựa trên phương pháp Monte
Carlo là phương pháp tính toán lý thuyết kết hợp với mô phỏng.
Phương pháp nghiên cứu
- Dựa trên mô hình Ising và hệ thức Callen thực hiện các bước biến đổi giải
tích theo cơ học thống kê để xây dựng được biểu thức mô men từ tỉ đối trên một nút
mạng phụ thuộc vào các thông số nh
ư nhiệt độ, từ trường ngoài đặt vào, xác suất
thăng giáng… Từ đó sử dụng phần mềm hỗ trợ Mathlab tính toán số thu được kết
quả về sự phụ thuộc của mô men từ tỉ đối vào nhiệt độ và vào từ trường ngoài phù
hợp với lý thuyết chuyển pha và thực nghiệm đã đo được.
- Ngoài ra sử dụng phương pháp Monte Carlo áp dụng cho một số trường hợ
p
cụ thể để thu được kết quả tương tự so với phương pháp giải tích.
Cấu trúc luận văn
Bên cạnh phần mục lục, mở dầu cấu trúc luận văn gồm ba phần chính như sau:
Chương 1: Tổng quan về mô hình Ising.
Chương 2: Ứng dụng mô hình Ising cho quá trình chuyển pha.
Chương 3: Kết quả và thảo luận.
Kết luận
Danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục



Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ


Luận văn tốt nghiệp 

3
Danh mục hình có trong luận văn:
Hình1.1: Đường cong từ trễ.
Hình 1.2: Sự thay đổi định hướng của đám spin theo nhiệt độ.
Hình 1.3: Mô hình Ising 1D
Hình 1.4: Mô hình Ising 2D
Hình 1.5: Mô hình Ising 3D
Hình3.1: Đường cong từ nhiệt với các tham số z=4, h=0, p=0.5 và các giá trị
0.6(1); 0.8(2); 0.98(3); 1(4); 1.001(5); 1.02(6); 1.1(7); 1.106(8)       
Hình 3.2 : Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5 , h=0.002 và các giá trị

0.8(1); 1(2); 1.02(3); 1.106(4); 1.11(5); 1.19(6)     

Hình 3.3:Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5, h=0.02 và các giá trị

0.8(1); 1(2); 1.02(3); 1.106(4); 1.19(5); 1.25(6)     

Hình 3.4 : Đường cong từ nhiệt với z=4 , h=0.2 , p=0.5 với các giá trị

1.19(1); 1.3(2); 1.401(3); 1.43(4); 1.45(5); 1.5(6)     

Hình 3.5: Đường cong từ hóa với Z=4 , p=0.5 , delta=1.02 và các giá trị của h
Hình 3.6 : Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên mộtnút mạng m vào
nhiệt độ t khi z=6,p=0.5, h=0 và các giá trị ∆
0.6(1); 0.8(2); 1(3); 1.2(4); 1.5(5); 1.56(6)     

Hình 3.7: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên một nút mạng mvào

nhiệt độ t khi z=6, p=0.5, h=0.002 và các giá trị

0.6(1); 0.8(2); 1.2(3); 1.5(4); 1.56(5)    

Hình 3.8: Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie vào xác suất thăng giáng p với z=4,
1.01



và
1.1
khi h=0
Hình 3.9 : Sự phụ thuộc nhiệt độphụ thuộc t
c
vào xác suất thăng giáng với z=4,

=1.15 ở h=0, h=1.2 và h=1.5.
Hình 3.10 :Đồ thị phụ thuộc của (p-t) với z=6, h=0,

=1.005 và =1.15
Hình 3.11:Sự phụ thuộc của nhiệt đột
c
vào xác suất p với z=6,=1.15, h=0, h=1.5,
h=1.6 và h=1.8
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 

4
Hình 3.12: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trườngvới z=4, ∆1.03,

t= 0.01 và các giá trị thăng giáng p=0.2 ; p=0.4; p=0.45
Hình 3.13: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trường
vớiz=4,p=0.2,t=0.01và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi lần lượt là
1.02(1); 1.03(2); 1.04(3)  

Hình 3.14: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ vào từ trường với z=4,
p=0.2, ∆=1.02 và các giá trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001, t=0.0001
Hình 3.15: Đường biểu diễn sự phụ thuộc mô men từ vào từ trường vớiz=6, t=0.01,
p=0.2 và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi
1.02(1); 1.038(2); 1.04(3)

 

Hình 3.16: Đồ thị (m-h) với z=6, Delta=1.04, t=0.01 và p=0.1, p=0.3, p=0.5
Hình 3.17: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ vào từ trường với z=6,
p=0.1, ∆=1.04 và các giá trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001, t=0.0001.
Hình 3.18 : Đồ thị biểu diễn m theo h với z=4, t=0.01, delta=1.04,p=0.1
Hình 3.19:Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mô ment từ tỷ đối m vào từ trường h
khi z=4,t=0.01,delta=1.04,p=0.5 bằng phương pháp Callen và Monte Carlo
Hình 3.20: Đồ thị so sánh giữa lý thuyết và thực nghiệm cho mômen từ(trong đơn
vị µ
B
) trên một nút mạng theo từ trường.

