Lý thuyết chương tích phân

Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 1

§ Nguyên hàm
I. Khái niệm nguyên hàm
- Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

'( ) ( )F x f x
, x  K
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

( ) ( )f x dx F x C

, C  R.
- Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
II. Tính chất

'( ) ( )f x dx f x C


 
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx  
  


( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k


III. Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ :
1. Hàm số sơ cấp :

1.
Cxdx 



dx0
=
C

2.
 
1
1
1









C
x
dxx

3.
Cxdx
x



ln
1

 
0x

4. Với k là hằng số khác 0

C
k
kx
kxdx 

cos
sin

C
k
kx
kxdx 

sin
cos


C
k
e

dxe
kx
kx



 
10
ln


aC
a
a
dxa
x
x

5.


kxCxdx
x


2
,tan
cos
1
2


kxCxdx
x


,cot
sin
1
2

6.
Cbax
abax
dx



ln
1

   
Cbax
a
baxd 

1

7.
Ce

a
dxe
baxbax



1

8.
   
Cbax
a
dxbax 

cos
1
sin

   
Cbax
a
dxbax 

cos
1
cos

9.
 
   



kbaxCbax
a
bax
dx



2
,tan
1
cos
2


 
   

kbaxCbax
a
bax
dx



,cot
1
sin
2

10.
 
 
 
1,
1
1
1






aC
bax
a
dxbax




2. Hàm số hợp :

Cudu 


 
1

1
1









C
u
duu


 
0ln 

uCu
u
du

Cedue
uu



Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 2


 
10
ln


aC
a
a
dxa
u
u


Cuudu 

cossin

Cuudu 

sinco s


Cudu
u


cot

sin
1
2

Cudu
u


tan
cos
1
2

 
  


22
du u
arcsin c a 0
a
au



du
2 u c
u

3. Một số hàm số mở rộng :

1.
   
1
cos ax b dx sin ax b
a
  

+ C

   
1
sin ax b dx cos ax b c
a

   



   
1
tg ax b dx ln cos ax b c
a
    



   
1
cotg ax b dx ln sin ax b c
a

   


2.
 
22
ax
ax
e a sinbx bcosbx
e sinbxdx c
ab






 
22
ax
ax
e acosbx b sinbx
e cosbxdx c
ab





3.

22
xx
arcsin dx xarcsin a x c
aa
   


22
xx
arccos dx x arccos a x c
aa
   


 
22
2
x x a
arctg dx xarctg ln a x c
aa
   


 
22
2
x x a
arccotg dx xarccotg ln a x c
aa
   



4.
 
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a





5.
2 2 2
22
22
x a x a x
a x dx arcsin c
a

   


22
dx x
arcsin c
a
ax





CM:
22
dx
uc
ax



(với
x
sin u
a

, a > 0)
Đặt
x
sin u
a

,u
,
22







 
 
22
22
dx d asin u
du u c
ax
a 1 sin u
   


  

 
22
22
dx
ln x x a c
xa
   



CM:
 
22
22
dx

ln x x a
xa
  


 c
Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 3

Lấy đạo hàm ta có:
 
 
22
22
22
1 x a
ln x x a c
x x a




   



22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 x 1 x x a 1

1
x x a x a x x a x a x a


    

      


6.
22
1dx x
arctg c
aa
ax




CM:
22
dx 1
uc
a
ax



(với
x

tg u
a

)
Đặt
x
tg u
a

,


u,
22



 
 
22
22
d a tg u
dx 1 1
du u c
aa
ax
a 1 tg u
   



  


22
1
2
dx a x
ln c
a a x
ax






CM:
22
dx 1 x a
ln c
2a x a
xa





;
22
dx 1 a x

ln c
2a a x
ax






22
dx 1 1 1 1 dx dx 1 x a
dx ln c
2a x a x a 2a x a x a 2a x a
xa

   
     
   
    
   

   

 
22
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx ln c
2a a x a x 2a a x a x 2a a x
ax




     
   
    
   

   

7.
22
1dx x
arccos c
aa
x x a





22
22
1dx a x a
ln c
ax
x x a

  



8.
   
b
ln ax b dx x ln ax b x c
a

     




IV. Phương pháp tính nguyên hàm
1. Phương pháp đổi biến số
Nếu
( ) ( )f u du F u C

và
()u u x
có đạo hàm liên tục thì:

   
( ) . '( ) ( )f u x u x dx F u x C


2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

udv uv vdu


Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 4


§ Tích Phân

I. Định nghĩa :
       
aFbF
a
b
xFdxxf
b
a



II. Tính chất :
1.
 
0

dxxf
a
a

2.

   


a
b
b
a
dxxfdxxf

3.
     
dxxfdxxfdxxf
c
a
c
b
b
a



4.
   
