Một số bài tập tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 1

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN KHÁC

1. Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx, g(x) = cosx + 2sinx.
a. Tìm các số A , B sao cho : g(x) = A.f(x) + B.f ’(x)
b. Tính
/4
0
()
()
gx
dx
fx



2. Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) = Asinx + B thỏa mãn đồng thời các điều kiện f ’(1) = 2
và
2
0
( ) 4f x dx 


3. Cho hai tích phân:
/2
22
0
cos .cos 2I x x dx




;
/2
22
0
sin .cos 2J x x dx




a. Tính I + J và I – J
b. Tính I , J
4. Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên [0;] . CMR :
/2
0 0 0
. (sin ) (sin ) (sin )
2
x f x dx f x dx f x dx
  



  

Áp dụng :
2
0
.sin
1 cos
xx

J dx
x





5. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và với mọi x thuộc R ta đều có : f(x) + f(–x) =
2 2cos2x

. Tính
3 /2
3 /2
()f x dx





6. Cho hàm số :
x
ebx
x
a
xf .
)1(
)(
3




. Tìm a. b biết
'(0) 22f 
và


1
0
5)( dxxf
.
7. Cho
f(x) sinx.sin2x.cos5x
. Tìm hàm nguyên hàm của đa thức f(x). Tính tích phân:
2
x
2
f(x)
I dx
e1






8. Giải phương trình :
x
2
0
(u x )du sinx



9. Tính
22
/ 6 / 6
00
sin x cos x
I dx; J dx
sinx 3 cosx sinx 3 cosx




.Từ đó hãy tính tích phân sau :
5 / 3
3 / 2
cos2x
dx
cosx 3sin x






10. Cho hàm số:
x
3
a
f(x) bxe

(x 1)


, tìm a, b biết rằng:
f '(0) 22
và
1
0
f(x)dx 5

.
11. Cho f(x) liên tục trên R :
f(x) f( x) 2 2cos2x x R      
. Tính
3 /2
3 /2
f(x)dx




Hoàng Ngọc Phú Page 2

12. Cho T
13
=
3
2
2
1

x x m dx


a. Tính T
13
với m = 1.
b. Tính T
13
theo m với m < -3.
13. Cho I
n
=
1
22
(1 )
0
n
x x dx

và J
n
=
1
2
(1 )
0
n
x x dx

. Với n nguyên dương

a. Tính J
n
và chứng minh bất đẳng thức I
n

1
2( 1)n



b. Tính I
n+1
theo I
n
và tìm
1
lim
I
n
n
I
n



14. Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục và cùng nhận giá trị trên đoạn [0 ; 1].
Chứng minh:
2
1 1 1
0 0 0

( ) ( ) ( ) . ( )f x g x dx f x dx g x dx




  

15. Cho 2 số nguyên dương m, n với m là số lẻ. Tính theo m, n tích phân:
T
83
=
2
0
sin .cos
nm
x xdx



16. a. Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0 ; 1]. CMR:
22
00
(sin ) (cos )f x dx f x dx




b. Bằng cách đặt
2
xt



, hãy tính các tích phân:
2003
2
2003 2003
0
sin
sin cos
xdx
I
xx





và
2003
2
2003 2003
0
cos
sin cos
xdx
J
xx







17. Bằng cách đặt
2
xt


, hãy tích tích phân: T
88
=
2
0
sin
sin cos
x
dx
xx




18. a. Tính tích phân: T
89
=
1
cos(ln )
e
x dx




b. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(t) định bởi:F(t) =
2
0
cos
t
x x dx


19. Chứng minh rằng nếu:


2
ln 4y x x  
t hì đạo hàm:
2
1
'
4
y
x



Sử dụng kết quả này, tính tích phân:
2
2
91
0

4T x dx


Hoàng Ngọc Phú Page 3

20. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a.
  
2
92
22
1
5 1 3 1
x
T dx
x x x x


   


b.
93
tan( )cot( )
36
T x x dx

  


c.
2
( ) cot 2
4
f x x





d.
1
()
2 sin cos
gx
xx



e.
( ) sin sin sin
23
xx
f x x
f.
3
8
()
2
x

fx
x



g.
1
( ) tg
2 1 2 1
f x x
xx

  
h.
sin cos
()
sin cos
xx
fx
xx




i.
cos2
()
sin cos
x
fx

xx


k.
3
sin
()
3sin4 sin6 3sin2
x
fx
x x x



l.
4
xx
dx
ee




21. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa
f( x) 2f(x) cos x
. Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
.

22. Tính I=
 
1
10
0
1

x dx
Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
1 2 10
10 10 10
1 1 1
1
2 3 11
    S C C C

Chứng minh rằng:
1
12
1 1 1 2 1
1
2 3 1 1
n
n
n n n
C C C
nn


    




23. Cho:
1
2
2
0
1
nx
n
x
e
T dx
e




với n = 0, 1, 2, a. Tính
n
T
. b. Tính
1nn
TT


.
24. Cho tích phân:
2

0
cos
n
n
T xdx



. Với n là số nguyên dương.
a. Tính
3
T
và
4
T
.
b. Thiết lập hệ thức giữa
n
T
và
2n
T

với n > 2. Từ đó, tính
11
T
và
12
T
.

25. Đặt
6
2
0
sin
sin 3cos
xdx
I
xx




và
6
2
0
cos
sin 3cos
xdx
J
xx





a. Tính
3IJ
và

IJ
.
b. Từ các kết quả trên. hãy tính các giá trị của I, J và: T =
5
3
3
2
cos2
cos 3sin
xdx
xx





Hoàng Ngọc Phú Page 4

26. a. Xác định các số A, B, C sao cho:
2
( 1)( 2)
dx
xx



2 1 2
A B C
dx
x x x


  

  



b. Tính diện tích S(t) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
1
( 1)( 2)
y
xx



trên đoạn [0;t] (t > 0) và trục hoành.
c. Tính
lim ( )
t
St

.
27. Cho hàm số
()f x ax b
với
22
0ab
. CMR:
22

22
( )sin ( )cos 0
00
f x xdx f x xdx



   
   
   
   
   

28. Cho n là một số nguyên dương.
a. Tính:
 
1
141
0
1
n
T x dx


b. Tính tổng số:
0 1 2
1 1 1

2 3 1
n

n n n n
S
n
C C C C
    


29. Cho tích phân:
 
1
2
0
1 ,
n
n
T x dx n  


a.Tìm hệ thức giữa
n
T
và
 
1
n1
n
T



b. Tính
n
T
theo n.
30. Cho
 
1
22
0
1
n
n
I x x dx

. Và
 
1
2
0
1
n
n
J x x dx

, n = 0, 1, 2,
a. Tính
n
J
và chứng minh bất đẳng thức
1

2( 1)
n
I
n


với mọi n= 0, 1,
b. Tính
1n
I

theo
n
I
và tìm
1
lim
n
n
n
I
I



31. Cho
1
0
( ) ,
x

I t e t dx t R  


a. Tính
()It
.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của
()It
với
tR
.

32.Tính
2
0
max[ ( ), ( )]I f x g x dx

trong đó
2
()f x x
và
( ) 3 2g x x
.
33. Cho
( ) sin2f x A x B
. Tìm A, B để:
2
0
'(0) 4, ( ) 3f f x dx






Hoàng Ngọc Phú Page 5

34. Tính:
 
1
19
0
1I x x dx

. AD kết quả đó hãy tính :
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1 1 1

2 3 4 20 21
S C C C C C    
.
35. Tìm các hệ số A, B để hàm số
( ) cosf x A x B


thoả mãn
(1) 4f 
và
1
0

( ) 1f x dx 

36.
37. Tính:
 
1
2*
0
1 ( )
n
x x dx n 

. Từ đó CMR:
0 1 2 3
1 1 1 1 ( 1) 1

2 4 6 8 2( 1) 2( 1)
n
n
n n n n n
nn
C C C C C

     


38. Cho hàm số
2
3
32

x
y
xx



có tập xác định là D.
a. Tìm a, b

R sao cho:
,
12
ab
y x D
xx
   


b. Tính:
ln2
2
2
0
3
32
xx
xx
ee
dx
ee





c. Cho n là số tự nhiên khác 0. đặt
1
()
1
fx
x


tính đạo hàm cấp n của f(x). Từ đó suy
ra đạo hàm cấp n của y
39. Cho hàm số:
( ) sin sin2 cos5g x x x x

a. Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x).
b. Tính tích phân:
2
2
()
1
x
gx
dx
e







40. Tìm hai số A, B để hàm số:
 
2
sin2
()
2 sin
x
hx
x


có thể biểu diễn được dưới dạng:
 
2
.cos .cos
()
2 sin
2 sin
A x B x
hx
x
x



, từ đó tính tích phân:
0

2
()h x dx


.
41. a. Cho hàm số f liên tục trên (0 ; 1). Chứng minh rằng:
22
00
(sin ) (cos )f x dx f x dx




b. Sử dụng kết quả trên để tính:
3
2
0
cos
sin cos
xdx
I
xx




và
3
2
0

sin
sin cos
xdx
J
xx







42. a. (CPB) Cho f(x) là hàm số thực, xác định, liên tục trên đoạn
0;
2




, có f(0) > 0 và
2
0
( ) 1f x dx



. CMR: phương trình f(x) = sinx có ít nhất một nghiệm trên đoạn
0;
2





.
Hoàng Ngọc Phú Page 6

b. (CB) Giải bất phương trình:
2 ln
2
3
ln
4
xx
dt dt
t
t
x
e





43. a. (CPB) Tìm họ nguyên hàm:
2
cos
sin 3cos
xdx
xx


b. Tính:
2
2
1
( 1)x a x a dx  

, trong đó a là một số cho trước.
44. Tính:
 
1
*
0
1 ( )
n
x dx n 

. Từ đó CMR:
1
1 1 1 2 1
12
1
2 3 1 1
n
n
C C C
n n n
nn



    


45. a. Cho hai số nguyên dương p và q. Tính
2
0
cos cosI px qxdx



trong hai trường hợp p
= q và p

q.
b. Cho các số thực
1 2 3
, , , ,
n
a a a a
. Giả sử:
12
cos cos2 cos 0
n
a x a x a nx   
với
mọi
 
0;2x



. Hãy sử dụng kết quả trên để tính
1 2 3
, , , ,
n
a a a a
.
46. Cho hàm số
21
( )
1
x
yC
x



. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
(C) và đường thẳng
1
2
x
y   
.

47. Cho hàm số
2
2
()
1
x

fx
x


. Tính:
8
3
3
2
1
f dx
x





48. Biết:


2
2
ln 3
3
dx
x x C
x
   



. Tìm nguyên hàm:
2
( ) 3F x x dx


49. Xét hàm số
2
yx
trên [0; 1]. Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc [0; 1]. Gọi S
1
là diện tích
giới hạn bởi các đường x = 0; y = m
2
; y = x
2
. S
2
là diện tích giới hạn bởi các đường y = x
2
; y =
m
2
; x = 1. CMR với mọi m thuộc [0; 1] ta đều có
12
12
43
SS  

50. Giải các phương trình sau :
a.



x
t
dte
0
01
b.
 
xdt
t
x
tan
1
1
0
3
2



c.
 



x
xxt
dtt
0

1
2
1
2222ln2
2

d.
 
1
0
22



x
tt
dtee
e.
0
2
3
sin4
0
4










x
dtt
f.
 
xdtxt
x
sincos
0
2



g.
 
1;56log67ln7
7
0
1



xxdt
x
t
h.



2
2
3
22
12126
11.1
xx
tt
t
x




51. Tìm x > 0 sao cho
1
2
2
0
1
( 1)
x
te
dx
t




Hoàng Ngọc Phú Page 7

52. Giải và biện luận phương trình sau:
a.
   
  





x
dt
mmtttt
tmtm
1
22
2
0
222
121
b.
12333
1
3
2


x
xdtt

c.
 












x
t
dt
mxmx
2
2
1
1
111
d.




x
dt

mtt
t
x
0
22
2
1
1

53. Tìm m để bất phương trình
 
 

x x
m
xmmtdtmdtt
0
32
236132
nghiệm đúng với mọi
 
1,0x

54. Tìm m để bất phương trình
 


0
23
4

1
x
dtmtmtt
nghiệm đúng với
 
1,1x

55. Tìm m để bất phương trình
   


x
xtt
mdt
0
2
3132333ln2
nghiệm đúng với mọi x.