Tải bản đầy đủ (.pdf) (16 trang)

Bài tập toán cao cấp part 1 docx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (394.78 KB, 16 trang )



Bài tập toán cao cấp
Tập 2


Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.

Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục
của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,
Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều
biến, Cực trị của hàm nhiều biến.


Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.



NGUY
ˆ
E
˜
N THUY

THANH
B
`


AI T
ˆ
A
.
P
TO
´
AN CAO C
ˆ
A
´
P
Tˆa
.
p2
Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`am
NH
`
AXU
ˆ
A
´
TBA

NDA
.
IHO
.
CQU
ˆ

O
´
C GIA H
`
AN
ˆ
O
.
I
Mu
.
clu
.
c
7 Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu

a h`am sˆo
´
3
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu


a d˜ay sˆo
´
4
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
id
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
n. 5
7.1.2 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu

a d˜ay sˆo
´
du
.
.

a trˆen c´ac
di
.
nh l´y vˆe
`
gi´o
.
iha
.
n 11
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu

a d˜ay sˆo
´
du
.
.
atrˆend
iˆe
`
u

kiˆe
.
ndu

dˆe

d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.1.4 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu

a d˜ay sˆo
´
du
.
.
atrˆend
iˆe

`
u
kiˆe
.
ncˆa
`
nv`adu

dˆe

d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y hˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.

mv`adi
.
nh l´y co
.
ba

nvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n 27
7.3 H`am liˆen tu
.
c 41
7.4 Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu

a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n 51
8 Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo

.
tbiˆe
´
n60
8.1 D
-
a
.
oh`am 61
8.1.1 D
-
a
.
o h`am cˆa
´
p1 61
8.1.2 D
-
a
.
o h`am cˆa
´
pcao 62
8.2 Viphˆan 75
8.2.1 Vi phˆan cˆa
´
p1 75
2MU
.
CLU

.
C
8.2.2 Vi phˆan cˆa
´
pcao 77
8.3 C´ac di
.
nh l´y co
.
ba

nvˆe
`
h`am kha

vi. Quy t˘a
´
c l’Hospital.
Cˆong th´u
.
cTaylor 84
8.3.1 C´ac di
.
nh l´y co
.
ba

nvˆe
`
h`am kha


vi 84
8.3.2 Khu
.

c´ac da
.
ng vˆo di
.
nh. Quy t˘a
´
c Lˆopitan
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.3 Cˆong th´u
.
cTaylor 96
9Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n 109
9.1 D
-
a
.
oh`amriˆeng 110
9.1.1 D
-
a
.

o h`am riˆeng cˆa
´
p1 110
9.1.2 D
-
a
.
o h`am cu

a h`am ho
.
.
p 111
9.1.3 H`am kha

vi 111
9.1.4 D
-
a
.
o h`am theo hu
.
´o
.
ng 112
9.1.5 D
-
a
.
o h`am riˆeng cˆa

´
pcao 113
9.2 Vi phˆan cu

a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n 125
9.2.1 Vi phˆan cˆa
´
p1 126
9.2.2
´
Ap du
.
ng vi phˆan d
ˆe

t´ınh gˆa
`
nd´ung . . . . . . . 126
9.2.3 C´ac t´ınh chˆa
´
tcu

a vi phˆan . . . . . . . . . . . . 127
9.2.4 Vi phˆan cˆa
´
pcao 127

9.2.5 Cˆong th´u
.
cTaylor 129
9.2.6 Vi phˆan cu

a h`am ˆa

n 130
9.3 Cu
.
.
c tri
.
cu

a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n 145
9.3.1 Cu
.
.
c tri
.
145
9.3.2 Cu
.
.
c tri

.
c´o d
iˆe
`
ukiˆe
.
n 146
9.3.3 Gi´a tri
.
l´o
.
n nhˆa
´
tv`ab´e nhˆa
´
tcu

a h`am . . . . . . 147
Chu
.
o
.
ng 7
Gi´o
.
iha
.
nv`aliˆen tu
.
ccu


a
h`am sˆo
´
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu

a d˜ay sˆo
´
4
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
idi
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
i
ha
.
n 5
7.1.2 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.