 
   
dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a

b
a



5.
   
dxxfkdxxkf
b
a
b
a


với
Rk

* Ghi nhớ :
- Muốn tính tích phần bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành
tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
- Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của
mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
- Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta phải xét dấu biểu thức
nằm trong dấu giá trị tuyệt đối. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao
cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu. Áp dụng định
nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.
III. Một số phương pháp tính tích phân :
1. Phương pháp đổi biến số :

Công thức tổng quát :

 Dạng 1: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của
 
 
xf

(hàm số theo biến là
 
x

) với đạo hàm của hàm
 
x

thì ta đặt
   
dxxdtxt '



 Ghi nhớ : Khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số thì phải đổi cận.
 Ta có cách đặt cụ thể :

 
xdxxf cos.sin




Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 5

TH 1:
 
xdxxf cos.sin



 Đặt t = sinx
 Hoặc t = psinx + q (p, q
R
)
 Hoặc
n
qxpt  sin
nếu như biểu thức
qxp sin
nằm trong dấu
n


TH 2 :  Đặt t = cosx
 Hoặc t = pcosx + q (p, q
R
)
 Hoặc
n
qxpt  cos
nếu như biểu thức

qxp cos
nằm trong
n


TH 3 :
 
dx
x
xf
1
.ln



 Đặt t = lnx
 Hoặc t = plnx + q (p, q
R
)
 Hoặc
n
qxpt  ln
nếu như biểu thức
qxp ln
nằm trong
n


TH 4 :
 

dx
x
xf
2
cos
1
tan



 Đặt t = tanx
 Hoặc t = ptanx + q (p, q
R
)
 Hoặc
n
qxpt  tan
nếu như biểu thức
qxp t an
nằm trong
n


TH 5 :  Đặt t = cotx
 Hoặc t = pcosx + q (p, q
R
)
 Hoặc
n
qxpt  cot

nếu như biểu thức
qxp cot
nằm trong
n

 Dạng 2: Giả sử cần tính tích phân
 
dxxf



. Đặt
 
Kttx  ,

và a, b
K
thõa mãn
   
ba

 ,
thì công thức (*) cho ta :
   
 
 
dtttfdxxf
b
a
 





'.

 Nếu gặp




2
nxm
hoặc




dx
nxm
2
1
thì đặt








2
;
2
,sin

tt
n
m
x

 
xdxxf sin.cos




 
dx
x
xf
1
.ln




 
dx
x
xf

2
cos
1
tan




 
dx
x
xf
2
sin
1
cot




Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 6

 Nếu gặp




dx

nxm
2
1
hoặc




dx
nxm
2
1
thì đặt







2
;
2
,tan

tt
n
m
x

 Chú ý số 1 ở các tích phân có thể thay bằng
2
x

2. Phương pháp từng phần :
Giả sử cho u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó :
+) Công thức tính nguyên hàm từng phần :
 
 vduuvudv


+) Công thức tính tích phân từng phần : .

Viết gọn:


b
a
b
a
vdu
a
b
uvudv

Nhận dạng : hàm dưới dấu tích phân thường là tích của hai loại hàm số khác nhau.
Chú ý : Ta chọn u sao cho dễ tính du nhất và chọn v sao cho dễ tìm nguyên hàm dv nhất.
 Dạng 1:
 
 

 
 
 
 
 
 
 
































bax
bax
bax
e
a
bax
a
bax
a
v
dxxPdu
e
bax
bax
dv
xPu
dx
e
bax
bax
xP
1

sin
1
cos
1
'
cos
sin
cos
sin


Ví dụ :

 xdxxxI
2
cossin

Giải :
Cách 1:
Ta có
 
 







xxxxxx

xxxxxx
322
33
sinsinsin1sincossin
3sinsin3
4
1
sinsin4sin33sin

 
   







xxxxxxxxx
xxx
3sinsin
4
1
3sinsin3
4
1
sinsinsincossin
3sinsin3
4
1

sin
32
3

Suy ra :
 
21
4
1
4
1
3sin
4
1
sin
4
1
3sinsin
4
1
IIxdxxxdxxdxxxxI 


Ta tính

 xdxxI sin
1
. Ta có





















xv
dxdu
xdxv
dxdu
xdxdv
xu
cos
sin
sin




 xdxxI sin
1
=
1
sincoscoscos Cxxxxdxxx 


Ta tính

 xdxxI 3sin
2
. Ta có























xv
dxdu
xdxv
dxdu
xdxdv
xu
3cos
3
1
3sin
3sin

 


b
a
b
a
dxvu
a
b
uvdxuv ''

Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 7




xdxxI 3sin
2


2
sin
9
1
cos
3
1
3cos
3
1
3cos
3
1
Cxxxxdxx


Cách 2:
Ta có:
 































xv
dxdu

xxdv
dxdu
xdxxv
dxdu
xdxxdv
xu
3
22
2
cos
3
1
coscoscossin
cossin


 xdxxxxxdxxxI coscos
3
1
cos
3
1
cos
3
1
cos
3
1
2333

   
 

 xdxxxxdxxxxI sinsin1
3
1
cos
3
1
cossin1
3
1
cos
3
1
2323

CxxxxI 







33
sin
3
1
sin

3
1
cos
3
1

 Dạng 2:
   
 
 
 
 
 
 
 

















dxxPv
xf
xf
du
dxxPdv
xfu
dxxfxP
'
ln
ln

Ta thường gặp dạng đặc biệt sau:
   
 
 
 
 


















dxxPv
bax
a
du
dxxPdv
baxu
dxbaxxP
ln
lnln

Ví dụ :
   

 dxxxxxxI
223
ln

Giải :
Chọn
 
 
 
 







































