Bài giảng toán cao cấp bài 1 các dạng toán về định mức

BÀI 1
Th1: Định thức D là định thức đặc biệt
1.a. Có một dòng hoặc một cột bằng 0
b. Có hai dòng hoặc hai cột bằng nhau
c. Có hai dòng hoặc hai cột tỉ lệ
D = 0
2. Có dạng tam giác hoặc dạng chéo
D = tích các phần tử trên
đường chéo chính
TÍNH ĐỊNH THỨC D = detA
n
dạng 1
Ví dụ:
8 2
8
7
6 0
6
9
4 3
4 9
2
5 2
7
= 0
8
2
8
7
0 1
6

9
0 0
0 3
0
0 2
7
= 48
0 0
0 0
7
9
9
0
1
8
1
3
2
1
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0 0
0

0
0
0 0
0 0

n=1
:
detA = -1
Ví dụ: Tính detA ,
Ta có a =

A = (2 -1 0)
1
3
-1
= -1
2



-3



- 0


A = ( a )

A = ( -1 )

1x3
3x1
A = (a) thì detA = a
 Th2: D=detA
n
không đặc biệt
a
11
a
12
a
21
a
22
=
1-i 4
3 1+i
(1-i)
(1+i)
- 3
(4)
Ví dụ:
a
22
-
a
21
a
12

=
a
11

n=2:
= -10
a
11
a
12
a
13
a
23
a
22
a
21
a
31
a
32
a
33
=
a
11
a
22
a

33
-
a
32
a
23
a
11
a
33
a
21
a
12
a
12
a
23
a
31
a
13
a
21
a
32
a
31
a
22

a
13
-
+ +
-
a
11
a
12
a
13
a
23
a
22
a
21
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
22
a

21
a
31
a
32
Dùng Quy tắc Sarius

n=3:
Cách 1
Ví dụ: Tính định thức sau đây:
1 x 0
12x
3 2 2
1 x 0
12
x
3 2 2
1
x
2
x
3 2
4
+
3x
+
0
-
0
-

2
-
2x
2
=
-2x
2
+3x+2
D =
D =
Cách 2
Đưa về định thức đặc biệt
 TC1: Định thức không thay đổi khi lấy một dòng
cộng với k lần một dòng khác
 TC3: Nhân tử chung
của một dòng có
thể đưa ra ngoài
dấu định thức
 TC2: Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai dòng
a+b
c 1
1
b
c+a
b+c
a
D

=
1

a+b+c
c 1
1
c+a+b
b+c+a
a

=
1
b
1
c 1
1
1
1
a

=
1
b
(a+b+c)

= 0
Ví dụ : Tính định thức sau đây:
1
1
1
1
1
1


n 4:
Cách 1
Khai triển theo một dòng hoặc một cột
(Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0)
Ví dụ : Tính định thức sau đây
9
1
2 1
0
-1
0 0
0
5
4 2
3
1
4 1
=
a
21
(-1)
2+1
D
21
(-1)
2+2
D
22
a

23
(-1)
2+3
D
23
a
24
(-1)
2+4
D
24
+
+
+
a
22
0
-1
0 0
9
1
2 1
0
-1
0 0
0
5
4 2
3
1

4 1
=
(-1)
2+2
D
22
a
22
= (-1)
9 2 1
0 4 2
3 4 1
= -36
0
-1
0 0
1
9 2 1
0 4 2
3 4 1
A =
(0)
DC
B
C
B
(0)
D
D
(0)

B
C
B
CD
(0)
detA = detB.detD
( B, D là ma trận vuông )
Cách 2
Dùng hệ quả của khai triển Laplace
2 1
3
4 1
5
2 3
0
-2
2 0
1
2
0
0
Ví dụ: Tính định thức sau đây:
(-10)
(1)
= -10
3
-2 2
2
2
3

1
5
D =
D =
3
5
2 3
-2
2
1
2
=
Cách 3
Đưa về định thức đặc biệt
Ví dụ 1: Tính định thức
1 3 1 0
1 2 1 -1
1 3 4 1
0 3 3
0
1 3 1 0
0 -1 0 -1
0 0 3 1
0 3 3
0
d2-d1
=
d3-d1
1 3 1 0
0 -1 0 -1

0 0 3 1
0 3 3
0
d4-d3
1 3 1 0
0 -1 0 -1
0 0 3 1
0 0 2
0
=
= -6
Ví dụ 2: Tính định thức sau đây:
3
2
2 2
2
3
2 2
2
2
3 2
2
2
2 3
D =
=
1
1
1 1
2

3
2
2
2
3 2
2
2
2 3
2
9
9
9
9 9
2
3
2 2
2
2
3 2
2
2
2 3
D=
Lấy

d
2
, d
3
, d

4

trừ 2d
1
= 9
D =
1
1
1 1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0 1
0
9
Cách 4
Dùng tính chất
detA = detA
T
Ví dụ: Tính định thức
0
1
2
D =

3
-1
0
3
4
-2
-3
0
5
-3
-4
-5
0
(-1)
5
D
=
0
-1
-2
-3
1
0
-3
-4
2
3
0
-5
3

4
5
0
(-1)
5
D
=
D
- D
= D
D = 0
-4
-5
-6
7
4
5
6
7
0
4
5
5
7
-4
-5
-6
-7
0
BÀI 1

(PHẦN 2)
SO SÁNH HAI ĐỊNH THỨC
Dạng 2
PP1: Tính hai định thức
PP2: Dùng các tính chất của định thức
 Rút nhân tử chung
của các dòng và
các cột ra ngoài dấu
định thức
 Đổi chỗ thích hợp các dòng hoặc các cột
0
5
1
3
2
9 6
1
3
2
4
4
0
3
1
1
2
3 4
0
1
5 3

2
4
2 0
9
3
6 1
A =
B =
Ví dụ 1 : So sánh hai định thức sau đây:
Đổi chỗ cột 1 và cột 2 của A
3 4
5 3
2 0
6
1
A = =
B
1
2
0
1
2
4
9
3
1
2
0
1
2

4
9
3
1
2
0
1
2
4
93
2
-
3
3
2
3
1
3 6
0
9
1
3
2
0
1
0
B =
Ví dụ 2 : So sánh hai định thức sau đây:
2
1

2
3 4
0
2
2 8
2
1
2 0
1
3
6 0
A =
0
2
2
8
1
2
3 4
0
1
1 4
2
1
2 0
1
3
6
A =
2

0
A =
1
2
3 4
0
1
1 4
2
1
2 0
1
3
6
2
0
4
4
0
0
1
2
3
0
1
1
2
1
2 0
1

3
6
= 2.4
0
1
1
0
0
A =
1
2
3
0
1
1
2
1
2 0
1
3
6
2.4.
0
1
1
0
0
1
2
3

0
1
1
2
1
2 0
1
3
6
B = 3.3.
0
1
1
0
0
Vậy: A/8 = B/9
3
3
2
3
1
3 6
0
9
1
3
2
0
1
0

B =
2
3
3
0
9
3
0
1
1
3
3
0
0
3
0
5
1
3
2
9 6
1
3
2
4
1
0
3
1
2

1
3 4
3
9
6 1
2
4
2 0
1
0
5 3
A =
B =
Ví du ï3: So sánh hai định thức sau đây:
Đặt nhân tử chung của dòng 3 ra ngoài
2
1
3 4
3
9
6 1
1
2
1 0
1
0
5 3
A = 2
= -2B
2

4
2 0
Đổi chỗ dòng 1 và dòng 4 của A
1
0
5 3
3
9
6 1
-
1
GIẢI PT detA = f(x)
Dạng 3
PP1: Tính detA và giải PT
PP2: Nhẩm nghiệm khi f(x) = 0
a. một dòng hoặc một
cột bằng 0
b. hai dòng hoặc hai cột
bằng nhau
c. hai dòng hoặc hai cột tỉ
lệ
detA = 0 khi A có