itu
.
cu

a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
c´ac d
i
.
nh l´y vˆe
`
gi´o
.
iha
.
n 11
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu


a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a
trˆen d
iˆe
`
ukiˆe
.
ndu

dˆe

d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17
7.1.4 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu

.
cu

a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
d
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
nv`adu

dˆe

d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen
l ´y h ˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25

7.2 Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.
mv`ad
i
.
nh l´y co
.
ba

nvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n27
7.3 H`am liˆen tu
.
c 41
7.4 Gi´o
.

iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu

a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n. 51
4Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu

a h`am sˆo
´
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu


ad˜ay sˆo
´
H`am sˆo
´
x´ac di
.
nh trˆen tˆa
.
pho
.
.
p N du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a d˜ay sˆo
´
vˆo ha
.
n. D˜ay sˆo
´
thu
.
`o
.
ng du

.
o
.
.
cviˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng:
a
1
,a
2
, ,a
n
, (7.1)
ho˘a
.
c {a
n
}, trong d´o a
n
= f(n), n ∈ N du
.
o
.

.
cgo
.
il`asˆo
´
ha
.
ng tˆo

ng qu´at
cu

a d˜ay, n l`a sˆo
´
hiˆe
.
ucu

asˆo
´
ha
.
ng trong d˜ay.
Ta cˆa
`
nlu
.
u ´y c´ac kh´ai niˆe
.
m sau dˆay:

i) D˜ay (7.1) du
.
o
.
.
cgo
.
il`abi
.
ch˘a
.
nnˆe
´
u ∃M ∈ R
+
: ∀n ∈ N ⇒|a
n
| 
M; v`a go
.
i l`a khˆong bi
.
ch˘a
.
nnˆe
´
u: ∀M ∈ R
+
: ∃n ∈ N ⇒|a
n

| >M.
ii) Sˆo
´
a d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a gi´o
.
iha
.
ncu

a d˜ay (7.1) nˆe
´
u:
∀ε>0, ∃N(ε):∀n  N ⇒|a
n
− a| <ε. (7.2)
iii) Sˆo
´
a khˆong pha

i l`a gi´o
.
iha

.
ncu

a d˜ay (7.1) nˆe
´
u:
∃ε>0, ∀N : ∃n  N ⇒|a
n
− a|  ε. (7.3)
iv) D˜ay c´o gi´o
.
iha
.
nd
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a d˜ay hˆo
.
itu
.
, trong tru
.
`o
.
ng ho

.
.
p ngu
.
o
.
.
c
la
.
i d˜ay (7.1) go
.
i l`a d˜ay phˆan k`y.
v) D˜ay (7.1) go
.
i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe
´
u lim
n→∞
a
n
=0v`ago
.
i l`a d˜ay
vˆo c`ung l´o
.
nnˆe
´
u ∀A>0, ∃N sao cho ∀n>N⇒|a
n

| >Av`a viˆe
´
t
lim a
n
= ∞.
vi) Diˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
ndˆe

d˜ay hˆo
.
itu
.
l`a d˜ay d´o pha

ibi
.
ch˘a
.
n.
Ch´u´y:i) Hˆe
.
th ´u
.
c (7.2) tu

.
o
.
ng du
.
o
.
ng v´o
.
i:
−ε<a
n
− a<ε⇔ a −ε<a
n
<a+ ε. (7.4)
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu

a d˜ay sˆo
´
5
Hˆe
.
th ´u
.
c (7.4) ch´u
.

ng to

r˘a
`
ng mo
.
isˆo
´
ha
.
ng v´o
.
ichı

sˆo
´
n>Ncu

a d˜ay
hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
un˘a
`
m trong khoa


ng (a − ε, a + ε), khoa

ng n`ay go
.
il`aε-lˆan
cˆa
.
ncu

adiˆe

m a.
Nhu
.
vˆa
.
y, nˆe
´
u d˜ay (7.1) hˆo
.
itu
.
dˆe
´
nsˆo
´
a th`ı mo
.
isˆo
´

ha
.
ng cu

a n´o tr`u
.
ra mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
uha
.
nsˆo
´
ha
.
ng dˆe
`
un˘a
`
m trong ε-lˆan cˆa
.
nbˆa
´
tk`yb´ebao
nhiˆeu t`uy ´y cu

ad

iˆe

m a.
ii) Ta lu
.
u´yr˘a
`
ng d˜ay sˆo
´
vˆo c`ung l´o
.
n khˆong hˆo
.
itu
.
v`a k´y hiˆe
.
u
lim a
n
= ∞ (−∞)chı

c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a
n
l`a vˆo c`ung l´o
.
nv`ak´yhiˆe
.
ud
´o

ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o
.
iha
.
n.
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
id
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
i
ha
.
n
Dˆe

ch´u
.
ng minh lim a
n
= a b˘a
`
ng c´ach su
.

du
.
ng d

i
.
nh ngh˜ıa, ta cˆa
`
ntiˆe
´
n
h`anh theo c´ac bu
.
´o
.
csaud
ˆay:
i) Lˆa
.
pbiˆe

uth´u
.
c |a
n
− a|
ii) Cho
.
n d˜ay b
n
(nˆe
´
udiˆe
`

ud´o c ´o l o
.
.
i) sao cho |a
n
− a|  b
n
∀n v`a
v´o
.
i ε du

b´e bˆa
´
tk`ybˆa
´
tphu
.
o
.
ng tr`ınh dˆo
´
iv´o
.
i n:
b
n
<ε (7.5)
c´o thˆe


gia

imˆo
.
t c´ach dˆe
˜
d`ang. Gia

su
.

(7.5) c´o nghiˆe
.
ml`an>f(ε),
f(ε) > 0. Khi d´o ta c´o thˆe

lˆa
´
y n l`a [f(ε)], trong d´o[f(ε)] l`a phˆa
`
n
nguyˆen cu

a f(ε).
C
´
AC V
´
IDU
.

V´ı du
.
1. Gia

su
.

a
n
= n
(−1)
n
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
i) D˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
ii) D˜ay a
n
khˆong pha

il`avˆoc`ung l´o
.

n.
Gia

i. i) Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
tho

a m˜an di
.
nh ngh˜ıa d˜ay khˆong
bi
.
ch˘a
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ∀M>0sˆo
´
ha
.
ng v´o
.
isˆo
´

hiˆe
.
u n = 2([M]+1)b˘a
`
ng
n v`a l´o
.
nho
.
n M.Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
6Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu


a h`am sˆo
´
ii) Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
khˆong pha

i l`a vˆo c`ung l´o
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y,
ta x´et khoa

ng (−2, 2). Hiˆe

n nhiˆen mo
.
isˆo
´
ha
.
ng cu

a d˜ay v´o

.
isˆo
´
hiˆe
.
ule

d
ˆe
`
u thuˆo
.
c khoa

ng (−2, 2) v`ı khi n le

th`ı ta c´o:
n
(−1)
n
= n
−1
=1/n ∈ (−2, 2).
Nhu
.
vˆa
.
y trong kho

ng ( −2, 2) c´o vˆo sˆo

´
sˆo
´
ha
.
ng cu

a d˜ay. T`u
.
d
´o,
theo di
.
nh ngh˜ıa suy ra a
n
khˆong pha

i l`a vˆo c`ung l´o
.
n. 
V´ı d u
.
2. D`ung d
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
n d˜ay sˆo

´
d
ˆe

ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
1) lim
n→∞
(−1)
n−1
n
=0. 2) lim
n→∞
n
n +1
=1.
Gia

i. D
ˆe

ch´u
.
ng minh d˜ay a
n
c´o gi´o
.

iha
.
nl`aa, ta cˆa
`
nch´u
.
ng minh
r˘a
`
ng dˆo
´
iv´o
.
imˆo
˜
isˆo
´
ε>0 cho tru
.
´o
.
cc´othˆe

t`ım du
.
o
.
.
csˆo
´

N (N phu
.
thuˆo
.
c ε) sao cho khi n>N th`ı suy ra |a
n
−a| <ε. Thˆong thu
.
`o
.
ng ta
c´o thˆe

chı

ra cˆong th´u
.
ctu
.
`o
.
ng minh biˆe

udiˆe
˜
n N qua ε.
1) Ta c´o:
|a
n
− 0| =




(−1)
n−1
n



=
1
n
·
Gia

su
.

ε l`a sˆo
´
du
.
o
.
ng cho tru
.
´o
.
ct`uy ´y. Khi d´o:
1

n
<ε⇔ n>
1
ε
·
V`ıthˆe
´
ta c´o thˆe

lˆa
´
y N l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen n`ao d´o tho

am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
n:
N>
1
ε

1
N
<ε.

(Ch˘a

ng ha
.
n, ta c´o thˆe

lˆa
´
y N =[1/ε], trong d
´o[1/ε] l`a phˆa
`
n nguyˆen
cu

a1/ε).
Khi d
´o ∀n  N th`ı:
|a
n
− 0| =
1
n

1
N
<ε.
7.1. Gi´o
.
iha
.

ncu

a d˜ay sˆo
´
7
Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a lim
n→∞
(−1)
n
n
=0.
2) Ta lˆa
´
ysˆo
´
ε>0bˆa
´
tk`yv`at`ımsˆo
´
tu
.
.
nhiˆen N(ε) sao cho ∀n>
N(ε) th`ı:



n

n +1
− 1



<ε.
Bˆa
´
td
˘a

ng th´u
.
c
|a
n
− 1| <ε⇔
1
n +1
<ε⇔
1
ε
− 1.
Do d
´o ta c´o thˆe

lˆa
´
ysˆo
´

N(ε) l`a phˆa
`
n nguyˆen cu

a
1
ε
− 1, t´u
.
c l`a:
N(ε)=E((1/ε) −1).
Khi d
´ov´o
.
imo
.
i n  N ta c´o:



n
n +1
− 1



=
1
n +1


1
N +1
<ε⇒ lim
n→∞
n
n +1
=1. 
V´ı du
.
3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`y:
1) a
n
= n, n ∈ N (7.6)
2) a
n
=(−1)
n
,n∈ N (7.7)
3) a
n
=(−1)
n
+
1
n
· (7.8)

Gia

i. 1) Gia

su
.

d˜ay (7.6) hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y ε =1.
Khi d´o theo di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
ntˆo
`
nta
.
isˆo
´

hiˆe
.
u N sao cho ∀n>Nth`ı
ta c´o |a
n
−a| < 1 ngh˜ıa l`a |n −a| < 1 ∀n>N.T`u
.
d
´o −1 <n−a<1
∀n>N ⇔ a − 1 <n<a+1∀n>N.
Nhu
.
ng bˆa
´
td˘a

ng th´u
.
c n<a+1,∀n>N l`a vˆo l´y v`ı tˆa
.
pho
.
.
p c´ac
sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen khˆong bi

.
ch˘a
.
n.
2) C´ach 1. Gia

su
.

