dê thi chuyen nguyen du

Sở giáo dục và đào tạo
HảI dơng

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
nguyễn trãi - Năm học 2009-2010
Môn thi : toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009
(Đề thi gồm: 01 trang)
Câu I (2.5 điểm):
1) Giải hệ phơng trình:


+ + =

+ =

2 2
2
x y xy 3
xy 3x 4
2) Tìm m nguyên để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:

+ + + =
2 2
4x 4mx 2m 5m 6 0

Câu II (2.5 điểm):
1) Rút gọn biểu thức:

( ) ( )

+ +


=
+
3 3
2
2
2 4 x 2 x 2 x
A
4 4 x
với
2 x 2
2) Cho trớc số hữu tỉ m sao cho
3
m
là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để:
3 2
3
a m b m c 0+ + =

Câu III (2.0 điểm):
1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x
3
là một số nguyên dơng và biết
=f(5) f(3) 2010
. Chứng minh
rằng:
f(7) f(1)

là hợp số.
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
= + + +
2 2
P x 4x 5 x 6x 13

Câu IV (2.0 điểm):
Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lợt là hình chiếu vuông góc của M, N, P trên NP,
MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao
cho
ã
ã
=DMK NMP
. Chứng minh rằng:
1) MD = ME
2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đờng tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác
DAK.
Câu V (1.0 điểm):
Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đ ờng tròn
đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.
Hết
H ớng dẫn chấm
Đề thi chính thức
1
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho
1 1
a 2 :
7 1 1 7 1 1

=
ữ
ữ
+ + +

Hãy lập một phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - 1 là một nghiệm.
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải hệ phơng trình:
x 16
xy
y 3
y 9
xy
x 2

=




=


b) Tìm m để phơng trình
( )
2
2 2
x 2x 3x 6x m 0 + + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3: (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn
2
k 4+
và
2
k 16+
là các số nguyên tố thì k chia
hết cho 5.
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
p a p b p c 3p + +
Bài 4: (3,0 điểm)
Sở giáo dục và đào tạo
Hng yên
đề chính thức
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2009 2010
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút
2
Cho đờng tròn tâm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ. D là một điểm thay
đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt AB tại C. Chứng minh rằng:
a)
MB.BD MD.BC=
b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc
cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8
- giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ.

Hết

3

SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH
KỲ THI TUYÊN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
NĂM HỌC 2009-2010
Đề chính thức Môn thi:Toán (chuyên)
Ngày thi:19/06/2009
Thời gian:150 phút
Bài 1(1.5điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:

1 2
a b c
b c c a a b
< + + <
+ + +
Bài 2(2điểm)
Cho 3 số phân biệt m,n,p.Chứng minh rằng phương trình
1 1 1
0
x m x n x p
+ + =
- - -
có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3(2điểm)
Với số tự nhiên n,
3n ³

.Đặt
( ) ( )
( )
( )
1 1 1

3 1 2 5 2 3 2 1 1
n
S
n n n
= + + +
+ + + + +
Chúng minhS
n
<
1
2
Bài 4(3điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E là điểm nằm trên cung BC
không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.AE cắt cạnh BC tại D.
a.Chúng minh:AD
2
= AB.AC – DB.DC
b.Tính độ dài AD theo a,b,c
Bài 5(1.5điểm)
Chứng minh rằng :
( )
2
1
2

3 2
m
n
n
- ³
+
Với mọi số nguyên m,n.
4

************************************************
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
(Đề có 01 trang)
Câu 1: (3,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
1 1 9
2
1 5
2
x y
x y
xy
xy

+ + + =





+ =


b) Giải và biện luận phương trình:
| 3| | 2 | 5x p x+ + − =
(p là tham số có giá trị thực).
Câu 2: (1,5 điểm)
Cho ba số thực
, ,a b c
đôi một phân biệt.
Chứng minh
2 2 2
2 2 2
2
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ + ≥
− − −
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho
2
1
4 4 1
A
x x

=
+ +
và
2
2 2
2 1
x
B
x x
−
=
− +
Tìm tất cả các giá trị nguyên của
x
sao cho
2
3
A B
C
+
=
là một số nguyên.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đường thẳng
qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh:
a) KM // AB.
b) QD = QC.
Câu 5: (1,0 điểm).
5
ĐỀ CHÍNH THỨC

Trong mt phng cho 2009 im, sao cho 3 im bt k trong chỳng l 3 nh ca mt tam giỏc cú din tớch
khụng ln hn 1. Chng minh rng tt c nhng im ó cho nm trong mt tam giỏc cú din tớch khụng ln hn 4.
Sở giáo dục-đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên
Hà nam
Năm học 2009-2010
Môn thi : toán(đề chuyên)
đề chính thức
Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề)
Bài 1.(2,5 điểm)
1) Giải phơng trình:
2
1 1
2
3 2 2x x x
=
+
2) Giải hệ phơng trình:
1
7
12
x
x y
x
x y

+ =

+

=

+


Bài 2.(2,0 điểm)
Cho phơng trình:
6 3 2 0x x m + =
a) Tìm m để x =
7 48
là nghiệm của phơng trình.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x=x
1
; x=x
2
thoả mãn:

1 2
1 2
24
3
x x
x x
+
=
+
Bài 3.(2,0 điểm)
1) Cho phơng trình:
( )

2
2 2 2 6 6 52 0x m x m+ + =
( với m là tham số, x là ẩn số). Tìm giá trị của m là số nguyên
để phwowng trình có nghiệm là số hữu tỷ.
2) Tìm số
abc
thoả mãn:
( )
2
4abc a b c= +
.
Bài 4.(3,5 điểm)
Cho ABC nhọn có
à
à
C A.<
Đờng tròn tâm I nội tiếp

ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lợt tại
các điểm M, N, E; gọi K là giao điểm của BI và NE.
a) Chứng minh:
ã
à
0
AIB 90
2
C
= +
.
b) Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đờng tròn.

c) Gọi T là giao điểm của BI với AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET.
d) Gọi Bt là tia của đờng thẳng BC và chứa điểm C. Khi 2 điểm A, B và tia Bt cố định; điểm C chuyển động
trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng minh rằng các đờng thẳng NE tơng ứng luôn đi qua một điểm cố
định.
6
Hết
Gợi ý một số câu khó trong đề thi:
Bài 3:
1) Ta có
'

=
( )
2
2
4 12 68 2 3 77m m m =
Để phơng trình có nghiệm hữu tỷ thì
'

phải là số chính phơng. Giả sử
'

= n
2
( trong đó n là số tự nhiên).
Khi đó ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 3 77 2 3 77 2 3 . 2 3 77m n m n m n m n = = + =

Do n

N nên 2m-3+n>2m-3-n
Và do m

Z, n

N và 77=1.77=7.11=-1.(-77)=-7.(-11)
Từ đó xét 4 trờng hợp ta sẽ tìm đợc giá trị của m.
2)Từ giả thiết bài toán ta có:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
100 10
100 10 .4 ( 4 1 0)
4 1
10 9
10 10
4 1 4 1
a b
a b c a b c c do a b
a b

a b a
a b
a b a b
+
+ + = + = +
+

+ +
+

= =
+ +
Ta có
( )
2
4 1a b+
là số lẻ và do
0 9c
<
nên
( )
2
4 1a b+
M
5.
Mà
( )
2
4 a b+
là số chẵn nên

( )
2
4 a b+
phải có tận cùng là 6

( )
2
a b+
phải có tận cùng là 4 hoặc 9. (*)
Mặt khác
2
2.5
4( ) 1
ab
c
a b
=
+
và
( )
2
4 1a b+
là số lẻ

( )
2
4 1a b+
<500
( )
2

125,25a b + <
(**)
Kết hợp (*) và (**) ta có
( )
2
a b+


{4; 9; 49; 64}

a+b

{2; 3; 7; 8}
+ Nếu a+b

{2; 7; 8} thì a+b có dạng 3k 1(k

N) khi đó
( )
2
4 1a b+
chia hết cho 3 mà (a+b) + 9a= 3k
1+9a không chia hết cho 3

( )
10 9a b a

+ +

không

M
3

c

N
+ Nếu a+b =3 ta có
( ) ( )
10 3 9 6 1 3
35 7
a a
c
+ +
= =
. Vì 0<a<4 và 1+3a
M
7

1+3a=7

a=2, khi đó c=6 và
b=1.Ta có số 216 thoả mãn.
Kết luận số 216 là số cần tìm.
Bài 4:
7
* ý c : Chøng minh KT.BN=KB.ET
C¸ch 1:C/m
∆
AKT
:

∆
IET
⇒
KT AK
ET IE
=
C/m
∆
AKB
:
∆
INB
⇒
KB AK
BN IN
=
Do IE=IN tõ ®ã ta suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh
C¸ch 2:
C/m
∆
TKE
:
∆
TAI
⇒
KT TA
ET TI
=
C/m
∆

BIM
:
∆
BAK
⇒
KB AB
BM BI
=
Theo tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cđa
∆
ABT ta cã
TA AB
TI BI
=
Vµ do BM=BN tõ ®ã suy ra ®iỊu ph¶i c/m
*ý d:Chøng minh NE ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh:
Do A, B vµ tia Bt cè ®Þnh nªn ta cã tia Bx cè ®Þnh vµ
·
ABI
α
=
kh«ng ®ỉi (tia Bx lµ tia ph©n gi¸c cđa
·
ABt
)
XÐt
∆
ABK vu«ng t¹i K ta cã KB = AB.cos ABI=AB.cos
α
kh«ng ®ỉi

Nh vËy ®iĨm K thc tia Bx cè ®Þnh vµ c¸ch gèc B mét kho¶ng kh«ng ®ỉi do ®ã K cè ®Þnh
⇒
®pcm.
GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN THPT HUỲNH MẪN ĐẠT – KIÊN GIANG, NĂM 2009 – 2010
Đề, lời giải
Bài 1: (1 điểm) Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Đặt S
2
= x
1
2
+ x
2
2
; S
1
=
x
1
.x
2
Chứng minh rằng: a.S
2
+ b.S
1

+ 2c = 0
Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình: 2x - 7
x
+ 3m – 4 = 0 (1)
a/ Đònh m để phương trình có một nghiệm bằng 9 và tìm tất cả nghiệm còn lại của phương trình.
b/ Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình (1) có nghiệm.
8
Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 2 (1)
2 3 6 (2)
3 1 3 (3)
x y
y z
z x

+ + =

+ + =


+ + =

(I)
Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - 6 hệ (I) là:
Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P):
2

3
x
y =
, điểm I(0 ; 3) và điểm M(m ; 0)
Với m là tham số khác 0.
a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, I
b/ Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với AB > 6
a/ Gọi pt của (d) là y = ax + b
Khi đi qua I(0 ; 3) và M(m ; 0) ta có:
3
.0 3
3
( ): 3
3
. 0
b
a b
d y x
m a b
m
a
m

=

+ =
−
 
⇔ ⇒ = +
−

 
+ =
=
 


b/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
( )
2
2
2
2 2
3
3
3
9 9 ( 0)
9 9 0
9 4. . 9 81 36 0, 0
x
x
m
mx x m do m
mx x m
m m m m
−
= +
⇔ = − + ≠
⇔ + − =
∆ = − − = + > ∀ ≠
Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

Chứng minh AB > 6
Vì A, B là giao điểm của (d) và (P) nên hoành độ x
A
, x
B
phải thỏa mãn pt: mx
2
+ 9x – 9m = 0
Theo Vi-ét ta có: x
A
+ x
B
=
9
m
; x
A
. x
B
= -9
Do A, B
3 3
( ) 3 ; 3
A A B B
d y x y x
m m
− −
∈ ⇒ = + = +
Theo công thức tính khoảng cách:
9

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 4 2
3 3
9
9
1
9
4 . 1
9 9
4( 9) 1
81 9
36 1
81 729 324
36 36 6

A B A B
A B A B
A B A B
A B
A B A B
AB x x y y
x x x x
m m
x x x x
m
x x
m
x x x x
m
m m
m m
m m m
= − + −
− −
 
= − + −
 ÷
 
= − + −
 
= − +
 ÷
 
 
 

= + − +
 ÷
 
 
 
   
= − − +
 
 ÷  ÷
   
 
 
  
= + +
 ÷ ÷
  
= + + + > =
Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A và B (R > R’). Tiếp tuyến tại
B của
(O’ ; R’) cắt (O ; R) tại C và tiếp tuyến tại B của (O ; R) cắt (O’ ; R’) tại D.
a/ Chứng minh rằng: AB
2
= AC.AD và
2
BC AC
BD AD
 
=
 ÷
 

b/ Lấy điểm E đối xứng của B qua A. Chứng minh bốn điểm B, C, E, D thuộc một đường tròn có
tâm là K. Xác đònh tâm K của đường tròn.
a/ Xét (O) ta có
µ
¶
1 2
C B=
(chắn cung AnB)
Xét (O’) ta có
¶
µ
1 1
D B=
(chắn cung AmB)
2
2 2
2
2 2
(1)
.
.
ABC ADB
AB AC BC
AD AB BD
AB AC AD
BC AB AB AC AD AC
BD AD AD AD AD
⇒ ∆ ∆
⇒ = =
⇒ =

   
= = = =
 ÷  ÷
   
:
b/ Từ (1) thay AE = AB ta có
AE AC
AD AE
=
(*) mặt khác:
10
µ
¶
µ
¶
¶
¶
µ
¶
1 1 1 2 2 1
1 2
;
(**)
A C B A B D
A A
= + = +
⇒ =
Từ (*) và (**) suy ra:
¶
¶

· ·
µ
¶
µ
¶
µ
¶
¶ ¶
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
( )
180 ( )
AEC ADE c g c
E D
CED CBD E E B B
E D D B
xet BDE
∆ ∆ − −
⇒ =
⇒ + = + + +
= + + +
= ∆
:
Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn tâm K. Với K là gaio điểm 3 đường trực của
BCE
∆
hoặc
BDE

∆
SỞ =
1 1 1
16 4x y z
+ +
GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN LAM SƠN
THANH HỐ NĂM HỌC: 2009-2010
MƠN: TỐN (Dành cho học sinh thi vào lớp chun Tốn)
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
1. Cho số x (
x R ; x > 0∈
) thoả mãn điều kiện :
2
2
1
x + = 7
x
. Tính giá trị các biểu thức : A =
3
3
1
x +
x
và B =
5
5
1
x +

x
.
2. Giải hệ phương trình:
1 1
+ 2 - 2
y
x
1 1
+ 2 - 2
x
y







=
=
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện:

1 2
0 x x 2≤ ≤ ≤
. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
2
2a - 3ab + b
Q =
2a - ab + ac
.
Câu 3: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
1
x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = x + y + z
2
.
2. Tìm tất cả các số ngun tố p để 4p
2
+ 1 và 6p
2
+ 1 cũng là số ngun tố.
Câu 4: (3,0 điểm)
1. Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường thẳng đi qua A, cắt cạnh BC tại M
và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng:
CK
⊥
BN.
11
Đề chính thức

2. Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R = 1 v mt im A sao cho OA =
2
. V cỏc tip tuyn AB, AC vi
ng trũn (O) (B, C l cỏc tip im). Mt gúc xOy cú s o bng 45
0
cú cnh Ox ct on thng AB
ti D v cnh Oy ct on thng AC ti E. Chng minh rng
2 2 - 2 DE < 1
.
Cõu 5: (1,0 im)
Cho biu thc P = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ ac + bd , trong ú ad bc = 1. Chng minh rng: P


3
.
Ht
H v tờn thớ sinh: S bỏo danh:
sở giáo dục - đào tạo hà
nam
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2009 - 2010
Môn thi : toán(Đề chung)

đề chính thức
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2 điểm)
Cho biểu thức P =
( ) ( )
2
1 2 3
1
1
x x x x x
x
x
+ +
+


a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn P
c) Tìm x để P > 0
Bài 2. (1,5 điểm)
Giải hệ phơng trình:
( )
( )
1 2 2
2 2 1
x y
x y

+ + =

+ =


Bài 3. (2 điểm)
1) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = x + 6 và parabol y = x
2
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục õ, trục Oy lần lợt tại các điểm A , B và

AOB cân
( đơn vị trên hai trục õ và Oy bằng nhau).
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho

ABC vuông đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm của HC. Đờng tròn đờng
kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại diểm M và N.
a) Chứng minh

ACB và

AMN đồng dạng
b) Chứng minh KN là tiếp tuýn với đờng tròn (AH)
c) Tìm trực tâm của

ABK
Bài 5. (1 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thoả mãn: x + y + x = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
hết
sở giáo dục đào tạo hà

Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
12
nam
Năm học 2009 2010
hớng dẫn chấm thi môn toán : đề chung
Bài 1 (2 điểm)
a) (0,5 điểm) Điều kiện xác định của P là x
0

và x 1
b) (1 điểm)
( )
1
1
1
x x
x
x
x
+
=



( )
2
2 3
4 4 3
1 1
x x x

x x x x
x x
+
+ +
=


4
1
x
x

=

Vậy P =
4
1 x
c) (0,5 điểm) P>0
1 0x >

1 0 1x x < <
Bài 2 (1,5 điểm)
Cộng hai phơng trình ta có :
( )
3 2 2 1 2x+ = +
1 2 1
2 1
3 2 2 1 2
x
+

= = =
+ +
Với
( ) ( )
2 1 2 2 1 2 1 1 2 1x y= = + =
K/l Vậy hệ có nghiệm:
2 1
2 1
x
y

=


=


Bài 3 (2 điểm)
a) (1 điểm) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình: x
2
= x + 6

2
6 0 2x x x = =
hoặc x = 3
Với x = -2
4; 3 9y x y = = =
Hai điểm cần tìm là (-2;4); (3;9)
b) (1 điểm)
Với y = 0

( )
2 3
1 2 3 0
1
m
m m x
m
+
+ + + = =
+
(với m -1)
2m+3
A - ;0
m+1


ữ

Với x = 0
( )
2 3 B 0;2m+3y m = +

OAB vuông nên

OAB cân khi A;B O và OA = OB
2 3
2 3
1
m
m

m
+
= +
+
+ Với
( )
2 3 1
2 3 2 3 1 0 0
1 1
m
m m m
m m
+

= + + = =
ữ
+ +

hoặc m =
3
2

(loại)
+ Với
( )
2 3 1
2 3 2 3 1 0 2
1 1
m
m m m

m m
+

= + + + = =
ữ
+ +

hoặc m =
3
2

(loại)
K/l: Giá trị cần tìm m = 0; m = -2
Bài 4(3,5 điểm)
a) (1,5 điểm)
13
E
N
M
I
K
H
C
B
A

AMN và

ACB vuông đỉnh A
Có

ã
ã
AMN AHN=
(cùng chắn cung AN)
ã
ã
AHN ACH=
(cùng phụ với
ã
HAN
) (AH là đờng kính)
ã
ã
AMN ACH =
AMN ACB

:
b) (1 điểm)

HNC vuông đỉnh N vì
ã
0
ANH 90=
có KH = KC

NK = HK
lại có IH = IN (bán kính đờng tròn (AH)) và IK chung nên

KNI =

KHI (c.c.c)
ã
ã
0
90KNI KHI = =
ã
0
90KNI =
Có KN

In, IN là bá kính của (AH)

KN là tiếp tuyến với đờng tròn (AH)
c) (1 điểm)
+ Gọi E là giao điểm của Ak với đờng tròn (AH), chứng minh góc HAK= góc HBI
Ta có AH
2
HB.HC

AH.2IH = HB.2HK


HA HK
HB HI
=



HAK
HBI:

ã
ã
HAK HBI=
+ Có
ã ã
HAK EHK=
(chắn cung HE)

ã
ã
//HBI EHK BI HE=
Có
ã
0
90AEH =
(AH là đờng kính)
BI AK

ABK có
BI AK

và
BK AI


I là trực tâm

ABK
Bài 5 (1 điểm)
( )
1 1 1 1 1 1 21
P=
16x 4 16x 4 16 4 16 4 16
y x z x z y
x y z
y z y z x y x z y z


+ + = + + + + = + + + + + +
ữ ữ ữ
ữ


Theo cối với các số dơng:
1
16 4 4
y x
x y
+
dấu bằng xảu ra khi y=2x

1
16 2
z x
x z
+
dấu bằng xảu ra khi z=4x

1
4
z y
y z
+
dấu bằng xảu ra khi z=2y
Vậy P

49/16
P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
Vậy giá trị bé nhấy của P là 49/16
14
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
*****
Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x
4
+ ax
3
+ x
2
+ ax + 1 = 0, a là tham số .
a) Giải phương trình với a = 1.
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a

2
> 2.
Câu 2.(4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3−
.
b) Giải hệ phương trình:
2
x + y + z = 1
2x + 2y - 2xy + z = 1



.

Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn :
3x
2
+ 6y
2
+2z
2
+ 3y
2
z
2
-18x = 6.
Câu 4.(3,0 điểm)
a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

3
3 3
abc + xyz (a + x)(b + y)(c + z)≤
.
b) Từ đó suy ra :
3 3
3 3 3
3 3 3 3 2 3+ + − ≤
Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình
vuông.
a) Chứng minh rằng S
ABCD

AC
4
≤
(MN + NP + PQ + QM).
b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS. OA và OB là hai bán kính thay đổi vuông góc với
nhau. Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường
thẳng SP. Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By.
=HẾT=
SỞ GD & ĐT PHÚ YÊN
***
KỲ THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC 2009 -2010
MÔN : TOÁN (Hệ số 2)

ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
15

Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như
hướng dẫn quy định.
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch
với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
II- Đáp án và thang điểm:
CÂU ĐÁP ÁN
Câu 1a.
(2,0đ)
Ta có phương trình :
4 3 2
x + ax +x + ax + 1 = 0 (1)
Khi a =1 , (1)
4 3 2
x +x +x +x+1= 0 (2)⇔
Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm.
Chia 2 vế của (2) cho x
2
ta được:
2
2
1 1
x + + x + +1=0
x x
(3).
Đặt
1 1 1
t = x+ t x+ x + 2

x x x
⇒ = = ≥
và
2 2
2
1
x + t -2
x
=
.
Phương trình (3) viết lại là :
2
t + t - 1 = 0
Giải (3) ta được hai nghiệm
1
1 5
t
2
− +
=
và
2
1 5
t
2
− −
=
đều không thỏa điều kiện |t|≥ 2.Vậy
với a = 1, phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu1b.

(2,0đ)
Vì x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên ta cũng chia 2 vế cho x
2
ta có phương trình :
2
2
1 1
x + +a x + +1= 0
x x
 
 ÷
 
.
Đặt
1
t = x +
x
, phương trình sẽ là : t
2
+ at - 1 = 0 (4).
Do phương trình đã cho có nghiệm nên (4) có nghiệm |t| ≥ 2. Từ (4) suy ra
2
1- t
a
t
=
.
Từ đó :
2 2
2

2
(1 - t )
a >2 2
t
⇔ >
2 2
t (t - 4) 1 0 (5)⇔ + >
Vì |t| ≥ 2 nên t
2
>0 và t
2
– 4 ≥ 0 , do vậy (5) đúng, suy ra a
2
> 2.
Câu 2a.
(2,0đ)
x + 3 + 6 - x - (x + 3)(6 - x) 3 (1)=
Điều kiện :
x+3 0
-3 x 6
6-x 0
≥

⇔ ≤ ≤

≥

.
Đặt :
2 2

x + 3
, , 0 9.
v = 6 - x
u
u v u v

=

≥ ⇒ + =



Phương trình đã có trở thành hệ :

2 2 2
u + v = 9 (u + v) - 2uv = 9
u + v - uv = 3 u + v = 3 + uv
 
⇔
 
 

16
Suy ra : (3+uv)
2
-2uv = 9
uv = 0 u = 0
uv = -4 v = 0
 
⇔ ⇔

 
 

x+3 = 0 x = -3
x = 6
6-x = 0


⇔ ⇔





.
Vậy phương trình có nghiệm là x =-3 , x = 6.
Câu 2b.
(2,0đ)
Ta có hệ phương trình :

2 2
x+y+z=1 x+y = 1-z
2x+2y-2xy+z =1 2xy = z +2(x+y)-1
 
⇔
 
 

