đạo hàm và vi phân hàm hợp; đạo hàm và vi phân hàm ẩn

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Phần 2


Nội dung

1. Đạo hàm và vi phân hàm hợp.
2. Đạo hàm và vi phân hàm ẩn.


ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP
Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến
Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x,
y khả vi:

zu′ = fx′ .xu′ + fy′ .y u′ ,

zv′ = fx′ .xv′ + fy′ .yv′

dz = zu′ du + zv′ dv
dz = fx′dx + fy′ dy
= fx′ ( xu′ du + xv′ dv ) + fy′ ( y u′ du + y v′ dv )


Trường hợp riêng 1
Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến)

zu′ = f ′( x ) xu′ ,

zv′ = f ′( x ) xv′

dz = zu′ du + zv′ dv
dz = f ′( x )dx = f ′( x )( xu′ du + xv dv )


Trường hợp riêng 2:
z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến)

z′(t ) = fx′ .x ′(t ) + fy′ .y ′(t )

dz = z′(t )dt

dz = fx′dx + fy′ dy = fx′ .x ′(t )dt + fy′ .y ′(t )dt


Trường hợp riêng 3:
z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến)

z′( x ) = fx′ + fy′ .y ′( x )
dz = z′( x )dx
Lưu ý: khi tính đạo hàm hàm hợp, luôn bắt đầu từ đạo
hàm của f theo biến chính. Sau đó, tùy thuộc vào yêu
cầu, nhân thêm đạo hàm của biến chính vào cạnh đạo
hàm của f.


VÍ DỤ
1/ Cho:

xy

2

z = f (x, y ) = e , x = u , y = u + v

tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1).

z’u = f’x. x’u + f’y.y’u

z’v = f’x. x’v + f’y.y’v

(u, v)= (1, 1) ⇒ (x, y) = (1, 2)
xy
′
zu = ye .2u + xe xy .1
xy
xy
′
ye
.0
zv =
+ xe .1


zu′ (1,1) = 2.e 2 .2 + 1.e 2 .1 = 5e 2
⇒
2
zv′ (1,1) = e
2

2

dz (1,1) = zu′ (1,1)du + zv′ (1,1)dv = 5e du + e dv


u

2/ Cho:z = f ( x ) = sin( x + x ), x = arctan  ÷
v 
Tính z’u, z’v tại (0, 1)
2

z’u = f’(x). x’u

z’v = f’(x). x’v

1
zu′ = (1 + 2 x )cos( x + x ) × ×
v
2

2
′
zv = (1 + 2 x )cos( x + x )

1
2
u
1+ 2
v
−u

1
× 2×
2
v
u
1+ 2
v

x(0, 1) = 0

zu′ (0,1) = 1

zv′ (0,1) = 0


3/ Cho:

z = f ( x , y ) = sin( xy ),
x = arctan ( t ) , y = et

Tính dz(t) tại t = 0
Cách 1:

dz = z’(t)dt, với z’(t) = f’x. x’(t) + f’y.y’(t),

1
z′(t ) = y cos( xy )
2
1+ t

t = 0 ⇒ x = 0, y = 1
⇒ dz (0) = dt

+ x cos( xy ) e

t


z = f ( x , y ) = sin( xy ),
x = arctan ( t ) , y = et
Cách 2:

dz = fx′dx + fy′ dy = fx′ .x ′(t )dt + fy′ .y ′(t )dt

dz = y cos( xy )dx + x cos( xy )dy
dt
t
= y cos( xy )
+ x cos( xy )e dt
2
1+ t
⇒ dz (0) = dt


4/ Cho:

2

ln( y + 1)
z = f (x, y ) =

.
x2

a/ Tính z’x tại (1,0).

b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1
2

∂z
ln( y + 1)
ln(1)
a / z′x =
= fx′ = −2
⇒ z′x (1,0) = − 2
=0
3
∂x
1
x
b/ z’(x) = f’x + f’y.y’(x)
2

2y
ln( y + 1)
x
+ 2
= −2
2 e
3
( y + 1) x

x


2

ln(y + 1)
2y
x
z '( x ) = −2
+
3
2
2 e
x
( y + 1) x
x =1⇒ y = e
2

2e
⇒ z′(0) = −2ln(e + 1) + 2
e +1
2


5/ Cho: z = f ( x − y , xy ), với f là hàm khả vi
Tính z’x, z’y
Đặt: u = x – y , v = xy ⇒ z = f(u, v)
(u, v là biến chính của f)

z′x = fu′ .u′x + fv′ .v ′x

= fu′ .1 + fv′ y

z′y = fu′ .u′y + fv′ .v ′y

= fu′ .(−1) + fv′ x


 x 
6/ Cho: z = xf  2 ÷ với f là hàm khả vi
y 
2 xz′x + yz′y = 2z
Chứng minh đẳng thức:
Đặt :

x
u= 2
y

⇒ z = x.f(u)

z′x = f (u ) + x.[ f (u ) ] ′ x
1
= f (u ) + x.f ′(u ).u′x = f (u ) + x.f ′(u ). 2
y


 x 
z = xf  2 ÷
y 

z′y = x.[ f (u ) ] ′y

−2 x
= xf ′(u ).u′y = x.f ′(u ). 3
y

1 
−
2
x
2 xz′x + yz′y = 2 x  f (u ) + x.f ′(u ). 2 ÷ + yx.f ′(u ). 3
y 
y

= 2 xf (u )

= 2z


(

2
2
z
=
f
x
−
y

,
xy
7/ Cho:

)

với f là hàm khả vi

Tính dz theo dx, dy.
Đặt: u = x2 – y , v = xy2 ⇒ z = f(u, v)
•Cách 1: dz = z’xdx + z’ydy với

z′x = fu′ .u′x + fv′ .v ′x

2
′
′
= fu .2 x + fv .y

z′y = fu′ .u′y + fv′ .v ′y = fu′ .(−1) + fv′ .2 xy

(

dz = fu′ .2 x + fv′ .y

2

) dx + ( −f ′ + f ′.2xy ) dy
u

v


• Cách khác:
dz = f’udu + f’vdv
= f’u( u’xdx + u’ydy) + f’v ( v’xdx + v’ydy)
= f’u(2xdx – dy) + f’v(y2dx + 2xydy)
= (2xf’u + y2f’v)dx + (2xyf’v – f’u)dy


Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm hợp
Xét trường hợp cơ bản, các trường hợp khác tương tự.
Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v)

(

)u

′′ = fx′ .xu′ + fy′ .y u′ ′
zuu



′


′
′′ +  fy′ .y u′ + fy′ .y uu
′′ 
= ( fx′ ) u .xu′ + fx′ .xuu

u

 

′
z′′ = f ′ .x ′ + f ′ .y ′

( )

uv

(x

u

y

)

u v



′


′
′′ +  fy′ .y u′ + fy′ .y uv
′′ 
= ( fx′ ) v .xu′ + fx′ .xuv

v

 


( )


(

)v

′′ = fx′ .xv′ + fy′ .y v′ ′
zvv



′


′
′′ +  fy′ .y u′ + fy′ .yvv
′′ 
= ( fx′ ) v .xu′ + fx′ .xuv
v

 


( )

Các đhàm (f’x)’u, (f’x)’v, (f’y)’u, (f’y)’v phải tính theo
hàm hợp.
Vi phân cấp hai của hàm hợp: (u, v là biến độc lập)
Để đơn giản, viết d2z theo du, dv
2

2

′′ du + 2zuv
′′ dudv + zvv
′′ dv
d z = zuu

2


Vi phân cấp 2 tính theo hàm hợp
Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v)
2
′
′
dz = fx dx + fy dy ⇒ d z = d (dz ) = d ( fx′dx + fy′ dy )

Với x, y là các hàm số thì dx và dy không phải là hằng
2
2
′
′
′

′
⇒ d z = d ( fx ) dx + fx d x + d ( fy ) dy + fy d y
2

Lưu ý:
• d(f’x), d(f’y) tính theo vi phân cấp 1 của hàm hợp.
• d2x, d2y tính theo vi phân cấp 2 của hàm thường.


VÍ DỤ
2

z = f (x, y ) = x y , x = u + v , y = u − v

1/ Cho:

Tính z”uu, z”uv tại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 0)
2

zu′ = 2 xy × xu′ + x × y u′
2

= 2 xy × 1 + x × 1 = 2 xy + x

(

2

)u

2 ′
′′
zuu = 2 xy + x
= 2 ( xu′ y + xy u′ ) + 2 xxu′

⇒ z”uu(1, 1) = 8

= 2( y + x ) + 2 x = 4 x + 2 y


x = u + v,y = u −v

2
′
zu = 2 xy + x

(

)v

2 ′
′′
zuv = 2 xy + x

= 2 ( xv′ y + xy v′ ) + 2 xxv′
= 2( y − x ) + 2 x = 2y

z”uv (1, 1) = 0

VÍ DỤ
2

2
z
=
f
(
x
,
y
)
=
x
y
,
x = u + v,y = u
1/ Cho:

Tính z”uutại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 1)
2

zu′ = 2 xy × xu′ + x × y u′ = 2 xy × 1 + x 2 × 2u

(

)u

2 ′
′′

zuu = 2 xy + u.x

= 2 [ ( xu′ y + xy u′ ) +(x + u.2 x.xu′ ) ]
2

= 2 ( y + x.2u ) + x 2 + 2ux.1

⇒ z”uu(1, 1) = 26


2/ Cho:

2

z = f ( x , y ) = x y , với x = t 2 , y = ln t

Tính d2z theo dt tại t = 1
2

2
′′
d z = z (t )dt

(t là biến độc lập)

1
z′(t ) = fx′ .x ′(t ) + fy′ .y ′(t ) = 2 xy .2t + x .
t
2

3

= 4t .ln t + t
2

2

z′′(t ) = 12t .ln t + 4t + 3t
2

d z (1) = 7dt

2

2

3