Chương 16: Các phương trình maxwell và sóng điện từ

CHƯƠNG 16 : CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VÀ SÓNG ÐIỆN TỪ

I. ÐIỆN TRƯỜNG XOÁY - PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL-FARADAY
1. Ðiện trường xoáy.
2. Phương trình Maxwell-Faraday.
II. DÒNG ÐIỆN DỊCH - PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL-AMPÈRE
1. Dòng điện dịch .
2. Phương trình Maxwell -Ampère.
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL
1. Hệ phương trình Maxwell thứ nhất
2. Hệ phương trình Maxwell thứ hai .
3. Giá trị của thuyết Maxwell .
IV. SÓNG ÐIỆN TỪ TỰ DO
V. NĂNG LƯỢNG SÓNG ÐIỆN TỪ
Phân tích những hiện tượng điện và từ và định luật chi phối chúng, MAXWELL nhận thấy rằng giữa
từ trường và điện trường có mối quan hệ rất chặt chẽ. Trên cơ sở đó, Maxwell nêu lên lý thuyết về điện từ
trường. Theo thuyết này, giữa điện trường và từ trường có mối quan hệ biện chứng, chúng có thể chuyển
hoá lẫn nhau. Mọi sự biến đổi của điện trường đều làm xuất hiện từ trường và ngược lại. Thuyết Maxwell
giúp ta hiểu khái quát những hiện tượng điện và từ đã biết trước đây và những hiện tượng điện từ mới. Trên
cơ sở quan niệm về sự tồn tại của điệûn từ trường, Maxwell đã đề ra những phương trình diễn tả điện từ
trường trong những trường hợp tổng quát của môi trường.
I. ÐIỆN TRƯỜNG XOÁY - PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL-FARADAY
1. Ðiện trường xoáy
TOP
Theo định luật Faraday về hiện tượng cảm ứng điện từ, mỗi khi từ thông qua một mạch điện biến
thiên thì trong mạch xuất hiện một suất điện động cảm ứng. Nếu mạch là một dây dẫn kín, thì trong mạch sẽ
xuất hiện dòng điện cảm ứng. Suất điện động cảm ứng sẽ xuất hiện trong hai trường hợp: hoặc là mạch
đứng yên trong một từ trường biến thiên, hoặc là mạch thẳng chuyển động trong từ trường. Ở đây, chúng ta
chỉ xét trường hợp mạch đứng yên trong từ trường biến thiên. Trong mạch có xuất hiện suất điện động,
chứng tỏ rằng có những lực lạ (khác với lực tĩnh điện) tác dụng lên điện tích, và trong mạch có một trường
lực lạ ở đây chính là điện trường. Nếu mạch là một dây dẫn kín, thì điện trường này tác dụng lực lên các

điện tích và tạo nên dòng điện cảm ứng trong mạch. Lực lạ trong trường hợp này là lực điện trường.
Ðiện trường này không phải là trường tĩnh điện. Vì trường tĩnh điện là trường thế nên lưu số của vectơ
trường tĩnh điện dọc theo một đường cong kín phải bằng không. Vì thế, trường tĩnh điện không thể duy trì
sự dịch chuyển điện tích theo mạch kín, tức là không thể làm xuất hiện suất điện động. Trái lại, điện trường
xuất hiện trong hiện tượng cảm ứng điện từ là điện trường xoáy, có đường sức khép kín. Trường này tác
dụng lên những phần tử mang điện những lực làm cho chúng dịch chuyển theo những quỹ đạo khép kín, do
đó làm xuất hiện suất điện động trong mạch. Ðiện trường xoáy có những đặc tính là lưu số của điện trường
xoáy theo đường cong kín có giá trị khác không, còn lưu số giữa hai điểm thì phụ thuộc vào dạng đường
cong mà ta lấy tích phân.
Qua thực nghiệm, Maxwell thấy rằng sự xuất hiện của suất điện động trong mạch không phụ thuộc
vào trạng thái, bản chất và điều kiện vật lý của vật dẫn cấu tạo nên mạch. Ðiều đó chứng tỏ rằng, sự xuất
hiện của sức điện động cảm ứng, hay nói khác đi, điện trường xoáy không có liên quan đến vật dẫn cấu tạo
nên mạch, mà nó được quyết định bởi từ trường.
Tổng quát ta xét trường hợp "mạch" là một đường cong kín bất kỳ đặt trong từ trường. Mỗi khi từ
trường biến thiên, từ thông qua diện tích của mạch cũng biến thiên. Khi đó, tại mỗi điểm trên đường cong
đó xuất hiện điện trường xoáy, mà lưu số của điện trường này theo đường cong kín của mạch cho ta sức
điện động cảm ứng trong mạch.
Từ những nhận xét trên đây, Maxwell đã rút ra kết luận quan trọng có tính tổng quát sau: "Mọi từ trường
biến thiên theo thời gian đều làm xuất hiện điện trường xoáy".
2. Phương trình Maxwell-Faraday
TOP
Kết luận trên có thể diển tả một cách định lượng, dựa trên định luật cơ bản của hiện tượng cảm ứng
điện từ: Thế điện động cảm ứng xuất hiện trong mạch có giá trị bằng tốc độ biến thiên của từ thông qua điện
tích giới hạn bởi mạch:
Biểu thức (16.1) là một trong những phương trình cơ bản của thuyết Maxwell. Phương trình này
được rút ra từ định luật Faraday về hiện tượng cảm ứng điện từ, nên được gọi là phương trình Maxwell-
Faraday.
Chú ý rằng khi viết các biểu thức trên đây, ta vẫn áp dụng các qui tắc về dấu của các
đại lượng và chiều của mạch theo qui ước ở phần điện trường và từ trường.

Phương trình (16.1) cho ta biết mối quan hệ giữa tốc độ biến thiên của từ thông qua diện tích giới
hạn bởi mạch và lưu số của cường độ điện trường xoáy trên mạch, tức là mối quan hệ giữa điện trường và
từ trường ở những điểm khác nhau trong trường. Ðể có thể diễn tả mối quan hệ giữa điện trường và từ
trường ở cùng một điểm, ta cần thiết lập những phương trình dưới dạng vi phân. Muốn thế, ta áp dụng
phương trình (16.1) cho những mạch vô cùng bé.
II. DÒNG ÐIỆN DỊCH - PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL-AMPÈRE
1. Dòng điện dịch
TOP
Ta đã thấy rằng mọi từ trường biến thiên đều gây nên điện trường (xoáy). Phân tích các hiện tượng
điện từ khác nhau, Maxwell đi đến kết luận rằng phải tồn tại hiện tượng ngược lại là: "Mọi điện trường biến
thiên theo thời gian đều làm xuất hiện từ trường".
Vì từ trường là dấu hiệu cơ bản và tất yếu của mọi dòng điện, nên nếu như điện trường biến thiên
tạo ra từ trường, thì từ trường cũng có tác dụng giống như một dòng điện. Maxwell gọi dòng điện ở trường
hợp trên là dòng điện dịch, để phân biệt với dòng điện dẫn là dòng chuyển động của các điện tích. Dòng
điện dịch có tính chất cơ bản giống như dòng điện dẫn, nó gây ra từ trường trong không gian quanh nó,
nhưng không giống với điện dẫn về tính chất khác.
Trong khoảng thời gian ngắn đó, tụ điện được tích điện, trong dây dẫn có dòng điện bóng đèn loé
sáng lên.
Dòng điện này mất đi khi tụ điện đã tích điện xong. Sau khi tụ điện đã tích điện xong, ta đổi chiều
dòng điện mắc vào mạch nhờ cái đảo điện, mỗi lần ta đổi chiều dòng điện, trong mạch lại có một dòng điện
ngắn, đèn lại loé sáng lên. Nếu ta đảo chiều nguồn điện một cách liên tục, trong mạch có dòng điện xoay
chiều chạy qua. Ta cũng có thể thấy hiện tượng trên mà không cần đảo điện, nếu ta mắc tụ điện và bóng đèn
vào một nguồn điện xoay chiều, ta thấy bóng đèn hình như sáng liên tục. Qua thí nghiệm này ta nhận xét là
khác với dòng điện không đổi, dòng điện biến thiên có thể "chạy" trong mạch hở. Rõ ràng là dòng điện chạy
giữa hai bản tụ không phải là dòng điện thông thường (ở đó không có điện tích tự do). Ðể phân biệt với
dòng điện dẫn thông thường, Maxwell đưa ra khái niệm dòng điện dịch. Mỗi khi trong mạch hở có dòng
điện (dòng điện dịch) thì ở giữa hai đầu hở của mạch (trong thí nghiệm trên, hai đầu hở là hai bản tụ điện)
có một điện trường biến thiên. Như thế, dòng điện dẫn trong dây dẫn của mạch được nối tiếp bằng dòng
điện dịch ở chỗ hở của mạch.