d˜ay a
n
hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y lˆan
cˆa
.
n

a −
1
2
,a+

1
2

cu

adiˆe

m a.Taviˆe
´
t d˜ay d˜a cho du
.
´o
.
ida
.
ng:
{a
n
} = −1, 1, −1, 1, (7.9)
8Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu


a h`am sˆo
´
V`ıdˆo
.
d`ai cu

a khoa

ng

a −
1
2
,a+
1
2

l`a b˘a
`
ng 1 nˆen hai diˆe

m −1
v`a +1 khˆong thˆe

dˆo
`
ng th`o
.
i thuˆo

.
c lˆan cˆa
.
n

a −
1
2
,a+
1
2

cu

adiˆe

m a,
v`ı khoa

ng c´ach gi˜u
.
a −1v`a+1b˘a
`
ng 2. Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a o
.

ngo`ai
lˆan cˆa

.
n

a −
1
2
,a+
1
2

c´o vˆo sˆo
´
sˆo
´
ha
.
ng cu

ad˜ayv`av`ıthˆe
´
(xem ch´u
´yo
.

trˆen) sˆo
´
a khˆong thˆe

l`a gi´o
.

iha
.
ncu

a d˜ay.
C´ach 2. Gia

su
.

a
n
→ a. Khi d´o ∀ε>0 (lˆa
´
y ε =
1
2
) ta c´o
|a
n
− a| <
1
2
∀n  N.
V`ı a
n
= ±1nˆen
|1 − a| <
1
2

, |−1 −a| <
1
2
⇒2=|(1 − a)+(1+a)|  |1 − a| + |a +1| 
1
2
+
1
2
=1
⇒2 < 1, vˆo l´y.
3) Lu
.
u´yr˘a
`
ng v´o
.
i n =2m ⇒ a
2m
=1+
1
2m
.Sˆo
´
ha
.
ng kˆe
`
v´o
.

in´o
c´o sˆo
´
hiˆe
.
ule

2m +1(hay2m −1) v`a
a
2m+1
= −1+
1
2m +1
< 0 (hay a
2m−1
= −1+
1
2m − 1
 0).
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng
|a
n
− a
n−1
| > 1.

Nˆe
´
usˆo
´
a n`ao d
´o l`a gi´o
.
iha
.
ncu

ad˜ay(a
n
) th`ı b˘a
´
tdˆa
`
ut`u
.
sˆo
´
hiˆe
.
u n`ao
d´o ( a
n
) tho

a m˜an bˆa
´

td˘a

ng th´u
.
c |a
n
−a| <
1
2
. Khi d
´o
|a
n
−a
n+1
|  |a
n
− a|+ |a
n+1
− a| <
1
2
+
1
2
=1.
Nhu
.
ng hiˆe
.

ugi˜u
.
a hai sˆo
´
ha
.
ng kˆe
`
nhau bˆa
´
tk`ycu

ad˜ayd˜a cho luˆon luˆon
l´o
.
nho
.
n1. Diˆe
`
u mˆau thuˆa
˜
n n`ay ch´u
.
ng to

r˘a
`
ng khˆong mˆo
.
tsˆo

´
thu
.
.
c
n`ao c´o thˆe

l`a gi´o
.
iha
.
ncu

a d˜ay d
˜a cho. 
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu

a d˜ay sˆo
´
9
B
`
AI T
ˆ
A
.

P
H˜ay su
.

du
.
ng di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
ndˆe

ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1. lim
n→∞
a
n
=1nˆe
´
u a
n
=
2n − 1
2n +2

2. lim
n→∞
a
n
=
3
5
nˆe
´
u a
n
=
3n
2
+1
5n
2
− 1
B˘a
´
td
ˆa
`
ut`u
.
sˆo
´
hiˆe
.
u N n`ao th`ı:

|a
n
− 3/5| < 0, 01 (DS. N =5)
3. lim
n→∞
a
n
=1nˆe
´
u a
n
=
3
n
+1
3
n
.
4. lim
n→∞
cos n
n
=0.
5. lim
n→∞
2
n
+5· 6
n
3

n
+6
n
=5.
6. lim
n→∞
3

n
2
sin n
2
n +1
=0.
7. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng sˆo
´
a = 0 khˆong pha

i l`a gi´o
.
iha
.
ncu

a d˜ay a
n

=
n
2
−2
2n
2
− 9
.
8. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
lim
n→∞
n
2
+2n +1+sinn
n
2
+ n +1
=1.
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay: a
n
=(−1)
n

+1/n phˆan k`y.
10. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay; a
n
= sin n
0
phˆan k`y.
11. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu

a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; ,0, 22 2
  
n
,
Chı

dˆa
˜
n. Biˆe

udiˆe
˜
n a
n

du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=0, 22 2=
2
10
+
2
10
2
+ ···+
2
10
n
(DS. lim a
n
=2/9)
10 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha

.
n v`a liˆen tu
.
ccu

a h`am sˆo
´
12. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu

a d˜ay sˆo
´
:
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; ,0, 233 3

 
n
,
Chı

dˆa
˜
n. Biˆe

udiˆe
˜
n a

n
du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=
2
10
+

3
10
2
+
3
10
3
+ ···+
3
10
n

(D
S. 7/30)
13. Ch´u

.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u d˜ay a
n
hˆo
.
itu
.
dˆe
´
n a, c`on d˜ay b
n
dˆa
`
ndˆe
´
n
∞ th`ı d˜ay a
n
/b
n
dˆa
`
ndˆe
´
n0.
14. Ch´u

.
ng minh r˘a
`
ng
i) lim
n→∞
n
2
n
=0.
ii) lim
n→∞
n
a
n
=0 (a>1).
Chı

dˆa
˜
n. i) Su
.

du
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c:

2
n
= (1 + 1)
n
=1+n +
n(n − 1)
2
+ ···+1>n+
n(n − 1)
2
>
n
2
2
·
v`a u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng |a
n
− 0|.
ii) Tu
.
o

.
ng tu
.
.
nhu
.
i). Su
.

du
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c:
a
n
=[1+(a −1)]
n
>
n(n − 1)
2
(a − 1).
15. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
lim a

n
=2nˆe
´
u a
n
=1+
1
2
+ ···+
1
2
n
Chı

dˆa
˜
n.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c t´ınh tˆo

ng cˆa
´
psˆo
´
nhˆan dˆe


t´ınh a
n
rˆo
`
i
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng |a
n
− 2|.
16. Biˆe
´
tr˘a
`
ng d˜ay a
n
c´o gi´o
.
iha
.
n, c`on d˜ay b
n
khˆong c´o gi´o

.
iha
.
n. C´o
thˆe

n´oi g`ıvˆe
`
gi´o
.
iha
.
ncu

a d˜ay:
i) {a
n
+ b
n
}.
ii) {a
n
b
n
}.
(DS. i) lim{a
n
+ b
n
} khˆong tˆo

`
nta
.
i. H˜ay ch´u
.
ng minh.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu

a d˜ay sˆo
´
11
ii) C´o thˆe

g˘a
.
pca

hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c´o gi´o
.

iha
.
n v`a khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n,
v´ıdu
.
:
a
n
=
n − 1
n
,b
n
=(−1)
n
; a
n
=
1
n
,b
n
=(−1)
n
.
7.1.2 Ch´u

.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu

a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
c´ac di
.
nh l´yvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n
Dˆe

t´ınh gi´o
.
iha

.
ncu

a d˜ay sˆo
´
, ngu
.
`o
.
i ta thu
.
`o
.
ng su
.

du
.
ng c´ac di
.
nh l´y v`a
kh´ai niˆe
.
m sau d
ˆay:
Gia

su
.


lim a
n
= a, lim b
n
= b.
i) lim(a
n
± b
n
)=lima
n
± lim b
n
= a ± b.
ii) lima
n
b
n
= lim a
n
· lim b
n
= a · b.
iii) Nˆe
´
u b = 0 th`ı b˘a
´
tdˆa
`
ut`u

.
mˆo
.
tsˆo
´
hiˆe
.
u n`ao d´o d˜ay a
n
/b
n
x´ac
d
i
.
nh (ngh˜ıa l`a ∃N : ∀n  N ⇒ b
n
= 0) v`a:
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
=
a

b
·
iv) Nˆe
´
u lim a
n
= a, limb
n
= a v`a b˘a
´
tdˆa
`
ut`u
.
mˆo
.
tsˆo
´
hiˆe
.
u n`ao d
´o
a
n
 z
n
 b
n
th`ı lim z
n

= a (Nguyˆen l´ybi
.
ch˘a
.
n hai phi´a).
v) T´ıch cu

a d˜ay vˆo c`ung b´e v´o
.
i d˜ay bi
.
ch˘a
.
n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e.
vi) Nˆe
´
u(a
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
nv`aa
n
= 0 th`ı d˜ay

1
a
n

l`a d˜ay vˆo
c`ung b´e; ngu

.
o
.
.
cla
.
i, nˆe
´
u α
n
l`a d˜ay vˆo c`ung b´e v`a α
n
=0th`ıd˜ay

1
α
n

l`a vˆo c`ung l´o
.
n.
Nhˆa
.
nx´et. D
ˆe

´ap du
.
ng d´ung d˘a
´

nc´acdi
.
nh l´y trˆen ta cˆa
`
nlu
.
u´ymˆo
.
t
sˆo
´
nhˆa
.
n x´et sau d
ˆay:
i) Di
.
nh l´y (iii) vˆe
`
gi´o
.
iha
.
ncu

athu
.
o
.
ng s˜e khˆong ´ap du

.
ng du
.
o
.
.
cnˆe
´
u
tu
.

sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
khˆong c´o gi´o
.
iha
.
nh˜u
.
uha
.
n ho˘a
.
cmˆa
˜

usˆo
´
c´o gi´o
.
iha
.
n
b˘a
`
ng 0. Trong nh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd´o nˆen biˆe
´
ndˆo

iso
.
bˆo
.
d˜ay thu
.
o
.

ng,
ch˘a

ng ha
.
nb˘a
`
ng c´ach chia ho˘a
.
c nhˆan tu
.

sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
v´o
.
ic`ung mˆo
.
t
biˆe

uth´u
.
c.
12 Chu
.

o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu

a h`am sˆo
´
ii) Dˆo
´
iv´o
.
id
i
.
nh l´y (i) v`a (ii) c˜ung cˆa
`
n pha

i thˆa
.
n tro
.
ng khi ´ap du
.
ng.

Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay ta cˆa
`
n pha

ibiˆe
´
nd
ˆo

i c´ac biˆe

uth´u
.
c a
n
± b
n
v`a
a
n
·b
n
tru

.
´o
.
c khi t´ınh gi´o
.
iha
.
n (xem v´ıdu
.
1, iii).
iii) Nˆe
´
u a
n
= a ≡ const ∀n th`ı lim
n→∞
a
n
= a.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. T`ım lima
n
nˆe

´
u:
1) a
n
=(1+7
n+2
)/(3 − 7
n
)
2) a
n
=(2+4+6+···+2n)/[1+3+5+···+(2n + 1)]
3) a
n
= n
3
/(1
2
+2
2
+ ···+ n
2
)
Gia

i. Dˆe

gia

i c´ac b`ai to´an n`ay ta d`ung l´y thuyˆe

´
tcˆa
´
psˆo
´
1) Nhˆan tu
.

sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
phˆan th´u
.
cv´o
.
i7
−n
ta c´o:
a
n
=
1+7
n+2
3 − 7
n
=
7

−n
+7
2
3 · 7
−n
−1
Do d´o
lim a
n
= lim
7
−n
+7
2
3 · 7
−n
− 1
= −49 v`ı lim 7
−n
=0,n →∞.
2) Tu
.

sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
dˆe

`
u l`a cˆa
´
psˆo
´
cˆo
.
ng nˆen ta c´o:
2+4+6+···+2n =
2+2n
2
· n;
1+3+5+···+(2n +1)=
1+(2n +2)
2
(n +1).
Do d´o
a
n
=
n
n +1
⇒ lim a
n
=1.
3) Nhu
.
ta biˆe
´
t:

1
2
+2
2
+ ···+ n
2
=
n(n + 1)(2n +1)
6
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu

a d˜ay sˆo
´
13
v`a do d´o:
lim a
n
= lim
6n
3
n(n + 1)(2n +1)
= lim
6
(1+1/n)(2 + 1/n)
=3. 
V´ı du

.
2. T`ım gi´o
.
iha
.
n
lim
1+
1
2
+
1
4
+ ···+
1
2
n
1+
1
3
+
1
9
+ ···+
1
3
n
Gia

i. Tu

.

sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
dˆe
`
ul`acˆa
´
psˆo
´
nhˆan nˆen
1+
1
2
+ ···+
1
2
n
=
2(2
n
−1)
2
n
,
1+

1
3
+ ···+
1
3
n
=
3(3
n
−1)
2 · 3
n
v`a do d´o:
lim a
n
= lim
2(2
n
−1)
2
n
·
2 · 3
n
3(3
n
− 1)
= 2 lim
2
n

− 1
2
n
·
2
3
lim
3
n
3
n
− 1
= 2 lim[1 − (1/2)
n
] ·
2
3
lim
1
1 − (1/3)
n
=2·1 ·
2
3
· 1=
4
3
· 
V´ı du
.

3.
1) a
n
=

n
2
+ n − n
2) a
n
=
3

n +2−
3

n
3) a
n
=
3

n
2
− n
3
+ n
Gia

i.

1) Ta biˆe
´
ndˆo

i a
n
b˘a
`
ng c´ach nhˆan v`a chia cho da
.
ilu
.
o
.
.
ng liˆen ho
.
.
p
a
n
=
(

n
2
+ n − n)(

n
2

+ n + n)

n
2
+ n + n
=
n

n
2
+ n + n
=
1

1+1/n +1
Do d
´o
lim a
n
=
1
lim
n→∞
(

1+1/n +1)
=
1
2
·

14 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu

a h`am sˆo
´
2) Biˆe
´
ndˆo

i a
n
tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
1) ta c´o:

a
n
=

3

n +2

3


3

n

3

3

n +2

2
+
3

n +2·
3

n +


3

n

2
a
n
=
2

3

n +2

2
+
3

n +2·
3

n +

3

n

2
Biˆe


uth´u
.
cmˆa
˜
usˆo
´
b˘a
`
ng:
n
2/3

3

1+2/n

2
+
3

1+2/n +1

→∞
khi n →∞v`a do d´o lim a
n
=0.
3) Ta c´o thˆe

viˆe
´

t n =
3

n
3
v`a ´ap du
.
ng cˆong th´u
.
c:
a
3
+ b
3
=(a + b)(a
2
− ab + b
2
)
suy ra
a
n
=

3

n
2
− n
3

+ n

3

n
2
− n
3

2
− n
3

n
2
− n
3
+ n
2


3

n
2
− n
3

2
− n

3

n
2
− n
3
+ n
2
=
n
2

3

n
2
− n
3

2
− n
3

n
2
− n
3
+ n
2
=

1
[1/n − 1]
2/3
− [1/n − 1]
1/3
+1
suy ra lim a
n
=
1
3
· 
V´ı d u
.
4. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu

a c´ac d˜ay sau
a
n
=
n

n
2
+ n
,b

n
=
n

n
2
+1
,
c
n
=
1

n +1
+
1

n
2
+2
+ ···+
1

n
2
+ n
·
Gia

i. D

ˆa
`
utiˆentach´u
.
ng minh lim a
n
= 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y:
lim a
n
= lim
n
n

1+1/n
= lim
1

1+1/n
=1.

×