2 2
x + y = 1 - z

2xy = z - 2z + 1 = (1- z)

⇔



2
2xy = (x + y)⇔

⇔
2 2
x + y = 0 x = y = 0 z = 1⇔ ⇒
.
Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1).
Câu 3.
(3,0đ) Ta có : 3x
2
+ 6y
2
+ 2z
2
+3y
2
z
2
-18x = 6 (1)

2 2 2 2 2
3(x-3) + 6y + 2z + 3y z 33 (2)⇔ =
Suy ra : z

2
M
3 và 2z
2
≤ 33
Hay |z| ≤ 3.
Vì z nguyên suy ra z = 0 hoặc |z| = 3.
a) z = 0 , (2) ⇔ (x-3)
2
+ 2y
2
= 11 (3)
Từ (3) suy ra 2y
2
≤ 11 ⇒ |y| ≤ 2.
Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn.
Với |y| = 1, từ (3) suy ra x
∈
{ 0 ; 6}.
b) |z| = 3, (2) ⇔ (x-3)
2
+ 11 y
2
= 5 (4)
Từ (4) ⇒ 11y
2
≤ 5 ⇒ y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa mãn.
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;-1;0) ; (6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0).
Câu 4a.
(2,0đ)

3
3 3
abc xyz (a+x)(b+y)(c+z) (1)+ ≤
Lập phương 2 vế của (1) ta được :

2 2
3 3
abc + xyz + 3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (a+x)(b+y)(c+z)≤
2 2
3 3
abc + xyz+ 3 (abc) xyz +3 abc(xyz)⇔ ≤

abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz
2 2
3 3
3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc)⇔ ≤
(2)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
2
3
(abz+ayc+ xbc) 3 (abc) xyz≥
(3)
2
3
(ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz)≥
(4)
Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được chứng minh.
17
Câu4b.
(1,0đ)

Áp dụng BĐT (1) với
3 3
a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = 3 - 3, y = 1, z = 1
Ta có : abc = 3 +
3
3
, xyz = 3-
3
3
, a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2
Từ đó :
3 3
3 3 3 3
3+ 3 3- 3 6.2.2 2 3+ ≤ =
(đpcm).
Câu 5a.
(2,0)
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của
QN, MN, PQ. Khi đó :
BJ =
MN
2
(trung tuyến ∆ vuông MBN)
Tương tự DK =
PQ
2
.
IJ =
QM
2

(IJ là đtb ∆ MNQ).
Tương tự IK =
PN
2
.
Vì BD ≤ BJ + JI + IK + KD. Dođó:
ABCD
AC AC
S .BD (BJ+JI + IK+KD)
2 2
= ≤
AC
= (MN+NP+PQ+QM)
4
- đpcm.
Câu5b.
(1,0)
Chu vi tứ giác MNPQ là :
MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ
= 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt)
Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ //NP, MN//PQ, MN=PQ (vì
cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau), lúc đó MNPQ là hình chữ nhật.
18
A B
D C
M
N
P
Q
I

J
K
Cõu 6.
(3,0)
Kớ hiu nh hỡnh v.
Phn thun :
ã
ã
0
AOB =AMB 90=
(gi thit)
t giỏc AOBM luụn ni tip

ã
ã
0
AMO ABO 45= =
(vỡ AOB
vuụng cõn ti O)
Suy ra M luụn nm trờn ng
thng i qua O v to vi ng
PQ mt gúc 45
0
.
Trng hp B v trớ B thỡ M
nm trờn ng thng i qua O
v to vi PS mt gúc 45
0
.
Gii hn :

*) Khi A H thỡ M Q, khi A K thỡ M S
*) Trng hp B v trớ B: khi A H thỡ M P, khi A K thỡ M R
Phn o: Ly M bt kỡ trờn ng chộo SQ (hoc M trờn PR), qua M k ng thng song
song vi ng thng PQ ct (O) ti A. K bỏn kớnh OB OA.
Ta thy t giỏc AOBM ni tip (vỡ
ã
ã
0
AMO ABO 45= =
)
Suy ra :
ã
ã
0
AMB AOB 90= =
.
M AM//PQ , PQ PS MB//PS.
Kt lun:Qu tớch giao im M l 2 ng chộo ca hỡnh vuụng PQRS.
=Ht=
Sở Giáo dục và đào tạo
BìNH DƯƠNG

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10
THPT Chuyên Hùng Vơng
Năm học 2009-2010
Môn thi: Toán (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian phát đề.)

Câu1: Giải phơng trình
2 2
2 19 2 39x x x x+ = +
Câu 2: Giải hệ phơng trình
( ) ( )
2
3 2 0
5 0
x y x y
x y





+ + + + =
=
Câu 3: Cho a,b R thỏa:
19
Đề thi chính thức
x
y
O
K
H
P
Q
RS
A
B

M
M'
B'

2 2
3 3 3a a b b

ữ ữ

+ + + + =
Tính a+ b
Câu 4 Cho Phơng trình bậc hai , x là ẩn, tham số m:
( )
2
2 1 2 0x m x m + + =
1- Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.
2- Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phơng trình . Chứng tỏ M = x
1
+ x
2
- x
1
x
2
không phụ thuộc vào giá trị của m .
Câu 5 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . BE và CF là hai đờng cao. Trực tâm H. Trên HB và HC lần lợt lấy điểm

M , N sao cho
ã
ã
0
90AMC ANB= =
. Chứng minh : AM = AN .

GiảI đề Thi
Câu1: Giải phơng trình

=


=

=


=

+ = +

+ + =

=
=

2
1
2

1
2
0
4(
5(
7
5
2 2
2 19 2 39 (*)
2
2 19
(*) 2 0
2
2 19 16
2
2 35 0
t
t
x
x
x x x x
x x
t t
x x
x x
đặt t =
nhận)

loại

Câu 2: Giải hệ phơng trình
( ) ( )





=

+ + =

=

=



+ =

=




=

=

+ =





=



=




+ + + + =
=
1
2
2
(*)
1
(*) 3 2 0
2
3
1
2
5

7
2
2
5 3
2
2
3 2 0
5 0
t
t t
t
x
x y
y
x y
x
x y
x y
y
x y x y
x y
đặt t = x + y
20
Câu 3: Cho a,b R thỏa:

2 2
3 3 3a a b b

ữ ữ

+ + + + =
Tính a+ b
( ) ( )

ữ ữ



+ +
ữ ữ




=
ữ ữ




ữ ữ




=
ữ ữ

+ + + + =
= + +
+ +
+ + + + =
+ +
2 2
t
.
3
3
2 2
3 3 3
2 2 2 2
3 3 3 3 3
2 2
3 3
2 2
3 3 3
2 2
3 3
b b
a a b b
a a a a b b
a a b b
a a b b
a a b b
ừ
vậy
( ) ( )
( ) ( )

ab + a + b + = 3
ab - a - b + = 3
2a + 2b = 0
a
a + b = 0
+ b = 0
v ì > 0, > 0
nê n a = b = 0
2 2 2 2
b + 3 a + 3 a + 3 b + 3
2 2 2 2
b + 3 a + 3 a + 3 b + 3
2 2
b + 3 a + 3
2 2
b + 3 a + 3
2 2
a + 3 b + 3

Câu 4 Cho Phơng trình bậc hai , x là ẩn, tham số m:
( )
2
2 1 2 0x m x m + + =
1.
= [-(m+1)]
2
-2m = m
2
+2m +1 -2m = m
2
+ 1 > 0
Nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
2.



1 2
1 2
1 2 1 2
TheoViet :
x + x = 2(m + 1)
x .x = 2m
M = x + x - x .x = 2(m + 1) - 2m = 2
Nên không phụ thuộc vào giá trị của m .
Câu 5:
21
⇒ =
∆ ∆

⇒ =
: AEB AFC(g-g)
AE
AF
. . (1)AE AC AF AB
AB
AC

2
2
(2)
, : ®•êng .
.
, : ®•êng .
3 ( ).
vMAC ME cao
MA AE AC
vNAB NF cao
NA AF AB
∆
=
∆
=
Tõ (1),(2),(3)
⇒MA
2
= NA
2
⇒MA = NA

22
N
M
H
F
E
A
B
C
23
24
25