234
2
234
2
234
2
2
23
2
643
12
1
12
234
12
234
'
ln
xxxv
dx
xx
x
du
xxx
v

dx
xx
x
du
xxx
v
dx
xx
xx
du
dxxxxdv
xxu

Suy ra
     



 dx
xx
x
xxxxxxxxI
2
2342234
12
643
12
1
ln643
12

1


     



 dx
xx
x
xxxxxxxxI
2
2342234
12
643
12
1
ln643
12
1

     









 dx
x
xxxxxxxxI
1
1
2643
12
1
ln643
12
1
232234

   
KxxxxxI
12
1
ln643
12
1
2234


Ta tính
 









 dx
x
xxxK
1
1
2643
23


 









 dx
x
xxx
xxxK
1
643
6432
23

23


 
     









 dx
x
xxxxx
xxxK
1
515113
6432
2
23

Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn

Hong Ngc Phỳ Page 8


Cxxxxxdx

x
xxxK









1ln55
2
11
3
5
2
3
1
5
51186
23423

Vy


CxxxxxxxxxxI

1ln55
2
11
3
5
2
3
12
1
ln643
12
1
2342234

Dng 3:

1
lncos
lnsin
lnsin
lncos
lnsin
lncos

1
k
x
dxxv
x
x
x
x
du
dxxdv
x
x
u
dx
x
x
xI
k
k
k
k

Dng 4:

bax
bax
bax
edv
x
x
u
dx
x
x
dv
eu
dx
x
x
e






cos
sin
cos
sin
cos

sin

3. Cụng thc Walliss ( dựng cho trc nghim ) :
22
nn
00
(n 1)!!
,
n !!
cos xdx sin xdx
(n 1)!!
.,
n !! 2
neỏu n leỷ
neỏu n chaỹn
.
Trong ú :
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;
6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10
.
Vớ d 1.
2
11
0
10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
.
2.

2
10
0
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512
.
IV. Phõn loi mt s dng tớch phõn :
1. Tớch phõn hm hu t : Xột


dx
xQ
xP
b
a

(P(x), Q(x) l cỏc a thc)
* Nu bc P(x)

Q(x) ta chia P(x) cho Q(x)





xQ
xR
xH
xQ

xP

(bc ca R(x) < bc ca Q(x))
* Nu bc ca P(x) < bc Q(x), ta phõn tớch


xQ
xP
thnh tng cỏc phõn thc n gin.
* Trong chng trỡnh THPT ta thng gp cỏc trng hp sau õy :
1.


nn
ax
A
ax
A
ax
A
axaxax
xP







1

2
1
1
1
21



Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 9

Các đa thức A
1
,

A
2
, … , A
n
được

xác định bằng phương pháp đa thức đồng nhất hoặc phương
pháp giá trị riêng
2.
 
cbxax
xP

2

.  Nếu
cbxax 
2
có 2 nghiệm a
1
và a
2

   
  
21
2
axaxa
xP
cbxax
xP




và phân tích theo trường hợp ở trên.
 Nếu
cbxax 
2
có nghiệm kép

đưa biểu thức về dạng
 
 
 

2
xu
xP

 Nếu
cbxax 
2
vô nghiệm

đưa biểu thức về dạng
 
 
 
2
2
axu
xP


2. Tích phân hàm vô tỉ đơn giản :
1.


dxxaxf
b
a
n


22

,
n = 2m Đặt x = asint,







2
;
2

t

n = 2m + 1 Đặt
22
xau 


2.
 
dxaxxf
b
a
n


22
,

n = 2m Đặt x = atant,







2
;
2

t

n = 2m + 1 Đặt
22
axu 


3.


dxaxxf
b
a
n


22
,

n = 2m Đặt
0,
2
;
2
,
sin







 tt
t
a
x


n = 2m + 1 Đặt
22
axu 

4.
dx
dcx
bax
xf
b

a
m











,
Đặt t =
m
dcx
bax




3. Tích phân hàm lượng giác :
 Dạng 1 :


dxbxax
b
a
cossin

biến đổi tích thành tổng
 Dạng 2 :
 
dxxxf
b
a

cos,sin
với
 
xxf cos,sin
là hàm hữu tỉ

phương pháp chung đặt
2
tan
x
u 
, lúc đó
2
1
2
sin
u
u
x


,
2

2
1
1
cos
u
u
x




+ Nếu
 
xxf cos,sin 
=
 
xxf cos,sin
, đặt u = tanx, lúc đó
2
2
2
1
sin
u
u
x


,
2

2
1
1
cos
u
x



+ Nếu
 
xxf cos,sin 
=

 
xxf cos,sin
, đặt u = sinx
+ Nếu
 
xxf cos,sin
=

 
xxf cos,sin
, đặt u = cosx
Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 10

 Dạng 3 :

 


b
a
nm
Znmxdxx ,cossin

+ Nếu m lẻ, n chẵn : đặt u = cosx
+ Nếu m chẵn, n lẽ : đặt u = sinx
+ Nếu m, n chẵn : đặt u = tanx
+ Nếu m, n chẵn và dương : dùng công thức hạ bậc
2
2cos1
sin
2
x
x


,
2
2cos1
cos
2
x
x



 Dạng 4 :
cos
dx
I
asinx b x c




Đặt
2
2
tan
21
  

x dt
t dx
t

Ta có:
2
2
sin
1
t
x
t



và
2
2
1
cos
1
t
x
t




 
2
2
cos 2
dx dt
I
asinx b x c c b t at b c

     


 Dạng 5 :
22
sin sin cos cos
dx
I
a x b x x c x d


  


   
22
sin sin cos cos
dx
I
a d x b x x c d x

   



   
2
2
cos
tan tan

   

dx
x
a d x b x c d

Đặt
2
cos

dx
t tgx dt
x
  
   
2
dt
I
a d t bt c d

   

