Đề thi toán của trường chuyên Nguyễn Du

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
ĐAKLAK CHUYÊN NGUYỄN DU NĂM HỌC 2007 - 2008
Khóa ngày 26 tháng 6 năm 2007
………………..>><< ……………….
……………………………………………………………………
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI : TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 : ( 2đ)
Cho phương trình : ( m – 1 ) x
2
– 2mx + m + 1 = 0 ( m ≠ 1)
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác
vuông , biết độ dài cạnh huyền bằng 5
Cho a , b , c , d là các số thực thỏa mãn : b + d + 2ac ≤ 0
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm
x
2
+ 2ax + b = 0 ; x
2
+ 2cx + d = 0
Bài 2 : ( 2đ)
Tìm a để phương trình : x
4
–a
2
x
2
+ a
3
– a
2

= 0 , có 3 nghiệm phân biệt
Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình : x + y + z = 3
x
3
+ y
3
+ z
3
= 3
Bài 3 : ( 2đ)
Cho góc xOy và một điểm M cố định nằm trong góc đó . Qua M kẻ một đường thẳng
vuông góc bất kì cắt Ox , Oy lần lượt tại A , B ( A ; B không trùng với O )
Chứng minh : không đổi ( dt(OAM) là diện tích tam giác OAM )
Cho hình thang ABCD , AB // CD , AB = BC = a , = 600 ; = 450 . Tính theo a thể tích
hình được tạo thành khi quay hình thang ABCD quanh CD một vòng
Bài 4 : ( 2đ)
Cho x , y là hai số thực . Chứng minh x2007y + xy2007 ≤ x2008 + y2008
Chứng minh đa thức : x999 + x888 + x777 + …. + x111 + 1 , chia hết cho đa thức :
x9 + x8 + x7 + … + x + 1
Bài 5 : Cho đa thức lồi n đỉnh ( n N ; n ≥ 3 ; n ) , A1A2A3 ……….An . Từ A1 vẽ tất cả
các đường chéo .
Trong tam giác A1AkAk+1 ( 2 ≤ k ≤ n – 1 ; k N ) chọn một điểm M bất kỳ. Nối M với tất
cả các đỉnh đa giác . Tính xem miền trong đa giác được chia thành bao nhiêu phần ? Tìm k
để số phần được tạo ra là ít nhất ?
Bài giải :
Bài 1 : ( m – 1 ) x2 – 2mx + m + 1 = 0 ( m ≠ 1)
’ = m2 – ( m + 1 )(m – 1 ) = m2 – m 2 + 1 = 1 > 0
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
x1 + x2 = ; x1x2 = vì x1; x2 là độ dài 2 cạnh của tam giác vuông nên
S = x1x2 > 0 m > 1 hoặc m < - 1 và P = x1 + x2 > 0 m > 1

Vậy m > 1
Vì x1 ; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng 5
x12 + x22 = 25 hay (x1 + x2 )2 - 2 x1x2 = 25
( )2 - 2 = 25
4m2 – ( 2m + 2 ) (m – 1 ) = 25( m – 1)2
23m2 – 50 m + 23 = 0 giải ra ta tìm được
m1 = m 2 = ( loại )
Vậy m = thì phương trình có 2 nghiêm là độ dài 2 cạnh góc vuông
Ta có pt x2 + 2ax + b = 0 ’1 = a2 – b
x2 + 2cx + d = 0 ’2= c2 – d
Để cho một trong 2 phương trình này có nghiệm thì : ≥ 0
= a2 – b + c2 – d ≥ 0 (1) theo đề bài ta có b + d + 2ac ≤ 0
-( b + d ) ≥ 2ac thay vào ( 1)
= ( a + c )2 > 0 . Vậy ít nhất một trong 2 phương trình trên có nghiệm
Bài 2 : ( 2đ)
Tìm a để phương trình x4 – a2x2 + a3 – a2 = 0 , có 3 nghiệm phân biệt
( x4 – a2) – a2( x2 – a ) = 0
( x2 – a ) ( x2 + a – a2) = 0
Tìm nghiệm nguyên của hệ pt : x + y + z = 3
x3 + y3 + z3 = 3
Ta có công thức sau ( x + y + z )3 – ( x3 + y3 + z3) = 3(x + y )(y + z