Bài giảng chương 5 hệ các phương trình maxwell và sóng điện từ

Chương 5:
HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

và SÓNG ĐIỆN TỪ
NỘI DUNG
•
Luận điểm thứ nhất của Maxwell
•
Luận điểm thứ hai của Maxwell
•
Trường điện từ và hệ các phương trình
Maxwell
•
Sóng điện từ
•
Sóng điện từ phẳng
•
Năng lượng của sóng điện từ, vectơ Pointing
•
Sóng điện từ trong môi trường
I. LUẬN ĐIỂM THỨ NHẤT CỦA MAXWELL
I.1. Điện trường xoáy
- Theo TN của Faraday về hiện tượng cảm ứng điện từ
- Từ đó, ta rút ra các nhận xét:
+ Từ trường biến đổi làm xuất hiện trong vòng dây 1 lực lạ tác dụng lên các hạt mang điện
có trong vòng dây
+ Dòng điện cảm ứng là do 1 điện trường được tạo ra trong dây dẫn. Chiều của điện
trường trong dây dẫn là chiều của dòng điện cảm ứng.
+ Để tạo thành dòng điện thì công của điện trường để dịch chuyển các hạt tải điện theo
đường cong kín phải khác không, điều đó có nghĩa là sức điện động cảm ứng ε
c

bằng lưu
số của vectơ cường độ điện trường

dọc theo vòng dây kín ( C )
+ Điện trường gây nên dòng điện cảm ứng có những đường sức khép kín - điện trường
xoáy .
B
E
uur
B
E
uur
.
C B
c
E dl
ε
=
∫
uuur r
I.2. Phát biểu luận điểm:
Sự xuất hiện của điện trường xoáy trong mạch
không phụ thuộc bản chất, trạng thái, nhiệt độ dây
dẫn
 sự xuất hiện của điện trường xoáy do từ trường
biến thiên theo thời gian gây ra.
Luận điểm thứ nhất của Maxwell:
“Bất kì một từ trường nào biến thiên theo
thời gian cũng sinh ra một điện trường
xoáy”.

Jame Clerk Maxwell
(1831 - 1879)
I.3. Phương trình Maxwell - Faraday
-
Xét vòng dây kín (C) trong một từ trường biến thiên theo thời
gian . Theo định luật cơ bản của hiện tượng cảm ứng điện từ ,
trong mạch sẽ xuất hiện một sức điện động cảm ứng được xác
định từ
- Trong trường hợp tổng quát các vectơ B có thể vừa là hàm số
của thời gian vừa là hàm số của không gian nên:
Lưu số của vectơ cường độ điện trường xoáy dọc theo vòng
dây kín bất kỳ bằng về giá trị tuyệt đối , nhưng trái dấu với tốc
độ biến thiên theo thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới
hạn bởi đường cong đó
(S)
(C)
B
ur
dS
uur
Để thiết lập phương tr
Để thiết lập phương tr
ình
ình
Maxwell - Faraday
Maxwell - Faraday
. .
B
C S
d

E dl Bd S
dt
= −
∫ ∫
uur r uur ur
Ñ
. .
B
C S
B
E dl dS
t
∂
=−
∂
∫ ∫
ur
uur r ur
Ñ
0
m
S
d
d
BdS
dt dt
φ
ε
= − = −
∫

ur ur
-
Sử dụng công thức Stokes đối với vế trái của phương trình , ta có thể đưa phương
trình này đến dạng :
-
Vòng dây bao quanh mặt S là vòng dây bất kỳ , muốn cho phương trình đúng với mọi
vòng dây thì biểu thức dưới dấu tích phân phải bằng nhau:
-
Chính Maxwell đã cho rằng từ trường biến thiên theo thời gian đã tạo nên điện trường
xoáy trong không gian và không phụ thuộc vào sự có mặt của vòng dây . Sự có mặt
vòng dây là phương tiện để ta lấy ra được điện trường xoáy đó mà thôi .
-
Theo luận điểm của Maxwell: Từ trường biến thiên gây nên sự xuất hiện của điện
trường và điện trường này khác với điện trường tĩnh. Như ta đã biết : lưu số của
trường tĩnh điện theo vòng dây kín luôn bằng không nên rot cũng phải luôn bằng
không .
( ). .
B
S S
B
E d S dS
t
∂
∇× = −
∂
∫ ∫
ur
uur ur ur
B
B

E
t
∂
∇× = −
∂
ur
uur
- Như vậy điện trường có thể là trường thế hoặc là trường xoáy . trong trường
hợp tổng quát điện trường có thể gồm điện trường thế và điện trường xoáy vì vậy từ
nay về sau khi nói đến điện trường E ta có thể hiểu đó là , và ta luôn
có:
Phương trình Maxwell- Faraday
- Sự tồn tại mối tương quan giữa điện trường và từ trường là nguyên nhân vì sao việc
khảo sát điện trường , từ trường riêng biệt chỉ có giá trị tương đối
. .
C S
B
E dl dS
t
∂
= −
∂
∫ ∫
ur
ur r ur
Ñ
B
B
E
t

∂
∇× =−
∂
ur
uur
q B
E E E= +
ur uur uur
B
E
uur
q
E
ur
II. LUẬN ĐIỂM THỨ HAI CỦA MAXWELL
II.1. Dòng điện dịch:
a) Khái niệm:
-
Dòng điện không đổi :
Định lý Ampère được biểu diễn bằng phương trình: (*)
Lấy div 2 vế, ta được:
Vì luôn bằng không nên định lý Ampere nghiệm đúng phương trình liên
tục
- Dòng điện biến thiên theo thời gian: 2 vế phương trình khác không
 Không nghiệm đúng đối với dòng điện biến thiên theo thời gian
-
Dòng điện biến thiên theo thời gian: Maxwell đề nghị thêm vào vế phải của phương
trình (*) 1 số hạng nữa.
Số hạng này có thứ nguyên của mật độ dòng điện và Maxwell gọi đó là mật độ dòng
điện dịch . Như vậy , trong trường hợp dòng điện biến thiên theo thời gian , định lý

Ampère có dạng :
0div j
=
r
H j∇× =
uur r
.( ) .H j∇ ∇× = ∇
uur r
d
H j j∇× = +
uur r r
d
j
r
.( )H∇ ∇×
uur
div j
t
ρ
∂
=−
∂
r
- Lấy div hai vế của phương trình:

Mà ,
Nên  
- Dòng điện dịch chỉ là điện trường biến thiên theo thời gian , nó không phải do sự
chuyển động của các hạt điện tạo nên , do đó nó không gây ra hiệu ứng nhiệt Joule-
Lentz và không chịu tác dụng của từ trường . Nó chỉ giống dòng điện dẫn ở chỗ có khả

năng gây ra từ trường .
-
Nơi nào có điện trường biến thiên theo thời gian thì nơi đó có dòng điện dịch . Dòng
điện dịch tồn tại ở cả trong dây dẫn có dòng điện biến đổi chạy qua.
-
Dòng điện dịch cũng gây ra từ trường như dòng điện dẫn nên khi xét từ trường trong
vật dẫn , ta phải xét nó gây bởi dòng điện dẫn và dòng điện dịch , nên gọi là dòng điện
toàn phần
.( ) . .
d
H j j∇ ∇× = ∇ +∇
uur r r
div j
t
ρ
∂
=−
∂
r
.D
ρ
= ∇
ur
. ( . )
d
j D
t
∂
∇ = ∇
∂

r ur
. .
d
D
j
t
 
∂
∇ = ∇
 ÷
∂
 
ur
r
d
D
j
t
∂
=
∂
ur
r
tp d
j j j= +
r r r
-
Tùy theo tính chất dẫn điện của môi trường và tốc độ biến thiên của điện trường
theo thời gian mà hai số hạng trên có vai trò khác nhau. Trong các vật dẫn điện tốt,
điện trường biến thiên chậm thì dòng điện rất nhỏ so với dòng điện dẫn và ngược

lại
b) Ý nghĩa:
- Cho mạch điện gồm một tụ điện mắc với dòng điện xoay chiều , tần
số dòng điện xoay chiều không quá lớn
Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nạp cho tụ điện là :
Điện trường giữa 2 bản tụ là:
0
sinU U t
ω
=
dq dU
i C
dt dt
= =
0
cosi CU t
ω ω
=
0
sinU t
U
E
d d
ω
= =
i
V
+
+
−

−
d




Để chỉ r
Để chỉ r
õ ý nghĩa của dòng
õ ý nghĩa của dòng
điện dịch
điện dịch
i
V
-
-
+
+
d
D
ur
D
ur
d
j
uur
d
j
uur
j

r
j
r
j
r
j
r
- Vì điện trường E giữa hai bản thay đổi theo thời gian nên giữa hai bản có dòng điện
dịch với mật độ là :
Cường độ dòng điện dịch giữa hai bản là:
 Dòng điện dẫn trong dây dẫn bằng dòng điện dịch giữa hai bản

Như vậy , dòng điện dẫn trong dây dẫn được khép kín bằng dòng điện dịch giữa hai
bản. Do đó , dòng điện toàn phần bao giờ cũng khép kín
II.2. Phát biểu luận điểm:
“Bất kỳ một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng đều sinh ra một từ
trường”
0
0
cos
d
V
D
j t
t d
εε ω ω
∂
= =
∂
0

0 0
cos cos
d d
S
i j S U t C U t
d
εε
ω ω ω ω
= = =
II.3. Phương trình Maxwell- Ampère:
-
Xét đường cong (C), mặt S, trong môi trường có dòng
điện dẫn và điện trường biến thiên theo thời gian.
-
Định lý Ampère được viết như sau:
 Dạng tích phân của phương trình Maxwell-Ampère:
- Áp dụng định lý Stokes cho vế trái, ta được:
(C)
(S)


Để thiết lập phương tr
Để thiết lập phương tr
ình
ình
Maxwell – Ampère
Maxwell – Ampère
j
r
d

j
uur
dS
uur
( )
. .
d
C S
H dl j j d S= +
∫ ∫
uur r r r ur
Ñ
. .
C S
D
H dl j d S
t
 
∂
= +
 ÷
∂
 
∫ ∫
ur
uur r r ur
Ñ
( ). .
S
D

H d S j d S
t
 
∂
∇× = +
 ÷
∂
 
∫ ∫
ur
uur ur r ur
-
Vì S là một mặt bất kỳ nên:
- Đây là dạng vi phân của phương trình Maxwell-Ampère có thể áp dụng đối với
từng điểm trong không gian
 nếu biết sự phân bố của dòng điện dẫn và tốc độ biến thiên theo thời gian của điện
trường thì ta có thể tính dược từ trường do chúng gây ra .
D
H j
t
∂
∇× = +
∂
ur
uur r
III. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
VÀ HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL
III.1. Trường điện từ:
-
Theo 2 luận điểm của Maxwell  điện trường và từ trường liên hệ chặt chẽ với nhau ,

chuyển hóa lẫn nhau và đồng thời tồn tại trong không gian , tạo thành một trường
thống nhất gọi là trường điện từ
- Năng lượng trường điện từ được định xứ trong không gian có trường điện từ. Mật độ
năng lượng của trường điện từ bằng tổng mật độ năng lượng điện trường và từ trường:
- Năng lượng trường điện từ là:
( )
2 2
0 0
1 1 1
. .
2 2 2
e m
w w w E H E D B H
εε µµ
= + = + = +
ur ur ur uur
( )
2 2
0 0
1
2
V V
W wdV E H dv
εε µµ
= = +
∫ ∫
( )
1
. .
2

V
W E D B H dv= +
∫
ur ur ur uur
III.2. Hệ phương trình Maxwell:

Để mô tả trường điện từ một cách định lượng
-
Cặp pt thứ 1: thiết lập từ pt Maxwell-Faraday và định lý Gauss đối với từ trường:
Dạng vi phân:
. .
. 0
C S
C
B
E dl d S
t
B d S
∂
=−
∂
=
∫ ∫
∫
ur
ur r ur
ur ur
Ñ
Ñ
. 0

B
E
t
B
∂
∇× =−
∂
∇ =
ur
ur
ur

Mối quan hệ giữa trường biến thiên và
điện trường do nó gây ra.

tính chất của điện trường là trường
không có nguồn, tức là không tồn tại các
từ tích
- Cặp pt thứ 2: trên cơ sở của pt Maxwell- Ampère và định lý Gauss đối với điện
trường:
Dạng vi phân:
. .
.
C S
C V
D
H dl j d S
t
D dS dv
ρ

 
∂
= +
 ÷
∂
 
=
∫ ∫
∫ ∫
ur
uur r r ur
ur ur
Ñ
Ñ
.
D
H j
t
D
ρ
 
∂
∇× = +
 ÷
∂
 
∇ =
ur
uur r
ur


mối liên hệ giữa dòng điện dẫn,
dòng điện dịch và từ trường do nó
gây ra

điện tích ngoài là nguồn gốc của
trường vectơ
D
ur
-
Mỗi phương trình của cặp phương trình Maxwell thứ nhất tương đương với ba
phương trình liên kết các thành phần các vectơ
y
x
z
E
B
E
y z t
∂
∂
∂
− = −
∂ ∂ ∂
y
x
z
B
E
E

z x t
∂
∂
∂
− = −
∂ ∂ ∂
y
x
z
E
E
B
x y t
∂
∂
∂
− = −
∂ ∂ ∂
0
y
x
z
B
B
B
x y z
∂
∂
∂
+ + =

∂ ∂ ∂
Còn đối với cặp pt thứ 2 ta có:
y
x
z
x
H
D
H
j
y z t
∂
∂
∂
− = +
∂ ∂ ∂
y
x
z
y
D
H
H
j
z x t
∂
∂
∂
− = +
∂ ∂ ∂

y
x
z
z
H
H
D
j
x y t
∂
∂
∂
− = +
∂ ∂ ∂
y
x
z
D
D
D
x y z
ρ
∂
∂
∂
+ + =
∂ ∂ ∂
•
Các phương trình biểu diễn mối liên hệ giữa , và cũng như mối lên hệ
giữa và

-
Đây cũng là các phương trình cơ bản của điện động lực học
-
3 pt này chỉ áp dụng đối với môi trường đồng chất và đẳng hướng
H
uur
B
ur
E
ur
D
ur
j
r
0
D E
εε
=
ur ur
0
B H
µµ
=
ur uur
j E
σ
=
r ur
IV. SÓNG ĐIỆN TỪ
IV.1. Sự sản sinh ra sóng điện từ

-
Maxwell đã kết luận: “Điện trường do từ trường biến đổi sản sinh ra cũng là
một điện trường biến đổi và điện trường biến đổi này đến lượt mình lại sinh
ra một từ trường biến đổi, kết quả là ta thu được một hệ trường điện từ biến
đổi lan truyền trong không gian, đó là sóng điện từ.”
-
Khảo sát định tính: antenne
S
+
−
(a) (b)
Trường do các hạt mang điện trên dây dẫn sinh ra.
Các trường và truyền ra các điểm xa
I
.
.
.
.
E
ur
+
+
+
+
E
ur
B
ur
+
_

Sơ đồ truyền điện trường và từ trường từ các
điện tích dao động trên các vật dẫn nối qua
nguồn một chiều
(b)
(a)
∼
I
∼
. .
. .
I
+
+
+
+ +
+
+
+
.
.
.
.
IV.2. Phương trình sóng điện từ
-
Trong trường hợp tổng quát, những phương trình Maxwell của trường điện từ dưới
dạng vi phân được viết như sau:
B
E
t
∂

∇× = −
∂
ur
ur
.B 0∇ =
ur
D
H j
t
 
∂
∇× = +
 ÷
∂
 
ur
ur r
.D∇ = ρ
ur
0
D E= εε
ur ur
0
B H
= µµ
ur ur
j E= σ
r ur
-
Trong môi trường điện môi, trung hòa, đồng chất và đẳng hướng, hệ phương trình

Maxwell có dạng:
D
H
t
∂
∇ × =
∂
ur
ur
.D 0∇ =
ur
B
E
t
∂
∇× = −
∂
ur
ur
.B 0∇ =
ur
0
D E= εε
ur ur
0
B H
= µµ
ur ur
-
Do môi trường đồng chất nên :

Vì thế, ta có:
0
D E
t t
∂ ∂
= εε
∂ ∂
ur ur
0
B H
t t
∂ ∂
= µµ
∂ ∂
ur ur
0
.D .E∇ = µµ ∇
ur ur ur ur
0
.B .H∇ = µµ ∇
ur ur ur ur
0
H
.E
t
∂
∇ = −µµ
∂
ur
ur

.H 0
∇ =
ur
0
E
H
t
∂
∇× = εε
∂
ur
ur
.E 0∇ =
ur
-
Lấy Rot 2 vế của phương trình đầu:
-
Theo giải tích vectơ:
-
Do đó: (*)
 Đặt

( )
0
H
E
t
 
∂
∇× ∇× = −µµ ∇×

 ÷
∂
 
ur
ur
( ) ( )
( )
( )
E .E . E .E E∇× ∇× = ∇ ∇ − ∇ ∇ = ∇ ∇ − ∆
ur ur ur ur ur
( ) ( )
0
.E E H
t
∂
∇ ∇ − ∆ = −µµ ∇×
∂
ur ur ur
2
0 0
2
E
E
t
∂
∆ = µµ εε
∂
ur
ur
0 0

1
v =
µµ εε
2
2 2
1 E
E
v t
∂
∆ =
∂
ur
ur