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ


Luận văn tốt nghiệp 

5
CHƯƠNG 1: SẮT TỪ VÀ MÔ HÌNH ISING
1.1: Đặc điểm của chất sắt từ.
- Sắt từ là các chất có từ tính mạnh và có mômen từ nguyên tử lớn (ví dụ như
sắt là 2,2 μ
B
, Gd là 7 μ
B
). Nhờ tương tác trao đổi các mômen từ nguyên tử định
hướng song song với nhau theo từng vùng (gọi là các đômen từ tính). Mômen từ
của một đơn vị thể tích trong mỗi vùng đó gọi là từ độ tự phát - có nghĩa là các chất
sắt từ có từ tính nội tại ngay khi không có từ trường ngoài. Đây là các nguồn gốc cơ
bản tạo nên các tính chất của chất sắt từ.
-Hiện tượng từ trễ: Khi từ hóa một khối chất sắt từ các mômen từ sẽ có xu
hướng sắp xếp trật tự theo hướng từ trường ngoài do đó từ độ của mẫu tăng dần đến
độ bão hòa khi từ trường đủ lớn (khi đó các mômen từ hoàn toàn song song với
nhau). Khi ngắt từ trường hoặc khử từ theo chiều ngược, do sự liên kết giữa các
mômen từ và các đômen từ, các mômen từ không lập tức bị quay trở lại trạng thái
hỗn độn như các chất thuận từ mà còn giữ được từ độ ở giá trị khác không. Có
nghĩa là đường cong đảo từ sẽ không khớp với đường cong từ hóa ban đầu, và nếu
từ hóa và khử từ theo một chu trình kín của từ trường ngoài, ta sẽ có một đường
cong kín gọi là đường cong từ trễ. Và trên đường cong từ trễ, ta sẽ có các đại lượng
đặc trưng của chất sắt từ như sau:

Hình1.1: Đường cong từ trễ
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 

6
* Từ độ bão hòa: là từ độ đạt được trong trạng thái bão hòa từ, có nghĩa làtất
cả các mômen từ của chất sắt từ song song với nhau.
* Từ dư: là giá trị từ độ khi từ trường được đưa về 0.
* Lực kháng từ: là từ trường ngoài cần thiết để khử mômen từ của mẫu về 0,
hay là giá trị để từ độ đổi chiều. Đôi khi lực kháng từ còn được gọi là trường đảo từ.
* Từ thẩm: là một tham số đặc trưng cho khả năng phản ứng của các chất từ
tính dưới tác dụng của từ trường ngoài. Từ thẩm của các chất sắt từ có giá trị lớn
hơn 1 rất nhiều, và phụ thuộc vào từ trường ngoài .
* Nhiệt độ Curie: là nhiệt độ mà tại đó, chất bị mất từ tính. Ở dưới nhiệt độ
Curie, chất ở trạng thái sắt từ, ở trên nhiệt độ Curie, chất sẽ mang tính chất của chất
thuận từ
1.2:Hiện tượng chuyển pha vật liệu sắt từ.
1.2.1.Pha và chuyển pha.
Pha là một trạng thái của vật thể với các tính chất và đối xứng đặc trưng. Ta có
thể đưa ra một số ví dụ như pha rắn, pha lỏng của kim loại và hợp kim, pha sắt từ,
thuận từ của các vật liệu từ…
Chuyển pha là sự thay đổi trạng thái từ mức độ đối xứng này sang mức độ đối
xứng khác hình thành các tính chất mới của vật liệu. Đối xứng ở đây có thể là đối
xứng tinh thể (chuyển pha rắn lỏng…) cũng có thể là đối xứng của tham số vật lý
khác(đối xứng mômen từ trong chuyển pha sắt từ-thuận từ…)
1.2.2.Phân loại chuyển pha
Có nhiều cách phân loại chuyển pha. Năm 1933, theo phân loại của
Ehrenfest [1] chuyển pha bậc n là chuyển pha trong đó có các hàm thế nhiệt
động thay đổi liên tục khi đi qua điểm chuyển pha (T=Tc) và đạo hàm bậc n của

các thế nhiệt động theo nhiệt độ liên tục tại điểm chuyển pha và đạo hàm bậc
n+1 bị gián đoạn.
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ


Luận văn tốt nghiệp 

7
Trên thực tế chỉ có chuyển pha loại 1 và chuyển pha loại 2.
Theo lý thuyết Landao đưa ra năm 1937,chuyển pha gắn với tính chất đối xứng
của hệ và Landao đã đưa ra các tham số trật tự gắn đặc trưng cho hệ vật lý. Khi pha
đối xứng chuyển từ pha đối xứng này sang pha đối xứng khác thì tham số trật tự
cũng thay đổi giá trị.
Chuyển pha loại 1: là sự biến đổi của hệ trong đó khối lượng riêng, các thế
nhiệt động (trừ entanpi tự do G), entropi biến đổi gián đoạn ở điểm chuyển pha,
nhiệt chuyển pha có giá trị khác không.Ở chuyển pha loại 1 sự sắp xếp mạng tinh
thể (thay đổi kích thước giữa các nguyên tử và góc giữa các mặt tinh thể) xảy ra
trong khoảng nhiệt độ rất hẹp. Hệ quả là đối xứng tinh thể thay đổi đôt ngột và đồng
thời trạng thái tinh thể, nội năng và các đại lượng nhiệt động khác thay đổi xuất
hiện bước nhảy thể tích và thu (tỏa)nhiệt chuyển pha.Ví dụ:sự bay hơi, nóng chảy,
kết tinh …
Chuyển pha loại 2: là sự biến đổi pha của hệ trong đó khối lượng riêng và tất
cả các thế nhiệt động biến đổi một cách liên tục, còn đạo hàm bậc hai của entanpi tự
do G theo các thông số vật lý của hệ (hệ số giãn nở,nhiệt dung…) biến đổi gián
đoạn.Tại điểm chuyển pha loại 2 không phân biệt được các pha. Nhiệt chuyển pha
bằng không.Ví dụ biến đổi trạng thái sắt từ sang thuận từ, từ trạng thái siêu dẫn
sang trạng thái thông thường khi không có từ trường ngoài là chuyển pha loại 2.
1.2.3: Chuyển pha sắt từ-thuận từ.
Khi đặt vật rắn vào từ trường ngoài mà vật thay đổi tính chất vật lý, ta nói vật
rắn có tính chất từ. Các đại lượng vĩ mô đặc trưng cho tính chất từ của vật rắn là :

+Mô men từ: là đại lượng đặc trưng cho độ mạnh yếu của nguồn từ.
Xét một mạch điện kín có dòng điện cường độ I chạy qua, mômen từ gây ra
bởi dòng điện trong mạch xác định bởi biểu thức :
(1.1)

m=

.
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 

8
Đối với nguyên tử, mômen từ của nguyên tử chủ yếu được gây nên bởi
mômen quỹđạo L và mômen spin S của các lớp vỏ điện tử không lấp đầy.
+Độ từ hóa (từ độ): là đại lượng vật lý được xác định bằng mômen từ của vật
liệu trên một đơn vị thể tích:
(1.2)

Trong đó: 


là mômen từ của các hạt vi mô trong đơn vị thể tích ∆
+ Độ từ cảm: là đại lượng đặc trưng cho mômen từ do từ trường H gây ra trên
một đơn vị thể tích. Mối liên hệ giữa độ từ hóa và từ trường H có thể được biểu diễn
dưới dạng:
(1.3)
Với: χ<0: Chất được gọi là nghịch từ có 




cùng phương ngược chiều 




χ>0: Chất được gọi là thuận từ có 



cùng phương cùng chiều với 




Chất thuận từ và nghịch từ có đặc điểm chung là: chỉ có từ tính tồn tại khi có
từ trường ngoài đặt vào và độ cảm từ χ nhỏ.
-Quá trình chuyển pha sắt từ-thuận từ:
Khi không có từ trường ngoài và ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ Curie chất có từ
tính rất mạnh gọi là chất sắt từ có trật tự từ tự phát. Nguồn gốc của sắt từ là do các
spin điện tử thuộc các lớp điện tử không lấp đầy(f,d). Tương tác giữa các mômen từ
là hệ quả của tương tác giữa các điện tử trên các nguyên tử khác nhau hoặc giữa các
điện tử linh động và các điện tử định xứ trong từng nguyên tử. Hiệu ứng của tương
tác này là sự chuyển dời từ các điện tử từ nguyên tử này sang nguyên tử khác hay
dẫn đến sự phân cực của các điện tử linh động tạo nên tương tác gián tiếp giữa các
mômen từ định xứ.
Xét hệ sắt từ đẳng hướng khi không có từ trường ngoài, ta tăng dần nhiệt độ từ
T=0K.