Trên đây ta đã xét một trường hợp riêng của dòng điện trong phần điện môi giữa hai bản tụ điện.
Nhưng ngay cả trong vật dẫn cũng có thể có dòng điện dịch. Thật vậy, nếu trong dây dẫn có dòng điện biến
thiên, thì cũng đồng thời có điện trường biến thiên, tức là có dòng điện dịch. Như trên đã nói, dòng điện
dịch, cũng như dòng điện dẫn gây ra quanh nó một từ trường, do đó trong trường hợp tổng quát khi xét từ
trường trong vật dẫn ta xét nó như được gây ra bởi cả dòng điện dẫn và dòng điện dịch, tức là dòng điện
toàn phần. Dòng điện toàn phần có mật độ bằng tổng mật độ dòng điện dẫn và dòng điện dịch:
Tuỳ theo tính chất dẫn điện của môi trường, và tuỳ theo tốc độ biến thiên của điện trường mà hai số
hạng trong (16.5) có vai trò khác nhau. Trong các vật dẫn điện tốt, và với điện trường biến thiên chậm (tần
số biến thiên thấp), thì dòng điện dịch rất nhỏ so với dòng điện dẫn. Ngược lại, trong các chất dẫn điện kém
(điện môi chẳng hạn), và với điện trường biến thiên nhanh (tần số cao), dòng điện dịch đóng vai trò chủ yếu
trong dòng toàn phần.
Trong thí dụ của tụ điện đang xét ở trên, nếu tần số biến thiên của dòng điện không lớn quá, ta có thể
coi dòng toàn phần trong dây dẫn và trên các bản chỉ là dòng điện dẫn, còn ở trong điện môi giữa hai bản
chỉ là dòng điện dịch. Mật độ dòng điện dịch ở bề mặt bản và mật độ dòng điện dịch ở trong điện môi là
bằng nhau và cùng hướng.
Trong trường hợp tổng quát, dòng điện toàn phần bao giờ cũng khép kín.
2 Phương trình Maxwell - Ampère
TOP
Theo giả thuyết của Maxwell, dòng điện dịch cũng gây ra từ trường. Chiều của từ trường này cũng
được xác định theo qui tắc vặn nút chai giống như với dòng điện dẫn. Hình 16.5 vẽ đường sức của trường
gây bởi dòng điện dịch giữa hai bản tụ điện khi tụ tích điện (a) và phóng điện (b).
Trong trường hợp tổng quát, từ trường được sinh ra bởi dòng toàn phần, gồm cả dòng điện dẫn và
dòng điện dịch. Ta có thể biểu diễn mối quan hệ định lượng giữa từ trường và dòng điện toàn phần nhờ định
lý Ampère về lưu số của vectơ cường độ từ trường (xem chương 14 ).
Xét một vật dẫn, trong đó có các dòng điện biến thiên, ta vẽ trong đó một mặt phẳng bất kỳ S, giới
hạn bởi một đường cong kín L.
Ứng dụng định lý Ampère nhưng chú ý rằng trong trường hợp tổng quát của dòng điện biến thiên,
từ trường xác định bởi dòng toàn phần, ta có:
Biểu thức này nêu lên quan hệ định lượng giữa dòng điện toàn phần và từ trường, hay nói khác đi,
nó nêu lên quan hệ giữa từ trường và điện trường biến thiên. Ðó là phương trình cơ bản thứ hai của thuyết

Maxwell. Phương trình này đưọc rút ra từ định lý Ampère về lưu số của cường độ từ trường, nên được gọi
là phương trình Maxwell-Ampère.
Trong biểu thức này, ta vẫn dùng những qui ước về dấu của dòng điện và lưu số như đã nêu ra ở
chương điện trường và từ trường.
Ðể có thể diễn tả quan hệ định lượng giữa cường độ từ trường và dòng điện toàn phần tại cùng một
điểm, ta chuyển phương trình trình từ dạng tích phân (16.6) sang dạng vi phân. Muốn thế ta cũng làm như
trong phần I, áp dụng định lý vể lưu số của một véctơ dọc theo một đường cong kín ta có thể viết gọn hệ
phương trình đó dưới dạng vectơ:


III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL
TOP
Trên đây ta đã xét những luận điểm cơ bản của thuyết Maxwell, theo những luận điểm đó, từ trường
biến đổi theo thời gian sinh ra điện trường xoáy, ngược lại điện trường biến đổi theo thời gian sinh ra từ
trường.
Tổng quát, từ trường biến thiên một cách bất kỳ nghĩa là đạo hàmĠ cũng biến thiên theo thời gian,
do đó điện trường xoáy xuất hiện cũng biến thiên theo thời gian. Ðiện trường biến thiên này (tức là dòng
điện dịch), đến lượt nó, cũng lại gây ra một từ trường. Vì điện trường nói chung biến thiên một cách bất kỳ,
nên dòng điện dịch cũng biến thiên theo thời gian và từ trường gây ra cũng biến thiên theo thời gian.
Như thế điện trường và từ trường liên hệ chặt chẽ với nhau, và chuyển hoá lẫn nhau. Chúng đồng
thời tồn tại trong không gian, tạo thành trường thống nhất là trường điện từ. Khái niệm về trường điện từ đã
được Maxwell nêu lên đầu tiên. Trường điện từ là một dạng của vật chất. Trong các phần sau, chúng ta lần
lượt nghiên cứu các tính chất của trường điện từ.
Ðể diễn tả trường điện từ một cách định lượng, Maxwell đã thiết lập nên hệ phương trình mang tên
Maxwell. Trong phần I và phần II, chúng ta đã nghiên cứu hai phương trình cơ bản của hệ phương trình đó.
Các phương trình Maxwell được ghép thành hai hệ phương trình.
1. Hệ phương trình Maxwell thứ nhất.
TOP
Hệ phương trình Maxwell thứ nhất, được thiết lập trên cơ sở phương trình Maxwell -Ampère: