Bài tập toán cao cấp part 1 docx

Bài tập toán cao cấp
Tập 2


Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.

Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục
của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,
Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều
biến, Cực trị của hàm nhiều biến.


Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.



NGUY
ˆ
E
˜
N THUY
’
THANH
B
`

AI T
ˆ
A
.
P
TO
´
AN CAO C
ˆ
A
´
P
Tˆa
.
p2
Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`am
NH
`
AXU
ˆ
A
´
TBA
’
NDA
.
IHO
.
CQU
ˆ

O
´
C GIA H
`
AN
ˆ
O
.
I
Mu
.
clu
.
c
7 Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
3
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu

’
a d˜ay sˆo
´
4
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
id
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
n. 5
7.1.2 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.

a trˆen c´ac
di
.
nh l´y vˆe
`
gi´o
.
iha
.
n 11
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
atrˆend
iˆe
`
u

kiˆe
.
ndu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.1.4 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
atrˆend
iˆe

`
u
kiˆe
.
ncˆa
`
nv`adu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y hˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.

mv`adi
.
nh l´y co
.
ba
’
nvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n 27
7.3 H`am liˆen tu
.
c 41
7.4 Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n 51
8 Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo

.
tbiˆe
´
n60
8.1 D
-
a
.
oh`am 61
8.1.1 D
-
a
.
o h`am cˆa
´
p1 61
8.1.2 D
-
a
.
o h`am cˆa
´
pcao 62
8.2 Viphˆan 75
8.2.1 Vi phˆan cˆa
´
p1 75
2MU
.
CLU

.
C
8.2.2 Vi phˆan cˆa
´
pcao 77
8.3 C´ac di
.
nh l´y co
.
ba
’
nvˆe
`
h`am kha
’
vi. Quy t˘a
´
c l’Hospital.
Cˆong th´u
.
cTaylor 84
8.3.1 C´ac di
.
nh l´y co
.
ba
’
nvˆe
`
h`am kha

’
vi 84
8.3.2 Khu
.
’
c´ac da
.
ng vˆo di
.
nh. Quy t˘a
´
c Lˆopitan
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.3 Cˆong th´u
.
cTaylor 96
9Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n 109
9.1 D
-
a
.
oh`amriˆeng 110
9.1.1 D
-
a
.

o h`am riˆeng cˆa
´
p1 110
9.1.2 D
-
a
.
o h`am cu
’
a h`am ho
.
.
p 111
9.1.3 H`am kha
’
vi 111
9.1.4 D
-
a
.
o h`am theo hu
.
´o
.
ng 112
9.1.5 D
-
a
.
o h`am riˆeng cˆa

´
pcao 113
9.2 Vi phˆan cu
’
a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n 125
9.2.1 Vi phˆan cˆa
´
p1 126
9.2.2
´
Ap du
.
ng vi phˆan d
ˆe
’
t´ınh gˆa
`
nd´ung . . . . . . . 126
9.2.3 C´ac t´ınh chˆa
´
tcu
’
a vi phˆan . . . . . . . . . . . . 127
9.2.4 Vi phˆan cˆa
´
pcao 127

9.2.5 Cˆong th´u
.
cTaylor 129
9.2.6 Vi phˆan cu
’
a h`am ˆa
’
n 130
9.3 Cu
.
.
c tri
.
cu
’
a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n 145
9.3.1 Cu
.
.
c tri
.
145
9.3.2 Cu
.
.
c tri

.
c´o d
iˆe
`
ukiˆe
.
n 146
9.3.3 Gi´a tri
.
l´o
.
n nhˆa
´
tv`ab´e nhˆa
´
tcu
’
a h`am . . . . . . 147
Chu
.
o
.
ng 7
Gi´o
.
iha
.
nv`aliˆen tu
.
ccu

’
a
h`am sˆo
´
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
4
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
idi
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
i
ha
.
n 5
7.1.2 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.

itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
c´ac d
i
.
nh l´y vˆe
`
gi´o
.
iha
.
n 11
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu

’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a
trˆen d
iˆe
`
ukiˆe
.
ndu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17
7.1.4 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu

.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
d
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
nv`adu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen
l ´y h ˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25

7.2 Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.
mv`ad
i
.
nh l´y co
.
ba
’
nvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n27
7.3 H`am liˆen tu
.
c 41
7.4 Gi´o
.

iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n. 51
4Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu

’
ad˜ay sˆo
´
H`am sˆo
´
x´ac di
.
nh trˆen tˆa
.
pho
.
.
p N du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a d˜ay sˆo
´
vˆo ha
.
n. D˜ay sˆo
´
thu
.
`o
.
ng du

.
o
.
.
cviˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng:
a
1
,a
2
, ,a
n
, (7.1)
ho˘a
.
c {a
n
}, trong d´o a
n
= f(n), n ∈ N du
.
o
.

.
cgo
.
il`asˆo
´
ha
.
ng tˆo
’
ng qu´at
cu
’
a d˜ay, n l`a sˆo
´
hiˆe
.
ucu
’
asˆo
´
ha
.
ng trong d˜ay.
Ta cˆa
`
nlu
.
u ´y c´ac kh´ai niˆe
.
m sau dˆay:

i) D˜ay (7.1) du
.
o
.
.
cgo
.
il`abi
.
ch˘a
.
nnˆe
´
u ∃M ∈ R
+
: ∀n ∈ N ⇒|a
n
| 
M; v`a go
.
i l`a khˆong bi
.
ch˘a
.
nnˆe
´
u: ∀M ∈ R
+
: ∃n ∈ N ⇒|a
n

| >M.
ii) Sˆo
´
a d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay (7.1) nˆe
´
u:
∀ε>0, ∃N(ε):∀n  N ⇒|a
n
− a| <ε. (7.2)
iii) Sˆo
´
a khˆong pha
’
i l`a gi´o
.
iha

.
ncu
’
a d˜ay (7.1) nˆe
´
u:
∃ε>0, ∀N : ∃n  N ⇒|a
n
− a|  ε. (7.3)
iv) D˜ay c´o gi´o
.
iha
.
nd
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a d˜ay hˆo
.
itu
.
, trong tru
.
`o
.
ng ho

.
.
p ngu
.
o
.
.
c
la
.
i d˜ay (7.1) go
.
i l`a d˜ay phˆan k`y.
v) D˜ay (7.1) go
.
i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe
´
u lim
n→∞
a
n
=0v`ago
.
i l`a d˜ay
vˆo c`ung l´o
.
nnˆe
´
u ∀A>0, ∃N sao cho ∀n>N⇒|a
n

| >Av`a viˆe
´
t
lim a
n
= ∞.
vi) Diˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
ndˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
l`a d˜ay d´o pha
’
ibi
.
ch˘a
.
n.
Ch´u´y:i) Hˆe
.
th ´u
.
c (7.2) tu

.
o
.
ng du
.
o
.
ng v´o
.
i:
−ε<a
n
− a<ε⇔ a −ε<a
n
<a+ ε. (7.4)
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
5
Hˆe
.
th ´u
.
c (7.4) ch´u
.

ng to
’
r˘a
`
ng mo
.
isˆo
´
ha
.
ng v´o
.
ichı
’
sˆo
´
n>Ncu
’
a d˜ay
hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
un˘a
`
m trong khoa
’

ng (a − ε, a + ε), khoa
’
ng n`ay go
.
il`aε-lˆan
cˆa
.
ncu
’
adiˆe
’
m a.
Nhu
.
vˆa
.
y, nˆe
´
u d˜ay (7.1) hˆo
.
itu
.
dˆe
´
nsˆo
´
a th`ı mo
.
isˆo
´

ha
.
ng cu
’
a n´o tr`u
.
ra mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
uha
.
nsˆo
´
ha
.
ng dˆe
`
un˘a
`
m trong ε-lˆan cˆa
.
nbˆa
´
tk`yb´ebao
nhiˆeu t`uy ´y cu
’
ad

iˆe
’
m a.
ii) Ta lu
.
u´yr˘a
`
ng d˜ay sˆo
´
vˆo c`ung l´o
.
n khˆong hˆo
.
itu
.
v`a k´y hiˆe
.
u
lim a
n
= ∞ (−∞)chı
’
c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a
n
l`a vˆo c`ung l´o
.
nv`ak´yhiˆe
.
ud
´o

ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o
.
iha
.
n.
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
id
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
i
ha
.
n
Dˆe
’
ch´u
.
ng minh lim a
n
= a b˘a
`
ng c´ach su
.
’
du
.
ng d

i
.
nh ngh˜ıa, ta cˆa
`
ntiˆe
´
n
h`anh theo c´ac bu
.
´o
.
csaud
ˆay:
i) Lˆa
.
pbiˆe
’
uth´u
.
c |a
n
− a|
ii) Cho
.
n d˜ay b
n
(nˆe
´
udiˆe
`

ud´o c ´o l o
.
.
i) sao cho |a
n
− a|  b
n
∀n v`a
v´o
.
i ε du
’
b´e bˆa
´
tk`ybˆa
´
tphu
.
o
.
ng tr`ınh dˆo
´
iv´o
.
i n:
b
n
<ε (7.5)
c´o thˆe
’

gia
’
imˆo
.
t c´ach dˆe
˜
d`ang. Gia
’
su
.
’
(7.5) c´o nghiˆe
.
ml`an>f(ε),
f(ε) > 0. Khi d´o ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y n l`a [f(ε)], trong d´o[f(ε)] l`a phˆa
`
n
nguyˆen cu
’
a f(ε).
C
´
AC V
´
IDU
.

V´ı du
.
1. Gia
’
su
.
’
a
n
= n
(−1)
n
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
i) D˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
ii) D˜ay a
n
khˆong pha
’
il`avˆoc`ung l´o
.

n.
Gia
’
i. i) Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
tho
’
a m˜an di
.
nh ngh˜ıa d˜ay khˆong
bi
.
ch˘a
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ∀M>0sˆo
´
ha
.
ng v´o
.
isˆo
´

hiˆe
.
u n = 2([M]+1)b˘a
`
ng
n v`a l´o
.
nho
.
n M.Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
6Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’

a h`am sˆo
´
ii) Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
khˆong pha
’
i l`a vˆo c`ung l´o
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y,
ta x´et khoa
’
ng (−2, 2). Hiˆe
’
n nhiˆen mo
.
isˆo
´
ha
.
ng cu
’
a d˜ay v´o

.
isˆo
´
hiˆe
.
ule
’
d
ˆe
`
u thuˆo
.
c khoa
’
ng (−2, 2) v`ı khi n le
’
th`ı ta c´o:
n
(−1)
n
= n
−1
=1/n ∈ (−2, 2).
Nhu
.
vˆa
.
y trong kho
’
ng ( −2, 2) c´o vˆo sˆo

´
sˆo
´
ha
.
ng cu
’
a d˜ay. T`u
.
d
´o,
theo di
.
nh ngh˜ıa suy ra a
n
khˆong pha
’
i l`a vˆo c`ung l´o
.
n. 
V´ı d u
.
2. D`ung d
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
n d˜ay sˆo

´
d
ˆe
’
ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
1) lim
n→∞
(−1)
n−1
n
=0. 2) lim
n→∞
n
n +1
=1.
Gia
’
i. D
ˆe
’
ch´u
.
ng minh d˜ay a
n
c´o gi´o
.

iha
.
nl`aa, ta cˆa
`
nch´u
.
ng minh
r˘a
`
ng dˆo
´
iv´o
.
imˆo
˜
isˆo
´
ε>0 cho tru
.
´o
.
cc´othˆe
’
t`ım du
.
o
.
.
csˆo
´

N (N phu
.
thuˆo
.
c ε) sao cho khi n>N th`ı suy ra |a
n
−a| <ε. Thˆong thu
.
`o
.
ng ta
c´o thˆe
’
chı
’
ra cˆong th´u
.
ctu
.
`o
.
ng minh biˆe
’
udiˆe
˜
n N qua ε.
1) Ta c´o:
|a
n
− 0| =




(−1)
n−1
n



=
1
n
·
Gia
’
su
.
’
ε l`a sˆo
´
du
.
o
.
ng cho tru
.
´o
.
ct`uy ´y. Khi d´o:
1

n
<ε⇔ n>
1
ε
·
V`ıthˆe
´
ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y N l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen n`ao d´o tho
’
am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
n:
N>
1
ε
⇒
1
N
<ε.

(Ch˘a
’
ng ha
.
n, ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y N =[1/ε], trong d
´o[1/ε] l`a phˆa
`
n nguyˆen
cu
’
a1/ε).
Khi d
´o ∀n  N th`ı:
|a
n
− 0| =
1
n

1
N
<ε.
7.1. Gi´o
.
iha
.

ncu
’
a d˜ay sˆo
´
7
Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a lim
n→∞
(−1)
n
n
=0.
2) Ta lˆa
´
ysˆo
´
ε>0bˆa
´
tk`yv`at`ımsˆo
´
tu
.
.
nhiˆen N(ε) sao cho ∀n>
N(ε) th`ı:



n

n +1
− 1



<ε.
Bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
|a
n
− 1| <ε⇔
1
n +1
<ε⇔
1
ε
− 1.
Do d
´o ta c´o thˆe
’
lˆa
´
ysˆo
´

N(ε) l`a phˆa
`
n nguyˆen cu
’
a
1
ε
− 1, t´u
.
c l`a:
N(ε)=E((1/ε) −1).
Khi d
´ov´o
.
imo
.
i n  N ta c´o:



n
n +1
− 1



=
1
n +1


1
N +1
<ε⇒ lim
n→∞
n
n +1
=1. 
V´ı du
.
3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`y:
1) a
n
= n, n ∈ N (7.6)
2) a
n
=(−1)
n
,n∈ N (7.7)
3) a
n
=(−1)
n
+
1
n
· (7.8)

Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
d˜ay (7.6) hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y ε =1.
Khi d´o theo di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
ntˆo
`
nta
.
isˆo
´

hiˆe
.
u N sao cho ∀n>Nth`ı
ta c´o |a
n
−a| < 1 ngh˜ıa l`a |n −a| < 1 ∀n>N.T`u
.
d
´o −1 <n−a<1
∀n>N ⇔ a − 1 <n<a+1∀n>N.
Nhu
.
ng bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c n<a+1,∀n>N l`a vˆo l´y v`ı tˆa
.
pho
.
.
p c´ac
sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen khˆong bi

.
ch˘a
.
n.
2) C´ach 1. Gia
’
su
.
’
d˜ay a
n
hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y lˆan
cˆa
.
n

a −
1
2
,a+

1
2

cu
’
adiˆe
’
m a.Taviˆe
´
t d˜ay d˜a cho du
.
´o
.
ida
.
ng:
{a
n
} = −1, 1, −1, 1, (7.9)
8Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu

’
a h`am sˆo
´
V`ıdˆo
.
d`ai cu
’
a khoa
’
ng

a −
1
2
,a+
1
2

l`a b˘a
`
ng 1 nˆen hai diˆe
’
m −1
v`a +1 khˆong thˆe
’
dˆo
`
ng th`o
.
i thuˆo

.
c lˆan cˆa
.
n

a −
1
2
,a+
1
2

cu
’
adiˆe
’
m a,
v`ı khoa
’
ng c´ach gi˜u
.
a −1v`a+1b˘a
`
ng 2. Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a o
.
’
ngo`ai
lˆan cˆa

.
n

a −
1
2
,a+
1
2

c´o vˆo sˆo
´
sˆo
´
ha
.
ng cu
’
ad˜ayv`av`ıthˆe
´
(xem ch´u
´yo
.
’
trˆen) sˆo
´
a khˆong thˆe
’
l`a gi´o
.

iha
.
ncu
’
a d˜ay.
C´ach 2. Gia
’
su
.
’
a
n
→ a. Khi d´o ∀ε>0 (lˆa
´
y ε =
1
2
) ta c´o
|a
n
− a| <
1
2
∀n  N.
V`ı a
n
= ±1nˆen
|1 − a| <
1
2

, |−1 −a| <
1
2
⇒2=|(1 − a)+(1+a)|  |1 − a| + |a +1| 
1
2
+
1
2
=1
⇒2 < 1, vˆo l´y.
3) Lu
.
u´yr˘a
`
ng v´o
.
i n =2m ⇒ a
2m
=1+
1
2m
.Sˆo
´
ha
.
ng kˆe
`
v´o
.

in´o
c´o sˆo
´
hiˆe
.
ule
’
2m +1(hay2m −1) v`a
a
2m+1
= −1+
1
2m +1
< 0 (hay a
2m−1
= −1+
1
2m − 1
 0).
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng
|a
n
− a
n−1
| > 1.

Nˆe
´
usˆo
´
a n`ao d
´o l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
ad˜ay(a
n
) th`ı b˘a
´
tdˆa
`
ut`u
.
sˆo
´
hiˆe
.
u n`ao
d´o ( a
n
) tho
’
a m˜an bˆa
´

td˘a
’
ng th´u
.
c |a
n
−a| <
1
2
. Khi d
´o
|a
n
−a
n+1
|  |a
n
− a|+ |a
n+1
− a| <
1
2
+
1
2
=1.
Nhu
.
ng hiˆe
.

ugi˜u
.
a hai sˆo
´
ha
.
ng kˆe
`
nhau bˆa
´
tk`ycu
’
ad˜ayd˜a cho luˆon luˆon
l´o
.
nho
.
n1. Diˆe
`
u mˆau thuˆa
˜
n n`ay ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng khˆong mˆo
.
tsˆo

´
thu
.
.
c
n`ao c´o thˆe
’
l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay d
˜a cho. 
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
9
B
`
AI T
ˆ
A
.

P
H˜ay su
.
’
du
.
ng di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
ndˆe
’
ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1. lim
n→∞
a
n
=1nˆe
´
u a
n
=
2n − 1
2n +2

2. lim
n→∞
a
n
=
3
5
nˆe
´
u a
n
=
3n
2
+1
5n
2
− 1
B˘a
´
td
ˆa
`
ut`u
.
sˆo
´
hiˆe
.
u N n`ao th`ı:

|a
n
− 3/5| < 0, 01 (DS. N =5)
3. lim
n→∞
a
n
=1nˆe
´
u a
n
=
3
n
+1
3
n
.
4. lim
n→∞
cos n
n
=0.
5. lim
n→∞
2
n
+5· 6
n
3

n
+6
n
=5.
6. lim
n→∞
3
√
n
2
sin n
2
n +1
=0.
7. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng sˆo
´
a = 0 khˆong pha
’
i l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay a
n

=
n
2
−2
2n
2
− 9
.
8. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
lim
n→∞
n
2
+2n +1+sinn
n
2
+ n +1
=1.
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay: a
n
=(−1)
n

+1/n phˆan k`y.
10. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay; a
n
= sin n
0
phˆan k`y.
11. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; ,0, 22 2
  
n
,
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe
’
udiˆe
˜
n a
n

du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=0, 22 2=
2
10
+
2
10
2
+ ···+
2
10
n
(DS. lim a
n
=2/9)
10 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha

.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
12. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
:
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; ,0, 233 3

 
n
,
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe
’
udiˆe
˜
n a

n
du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=
2
10
+

3
10
2
+
3
10
3
+ ···+
3
10
n

(D
S. 7/30)
13. Ch´u

.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u d˜ay a
n
hˆo
.
itu
.
dˆe
´
n a, c`on d˜ay b
n
dˆa
`
ndˆe
´
n
∞ th`ı d˜ay a
n
/b
n
dˆa
`
ndˆe
´
n0.
14. Ch´u

.
ng minh r˘a
`
ng
i) lim
n→∞
n
2
n
=0.
ii) lim
n→∞
n
a
n
=0 (a>1).
Chı
’
dˆa
˜
n. i) Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c:

2
n
= (1 + 1)
n
=1+n +
n(n − 1)
2
+ ···+1>n+
n(n − 1)
2
>
n
2
2
·
v`a u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng |a
n
− 0|.
ii) Tu
.
o

.
ng tu
.
.
nhu
.
i). Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c:
a
n
=[1+(a −1)]
n
>
n(n − 1)
2
(a − 1).
15. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
lim a

n
=2nˆe
´
u a
n
=1+
1
2
+ ···+
1
2
n
Chı
’
dˆa
˜
n.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c t´ınh tˆo
’
ng cˆa
´
psˆo
´
nhˆan dˆe
’

t´ınh a
n
rˆo
`
i
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng |a
n
− 2|.
16. Biˆe
´
tr˘a
`
ng d˜ay a
n
c´o gi´o
.
iha
.
n, c`on d˜ay b
n
khˆong c´o gi´o

.
iha
.
n. C´o
thˆe
’
n´oi g`ıvˆe
`
gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay:
i) {a
n
+ b
n
}.
ii) {a
n
b
n
}.
(DS. i) lim{a
n
+ b
n
} khˆong tˆo

`
nta
.
i. H˜ay ch´u
.
ng minh.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
11
ii) C´o thˆe
’
g˘a
.
pca
’
hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c´o gi´o
.

iha
.
n v`a khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n,
v´ıdu
.
:
a
n
=
n − 1
n
,b
n
=(−1)
n
; a
n
=
1
n
,b
n
=(−1)
n
.
7.1.2 Ch´u

.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
c´ac di
.
nh l´yvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n
Dˆe
’
t´ınh gi´o
.
iha

.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
, ngu
.
`o
.
i ta thu
.
`o
.
ng su
.
’
du
.
ng c´ac di
.
nh l´y v`a
kh´ai niˆe
.
m sau d
ˆay:
Gia
’
su
.
’

lim a
n
= a, lim b
n
= b.
i) lim(a
n
± b
n
)=lima
n
± lim b
n
= a ± b.
ii) lima
n
b
n
= lim a
n
· lim b
n
= a · b.
iii) Nˆe
´
u b = 0 th`ı b˘a
´
tdˆa
`
ut`u

.
mˆo
.
tsˆo
´
hiˆe
.
u n`ao d´o d˜ay a
n
/b
n
x´ac
d
i
.
nh (ngh˜ıa l`a ∃N : ∀n  N ⇒ b
n
= 0) v`a:
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
=
a

b
·
iv) Nˆe
´
u lim a
n
= a, limb
n
= a v`a b˘a
´
tdˆa
`
ut`u
.
mˆo
.
tsˆo
´
hiˆe
.
u n`ao d
´o
a
n
 z
n
 b
n
th`ı lim z
n

= a (Nguyˆen l´ybi
.
ch˘a
.
n hai phi´a).
v) T´ıch cu
’
a d˜ay vˆo c`ung b´e v´o
.
i d˜ay bi
.
ch˘a
.
n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e.
vi) Nˆe
´
u(a
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
nv`aa
n
= 0 th`ı d˜ay

1
a
n

l`a d˜ay vˆo
c`ung b´e; ngu

.
o
.
.
cla
.
i, nˆe
´
u α
n
l`a d˜ay vˆo c`ung b´e v`a α
n
=0th`ıd˜ay

1
α
n

l`a vˆo c`ung l´o
.
n.
Nhˆa
.
nx´et. D
ˆe
’
´ap du
.
ng d´ung d˘a
´

nc´acdi
.
nh l´y trˆen ta cˆa
`
nlu
.
u´ymˆo
.
t
sˆo
´
nhˆa
.
n x´et sau d
ˆay:
i) Di
.
nh l´y (iii) vˆe
`
gi´o
.
iha
.
ncu
’
athu
.
o
.
ng s˜e khˆong ´ap du

.
ng du
.
o
.
.
cnˆe
´
u
tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
khˆong c´o gi´o
.
iha
.
nh˜u
.
uha
.
n ho˘a
.
cmˆa
˜

usˆo
´
c´o gi´o
.
iha
.
n
b˘a
`
ng 0. Trong nh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd´o nˆen biˆe
´
ndˆo
’
iso
.
bˆo
.
d˜ay thu
.
o
.

ng,
ch˘a
’
ng ha
.
nb˘a
`
ng c´ach chia ho˘a
.
c nhˆan tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
v´o
.
ic`ung mˆo
.
t
biˆe
’
uth´u
.
c.
12 Chu
.

o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
ii) Dˆo
´
iv´o
.
id
i
.
nh l´y (i) v`a (ii) c˜ung cˆa
`
n pha
’
i thˆa
.
n tro
.
ng khi ´ap du
.
ng.

Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay ta cˆa
`
n pha
’
ibiˆe
´
nd
ˆo
’
i c´ac biˆe
’
uth´u
.
c a
n
± b
n
v`a
a
n
·b
n
tru

.
´o
.
c khi t´ınh gi´o
.
iha
.
n (xem v´ıdu
.
1, iii).
iii) Nˆe
´
u a
n
= a ≡ const ∀n th`ı lim
n→∞
a
n
= a.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. T`ım lima
n
nˆe

´
u:
1) a
n
=(1+7
n+2
)/(3 − 7
n
)
2) a
n
=(2+4+6+···+2n)/[1+3+5+···+(2n + 1)]
3) a
n
= n
3
/(1
2
+2
2
+ ···+ n
2
)
Gia
’
i. Dˆe
’
gia
’
i c´ac b`ai to´an n`ay ta d`ung l´y thuyˆe

´
tcˆa
´
psˆo
´
1) Nhˆan tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
phˆan th´u
.
cv´o
.
i7
−n
ta c´o:
a
n
=
1+7
n+2
3 − 7
n
=
7

−n
+7
2
3 · 7
−n
−1
Do d´o
lim a
n
= lim
7
−n
+7
2
3 · 7
−n
− 1
= −49 v`ı lim 7
−n
=0,n →∞.
2) Tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
dˆe

`
u l`a cˆa
´
psˆo
´
cˆo
.
ng nˆen ta c´o:
2+4+6+···+2n =
2+2n
2
· n;
1+3+5+···+(2n +1)=
1+(2n +2)
2
(n +1).
Do d´o
a
n
=
n
n +1
⇒ lim a
n
=1.
3) Nhu
.
ta biˆe
´
t:

1
2
+2
2
+ ···+ n
2
=
n(n + 1)(2n +1)
6
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
13
v`a do d´o:
lim a
n
= lim
6n
3
n(n + 1)(2n +1)
= lim
6
(1+1/n)(2 + 1/n)
=3. 
V´ı du

.
2. T`ım gi´o
.
iha
.
n
lim
1+
1
2
+
1
4
+ ···+
1
2
n
1+
1
3
+
1
9
+ ···+
1
3
n
Gia
’
i. Tu

.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
dˆe
`
ul`acˆa
´
psˆo
´
nhˆan nˆen
1+
1
2
+ ···+
1
2
n
=
2(2
n
−1)
2
n
,
1+

1
3
+ ···+
1
3
n
=
3(3
n
−1)
2 · 3
n
v`a do d´o:
lim a
n
= lim
2(2
n
−1)
2
n
·
2 · 3
n
3(3
n
− 1)
= 2 lim
2
n

− 1
2
n
·
2
3
lim
3
n
3
n
− 1
= 2 lim[1 − (1/2)
n
] ·
2
3
lim
1
1 − (1/3)
n
=2·1 ·
2
3
· 1=
4
3
· 
V´ı du
.

3.
1) a
n
=
√
n
2
+ n − n
2) a
n
=
3
√
n +2−
3
√
n
3) a
n
=
3
√
n
2
− n
3
+ n
Gia
’
i.

1) Ta biˆe
´
ndˆo
’
i a
n
b˘a
`
ng c´ach nhˆan v`a chia cho da
.
ilu
.
o
.
.
ng liˆen ho
.
.
p
a
n
=
(
√
n
2
+ n − n)(
√
n
2

+ n + n)
√
n
2
+ n + n
=
n
√
n
2
+ n + n
=
1

1+1/n +1
Do d
´o
lim a
n
=
1
lim
n→∞
(

1+1/n +1)
=
1
2
·

14 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
2) Biˆe
´
ndˆo
’
i a
n
tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
1) ta c´o:

a
n
=

3
√
n +2

3
−

3
√
n

3

3
√
n +2

2
+
3
√
n +2·
3
√
n +


3
√
n

2
a
n
=
2

3
√
n +2

2
+
3
√
n +2·
3
√
n +

3
√
n

2
Biˆe
’

uth´u
.
cmˆa
˜
usˆo
´
b˘a
`
ng:
n
2/3

3

1+2/n

2
+
3

1+2/n +1

→∞
khi n →∞v`a do d´o lim a
n
=0.
3) Ta c´o thˆe
’
viˆe
´

t n =
3
√
n
3
v`a ´ap du
.
ng cˆong th´u
.
c:
a
3
+ b
3
=(a + b)(a
2
− ab + b
2
)
suy ra
a
n
=

3
√
n
2
− n
3

+ n

3
√
n
2
− n
3

2
− n
3
√
n
2
− n
3
+ n
2


3
√
n
2
− n
3

2
− n

3
√
n
2
− n
3
+ n
2
=
n
2

3
√
n
2
− n
3

2
− n
3
√
n
2
− n
3
+ n
2
=

1
[1/n − 1]
2/3
− [1/n − 1]
1/3
+1
suy ra lim a
n
=
1
3
· 
V´ı d u
.
4. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a c´ac d˜ay sau
a
n
=
n
√
n
2
+ n
,b

n
=
n
√
n
2
+1
,
c
n
=
1
√
n +1
+
1
√
n
2
+2
+ ···+
1
√
n
2
+ n
·
Gia
’
i. D

ˆa
`
utiˆentach´u
.
ng minh lim a
n
= 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y:
lim a
n
= lim
n
n

1+1/n
= lim
1

1+1/n
=1.