=
∑





∆





=χ




Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ


Luận văn tốt nghiệp 

9
* Tại T=0K ở trạng thái cơ bản, các spin định hướng song song theo một
phương tùy ý.
* Cho nhiệt độ tăng dần: càng có thêm nhiều spin định hướng không có trật
tự(do chuyển động nhiệt phá vỡ sự song song của các spin) nhưng tương tác trao

đổi vẫn còn đủ mạnh để giữ các spin song song trong một miền nào đó gọi là các
đám từ. Các đám từ khác nhau thì định hướng khác nhau.
* Tiếp tục tăng nhiệt độ: khi T=Tc xảy ra sự cạnh tranh mạnh giữa hai xu
hướng:
. Tạo trật tự từ (do tương tác trao đổi)
. Phá vỡ trật tự từ(do chuyển động nhiệt)
* Khi T>Tc, các spin định hướng một cách tùy ý, vật liệu bị mất từ tính và ở
trạng thái thuận từ.

Hình 1.2: Sự thay đổi định hướng của đám spin theo nhiệt độ.
1.3: Mô hình Ising cho chất sắt từ.
Mô hình Ising là một trong mô hình đơn giản nhất và phổ biến nhất trong biểu
diễn tương tác và được đề xuất đầu tiên bởi Ernst Ising vào năm 1925 với sự tham
gia của giáo sư Wilhelm Lenz [18]. Mô hình Ising là mô hình toán học cho chất sắt
từ. Ising chỉ ra rằng trong không gian một chiều không xảy ra quá trình chuyển pha
và ông cũng tranh luận rất nhiều trong hệ mô hình chất sắt từ hai chiều và ba
chiều[16]. Vấn đề này được sang tỏ vào năm 1941 khi Kramers và Wannier đưa ra
mô hình toán học và tính toán cho bài toán này.Đến 1944, Lars Onsager đưa ra lời
giái chính xác cho mô hình Ising khi không có từ trường ngoài[18].
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 

10
Xuất phát toán học của mô hình: Coi như một mạng toán học có N nút mạng
với một spin S ở mỗi nút. Spin có thể nhận hai giá trị+1 spin lên ( spin up) và -1spin
xuống (spin down).Do vậy có tổng 2
N
trạng thái trong hệ. Tại vị trí thứ i bất kì trong
mạng tinh thể được biểu diễn bởi một biến spin S

i
. Năng lượng tương tác được định
nghĩa:

ij
,1
{}
N
Ii ij ii
ij i
ES JSS BS
 
 


(1.4)
Trong đó: I: Biểu thị mô hình Ising.
J
ij
:thông số năng lượng và ta đặt gµ
B
=1.
<i,j>: cặp spin lân cận gần nhau. J
ij
là hằng số tương tác trao đổi.Để
đơngiản,ta đặt J
ij
= J và chỉ xét tương tác giữa lân cận gần nhất.
Nếu J > 0 khi đó trong trạng thái cơ bản các spin xếp song song, tương tác là
tương tác sắt từ.

Nếu J < 0 khi đó trong trạng thái cơ bản các spin đối song song,tương tác là
phản sắt từ.
Để đơn giản ta cho J > 0, xét sự kết hợp của các spin trong từ trường ngoài B.
Ta coi các spin nằm dọc theo trục z khi từ trường ngoài B=B
z
. Khi ở trong từ trường
ngoài không đổi B
i
= B > 0 năng lượng tương tác trở thành

,1
{}
I
iiji
ij i
E
SJSSBS
 





(1.5)
Tổng thống kê Z có dạng :
Z =
∑∑
…
∑

















(1.6)
1.3.1 Chuyển pha trong mô hình một chiều.
Trong không gian một chiều, mô hình Ising được xem xét là một chuỗi các các
điểm trên một đường thẳng gồm N nút mạng, mỗi nút là một spin nguyên tử.

Hình 1.3 : Mô hình Ising 1D
12
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ


Luận văn tốt nghiệp 

11
Áp dụng điều kiện tuần hoàn biên cho các spin, các spin chỉ tương tác với các
spin lân cận ở trong từ trường ngoài B. Ta có thể viết:

1
11
{}
NN
I
iiii
ii
E
SJSSBS


 



(1.7)
Theo điều kiện biên tuần hoàn:
S
N+1
= S
1
(1.8)

Tổng thống kê Z được viết dạng :
Z=
∑∑
…
∑
exp

∑



















(1.9)
Kramer và Wannier biểu diễn tổng thống kê Z một cách rõ ràng như sau :
Z=
∑∑
…
∑
exp
∑

























(1.10)
Kết quả là ta phải tính giá trị của các ma trận (2 x 2). Trong đó ma trận P là ma
trận được xác định như sau :
<S|P|S’> = exp { β [ JSS’ +






′

 (1.11)
Trong đó S và S’ là độc lập với giá trị ± 1. Ta có các ma trận cơ sở :
<+1|P|+1> = exp [ β( J + B ) ]
<-1|P|-1> = exp [ β( J – B ) ]
<+1|P|-1> = <-1|P|+1> = exp [ - βJ ] (1.12)
Biểu diễn ma trận P trong dạng :
P = 








(1.13)
Ta có thể viết Z như sau :
Z=
∑∑
…
∑


|

|





|

|




|

|













=
∑



|


|







= Tr 


Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 

12
= 





(1.14)
Với 


,



là hai giá trị của P 


>


. Z chính là vết của ma trận năng lượng
thứ N với kết quả của điều kiện biên tuần hoàn cho công thức (1.5).
Det


 






=

2

cosh



2sinh2=0 (1.15)
Kết quả là :



= 

cosh










2

sinh2(1.16)
Khi B = 0


= 2 cosh (βJ) (1.17)


= 2 sinh (βJ) (1.18)
Trở lại trường hợp chung với B ≠ 0. Trong trường hợp này 

/

≤ 1 giống

trường hợp J = B = 0. Trong giới hạn nhiệt động ( N→∞ ), chỉ có giá trị 

là thích
hợp. Chúng ta sử dụng (

/

<1 và năng lượng tự do Helmholt trên spin là :
-




= lim
∞


ln
= lim
∞


ln


1








= ln 

lim
∞


ln1







= ln 

(1.19)
Vì vậy năng lượng tự do Helmholtz trên 1 spin là :


= -




 -





=-J-

cosh










2

sinh

2

(1.20)
Độ từ hóa của một spin là:
m =


=






Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ


Luận văn tốt nghiệp 

13
m=-




=










(1.21)
Khi trường ngoài bằng 0 (B=0) độ từ hóa bằng 0 (m=0) ở mọi nhiệt độ. Có
nghĩa là trong trường hợp này sẽ không có độ từ hóa tự phát và trong mô hình Ising
một chiều không có tính sắt từ. Nguyên nhân là do ở một nhiệt độ bất kì, quá trình
xảy ra theo hai khuynh hướng cạnh tranh đối lập nhau: Xu hướng sắp xếp các spin

thẳng hàng để năng lượng là cực tiểu và xu hướng sắp xếp ngẫu nhiên để entropy là
cực đại.Trên tất cả, xu hướng để năng lượng tự do là cực tiểu với F= E – TS. Trong
mô hình một chiều, xu hướng sắp xếp thẳng hàng của các spin luôn mất đi do không
có đủ spin lân cận.
Kết luận: Trong mô hình Ising một chiều không xảy ra quá trình chuyển pha
theo nhiệt độ.
1.3.2: Lời giải chính xác cho mô hình hai chiều.
Trong mô hình Ising hai chiều với mạng spin được coi là mạng vuông lý
tưởng có số lân cận là 4. Dẫn dắt từ phép biến đổi giải tích thông qua ma trận
chuyển giao, Lars Onsager đã đưa ra lời giải chính xác cho mô hình hai chiều vào
1944[17].





Hình 1.4: Mô hình Ising 2D
Hamiltonian có thể viết dưới dạng :
H = -J
∑

,

,

,

,

,

– h
∑

,,
(1.22)
j
1
j

1
j

1
j

1
j

1 2 3
N
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 

14
Trong đó mỗi spin tương ứng với một nút mạng trong không gian hai chiều.
Hamiltonian có thể viết dưới dạng :
H =
∑



,






(1.23)
Trong đó :
E(

,


∑







(1.24)
E(

 =
∑




,

∑

,


(1.25)
Với 

là tập hợp các spin theo một cột :


= { 

,

,… ,

(1.26)
Khi đó ma trận chuyển giao P là một ma trận 2

2

dạng :


|


|


 = exp {-β[E(

,

E(

 (1.27)
Hàm tổng thống kê :
Z = Tr(P
n
) (1.28)
Giống như bài toán mô hình một chiều ta cần phải tìm trị riêng của P. Theo
giới hạn nhiệt động, kết quả cuối cùng tính trong từ trường B=0 ta có:
g(T) = -kT ln[2cosh(2βJ)] -






ln


(1+

1




 ) (1.29)
Trong đó :
K =






(1.30)
Năng lượng trên một spin là :
 = -2Jtanh(2βJ) +








∆∆


(1.31)
Với ∆

1





Độ từ hóa :
m = {1-sinh2




(1.32)
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ


Luận văn tốt nghiệp 

15
KhiT>T
C
tồn tại sự mất trật tự khi B=0. Điều kiện của nhiệt độ tới hạn xảy ra
quá trình chuyển pha là :
2tanh
2
(2  1
kT
C
2,269158J
Khi T=T
C
nhiệt chuyển pha trên một spin là :



=








ln1



ln



1


 (1.33)
Kết luận: Trong mô hình Ising hai chiều xảy ra hiện tượng chuyển pha từ sắt
từ sang thuận từ.
1.3.3. Mô hình Ising ba chiều.
Mô hình Ising ba chiều hiện nay chưa có lời giải chính xác. Dưới đây là lời
giải mô hình Ising ba chiều cho hệ orthorhombic đơn giản. Mô hình Ising ba chiều
các nguyên tử chiếm giữ không gian trong mạng dạng hình lập phương.

Hình1.5: Mô hình Ising 3D
Chúng ta xét với mạng orthorhombic đơn giản có m hàng và n cột vị trí trong
một mặt phẳng. Mỗi vị trí được xác định trong hệ thống mạng bởi các chỉ số (i,j,k).
Mỗi vị trí có hai loai nguyên tử,tất cả chúng có định hướng đối song song với nhau.
Trong mô hình ba chiều, mômen từ spin S=1/2, chỉ tương tác với các spin lân cận.
Trong một mặt, năng lượng tương tác là +J giữa nguyên tử với nguyên tử không lân
cận khác trong một hàng và +J’ giữa các nguyên tử không lân cận khác trong một
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 

16
cột. Năng lượng giữa các spin lân cận trong một hàng và một cột là –J, -J’trong một
mặt phẳng.Năng lượng +J”(-J”) là năng lượng tương tác giữa nguyên tử với nguyên
tử không lân cận(lân cận) với hai mặt phẳng lân cận với mặt phẳng chứa nguyên
tử.Các nguyên tử không lân cận hay lân cận có sự sắp xếp các spin đối song song
hoặc là song song. Hamiltonian của mô hình Ising ba chiều hệ orthorhomic đơn
giản là

() ( 1) () () () ()
,, , 1, ,,1
111 111 111
'"
nml nml nml
HJ SS J SS J SS

  
      
  



  
  
  
(1.34)
Xác suất tìm thấy mạng Ising orthorhombic đơn giản ở nhiêt độ T tỉ lệ với
exp{-E
c
/k
B
T}, trong đó E
c
là tổng năng lượng của hệ và k
B
là hằng số Boltzmann.
Biểu thức xác suất dạng :
(n
c
.J + n
c
’.J’ + n
c
”.J”)/k
B
T (1.35)

Ở đây n
c
, n
c
’ và n
c
” là các số nguyên phụ thuộc vào hình dạng của mạng. Nó
phù hợp với giá trị biến thiên K J/k
B
T, K’  J’/k
B
T và K” J”/k
B
T thay thế cho J,
J’, J”.Xác suất mạng không gian có thể viết lại:
exp{n
c
K + n
c
’K’ + n
c
”K”} (1.36)
Trong đó Z là hàm tổng thống kê của mạng
Z =
∑






′

′


""
àô

Thế Hàm nhiệt động học,hệ mô hình Ising trong mạng orthorhombic đơn giản
có thểtìm thông qua hàm tổng thống kê Z nhưng vấn đề trở nên phức tạp hơn trong
hệ Ising hai chiều khi giới hạn tổng Z là 2
m-n-1
. Theo như phát triển của Kaufman
chúng ta coi như mỗi spin đều có thuộc tính giống nhau. Tất cả các nguyên tử đều
chỉ có một loại spin là +1,trong khi đó còn có loại khác là -1. Vì vậy tương tác giữa
hai nguyên tử lân cận với spin là ,
′
là: -′ (hoặc là –′′ hoặc là –′")
cho các hàng lân cận (hoặc các cột hay các mặt). Cấu hình của một chất từ tính có
thể được chỉ rõ bởi trạng thái có giá trị của  tại mọi vị trí hoặc xét đến cấu hình của
cả chuỗi. Trong một mặt có n nguyên tử trong một hàng và có l mặt, có 2
n-l
cấu hình
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ


Luận văn tốt nghiệp 

17
1 2

n-l
. Khi đó cấu hình của mô hình Ising orthorhombic đơn giản được biểu
diễn bởi tập hợp { ν
1,
ν
2,
…, ν
m
}.
Năng lượng tương tác trong hàng thứ i của tất cả mọi mặt phẳng đều được
biểu diễn bởi E’(ν
i
). Năng lượng tương tác giữa hai hàng lân cận trong tất cả các
mặt là E(ν
i
, ν
i+1
). Năng lượng tương tác giữa hàng thứ i trong hai mặt lân cận biểu
diễn là E ‘’(ν
i
). Vậy kết quả năng lượng trong tinh thể biểu diễn là:

,1
11 1
'( ) ''( ) ( )
mm m
ci iii
ii i
EE E E



 


(1.37)

Dựa trên đối xứng, ta thấy rằng spin trong hàng thứ m trong mọi mặt phẳng
của tinh thể tác động với hàng trước đó trong cùng một mặt. Chúng ta ưu tiên áp
dụng cho mô hình tinh thể hình trụ theo Onsager và Kaufman. Tuy nhiên, trong
trường hợp tinh thể 3D, có l hình trụ đồng trục đối xứng với l mặt trong khi trong
mô hình 2D chỉ có duy nhất một hình trụ. Ta có thể viết lại như sau:

1
11
2
3
( ) exp{ ( , ) / },
() exp{ '()/ },
( ) exp{ ''( ) / },
ii
ii
ii
vv i i B
vv i B
vv i B
VEvvkT
VEvkT
VEvkT








(1.38)
Tìm thấy xác suất của cấu hình tỉ lệ :

11 11 12 2 2 22 1
/
3213 2 3 2 1
()()() () () () () ()
cB
mm mm m
EkT
vv vv vv vv vv v v v v v v
eVVVVV VVV


(1.39)
Hàm tổng thống kê trở thành:

11 11 12 1
12
321 3 2 1 321
, ,
()()() ()()() ( )
mm mm m
m
m

vv vv vv v v v v v v
vv v
Z
VVV V V V traceVVV

(1.40)
Từ mỗi vị trí i: 1

2

chúng ta tìm được V
1
, V
2
và V
3
có ma trận 2
n-l

chiều và V
2
, V
3
là đường chéo. V
1
, V
2
và V
3
trở thành:

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 

18

3,,1
11
2,1,
11
2
1,
11
exp{ ''. '' '' } exp{ ''. ''}
exp{ '. ' ' } exp{ '. '}
(2sinh 2 ) exp{ . }
nl
rs rs
rs
ln
rs r s
sr
nl
ln
rs
sr
VKss KA
VKss KA
VKKC














(1.41)
Ở đây
,,
'' , '
rs rs
s
s
và C
r,s
và bộ bốn ma trận 2
n-l
chiều:

,
,
,
'' 1 1 1 '' 1 1,
' 1 1 1 ' 1 1,

1 1 1 1 1,
rs
rs
rs
ss
ss
CC

   

   

   

(1.42)
Có n-l nhân tố trong các tích số với s’’, s’ và C ở vị trí (r,s).s’’, s’ và C sinh ra
từ ma trận Pauli:
′′ 
01
10
 , ′ 
10
01
, 
01
10
 , 1
10
01
(1.43)

K* được định nghĩa bởi:

2
tanh .
K
eK




(1.44)
Để đơn giản ta bắt đầu sử dụng phương pháp chéo hóa ma trận, chúng ta đặt
số lớn nhất giữa K, K’ và K’’ như tiêu chuẩn cho định nghĩa của K*.Chúng ta xác
định được V
1
là hệ số vô hướng :

1,
11
exp{ *. } exp{ *. }
ln
rs
sr
VK C KB




(1.45)
Hàm tổng thống kê được biểu diễn theo biểu thức dưới đây:

2
22
321
1
(2sinh 2 ) . ( ) (2sinh 2 )
nl
mnl mnl
mm
i
i
Z K trace V V V K


 




(1.46)
Với
i

là trị riêng của ma trận VV
3
.V
2
.V
1
Từ tổng thống kê (1.46) ta có thể tính được năng lượng thống kê, tham số

nhiệt động của hệ spin.
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ


Luận văn tốt nghiệp 

19
1.3.4.Năng lượng tự do , mô men từ , độ từ hóa trong mô hình Ising
Trong mô hình Ising 1D, Erst Ising giả thiết tất cả các spin của nguyên tử đều
tạo cặp và có hướng ngược nhau được mô tả ở hai trạng thái đặc trưng là trạng thái
lên (spin up) và xuống (spin down)do đó từ trường được tạo ra bởi nguyên tử này
lại bị phá hủy bởi từ trường của nguyên tử khác nên khi xét một lượng lớn các điện
tử sắp x
ếp có spin theo hướng ngược nhau thì từ trường tổng cộng bằng 0 – không
có từ tính.
Wilhelm Lenz giả thuyết: vật liệu có tính sắt từ do các nguyên tử không tạo
cặp và có thể tạo ra được từ trường. Từ trường tạo thành tác dụng lên các hạt tích
điện làm các hạt tích điện này dịch chuyển theo hai hướng: Một hướng các hạt di
chuyển cùng chiều từ trường – các hạt này có mang năng lượng thấp, hướng còn lạ
i
các hạt di chuyển theo hướng chống lại từ trường – các hạt này mang năng lượng
cao.Giả sử vật liệu sắt từ được đặt trong một từ trường và được giữ ở nhiệt độ
không đổi, khi đó từ trường này tạo ra trong mạng tinh thể một độ từ hóa nhất định
do spin tại các nút mạng có xu hướng ở trạng thái “up”. Những kết quả tính toán và
thực nghiệ
m cho thấy, độ từ hóa tạo thành này phụ thuộc vào từ trường và nhiệt độ:
khi từ trường tác dụng giảm, ở vùng nhiệt độ cao mạng tinh thể trở về trạng thái
không từ hóa (thuận từ), ngược lại ở vùng nhiệt độ thấp khi từ trường giảm về 0 độ
từ hóa của mạng tinh thể vẫn khác 0 (do một số lượng nhỏ các spin vẫn ở trạng thái
up). Độ từ hóa này được gọi là độ từ hóa tự phát.

Xét tại vị trí thứ
j
(bất kỳ) trong mạng tinh thể với một biến spin độc lập
j
S

1,
j
N
, trong đó
j
S
chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc -1 (hai trạng
thái có thể có tại mỗi vị trí của mạng tinh thể). Với mỗi giá trị của
j
S
tại một vị trí
của mạng tinh thể cho ta một trạng thái (cấu hình) của hệ do đó khi xét với mạng
tinh thể với N nút mạng sẽ có tất cả
2
N
trạng thái.
Giả thiết rằng, chỉ có tương tác giữa những lân cận gần nhất và tương tác giữa
các nút mạng với trường ngoài đóng góp vào năng lượng của hệ, khi đó năng lượng
tổng cộng của hệ được xác định bằng Hamiltonian.
Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 

20



,
j
kjk j
jk j
HHS JSS hS 



(1.47)
Trong đó:
jk
J
là các thông số năng lượng phụ thuộc vào cường độ tương tác
giữa những lân cận gần nhất và
h
là trường ngoài. Số hạng thứ nhất trong (1.47) lấy
theo tổng tất cả các cặp lân cận gần nhất trong mạng tinh thể, số hạng thứ hai lấy
theo tổng tất cả các nút mạng.
Khi đó tổng thống kê Z hay hàm phân bố các trạng thái của hệ với
Hamiltonian (1.6) có dạng:





1
,,,

H
S
jk
ZZ JhN e







(1.48)
Trong đó:
1
B
kT



,
k

là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ (nhiệt độ tuyệt
đối),
H
là Hamiltonian của hệ.
Xác suất tồn tại một trạng thái bất kỳ của hệ được xác định theo công thức:





H
S
e
PS
Z




(1.49)
Từ biểu thức của hàm phân bố (1.7) ta có năng lượng tự do của mỗi spin được
xác định theo công thức:

 
1
,, limln ,,,
jk jk
N
F
FJh ZJhN
N



(1.50)
Ở đây giới hạn
N 
được gọi là giới hạn nhiệt động học.
Khi đó mô men từ được xác định theo công thức:

 
,,Mh Fh
h






(1.51)
Quá trình chuyển pha của hệ vật lý mô tả bằng mô hình Ising được thể hiện
thông qua sự gián đoạn của biểu thức năng lượng tự do
F hay trong đạo hàm của
nó. Do đó để kiểm chứng các hệ vật lý mô tả bằng mô hình Ising có quá trình
chuyển pha hay không cần xác định được tính gián đoạn hay liên tục của của hàm F
hay F’.