đã tính được.
 Dạng 6 :
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c





+)Tìm A, B, C sao cho:
Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 11

   

sin cos sin cos cos sin ,m x n x p A a x b x c B a x b x C x        
+) Vậy
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c




=
=
  





cxbxa
dx
Cdx
cxbxa
xbxa
BdxA
cossincoss in
sincos

Tích phân


dx
tính được
Tích phân
Ccxbxadx
cxbxa
xbxa




cossinln
cossin
sincos

Tích phân

 cxbxa
dx
cossin
tính được.
4. Tích phân hàm phân thức :
Giả sử phải tính tích phân I =



dxxf )(
,trong đó :
f(x) =
)0,(;

)(
)(
01
1
1
01
1
1








nm
n
n
n
n
m
m
m
m
ba
bxbxbxb
axaxaxa
xQ

xP

*Khi m

n thì chia P(x) cho Q(x) để được tổng của một đa thức với một phân thức thực sự
(phân thức đúng).
*Khi m < n thì f(x) là một phân thức đúng.
Vì mỗi đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) luôn phân tích được thành tích những thừa số là
nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm trong đó có thể có những thừa số trùng nhau
.Do vậy trong các phân thức đúng ta chú ý đến bốn dạng phân thức cơ bản sau :
Dạng I:
ax
A

; Dạng II :
k
ax
A
)( 
; Dạng III :
qpxx
BAx


2
; Dạng IV:
k
qpxx
BAx
)(

2



Trong đó k
N
; k

2và A,B,a,p,q

R ; p
2
- 4q < 0 (tức là x
2
+px+q vô nghiệm).
*Một phân thức đúng có thể phân tích thành tổng của những phân thức cơ bản nêu
trên (Dùng phương pháp đồng nhất hai đa thức).
Tổng quát cho cách phân tích :


)()()()(
)(
)(
)(
22
slxxqpxxbxax
xP
xQ
xP













)(

)(
2
21
ax
A
ax
A
ax
A









)(

)(

)(

)(
22
11
22
11
2
21
slxx
QxP
slxx
QxP
qpxx
NxM
qpxx
NxM
bx
B
bx
B
bx
B



















.
*Cách tính tích phân của các phân thức dạng cơ bản :
 Dạng 1 :
caxAdx
ax
A



ln
.
Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 12

 Dạng 2 :
 





cax
k
A
axdaxAdx
ax
A
kk
k
1
)(
1
)()(
)(

 Dạng 3 :
  




kkk
at
dt

b
u
du
b
qpxx
BAx
)()(
22
21
2

 Dạng 4 :




cbxax
dx
2

 
0a
.
Phương pháp :
 

  




22
2
dx dx 1 mx n
arctg c
mp p
ax bx c
mx n p

 

  




22
2
mx n p
dx dx 1
ln c
2mp mx n p
ax bx c
mx n p

Ví dụ : a.
 
 
 
 
1

2 2 2
2
d d 1 d 2 2 1 2 2 3
ln
2
4 8 1
4 3 2 2 3
2 2 3
2 2 3
x x x x
Ac
xx
x
x
x
  
    




  

b.
1
2
dx
A
3x 4x 2




c.

 164
2
xx
dx
d.

 685
2
xx
dx

Cụ thể :
Với
cbxax 
2
0
với mọi
 
bax ,
.
Xét
acb 4
2

.
+) Nếu


= 0 thì I =










2
2a
b
xa
dx
tính được.
+) Nếu

> 0 thì I =
  




21
1
xxxx
dx

a
. Trong đó
a
b
x
a
b
x
2
;
2
21





 


2
1
21
ln
1
xx
xx
xxa
I






+) Nếu

< 0 thì


































2
2
2
2
4
2
a
a
b
xa
dx
cbxax
dx
I

Đặt
a
b
x
2


=
t
a
tan
4
2




 
dtt
a
dx
2
2
tan1
2
1



, ta tính được I.
 Dạng 5 :



dx
qpxx

nmx
2

 
0a

Phương pháp :
 
 


  


   

22
m mb
2 ax b n
mx n
2 a 2a
B dx dx
ax bx c ax bx c


 








2
2
d ax bx c
m mb
nA
2a 2a
ax bx c


   


2
m mb
ln ax bx c n A
2a 2a

Cụ thể :
Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 13

• Nếu mẫu có nghiệm kép
0
xx
tức là
22

0
()ax bx c a x x   

thì ta giả sử:
 

  



22
0
0
mx n
x
xx
ax bx c
xx


Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , .
Với ,  vừa tìm ta có:
 




2
mx n
B dx

ax bx c

ln   

0
0
x x c
xx



• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt
12
,xx
:
2
12
( )( )ax bx c a x x x x    
thì ta giả sử

  


2
12
mx n
x
x x x x
ax bx c


Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , .
Với ,  vừa tìm ta có:
 
dx




2
mx n
B
ax bx c

ln ln   
12
x x x x c


Ví dụ : a.


1
2
2x + 3
B = dx
9x 6x + 1

 
 

2 2 2
1 11
18 6
1 18 6 d 11 d
93
d
93
9 6 1 9 6 1 9 6 1
x
x x x
x
x x x x x x


  
     
  


 
 
 
 
2
22
1 9 6 1 11 3 1 2 11
ln 3 1
9 9 9 9 3 1
9 6 1
31

d x x d x
xc
x
xx
x
  
     





b.
 



164
37
2
xx
dxx
c.
 



972
43
2

xx
dxx
d.
 



485
72
2
xx
dxx

 Dạng 6 :

2
dx
C=
ax + bx + c

Phương pháp :
 
   
2
22
dx dx 1
lnC mx n mx n k c
m
ax bx c
mx n k

       





 
 
22
2
dx dx 1
arcsin 0
mx n
Cp
mp
ax bx c
p mx n

   




Ví dụ : a.




2
3

22
d 1 d 5
5 45
ln
4 16
24
45
4 10 5
5
4
16
xx
C x x c
xx
x
       




b.

 183
2
xx
dx
c.

 7810
2

xx
dx
d.

 51224
2
xx
dx


 Dạng 7 :
 

2
mx + n dx
D=
ax + bx + c

Phương pháp :
 
22
2 dx
dx
22
ax b
m mb
D
aa
ax bx c ax bx c



   


 
2
2
22
d ax bx c
m mb
C
aa
ax bx c





Ví dụ : a. D
1
=
   
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 d 2 d d
2
4 5 4 5 4 5
x x x x x
x x x x x x



     
  

Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 14


 
 
 
 
11
1
2
22
22
0
00
1 d 4 5 d
2 4 5 2ln 2 4 5
2
45
21
x x x
x x x x x
xx
x


         





   
3 10
10 5 2ln 3 10 2ln 2 5 10 5 2ln
25

        


b.
 



123
45
2
xx
dxx
c.
 




1152
73
2
xx
dxx
d.
 



964
118
2
xx
dxx

 Dạng 8 :
 

2
dx
E=
px + q ax + bx + c

Phương pháp : Đặt
2
1 dt 1 1
dx ;px q p x q
t p t
t



     


.
Khi đó:
 
2
2 2 2
2
dt pt
dx dt
E
px q ax bx c t t
1 a 1 b 1
q q c
t t p t
p

   
       
   
   
   
   
  

Ví dụ : a.
 


3
1
2
2
dx
E=
x - 1 x - 2x + 2
. Đặt
2
21
1
11
3
1;
2
dx
xt
t
xt
xx
tt
dt
t
  




  

   







Khi đó:
 




12
3
2
1
22
21
dt t
dx
E
1
x-1 x 2x 2
t 1 t 1
22
tt
t








 
1
1
2
2
12
12
dt 1 5 2 2 2
ln t t 1 ln 1 2 ln ln
2
15
t1

       




b.
 


2
1

2
1332 xxx
dx
c.
 


3
2
2
73243 xxx
dx
d.
 


3
2
2
11 xx
dx

     
2 3 3
1 2 3
2 2 2
1 2 2
dx dx dx
E ; E ; E
2x 3 x 3x 1 3x 4 2x 3x 7 x 1 x 1

  
       
  

 Dạng 9 :
 
 

2
mx + n dx
F=
px + q ax + bx + c

Phương pháp :
 
 
 
 
22
dx
dx
mq
m
px q n
mx n
pp
F
px q ax bx c px q ax bx c

  





     


 
22
dx dx
mq mq
mm
F n C n E
pp
pp
ax bx c px q ax bx c
   
     
   
   
    


Ví dụ : a.
 
 
1
1
2
0

2 3 d
1 2 2
xx
F
x x x


  

 
11
22
00
dx dx
2 2I J
x 2x 2 x 1 x 2x 2
  
    


1
2
0
dx
22
I
xx




 
   
1
1
2
0
2
0
dx 2 5
ln 1 1 1 ln
12
11
xx
x

      




Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 15

 
1
2
0
1 2 2
dx

J
x x x

  

. Đặt
2
01
1
1
1
1
2
dx
xt
xt
x
t
dt
t
  



  
  







. Khi đó:




12
1
2
1
2
22
12
1 1 2
dt t
dt 2 2 2
J ln t t 1 ln
15
1
t1
11
1 2 1 2
tt
t


     



   


 F
1
 2I + J 
 
 
 
2 5 2 2 2 2 9 4 5
2ln ln ln
1 2 1 5
1 2 1 5
  




b.
 
 
 
 
32
2
2
5
1
21
22

2 1 4 3
x
dx
x x x




   

-3 2
2
2
-2
x + 3 dx
F=
2x + 1 -x - 4x - 3

 
3 2 3 2
22
22
1 dx 5 dx 1 5
IJ
2 2 2 2
x 4x 3 2x 1 x 4x 3


   
      



32
2
2
43
dx
I
xx



  

 
 
32
32
2
2
2
dx
arcsin x 2
6
1 x 2






   



 
32
2
2
2 1 4 3
dx
J
x x x



   

. Đặt
2
1
2
3
11
3
1
21
22
2
2
xt

t
xt
x x ;
tt
dt
dx
t


   





  
   
















1 2 1 3
2
22
1 3 1 2
13
13
22
12
12
dt 2t
dt
J
1
5t 6t 1
1 1 1
1 2 1 3
4 t t
t
1 dt 1 5t 3 1 2 1
arcsin arcsin arcsin
2 3 4
5 5 5
3
2
t
55









  

   


   






Vậy


2
5
5
1 2 1
F I J arcsin arcsin
2 2 12 2 3 4

    

c.
 
 



1
0
2
24358
74
xxx
dxx
d.
 
 



1
0
2
452
76
xxx
dxx

 Dạng 10 :
 


22
xdx
G=
ax + b cx + d

Phương pháp : Đặt
2
2 2 2 2
t d t dt
t cx d t cx d x ;xdx
cc

       

Khi đó:
 
 
2 2 2
2
1 1 1t dt dt
GA
c
c at bc ad c
a t d
bt
c
   









Ví dụ : a.
 

1
1
22
0
xdx
G=
5 - 2x 6x + 1
. Đặt
2
01
6 1 1 7
6
xt
t x x t
xdx t dt
  



     






.
Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 16

Khi đó:
 
 
7
77
1
22
2
1
11
3 4 7
1 t dt 1 dt 1 1 4 t 1
G ln ln
6 2 2 8 4 t 16
4t
16 t
5 4 7
t
3




   











b.
 


2
1
22
534 xx
xdx
c.
 


2
1
22
37115 xx
xdx

 Dạng 11 :
 

22
dx
H=
ax + b cx + d

Phương pháp : Đặt
 
2 2 2 2 2
22
2
d td.dt
xt cx d x t cx d x xdx
tc
tc

        




 
 
 
2
2
2

2
2
td.dt t c
dx xdx dt
x xt
tc
td t c
cx d


  



. Khi đó ta có:
 
 
 
2
22
2
2
dx dt dt
HA
ad
bt ad bc
ax b cx d
b t c
tc


   







  

Ví dụ : a.
 

3
1
22
2
dx
H=
x - 2 x + 3
.
Đặt
2
2
2
3
3
3
3
7

2
2
xt
x
xt x t
x
xt

  


    


  


và
 
 
2 2 2 2 2 2
22
2
3 3tdt
x t x 3 t 1 x 3 x xdx
t1
t1

        




 
 
 
2
2
2
2
2
3tdt t 1
dx xdx dt
x xt
t1
3t t 1
x3


  



.
Khi đó ta có:
23
1
2
72
dt
25

H
t



  
  
23
72
1 2 5 1 2 2 15 14 2 5
ln ln
2 10 2 5 2 10
2 2 15 14 2 5
t
t
  




b.
 


2
1
22
2513 xx
dx
c.

 


2
1
22
1323 xxxx
dx

 Dạng 12 :
 
 

22
mx + n dx
I=
ax + b cx + d

Phương pháp :
   
2222
xdx dx
I m n mG nH
ax b cx d ax b cx d
   
   


Ví dụ : a.
 

 
 
 
   
3
22
2
4 1 7
1 5 3 1 2
x dx
xx



   


3
1
22
2
4x + 3 dx
I=
x - 2x - 4 3x - 6x + 5

Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 17

 
     
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
du udu du
4u 7
4 7 4J 7L
u 5 3u 2 u 5 3u 2 u 5 3u 2

    
     
  

Xét
 
2
22
1
5 3 2
udu
J
uu



. Đặt
2
22
2

32
33
t tdt
t u u udu

     

 
 
14
2 14 14
2
2
22
1
55
5
udu tdt dt 1 t 17
J ln
2 17 t 17
t 17
t 17 t
u 5 3u 2

   




  

 
 
  
17 14 17 5
1 17 14 17 5 1
ln ln ln
2 17 17 14 17 5 2 17
17 14 17 5



  





Xét
 
2
22
1
5 3 2
du
L
uu




. Đặt
2 2 2 2 2
2
2
3 2 3 2
3
ut u u t u u
t
      



 
 
 
 
2
2
22
2
2
2
2tdt t 3
2tdt du udu dt
udu
u ut
t3
2t t 3
3u 2

t3


    




. Khi đó:
 
 
14 2 14 2
2
2
22
2
1 2 2
2
du dt dt
L
2
17 5t
u 5 3u 2
5 t 3
t3
   








  


14 2
2
1 1 17 t 5
ln
5 2 17 17 t 5



  
  
1 70 2 17 2 5 17
ln
2 85
70 2 17 2 5 17





 
 
  
  
  

1
17 14 17 5
4 7 70 2 17 2 5 17
I 4J 7L ln ln
2 17 2 85
17 14 17 5 70 2 17 2 5 17


   
   

b.
 
 
 
 
   
61
22
21
2 1 1
1 5 2 1 3
x dx
xx





   



6 -1
2
22
2 -1
2x + 1 dx
I=
x + 2x + 6 2x + 4x - 1


 
     
6 6 6
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2u 1 du udu du
2 2J L
u 5 2u 3 u 5 2u 3 u 5 2u 3

    
     
  

Xét
 
6
22
2
5 2 3

udu
J
uu



. Đặt
2
22
3
23
22
t tdt
t u u udu

     

 
 
6 3 3
2
2
22
11
2
udu tdt dt 2 3 1
J arctg arctg
t 13
13 13 13
t 13 t

u 5 2u 3

    





  

Xét L 
 
6
22
2
5 2 3
du
uu

. Đặt
2 2 2 2 2
2
3
2 3 2 3
2
ut u u t u u
t
      



 
2
2
3tdt
udu
2t



 
 
 
2
2
2
2
2
3tdt 2 t
du udu dt
u ut
2t
3t 2 t
2u 3

  



. Khi đó:

Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 18

 
 
3 6 3 6 3 6
6
2
22
2
2
2 1 2 1 2 1 2
2
du dt dt 1 dt
L
13
3
5
13 5t
u 5 2u 3
t
5 2 t
5
2t
   









   


36
12
13 5 t
1 1 1 78 3 5 26 5
ln ln ln
5
2 13 5 13 5 t 2 65 78 3 5 26 5



   


  


  
  
2
4 3 1 1 78 3 5 26 5
I 2J L arctg arctg ln
13 13 13 2 65
78 3 5 26 5



    




 Dạng 13 :
 
 
dx
dcx
bax
n
n




2

Phương pháp :
 
   
dx
dcx
dcx
bax
dx
dcx

bax
n
n
n













 22
1
.
. Từ đây đặt
dcx
bax
t




Ví dụ : a.
 

 
dx
x
x



1
0
5
3
14
32
b.
 
 
dx
x
x



1
0
5
5
53
2

V. Một số lớp tích phân đặc biệt :

Bài toán 1: a. Nếu f(x) liên tục và là hs lẻ trên đoạn
 
aa,
thì :
 



a
a
dxxfI 0

b. Nếu f(x) liên tục và là hs chẵn trên đoạn
 
aa,
thì :
   



aa
a
dxxfdxxfI
0
2

Bài giải : a.
   




a
a
dxxfdxxfI
0
0

Ta tính
 



0
a
dxxfI
, đặt x = -t

dx = -dt, đổi cận





00 tx
atax

 




0
a
dxxfI
=
      


aa
a
dxxfdttfdttf
00
0
(Vì f là hàm số lẻ nên
   
tftf 

Vậy I = 0
b. Tương tự câu a. vì f là hàm số chẵn nên
   
tftf 
nên ta có :
 



0
a
dxxfI
=
      



aa
a
dxxfdttfdttf
00
0

Bài toán 2 : Nếu f(x) liên tục trên đoạn
 
1,0
thì :
   


2
0
2
0
cossin

dxxfdxxf

Bài giải : Đặt
dtdxtx 
2

, đổi cận








22
2
0


tx
tx

Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 19

 

2
0
sin

dxxf
=
   
















2
0
2
0
0
2
coscos
2
s in



dxxfdttfdttf

Bài toán 3 : Nếu f(x) liên tục trên
 
1,0
thì :
 



0
s in. dxxfx
=
 
dxxf



0
s in
2

Bài giải : Đặt
dtdxtx 

, đổi cận





0
0
tx
tx



I =
     
 
   
  

0
0 00
sin.sinsinsin.

 

dxxfxdxxfdttftdxxfx

2I =
 
dxxf



0
s in

I =
 
dxxf



0

s in
2

Bài toán 4 : Nếu a > 0 và f(x) chẵn, liên tục trên R thì
0

ta có:
 
 
dxxf
a
dxxf
x






0
1

Bài giải :
     












0
0
111
xxx
a
dxxf
a
dxxf
a
dxxf

Ta tính
 



0
1

x
a
dxxf
: đặt
dtdxtx 
, đổi cận :






00 tx
tax



 



0
1
x
a
dxxf
=
     












00
0
1
1'
'
1
x
x
x
a
dxxfa
a
dttfa
a
dttf
 
 
 








0
1

1
dxxf
a
dxxfa
x
x

Bài toán 5 : CMR:
   
dxxaxdxxax
a
m
n
a
n
m


00

Bài giải : đặt
dtdxtax 
, đổi cận :





0
0

tax
atx


     
dxxaxdtttadxxax
a
m
n
a
n
m
a
n
m


0
0
0

VI. Một số công thức tích phân đặc biệt :
1.
00
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2

2.
22
nn

n n n n
00
sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4

3. Với a > 0,

> 0 hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn
;
thì
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a1
.
VII. Các công thức tích phân cơ bản :
1. Nhóm hàm lũy thừa :
Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 20

C
n
x
dxx
n
n






1
1

 

 0ln
1
xCxdx
x


 Cxdx


 C
x
dx
x
11
2

Cx
mn
n
dxx
n

nm
n
m






 
C
xnx
dx
nn




1
1
1

Cx
n
n
dxx
n
n
n






1
1

Cx
n
n
x
dx
n
n
n





1
1

Mở rộng :
 
0


 
 

 
 
1
1
1






nC
na
bax
dxbax
n
n

 
 



0ln
11
baxCbax
a
dx
bax

 

 Cbaxbaxd

 
 





C
baxa
dx
bax
11
2

 
 
 
Cbax
mna
n
dxbax
n
nm
n
m







    
C
baxnabax
dx
nn





1
1
1

 
 
 
Cbax
na
n
dxbax
n
n
n






1
1

 
 
 
Cbax
na
n
bax
dx
n
n
n






1
1

2. Nhóm hàm lượng giác :
Cxxdx 


cossin

Cxxdx 

sincos

Cx
x
dx


tan
cos
2

Cx
x
dx


cot
sin
2

Cxxdx 

coslntan

Cxxdx 


sinlncot

Mở rộng :
 
0


   
Cbax
a
dxbax 

cos
1
sin

   
Cbax
a
dxbax 

sin
1
cos

 
 
Cbax
a
bax

dx



tan
1
cos
2

 
 
Cbax
a
bax
dx



cot
1
cos
2

   
Cbax
a
dxbax 

cosln
1

tan

   
Cbax
a
dxbax 

sinln
1
cot

3. Nhóm hàm mũ – logarit :

 Cedxe
xx




Cedxe
xx

 
10
ln


aC
a
a

dxa
x
x

   
01lnln 

xCxxxdx

Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 21

Mở rộng :
 
0


   



Ce
a
dxe
baxbax
1

 
 

 
10
ln




aC
aa
a
dxa
bax
bax

     
 
