Bài giảng toán rời rạc chương 1 cơ sở logic

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
4
CƠ SỞ LOGIC
1
QUAN HỆ
2
MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
3
TOÁN RỜI RẠC
ĐẠI SỐ BOOLE
5
2 tiết
2 tiết
8 tiết
12 tiết
6 tiết
Chương
Chương
1
1
Chương
Chương
1
1:
CƠ SỞ LOGIC
Nguyên lý qui nạp toán học
1.2
Công thức truy hồi
1.3
1.1
Mệnh đề

1.1 Nguyên lí qui nạp toán học
Giả sử cần chứng minh mệnh đề có dạng:
“

n

n
o
, P(n) ” đúng
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ B1: Chứng minh P(n
o
) đúng
+ B2: Giả sử P(k), n
o
 k đúng. Ta chứng minh mệnh
đề P(k+1) cũng đúng.
Khi đó mệnh đề P(n) đúng với

n

n
o
Ví dụ
Dùng phương pháp qui nạp chứng minh:
1),1(
)!1(
1
1
)!1(

!3
2
!2
1
) 



 n
nn
n
a
b) n
3
+ 11n chia hết cho 6, n  1
HD
a) Với n = 1:
2
1
)!11(
1
1,
2
1


 VPVT
1,
)!1(

1
1
)!1(

!3
2
!2
1




 k
kk
k
 (1) đúng với n = 1
Giả sử:
1,
)!2(
1
1
)!2(
1
)!1(

!3
2
!2
1








 k
kk
k
k
k
Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là cm:
)!2(
1
)!1(
1
1
)!2(
1
)!1(

!3
2
!2
1











k
k
kk
k
k
k
vt
vp
kk
kk








)!2(
1
1
)!2(
)12(
1
Ta có:

Vậy:
1,
)!1(
1
1
)!1(

!3
2
!2
1




 n
nn
n
b) Đặt: P(n) = n
3
+ 11n
Với n = 1: P(1) = 1
3
+ 11.1= 12 chia hết cho 6
Giả sử:
Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là cm:
))1(11)1(()1(
3
 kkkP
P(k) = (k

3
+ k) chia hết cho 6
chia hết cho 6
)1(
12)1(3)11(
1111133)1(
3
23



kP
kkkk
kkkkkP
Ta có:
Vậy: (n
3
+ 11n) chia hết cho 6, n  1
chia hết cho 6
1.
1.
Đ
Đ
ị
ị
nh
nh
ngh
ngh
ĩ

ĩ
a
a
Công thức truy hồi của dãy s
0
, s
1
, s
2
, … là công
thức xác định s
n
qua một hay nhiều số hạng đi
trước của dãy.
Điều kiện ban đầu là các giá trị gán cho một số
hữu hạn các phần tử đầu.
1.3 CÔNG THỨC TRUY HỒI
b. Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau:
f
n
= f
n-1
+ f
n-2
, với

n

2 & f
0

= f
1
= 1
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …)
c. S
n
= 6s
n-1
– 11s
n-2
+ 6s
n-3
với s
0
= 2, s
1
= 5, s
2
= 15
Ví dụ 1:
a. Công thức truy hồi của n!:
s
n
= n.s
n-1
, với

n

1 & s(0) = 1

2. Giải công thức truy hồi
Giải CTTH bằng pp lặp là thay thế liên tiếp công
thức truy hồi vào chính nó, mỗi lần thay bậc n
giảm đi ít nhất một đơn vị, cho đến khi đạt giá trị
ban đầu.
Giải công thức truy hồi là tìm một công thức rõ
ràng cho s
n
mà không phải tính thông qua các
phần tử trước nó.
a. Giải công thức truy hồi bằng phương pháp lặp:
Bài toán : Tháp Hà Nội
Có 3 cọc a, b, c. Trên cọc a có n đĩa xếp chồng
lên nhau sao cho đĩa nhỏ trên đĩa lớn.
Cần chuyển chồng đĩa từ cọc a sang cọc c tuân
thủ quy tắc: Mỗi lần chỉ chuyển được một đĩa, luôn
đảm bảo đĩa nhỏ trên đĩa lớn, có thể sử dụng cọc b
làm trung gian.
Phương pháp di chuyển đĩa như sau:
 Chuyển n – 1 đĩa từ cọc a sang cọc b sử dụng
cọc c làm trung gian.
 Chuyển đĩa lớn nhất từ cọc a sang cọc c.
 Chuyển n – 1 đĩa từ cọc b sang cọc c sử dụng
cọc a làm trung gian.
Đếm số lần di chuyển của n đĩa trên?
Công thức truy hồi tính số lần di chuyển đĩa:
S
n
= 2.s
n-1

+ 1, với

n

2 & s
1
= 1
Trên mặt phẳng kẻ n đường thẳng sao cho không
có hai đường nào song song hay ba đường nào
đồng quy.
Hỏi mặt phẳng chia làm mấy phần?
Bài toán
Giải
Gọi số phần mặt phẳng chia bởi n đường
thẳng là s(n). Giả sử đã kẻ (n-1) đường thẳng.
Bây giờ kẻ thêm đường thẳng thứ n thì số phần
mặt phẳng mặt phẳng được thêm sẽ bằng số giao
điểm cộng 1 (n – 1 + 1 = n) phần.
Vậy ta có công thức truy hồi sau:
s(n) = s(n – 1) + n với n  2 & s(1) = 2
Giải công thức truy hồi trên bằng phương pháp
lặp, ta có:
s(n) = 1 + n(n+1)/2
b. Giải công thức truy hồi bằng phương trình
đặc trưng:
Định nghĩa
Một hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k
hệ số hằng là hệ thức truy hồi có dạng:
s
n

= c
1
s
1
+ c
2
s
2
+ + c
n
s
n
,
trong đó c
1
, c
2
, , c
k
là các số thực và c
k
 0.
Điều kiện đầu là:
s
0
= C
0
, s
1
= C

1
, …, s
n
= C
n
(1)
Phương trình sau gọi là phương trình đặc trưng của
công thức truy hồi (1):
r
k
– c
1
r
k-1
– c
2
r
k-2
– … – c
k
= 0
Định lí 1
Giả sử phương trình đặc trưng:
r
k
 c
1
r
k-1
 c

2
r
k-2
  c
k
= 0
có k nghiệm phân biệt r
1
, r
2
, , r
k
. Khi đó dãy {s
n
} là
nghiệm của hệ thức truy hồi (1) nếu:
s
n
= 
1
r
1
n
+ 
2
r
2
n
+ + 
k

r
k
n
,
với n = 0, 1, 2, trong đó 
1
, 
2
, , 
k
là các hằng số.
Giải công thức truy hồi:
f
n
= f
n-1
+ f
n-2
, với

n

2 & f
0
= f
1
= 1
Ví dụ 2:
(dãy Fibonaci)
Phương trình đặc trưng: r

2
– r – 1 = 0
có 2 nghiệm phân biệt:
2
51
r;
2
51
r
21




n
2
n
1n
2
51
2
51
f





















Vậy (*)
Từ các giá trị ban đầu f
0
= f
1
= 1 thay vào (*)
ta có:
2
51
5
1
,
2
51
5
1
11


































 1n1n
n
2
51
2
51
5
1
f
Và: