DE +DAP AN THI THU DH LAN 3 THPT MINH CHAU KHOI A 2011

Sở GD&đt HƯNG YÊN THI TH I HC LN 2 NM HC 2010 2011
TRƯờng thpt minh châu MễN TON -KHI A+B
Thi gian lm bi : 180 phỳt(khụng k thi gian giao )
I/PHN CHUNG CHO TT C TH SINH(7,0 im)
Cõu I(2,0 im): Cho hm s:
1
2( 1)
x
y
x

=
+
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2. Tỡm nhng im M trờn (C) sao cho tip tuyn vi (C) ti M to vi hai trc ta mt tam giỏc cú
trng tõm nm trờn ng thng 4x + y = 0.
Cõu II (2,0 im) 1. Gii phng trỡnh :
2
cos4 2cos sin(3 ) sin( ) 1
3 3
x x x x

+ + + =
2.Gii hệ phng trỡnh :
6 2 3 3
2 3 3 6 3 4
x
x y y
y
x x y x y

= +



+ = +

. (vi
x R

)
Cõu III(1,0 im) Tớnh tớch phõn
2 5
2 2
2
( 1) 5
xdx
I
x x
=
+ +

.
Cõu IV(1,0 im): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thang vuụng ti A, B. Hai mt phng
(SAB), (SAD) cùng vuụng gúc vi ỏy. Bit AB = 2a, SA = BC = a,
52aCD =
. Tớnh thể tích khối
chóp S.ABCD. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din SACD.
Cõu V(1,0 im). Cho 2 s thc x, y tha món :
2 2 1 1x y x y
+ = + + +

.
Tỡm GTLN, GTNN ca F =
2(1 )
( ) ( )
2 2
xy x y
x y
x y y x
x y
+ +
+ +
+
.
II/PHN RIấNG (3,0 im)Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)
A/Theo chng trỡnh Chun:
Cõu VIa (2,0im) 1. Trong mt phng vi h ta Oxy cho tam giác ABC cân tại A , cạnh BC nằm
trên đờng thẳng có phơng trình x+2y-2= 0. Đờng cao kẻ từ B có phơng trình: x-y+4=0, điểm M(-
1;0) thuộc đờng cao kẻ từ C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho 3 điểm A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) và H là hình chiếu
của O lên mp(ABC) .Gọi D là điểm đối xứng với H qua O .Lập phơng trình mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp ABCD .
Câu VIIa: (1điểm) Gi
1 2
;z z
l cỏc nghim phc ca phng trỡnh:
2
4 5 0z z + =
.
Tớnh:
2011 2011

1 2
( 1) ( 1)z z
+
B/Theo chng trỡnh Nõng cao:
Cõu VI b(2,0 im) 1.Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I(2;1) v AC = 2BD.
im M
1
(0; )
3
thuc ng thng AB, im N(0;7) thuc ng thng CD. Tỡm ta nh B bit B cú
honh dng.
2.Trong khụng gian vi h ta Oxyz ,cho hai ng thng :
1
1
: 2
1
x t
d y t
z
= +


=


=

;
2
2 1 1

:
1 2 2
x y z
d
+
= =

.
Vit phng trỡnh mp(P) song song vi
1
d
v
2
d
, sao cho khong cỏch t
1
d
n (P) gp hai ln khong cỏch
t
2
d
n (P).
Cõu VII.b( 1,0im). Gii h phng trỡnh:
2
log ( 2 8) 6
8 2 .3 2.3
x x y x y
y x
+
+ =

+ =


HT !
Thớ sinh khụng c s dng ti liu.Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh:.S bỏo danh:
ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 2
MÔN TOÁN - KHỐI A
Câu Nội Dung Điểm
I
(2,0đ)
1. (1,0đ)
TXĐ: D = R\
{ }
1−
Chiều biến thiên:
,
2
1
0
( 1)
y
x
= >
+
, với

x D
∀ ∈
⇒
hàm số đồng biến trên mỗi khoảng :
( )
; 1−∞ −
và
( )
1;− +∞
Cực trị: hàm số không có cực trị
Giới hạn, tiệm cận :
1
2
x
limy
→+∞
=
,
1
2
x
lim y
→−∞
=
;
( 1)x
lim y
+
→ −
= −∞

,
( 1)x
lim y
−
→ −
= +∞
⇒

1
2
y =
là tiệm cận ngang;
1x
= −
là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:
Đồ thị: đi qua các điểm (0;
1
2
−
) ; (-2;
3
2
)
Nhận giao điểm của hai tiệm cận I(-1;
1
2
) làm tâm đối xứng
2. (1,0đ)
0,25

0,25
0,25
0,25
−∞
+∞
1
2
+∞
1
2
−∞
1−
x
y
1
2
-1

I
O
y
x

. II
(2,0đ)

Ý 1
2.Gọi M(
0
0

0
1
;
2( 1)
x
x
x
−
+
)
( )C∈
là điểm cần tìm
Gọi
∆
tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình
∆
:
'
0
0 0
0
1
( )( )
2( 1)
x
y f x x x
x
−
= − +
+

( )
0
0
2
0
0
1
1
( )
2( 1)
1
x
y x x
x
x
−
⇒ = − +
+
+
Gọi A =
∆ ∩
ox
⇒
A(
2
0 0
2 1
2
x x− −
−

;0)
B =
∆ ∩
oy
⇒
B(0;
2
0 0
2
0
2 1
2( 1)
x x
x
− −
+
). Khi đó
∆
tạo với hai trục tọa độ
∆
OAB
có trọng tâm là: G(
2 2
0 0 0 0
2
0
2 1 2 1
;
6 6( 1)
x x x x

x
 
− − − −
−
 ÷
+
 
.
Do G
∈
đường thẳng:4x + y = 0
⇒
2 2
0 0 0 0
2
0
2 1 2 1
4. 0
6 6( 1)
x x x x
x
− − − −
− + =
+
⇔
( )
2
0
1
4

1x
=
+
(vì A, B
≠
O nên
2
0 0
2 1 0x x− − ≠
)

0 0
0 0
1 1
1
2 2
1 3
1
2 2
x x
x x
 
+ = = −
 
⇔ ⇔
 
 
+ = − = −
 
 

Với
0
1 1 3
( ; )
2 2 2
x M= − ⇒ − −
; với
0
3 3 5
( ; )
2 2 2
x M= − ⇒ −
.
1. (1,0đ)
Pt
⇔
cos4x + cos2x + sin(3x -
3
π
) + sin(x-
3
π
) = 0
⇔
2cos3x. cosx + 2sin(2x-
3
π
). cosx = 0
2cos os3 sin(2 ) 0
3

x c x x
π
 
⇔ + − =
 
 
cos 0
os3 sin(2 ) 0
3
x
c x x
π
=


⇔

+ − =

Với cosx = 0
⇔
x =
2
k
π
π
+
Với cos3x + sin(2x-
3
π

) = 0
os3 os( 2 )
6
c x c x
π
⇔ = +
3 2 2
6
3 2 2
6
x x k
x x k
π
π
π
π

= + +

⇔


= − − +


2
6
2
30 5
x k

x k
π
π
π π

= +

⇔


= − +


. k
∈
Z
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
V
(1,0)
VIa .2
(1,0)
VIIa
2. (1,0)

(1,0) T gt
2; 1x y
.
Vỡ
( )
( )
( )
2
2 2
2. 2 1. 1 2 1 2 1x y x y + + + + +
2 2 1 5( 1)x y x y + + +
.

Nờn t
2 2 1 1x y x y
+ = + + +
5( 1) 1x y x y + + +
. t t = x + y , ta cú:
1 5( 1) 1 6t t t
Khi ú: F =
2 2
1 2 1 2
( )
2 2
x y t
x y t
+ + = +
+
.
Xột

2
1 2
( )
2
f t t
t
= +
, vi
[ ]
1;6t
, cú
[ ]
'
1
( ) 0; 1;6f t t t
t t
=
[ ]
1;6
1
( ) (1)
2
t
Min f t f

= =
;
[ ]
1;6
2

ax ( ) (6) 18
6
t
M f t f

= = +

GTNN ca F l:
1
2
t c ti:
2
1
1
x
t
y
=

=

=

GTLN ca F l:
2
18
6
+
t c ti :t= 6
6

0
x
y
=



=

Mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn :
1 3 0
3 3 3
x y z
x y z+ + = + + =
Gọi d là đờng thẳng qua O và vuông góc với mp(ABC).Phơng trình d là:
x t
y t
z t
=


=


=

. H là hình chiếu của O lên mp(ABC),suy ra toạ độ H là nghiệm của
hệ:
(1;1;1)
3 0

x t
y t
H
z t
x y z
=


=



=


+ + =

D là điểm đối xứng với H qua O suy ra D(-1;-1;-1)
Gọi (S) : x
2
+y
2
+z
2
+2ax+2by+2cz+d=0 là phơng trình mặt cầu (a
2
+b
2
+c
2

- d>
0). Vì A
( )S
ta có 9+6a+d=0
Vì B
( )S
ta có 9+6b+d=0
Vì C
( )S
ta có 9+6c+d=0
Vì D
( )S
ta có 3-2a-2b-2c+d=0
Từ đó a=b=c=
1
2

;d=-6
Vậy (S):x
2
+y
2
+z
2
-x-y-z-6= 0 là PT mặt cầu cần tìm

1,0 Ta cú:
' 2
4 5 1 i = = =
1

2
2
2
z i
z i
=



= +

Khi ú:
( ) ( ) ( ) ( )
2011 2011 2011 2011
1 2
1 1 1 1z z i i + = + +
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0.25
0.25
VIb2
(1,0đ)
VIIb
(1,0đ)

( )
1005 1005
2 2
(1 ) (1 ) 1 (1 )i i i i
   
= − − + + +
   
=
( ) ( ) ( ) ( )
1005 1005
1 2 1 2i i i i− − + +
1005 1005 1005 1006
2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 1 ) 2i i i i i i i= − − + + = + − + = −
2.(1,0đ)
Ta có :
1
d
đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là :
( )
1
1; 1;0u
→
= −

2
d
đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là:
( )
2
1; 2;2u

→
= −
Gọi
n
→
là vtpt của mp(P), vì (P) song song với
1
d
và
2
d
nên
n
→
= [
1 2
;u u
→ →
] = (-2 ; -2 ; -1)
⇒
pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0
d(
1
d
;(P)) = d(A ; (P)) =
7
3
m+
; d(
2

;( ))d P
= d( B;(P)) =
5
3
m+
vì d(
1
d
;(P)) = 2. d(
2
;( ))d P
7 2. 5m m⇔ + = +
7 2(5 )
7 2(5 )
m m
m m
+ = +

⇔

+ = − +

3
17
3
m
m
= −



⇔

= −

Với m = -3
⇒
mp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0
Với m = -
17
3
⇒
mp(P) : 2x + 2y + z -
17
3
= 0
Pt đầu
⇔
y – 2x + 8 =
( )
6
2
2y x⇔ =
thế vào pt thứ hai ta được:
2 3
8 2 .3 2.3
x x x x
+ =
8 18 2.27
x x x
⇔ + =

8 18
2
27 27
x x
   
⇔ + =
 ÷  ÷
   
3
2 2
2
3 3
x x
   
⇔ + =
 ÷  ÷
   
Đặt: t =
2
3
x
 
 ÷
 
, (đk t > 0 ) , ta có pt:
( )
( )
3 2
2 0 1 2 0t t t t t+ − = ⇔ − + + =
0

1
0
x
t
y
=

⇔ = ⇒

=


0.25
0.25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu II .2 (1 điểm) Giải hÖ phương trình :
6 2 3 3 (1)
2 3 3 6 3 4 (2)
x
x y y
y
x x y x y


− = − +



+ − = + −

. (với
x R
∈
)
§K:
3 0,
3x+ 3 0 (*)
0
x y
x y
y
− ≥


− ≥


≠

(1)
2
3
(3 ) (3 )
2 3 3 2 3 (3)

x y
x y x y
y x y
y y
y
−
− −
⇔ − = − ⇔ − =
0.25
§Æt t=
3x y
y
−
Phương trình (3) có dạng 2t
2
-t-3=0
1
3
2
t
t
= −


⇔

=

0.25
Với t=-1 ta có:

3x y
y
−
=-1
2
0
3
3 (3)
y
x y y
x y y
<

⇔ − = − ⇔

= +

Thế (3) v o (2) ta à được 2
2 2 2
4 4
2 5 4 2 7 4 0
1
(L)
2
y x
y y y y y
y
= − ⇒ =



= + − ⇔ + − = ⇔

=

0.25
Với t=
2
0
3
3 3 3
3
9
2 2 2
3 (4)
4
y
x y
x y y
y
x y y
>

−

⇒ = ⇔ − = ⇔

= +


Thế (4) vào (2) ta được

2 2
9 5 9
2 5 4 (5)
4 2 2
y y y y+ = + −
Đặt u=
2
9 5
, u 0
4 2
y y+ ≥
Ta có PT :2u
2
-2u-4=0
1 (L)
2 (t/m)
u
u
= −

⇔

=

Với u=2 ta có
2 2 2
8 8
(t/m)
9 5 9 5
2 4 9 10 16 0

9 9
4 2 4 2
2 (L)
y x
y y y y y y
y

= ⇒ =

+ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔

= −

KL HPT đã cho có 2 cặp nghiệm (4;-4) ,
8 8
( ; )
9 9
0.25
VIa.1(1
điểm)
B là giao điểm của đường cao qua B
và đt BC nên toạ độ điểm B là nghiệm 0.25
của hệ
4 0
( 2;2)
2 2 0
x y
B
x y
− + =


⇒ −

+ − =

0.25
Qua M kẻ đt song song với BC cắt đường cao kẻ từ B tại N.Gọi I là giao điểm
của MN với đường cao kẻ từ A thì I là TĐ của MN.Đt MN //BC nên PT
B
C
A
M(-1;0)
x+2y-2=0
NI
H
E
đt MN:x+2y+m=0.ĐiểmM(-1;0)
( 1) 2.0 0 1MN m m∈ ⇔ − + + = ⇔ =

( ) : 2 1 0MN x y⇒ + + =
N là giao điểm của đường cao qua B và đt MN nên toạ độ điểm N là nghiệm
của hệ
2 1 0
1
( 3;1) ( 2; )
4 0
2
x y
N I
x y

+ + =

⇒ − ⇒ −

− + =

. 0.25
Gọi E là TĐ của BC .Do tam giác ABC cân tại A nên IE là trung trực của BC
mà BC : x+2y-2=0
: 2 0.IE x y m⇒ − + =

Điểm I
1 9
2.2 0
2 2
BC m m∈ ⇔ − − + = ⇔ =
( ) :4x-2y+9=0IE⇒
0.25
E là giao điểm của đường cao IE và đt BC nên toạ độ điểm E là nghiệm của
hệ
2 2 0
7 17 4 7
( ; ) ( ; )
4 2 9 0
5 10 5 5
x y
E C
x y
+ − =


⇒ − ⇒ −

− + =

.
CA đi qua C và vuông góc với BN mà BN x-y+4=0 suy ra (AC):x+y+m=0
4 7 4 7 3
( ; ) 0
5 5 5 5 5
C AC m m− ∈ ⇔ − + + = ⇔ = −
Suy ra (AC):x+y-
3
5
=0
A là giao điểm của đường cao IE và đt AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của
hệ
4 2 9 0
13 19
( ; )
3
10 10
0
5
x y
A
x y
− + =

−


⇒

+ − =


0.25
VIb 1
(1 điểm)
Gọi N’ là điểm đối xứng của N
qua I thì N’ thuộc AB, ta có :
'
'
2 4
2 5
N I N
N I N
x x x
y y y
= − =


= − = −

0.25
Phương trình đường thẳng AB:
4x + 3y – 1 = 0 0.25
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB:
2 2
4.2 3.1 1
2

4 3
d
+ −
= =
+
AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI
có:
2 2 2
1 1 1
4d x x
= +
suy ra x =
5
suy ra BI =
5
0.25
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn
tâm I bán kính
5
Tọa độ B là nghiệm của hệ:
2 2
4x 3y – 1 0
( 2) ( 1) 5x y
+ =


− + − =

0.25
B có hoành độ dương nên B( 1; -1)

I
V
(1 điểm)

Qua C kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AD t¹i E suy ra tø gi¸c ABCE lµ HCN nªn
AE =a vµ
CED∆
vu«ng t¹i E .Theo Pitago cã
2 2 2 2 2 2
20 4 16 4DE CD CE a a a DE a= − = − = ⇒ =
AD là đáy lớn của hình thangn AE =a+4a=5a
DiÖn tÝch h×nh thang ABCD lµ S=
2
( ) ( 5 ).2
6
2 2
BC AD AB a a a
a
+ +
= =
(®vdt)
ThÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD lµ : V=
.2 )(.
3
1
3
aABCDSSA ==
Tam giác ACD vuông ở C, trong mp(SAD) gọi O là giao của đường thẳng vuông góc
với SA tại trung điểm I của SA và đường thẳng vuông góc với AD tại trung điểm J
của AD suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD (O lµ trung ®iÓm cña SD)

Tính được:
.
2
26
22
aAIOIOAR =+==
0.25
0.25
0.25
0.25
Nếu thí sinh làm theo các cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa.
Hết
A
B
D
C
I
O
J
a
2a
5
2a
4a
a
R
E
S
//
//

\\
\\