 
01ln
1
ln 

baxCbaxbax
a
dxbax

4. Nhóm hàm phân thức : ( a > 0 )



Cx

x
dx
arctan
1
2







C
x
x
x
dx
1
1
ln
2
1
1
2




C
a

x
a
ax
dx
arctan
1
22







C
ax
ax
a
ax
dx
ln
2
1
22

Mở rộng :
 
0


 





C
bax
a
bax
dx


arctan
1
2
2

 
 
 






C
bax
bax

a
bax
dx




ln
2
1
2
2

5. Nhóm hàm căn thức : ( a > 0 )
Cx
x
dx



arcsin
1
2

C
a
x
xa
dx




arcsin
22

Cxx
x
dx



1ln
1
2
2

Caxx
ax
dx



2
22
ln


 C
a
xa

xa
x
dxxa arcsin
22
2
2222


 Caxx
a
ax
x
dxax
2
2
2222
ln
22

Mở rộng :
 
0


 
C
a
bax
bax
dx






arcsin
1
2
2



 
   
Cbaxbax
bax
dx






2
2
2
ln
1

   






 C
baxa
bax
bax
dxbax




arcsin
22
2
2
2
2
2

 
 
     



 Cbaxbaxbax
bax

dxbax
2
2
2
2
2
2
ln
2




VIII. Vi phân của hàm hợp :
1. Nhóm hàm lũy thừa:
 
dxnxxd
nn 1


 
x
dx
xd
2


 
adxbaxd 

2
1
x
dx
x
d 







Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 22

+
 
n
1

–
–
+
+
+
+
–
–

2. Nhóm hàm lượng giác :
 
xdxxd cossin 

 
xxdxxd sincos 

 
 
dxxdx
x
xd
2
2
tan1
cos
1
tan 

 
dx
x
xd
2
sin
1
cot 

3. Nhóm hàm lượng giác ngược :
 

dx
x
dx
xd
2
1
arcsin



 
dx
x
dx
xd
2
1
arccos



 
dx
x
dx
xd
2
1
arctan




 
dx
x
dx
xarcd
2
1
cot



4. Nhóm hàm mũ và logarit :
 
x
dx
xd ln

 
ax
dx
xd
a
ln
log 

 
dxeed
xx



 
adxaad
xx
ln

IX. Phương pháp tính nhanh tích phân :
Lấy đạo hàm Lấy tích phân
u dv


du v



du v



0 v

Với n là bậc của đa thức P(x)
Ví dụ : a.
 

 xdxxx 2cos57
2

57

2
 xx

x2cos


2x + 7
x2sin
2
1


2
x2cos
4
1



0
x2s in
8
1


Khi đó kết quả tích phân là :
 
 
4
2sin

4
2cos
72
2
2sin
57
2
xx
x
x
xx 


Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 23

+
+
–
–
b.
 


 dxexxx
x
.654
23

654
23
 xxx

x
e




583
2
 xx

x
e





86 x

x
e




6

x
e





0
x
e


Khi đó kết quả tích phân là :
   
 
xxxx
eexexxexxx

 .6.86.583.654
223



Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 24

§ Diện tích của hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay
I. Tính tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối :

 


b
a
dxxfI

Xét : f(x) = 0 có các trường hợp sau:
a . f(x) không có nghiệm khác a, b trên
 
ba,
thì f(x) không đổi dấu trên đoạn đó nên ta có :
 


b
a
dxxfI

b. f(x) có các nghiệm c, d

 
ba,
 
ba,
với c < d thì ta có :

     
dxxfdxxfdxxfI
b

d
d
c
c
a




     
dxxfdxxfdxxfI
b
d
d
c
c
a



II. Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi :
       
bxaxxgyCxfyC  ;;:;:
21

(trong đó hai đường thẳng có thể thiếu 1 hoặc cả 2)
Công thức :
   



b
a
dxxgxfS
(2)

Các bước thực hiện :
 Bước 1 : Nếu hai đường
bxax  ;
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương
trình f(x) = g(x) (Phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)) để tìm.
 Bước 2 : Áp dụng công thức (2)
 Bước 3 : Rút gọn biểu thức f(x) – g(x), sau đó xét dấu của hiệu này.
 Bước 4 : Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử
dấu giá trị tuyệt đối
Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử
dấu giá trị tuyệt đối sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó trên hình vẽ,
(C
1
) nằm trên (C
2
) thì hiệu f(x) – g(x)  0 và ngược lại (C
1
) nằm dưới (C
2
) thì hiệu f(x) – g(x) 0
III. Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường không nằm

trong TH 1:
 Bước 1 : Vẽ hình (không cần phải khảo sát)
 Bước 2 : Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích
bằng công thức (2)
 Bước 3 : Dùng công thức (2) để tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích các
hình nhỏ.
IV. Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau đây quanh trục :
   


b
a
dxxgxfS

Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân

Hoàng Ngọc Phú Page 25

Quanh trục Ox :
   
bxaxOxxfyC  ;;;:
(trong đó hai đường
bxax  ;
có thể thiếu 1 hoặc
cả 2)

Công thức :
 
 

dxxfV
b
a
2



(3)

Các bước thực hiện :
 Bước 1 : Nếu hai đường
bxax  ;
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải
phương trình f(x) = 0 (Phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và trục Ox) để tìm.
 Bước 2 : Áp dụng công thức (3)

Quanh trục Oy :
   
byayOyyfxC  ;;;:


Công thức :
 
 


b
a

dyyfS
2







 
 
dxxfV
b
a
2




 
 


b
a
dyyfS
2
